Prima prova Intermedia di Ricerca Operativa 2 COMPITO A 13 novembre 2015 Nome e Cognome Matricola: Esercizio 1 (7 punti): Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera. max 32x 1 + 9x 2 + 30x 3 + x 4+12 x 5 + 60x 6 8x 1 + 3x 2 + 6x 3 + x 4 + 6x 5 + 10x 6 14 x 1, x 2, x 3, x 4 x 5, x 6 {0,1} a) Trovare la soluzione ottima del problema con un algoritmo di BRANCH & BOUND utilizzando la visita con la strategia LIFO. (Si utilizzi l albero di enumerazione qui di seguito fornito per riassumere lo svolgimento dell esercizio assegnando una numerazione ai problemi, specificando le variabili di branching e indicando, per ogni problema generato, la soluzione del rilassamento, il valore dell upper bound ed eventuali altre informazioni.) P0 0 1 P1 P2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 N.B. Se necessario, aggiungere nodi all albero e/o cancellare quelli non utilizzati. 1
b) Come sarebbe cambiato l albero di enumerazione usando la strategia FIFO? c)quale tipo visita dell albero di enumerazione avrebbe consentito di sviluppare il minimo numero di sottoproblemi? Giustificare la risposta. Esercizio 2 (3 punti): Si consideri un problema di PLI di massimizzazione e sia z PLI il valore della soluzione ottima. a) Che relazione c è fra z PLI e il valore della soluzione ottima del rilassamento lineare? Giustificare la risposta. b) Se la soluzione del rilassamento lineare è intera, cambia la relazione fra quest ultima e l ottimo del problema intero? Giustificare la risposta. 2
Esercizio 3 (7 punti): Il sig. Rossi deve portare alla fiera dell acqua di Milano una selezione di pesci d acquario da vendere. I pesci che desidera portare sono di n specie diverse S={s 1, s 2, s n}: per ogni specie s i di pesce ci sono h i esemplari a disposizione e dalla vendita di ogni esemplare è previsto un ricavo pari a r i. Per il trasporto dei pesci il sig. Rossi utilizza un furgoncino su cui può caricare diversi acquari, per un peso totale corrispondente al trasporto di al più K litri d acqua. Gli acquari che possono essere utilizzati per il trasporto sono k e ciascuno di essi ha capacità (in litri) pari a c j, per j=1, 2, k. Per evitare che durante il trasporto i pesci vengano danneggiati si deve prevedere che abbiano abbastanza spazio vitale negli acquari. Pertanto per ogni specie di pesce è noto lo spazio l i, espresso in litri, che ogni esemplare deve aver riservato per il trasporto (per chiarire, a titolo d esempio, se un pesce ha bisogno di due litri, per trasportare tre esemplari di quel pesce bisogna prevedere almeno 6 litri d acqua nell acquario). Si supponga inoltre che alcune specie di pesci siano incompatibili con altre e dunque che non possano essere trasportate usando lo stesso acquario. (L insieme di coppie incompatibili è noto ed è definito come I={(s i, s h) tali che le specie s i e s h non possono condividere un acquario}.) Si formuli in termini di PLI il problema di selezionare i pesci (e gli acquari) da trasportare in modo da massimizzare il ricavo atteso e soddisfare tutti i vincoli sopra elencati. Variabili di decisione e loro significato Funzione obiettivo Vincoli 3
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Esercizio 4 (3 punti): Si consideri un problema di scheduling in cui un insieme J = {1;2, n} di n operazioni con tempi di processamento {p 1,p 2 pn} deve essere eseguito da un unica macchina, che può svolgere un operazione alla volta, in modo non preemptivo. Per ciascuna operazione è noto un istante di rilascio rj (release date), prima del quale non si può iniziare il processamento dell operazione j. Si supponga che l obiettivo sia di sequenziare le operazioni in modo da minimizzare la somma dei tempi di completamento. Si considerino le seguenti formulazioni di PLI. (a) min z z t j + p j j=1,2,, n (1) t i + p i t j +M(1- y ij) 1 i<j n (2) t j + p j t i +M y ij 1 i<j n (3) t j r j j=1,2,, n (4) y ij {0,1} 1 i<j n (5) s j 0 j=1,2,, n (6) (b) min =1 + s i + p i s j +M(1- y ij) 1 i<j n (1) s j + p j s i +M y ij 1 i<j n (2) y ij {0,1} 1 i<j n (3) s j 0 j=1,2,, n (4) (c) min =1 C j t j+p j j=1,2,, n (1) t j r j j=1,2,, n (2) t j t i + p i -M(1- s ij) i,j=1,2,, n i j (3) t i t j + p j M(1- s ji) i,j =1,2,, n, i j (4) s ij + s ji =1 i,j =1,2,, n i j (5) s ij {0,1} i,j =1,2,, n i j (6) t j, C j 0 j=1,2,, n (7) (d) min =1 C j=t j+p j j=1,2,, n (1) t j r j j=1,2,, n (2) t j t i + p i -M(1- s ij) i,j=1,2,, n i j (3) t i t j + p j M(1- s ji) i,j =1,2,, n, i j (4) s ij + s ji =1 i,j =1,2,, n i j (5) s ij {0,1} i,j =1,2,, n i j (6) t j, C j 0 j=1,2,, n (7) Quale fra le formulazioni (a), (b), (c) e (d) è quella che rappresenta correttamente il problema sopra descritto? Giustificare la risposta e, in particolare, spiegare che significato hanno le variabili e cosa esprime ciascun vincolo. 5
Seconda prova Intermedia di Ricerca Operativa 2 COMPITO A 10 dicembre 2015 Nome e Cognome Matricola: Esercizio 1 (5 punti): La soluzione del rilassamento lineare del seguente problema di PLI è (0.11; 0 ; 0.77; 1; 0; 1) T. max 41 x 1 + 38 x 2 +32 x 3 + 36 x 4 + 34 x 5 + 37 x 6 8x 1 + 9x 2 + 9 x 3 + 2 x 4 + 8 x 5 + 4 x 6 21 14x 1 + 14x 2 +7 x 3 + 3 x 4 + 9 x 5 + 9 x 6 19 11x 1 + 14x 2 + 10x 3 +11 x 4 + 17 x 5 + 8 x 6 28 x 1, x 2, x 3, x 4 x 5, x 6 {0,1} a) Si formuli e si risolva il problema di separazione per il vincolo 8 x 1 + 9x 2 + 9x 3 + 2x 4 + 8x 5+ 4 x 6 21 Formulazione Risoluzione del problema b) Si formuli e si risolva il problema di separazione per il vincolo 14 x 1 + 14x 2 +7x 3 + 3x 4 + 9x 5 + 9x 6 19 Formulazione Risoluzione del problema 6
Esercizio 2 (5 punti) a) Dare la definizione di matrice TUM. b) Spiegare l importanza delle matrici TUM c) Si consideri il grafo in figura e si scriva qui sotto la matrice di incidenza nodi-archi. A= 7
d) La matrice A sopra descritta è TUM? Giustificare la risposta. e) Aggiungendo l arco (a,b) come cambia la matrice? (riportare la nuova matrice qui sotto) A = La nuova matrice A è TUM? Esercizio 3 (5 punti) a) Dare la definizione di taglio. b) Dare la definizione di problema di separazione c) Si consideri il seguente problema di PLI. max x 1 + x 2 x 1 + 2x 2 15 3x 1 - x 2 6 8
x 1, x 2 0 interi Sia x 1 = 27/7, x 2 = 39/7 la soluzione ottima del rilassamento lineare e sia B -1 = 1/7 l inversa delle matrice di base. Si calcoli il taglio di Gomory relativo alla variabile x 1. 3/7 2/7-1/7 d) Cos è un taglio di Gomory? Perché le soluzioni intere di un problema di PLI soddisfano i tagli di Gomory? (ossia, mostrare che i tagli di Gomory sono validi per le sol. intere). e) Descrivere a grandi linee l algoritmo dei piani di taglio. 9
III prova intermedia di Ricerca Operativa 2 COMPITO A 21 gennaio 2016 Nome e Cognome Matricola: Esercizio 1: (a) Dare la definizione di grafo bipartito. (b) Sia dato il grafo G in figura. Verificare se G è bipartito (giustificare la risposta). (c) Dare la definizione di grafo euleriano. (d) Verificare se il grafo G in figura è euleriano (giustificare la risposta). 10
Esercizio 2: (a) Dare la definizione di matching. (b) Dare la definizione di matching massimo. (c) Sia dato il grafo bipartito in figura e il matching M={(E,4),(C, 2),(F,5)}. Dire se M è massimo (giustificando la risposta). In caso negativo, a partire da M determinare - applicando un opportuno algoritmo- un matching massimo ed il corrispondente vertex cover minimo. 11
Matching Massimo M*={ } Vertex Cover minimo C*={ } Esercizio 3: a) Fornire la definizione di matching perfetto. b) Fornire la definizione di vertex cover. c) Dare la definizione di cammino aumentante. d) Scrivere l enunciato del Teorema di Hall. 12
e) Relativamente al grafo del punto c) dell esercizio 2, fornire un insieme S che non soddisfi la condizione di Hall. f) Dimostrare che, dato un matching M su un grafo G e un cammino aumentante P, la differenza simmetrica M = M P è un matching di cardinalità M + 1. 13
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