same Scritto Fisica Generale T-B/T-2 (CdL Ingegneria Civile e Informatica [A-K]) Prof. M. Sioli V Appello A.A. 2013-2014 - 22/07/2014 Soluzioni sercizi x. 1 Si consideri una sfera di raggio R = 10 cm uniformemente carica con densità di carica ρ = 10 6 C/m 3 in tutto il volume, tranne in una cavità interna sferica di raggio r 1 = R/2. Il centro della cavità O 1 si trova a distanza d = r 1 dal centro della sfera O. Determinare: r 1 O 1 B O R A la carica totale Q della sfera; il campo elettrostatico nel punto A, a distanza 2R dal centro O della sfera e a distanza 5/2R dal centro O 1 della cavità; c) il campo elettrostatico nel punto B, a distanza r 1 /2 sia dal centro O della sfera che dal centro O 1 della cavità. Sol. 1 Si ricorre al principio di sovrapposizione e si considera un sistema equivalente a quello dato dal problema: una sfera piena di raggio R con densità ρ alla quale è sovrapposta una sfera con densità di carica opposta ρ, di raggio r 1 e centrata in O 1. Con questa modellizzazione si ottiene la carica totale depositata sul sistema: Q = 3.66 nc 1
Seguendo la modellizzazione esposta nel punto, si esprime il campo elettrico come la sovrapposizione dei campi generati dalle due distribuzioni di carica. ssendo il punto A esterno ad entrambe le sfere, il campo da esse generate è pari al campo generato dalla rispettiva carica totale posta al centro di ciascuna sfera. Si sommano vettorialmente i contributi delle due sfere, una centrata in O, l altra in O 1. Il campo elettrostatico nel punto A è dato in modulo da (A) 23 ρr = = 866 V 300 ε 0 m ed è diretto lungo la congiungente i centri delle sfere OO 1, verso l esterno. c) Il punto B è interno ad entrambe le sfere. Dopo aver ricavato dalla legge di Gauss l andamento del campo elettrico all interno di una sfera uniformemente carica, si sommano vettorialmente i contributi dati dalla distribuzione di carica positiva e dalla distribuzione di carica negativa. Il campo elettrostatico nel punto B è (B) = ρr 6 ε 0 = 1.88 10 3 V m e risulta diretto lungo la congiungente i centri delle sfere OO 1, verso O 1. x. 2 Due fasci di particelle, uno composto da nuclei di elio (q He = 3.2 10 19 C), l altro da nuclei di idrogeno (m H = 1.67 10 27 kg, q H = 1.6 10 19 C), sono generati da una sorgente. I fasci sono diretti con velocità differenti lungo l asse x, attraversano un foro O 1 ed entrano in un selettore di velocità, cioè una regione di spazio in cui sono presenti un campo elettrico ed un campo di induzione magnetica B 1 tali da far passare senza deviazioni solo le particelle che hanno una determinata velocità v 0 = 10 4 m/s. Il selettore è delimitato da una superficie con un foro O 2 in linea con O 1, oltre la quale è presente un campo di induzione magnetica B 2 (B 2 = 0.02 T) diretto lungo l asse z. Calcolare modulo, direzione e verso del campo B 1 presente nel selettore, sapendo che il campo elettrico, di modulo = 2 10 3 V/m, è diretto lungo l asse y; sapendo che la distanza L tra i punti di impatto dei due fasci sulla superficie dopo l attraversamento del foro O 2 è L = 1 cm, calcolare la massa del nucleo di elio. 2
y Sorgente O 1 B 1 O 2 B 2 v 0 x ΔL Sol. 2 Quando i fasci di particelle entrano nel selettore di velocità, sono soggetti alla forza dovuta al campo elettrico ed alla forza di Lorentz: F = q( + v B 1 ) Affinchè i nuclei attraversino senza deviazioni e con velocità costante v 0 la regione compresa tra O 1 e O 2, la forza risultante deve essere nulla. Si avrà quindi: F = 0 = = v 0 B 1 Il campo magnetico B 1 del selettore di velocità è diretto lungo l asse z e di modulo pari a B 1 = ˆk = B1 = 0.2 T v 0 Passano attraverso il foro O 2 solo i nuclei con velocità v 0. In questa regione i nuclei sono sottoposti alla forza di Lorentz: F 2 = q v 0 B 2 Date le direzioni di v 0 e B 2, tale forza è diretta lungo il verso negativo dell asse y. I nuclei sono deflessi e si muovono di moto circolare uniforme, con raggio di curvatura dato da: r = m v 0 q B 2 La differenza tra i punti di impatto dei nuclei di idrogeno e di elio sulla superficie corrisponde alla differenza tra i diametri delle traiettorie. Il risultato è dunque: ( mhe v 0 L = 2 r = 2 m ) H v 0 = m He = 6.54 10 27 kg q He B 2 q H B 2 3
x. 3 Sia dato il circuito mostrato in figura, di cui sono note la f.e.m. = 10 V e le resistenze R 1 = 5 Ω, R 2 = 8 Ω, R 3 = 32 Ω, R 4 = 20 Ω. Verificare che il resistore R non è percorso da corrente se tra le resistenze vi è la seguente relazione (ponte di Wheatstone): R 1 R 4 = R 2 R 3 Si sostituisce il resistore R con un condensatore C, tra le cui armature è posto uno strato di vetro (costante dielettrica ε r = 7). La resistenza R 3 è sostituita con una di valore R 3 = 10 Ω. Se si misura la carica accumulata nel condensatore in condizioni stazionarie, si ottiene Q = 9 10 6 C. Si calcoli la capacità del condensatore C. Sol. 3 Imponendo una corrente nulla sulla resistenza R, sia R 1 che R 2 sono attraversate dalla stessa corrente (denominata i 1 ), e sia R 3 che R 4 sono attraversate dalla stessa corrente (denominata i 2 ). La d.d.p. ai capi del parallelo (pari alla f.e.m.) è la stessa, dunque: = i 1 (R 1 + R 2 ) = i 2 (R 3 + R 4 ) Dato che la corrente su R è nulla, la d.d.p. ai suoi capi è anch essa nulla. Quindi le cadute di potenziale sulle resistenze R 1 e R 4 sono uguali: i 1 R 1 = i 2 R 4 Sostituendo i valori delle correnti ricavati tramite la relazione precedente, si ottiene (R 1 + R 2 ) R 1 = (R 3 + R 4 ) R 4 = R 1 (R 3 + R 4 ) = R 4 (R 1 + R 2 ) = R 1 R 3 = R 4 R 2 4
In condizioni stazionarie, sul ramo che contiene il condensatore non circola corrente. Dunque, si ha un sistema di resistenze in parallelo al generatore: la serie di R 1 e R 2 (S1) e la serie di R 3 e R 4 (S2). La serie S1 è attraversata dalla corrente i 1 : i 1 = R 1 + R 2 mentre la serie S2 è attraversata dalla corrente i 2 : i 2 = R 3 + R 4 La d.d.p. ai capi del condensatore è pari alle cadute di potenziale sulle resistenze R 1 e R 4 (legge delle maglie): V = i 1 R 1 + i 2 R 4 = 2.82 V da cui si ricava la capacità del condensatore riempito di dielettrico: C = Q V = 3.19 µf La capacità del condensatore nel vuoto risulta quindi: C 0 = C ε r = 4.56 10 7 F 5