Insiemi Numerici: I Numeri Naturali

Insiemi Numerici: I Numeri Naturali Docente: Francesca Benanti Ottobre 2018 Page 1 of 23

1. I Numeri Naturali: definizione assiomatica Sin dall antichità è stata data una sistemazione rigorosa alla geometria. Euclide (300 a.c.), nella sua opera gli Elementi, enuncia alcuni assiomi e da essi ricava le proprietà del piano e dello spazio come teoremi. Page 2 of 23

1. I Numeri Naturali: definizione assiomatica Sin dall antichità è stata data una sistemazione rigorosa alla geometria. Euclide (300 a.c.), nella sua opera gli Elementi, enuncia alcuni assiomi e da essi ricava le proprietà del piano e dello spazio come teoremi. Non altrettanto è avvenuto per l algebra e l aritmetica. Si deve attendere fino al XIX secolo per avere una sistemazione assiomatica della teoria dei numeri. Page 2 of 23

1. I Numeri Naturali: definizione assiomatica Sin dall antichità è stata data una sistemazione rigorosa alla geometria. Euclide (300 a.c.), nella sua opera gli Elementi, enuncia alcuni assiomi e da essi ricava le proprietà del piano e dello spazio come teoremi. Non altrettanto è avvenuto per l algebra e l aritmetica. Si deve attendere fino al XIX secolo per avere una sistemazione assiomatica della teoria dei numeri. Poichè gli insiemi numerici più ampi, via via storicamente introdotti per esigenze operative, possono essere costruiti a partire dall insieme più elementare dei naturali, è proprio quest ultimo ad essere definito assiomaticamente. Page 2 of 23

1. I Numeri Naturali: definizione assiomatica Sin dall antichità è stata data una sistemazione rigorosa alla geometria. Euclide (300 a.c.), nella sua opera gli Elementi, enuncia alcuni assiomi e da essi ricava le proprietà del piano e dello spazio come teoremi. Non altrettanto è avvenuto per l algebra e l aritmetica. Si deve attendere fino al XIX secolo per avere una sistemazione assiomatica della teoria dei numeri. Poichè gli insiemi numerici più ampi, via via storicamente introdotti per esigenze operative, possono essere costruiti a partire dall insieme più elementare dei naturali, è proprio quest ultimo ad essere definito assiomaticamente....dio creò i numeri naturali; tutto il resto è opera dell uomo... Con queste parole L. Kronecker (1823-1891) indicava il terreno sicuro per la costruzione dell intero edificio della matematica. Page 2 of 23

1. I Numeri Naturali: definizione assiomatica Sin dall antichità è stata data una sistemazione rigorosa alla geometria. Euclide (300 a.c.), nella sua opera gli Elementi, enuncia alcuni assiomi e da essi ricava le proprietà del piano e dello spazio come teoremi. Non altrettanto è avvenuto per l algebra e l aritmetica. Si deve attendere fino al XIX secolo per avere una sistemazione assiomatica della teoria dei numeri. Poichè gli insiemi numerici più ampi, via via storicamente introdotti per esigenze operative, possono essere costruiti a partire dall insieme più elementare dei naturali, è proprio quest ultimo ad essere definito assiomaticamente....dio creò i numeri naturali; tutto il resto è opera dell uomo... Con queste parole L. Kronecker (1823-1891) indicava il terreno sicuro per la costruzione dell intero edificio della matematica. Si dà, dunque, una struttura assiomatica all aritmetica, la teoria matematica dei numeri naturali, e a partire da questa si ricavano le caratteristiche degli altri ambienti numerici. Page 2 of 23

La definizione dei Numeri Naturali e gli assiomi che caratterizzano le operazioni definite in N rappresentano, quindi, il fondamento deduttivo per tutte le strutture numeriche via via costruite con successivi ampliamenti. Page 3 of 23

La definizione dei Numeri Naturali e gli assiomi che caratterizzano le operazioni definite in N rappresentano, quindi, il fondamento deduttivo per tutte le strutture numeriche via via costruite con successivi ampliamenti. La riconduzione degli insiemi numerici all aritmetica fu avviata dal matematico tedesco F.L.G.Frege (1848-1925) nei suoi testi I fondamenti dell aritmetica e I principi dell aritmetica, apparsi negli ultimi anni del XIX secolo. Page 3 of 23

La definizione dei Numeri Naturali e gli assiomi che caratterizzano le operazioni definite in N rappresentano, quindi, il fondamento deduttivo per tutte le strutture numeriche via via costruite con successivi ampliamenti. La riconduzione degli insiemi numerici all aritmetica fu avviata dal matematico tedesco F.L.G.Frege (1848-1925) nei suoi testi I fondamenti dell aritmetica e I principi dell aritmetica, apparsi negli ultimi anni del XIX secolo. La caratterizzazione assiomatica di N si deve, invece, al matematico italiano G. Peano (1858-1932) che ne diede una prima formulazione nella sua opera Arithmetices principia, nova methodo expositia (1889). Page 3 of 23 Un analoga formulazione fu data negli stessi anni da J.W.R. Dedekind (1831-1916).

È possibile definire i Numeri Naturali attraverso una terna di enti primitivi e degli assiomi, noti come Assiomi di Peano. La definizione formale dell insieme dei Numeri Naturali, N, è la seguente: Per Numeri Naturali si intende una terna di enti primitivi (N,σ, 0), dove N è un insieme non vuoto, σ è un applicazione da N in N e 0 è un elemento di N, tali che valgono i seguenti assiomi (Assiomi di Peano): σ è iniettiva; n N tale che σ(n) = 0; Ogni sottoinsieme non vuoto U di N tale che: 0 U; k U σ(k) U, k, coincide con N. Page 4 of 23

Osservazione 1: Per semplicità si scrive N invece di (N,σ, 0). Page 5 of 23

Osservazione 1: Per semplicità si scrive N invece di (N,σ, 0). Osservazione 2: L esistenza di questa terna va accettata come assioma (Assioma dell Infinito). Page 5 of 23

Osservazione 1: Per semplicità si scrive N invece di (N,σ, 0). Osservazione 2: L esistenza di questa terna va accettata come assioma (Assioma dell Infinito). Osservazione 3: σ(n) è detto successivo di n. Page 5 of 23

Osservazione 1: Per semplicità si scrive N invece di (N,σ, 0). Osservazione 2: L esistenza di questa terna va accettata come assioma (Assioma dell Infinito). Osservazione 3: σ(n) è detto successivo di n. Osservazione 4: Il terzo postulato è noto come Principio di Induzione Matematica. Page 5 of 23

Osservazione 1: Per semplicità si scrive N invece di (N,σ, 0). Osservazione 2: L esistenza di questa terna va accettata come assioma (Assioma dell Infinito). Osservazione 3: σ(n) è detto successivo di n. Osservazione 4: Il terzo postulato è noto come Principio di Induzione Matematica. Osservazione 5: In N si definisce la seguente relazione d ordine totale: a, b N, a b se e soltanto se b = σ(σ( σ(a))). Page 5 of 23

Gli assiomi di Peano permettono di definire in N due operazioni: Addizione e Moltiplicazione. Page 6 of 23

Gli assiomi di Peano permettono di definire in N due operazioni: Addizione e Moltiplicazione. Premettiamo la seguente definizione: Definizione: Dato un insieme S, si definisce operazione binaria su S un applicazione da S S in S, ossia una legge che associa ad ogni coppia di elementi di S un ben determinato elemento di S detto risultato. Page 6 of 23

Gli assiomi di Peano permettono di definire in N due operazioni: Addizione e Moltiplicazione. Premettiamo la seguente definizione: Definizione: Dato un insieme S, si definisce operazione binaria su S un applicazione da S S in S, ossia una legge che associa ad ogni coppia di elementi di S un ben determinato elemento di S detto risultato. Definizione: Si definisce somma di due numeri naturali n ed m il numero naturale n + m dove σ(σ( σ(n))), m > 0 }{{} n + m = m n, m = 0 Page 6 of 23

Gli assiomi di Peano permettono di definire in N due operazioni: Addizione e Moltiplicazione. Premettiamo la seguente definizione: Definizione: Dato un insieme S, si definisce operazione binaria su S un applicazione da S S in S, ossia una legge che associa ad ogni coppia di elementi di S un ben determinato elemento di S detto risultato. Definizione: Si definisce somma di due numeri naturali n ed m il numero naturale n + m dove σ(σ( σ(n))), m > 0 }{{} n + m = m n, m = 0 Definizione: Si definisce prodotto di due numeri naturali n ed m il numero naturale n m dove n } + {{ + n }, m > 0 n m = m 0, m = 0 Page 6 of 23

Gli assiomi di Peano permettono di definire in N due operazioni: Addizione e Moltiplicazione. Premettiamo la seguente definizione: Definizione: Dato un insieme S, si definisce operazione binaria su S un applicazione da S S in S, ossia una legge che associa ad ogni coppia di elementi di S un ben determinato elemento di S detto risultato. Definizione: Si definisce somma di due numeri naturali n ed m il numero naturale n + m dove σ(σ( σ(n))), m > 0 }{{} n + m = m n, m = 0 Definizione: Si definisce prodotto di due numeri naturali n ed m il numero naturale n m dove n } + {{ + n }, m > 0 n m = m 0, m = 0 Page 6 of 23 Osservazione: Le operazioni di addizione e di moltiplicazione soddisfano le proprietà commutativa, associativa, l esistenza dell elemento neutro e le proprietà distributive.

I postulati di Peano caratterizzano i numeri naturali, nel senso che se (A,σ, 0) e (A,σ, 0 ) sono due terne che soddisfano gli assiomi precedenti allora sono sostanzialmente identiche, ossia è possibile determinare una corrispondenza biunivoca φ tra A e A tale che φ(0) = 0 e σ (φ(n)) = φ(σ(n)). (Per una dimostrazione vedi [1, Esercizio 1.16]) Page 7 of 23

I postulati di Peano caratterizzano i numeri naturali, nel senso che se (A,σ, 0) e (A,σ, 0 ) sono due terne che soddisfano gli assiomi precedenti allora sono sostanzialmente identiche, ossia è possibile determinare una corrispondenza biunivoca φ tra A e A tale che φ(0) = 0 e σ (φ(n)) = φ(σ(n)). (Per una dimostrazione vedi [1, Esercizio 1.16]) Dunque, se consideriamo l insieme N = {0, 1, 2,...} e la terna (N,succ, 0) dove succ è l applicazione da N in N definita da succ(n) = n + 1, si osserva banalmente che tale terna soddisfa gli assiomi di Peano. Allora, per quanto appena osservato, possiamo identificare l insieme dei Numeri Naturali con l usuale insieme N = {0, 1, 2,...}. Page 7 of 23

2. Terzo Assioma di Peano Soffermiamoci adesso sul terzo assioma di Peano e riportiamo altre due formulazioni ad esso equivalenti: Page 8 of 23

2. Terzo Assioma di Peano Soffermiamoci adesso sul terzo assioma di Peano e riportiamo altre due formulazioni ad esso equivalenti: 1. Ogni sottoinsieme non vuoto U di N tale che: 0 U; k U k + 1 U, k, coincide con N. 2. Ogni sottoinsieme non vuoto V di N tale che: 0 V ; n V, ogni qualvolta k V, k con 0 k < n coincide con N. 3. (Principio del Buon Ordinamento) Ogni sottoinsieme non vuoto T di N contiene un elemento minimo, cioè esiste un elemento t T tale che t x, x T. Page 8 of 23

Proposizione: Le tre asserzioni 1., 2. e 3. sono tra loro equivalenti. Page 9 of 23

Proposizione: Le tre asserzioni 1., 2. e 3. sono tra loro equivalenti. dimostrazione: Dimostriamo la seguente catena di implicazioni 2. 1. 3. 2. 2. 1. : È sufficiente osservare che le ipotesi della seconda formulazione sono più deboli di quelle della prima e si ottiene la tesi. 1. 3. : Ragioniamo per assurdo e supponiamo che esista un sottoinsieme non vuoto T di N privo di elemento minimo. Allora 0 T per cui, posto U = T, risulta che 0 U; se k U allora k + 1 U infatti, se k + 1 U allora k + 1 T e sarebbe elemento minimo. Dunque U = N che è assurdo poichè T. 3. 2. : Sia U un sottoinsieme di N verificante le ipotesi dell asserzione 2. e supponiamo per assurdo che U N. Sia V = U, allora risulta V. Dunque, per ipotesi, esiste un elemento minimo m in V con m > 0 poichè 0 U. Essendo m minimo in V allora k, con 0 < k < m, si ha che k V, ossia k U. Allora, per la seconda ipotesi dell asserzione 2., si ha che m U che è assurdo. Page 9 of 23

3. Principio di Induzione Matematica Dal terzo assioma di Peano e dalle sue formulazioni equivalenti derivano delle importanti tecniche di dimostrazione sui naturali 1. PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA 1 FORMA 2. PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA 2 FORMA 3. ASSIOMA DEL BUON ORDINAMENTO Page 10 of 23

Principio di Induzione Matematica 1 Forma: Sia P (n) un predicato con variabile n N. Se: La proposizione P (0) è vera; (Base dell Induzione) k N, se P (k) è vera allora P (k + 1) è vera; (Passo Induttivo) allora si ha che P (n) è vera n N. Page 11 of 23

Principio di Induzione Matematica 1 Forma: Sia P (n) un predicato con variabile n N. Se: La proposizione P (0) è vera; (Base dell Induzione) k N, se P (k) è vera allora P (k + 1) è vera; (Passo Induttivo) allora si ha che P (n) è vera n N. dimostrazione: Sia U = {n N P (n) è vera}. Per la 1) si ha 0 U. Inoltre, se n U, ossia P (n) è vera, per la 2) si ha che anche P (n + 1) è vera, ossia n + 1 U. Dunque per il terzo assioma di Peano si ha che U = N, ossia P (n) è vera n N. Page 11 of 23

Esempio: Sia q R, con q 1. Dimostriamo per induzione la seguente uguaglianza: dimostrazione: 1 + q + q 2 + + q n = 1 qn+1 1 q Base dell induzione, P (0): q 0 = 1 1 q 1 1 q = 1 Dunque per n = 0 l uguaglianza è vera. Page 12 of 23

Passo induttivo: P (k) P (k + 1) Ipotesi: 1 + q + q 2 + + q k = 1 qk+1 1 q Tesi: 1 + q + q 2 + + q k+1 = 1 qk+2 1 q dim: Page 13 of 23 1 + q + q 2 + + q k+1 = (1 + q + q 2 + + q k ) + q k+1 = 1 q k+1 1 q + q k+1 = 1 qk+1 + q k+1 q k+2 1 q = 1 qk+2 1 q

Passo induttivo: P (k) P (k + 1) Ipotesi: 1 + q + q 2 + + q k = 1 qk+1 1 q Tesi: 1 + q + q 2 + + q k+1 = 1 qk+2 1 q dim: Page 13 of 23 1 + q + q 2 + + q k+1 = (1 + q + q 2 + + q k ) + q k+1 = 1 q k+1 1 q + q k+1 = 1 qk+1 + q k+1 q k+2 1 q = 1 qk+2 1 q Allora, per induzione l uguaglianza, è vera n N.

Osservazione: Si noti che, se si vuole dimostrare che una proposizione P (n) è vera non per tutti gli n N ma per tutti gli n n 0, dove n 0 N è un numero naturale fissato, allora basta considerare come base dell induzione P (n 0 ) al posto di P (0). Page 14 of 23

Osservazione: Si noti che, se si vuole dimostrare che una proposizione P (n) è vera non per tutti gli n N ma per tutti gli n n 0, dove n 0 N è un numero naturale fissato, allora basta considerare come base dell induzione P (n 0 ) al posto di P (0). Esempio: Dimostrare per induzione che n N si ha dimostrazione: 1 + 2 + + n = Base dell induzione, P (1): n (n + 1) 2 1 Page 14 of 23 1 (1 + 1) 2 = 1 Dunque per n = 1 l uguaglianza è vera.

Passo induttivo: P (k) P (k + 1) Ipotesi: Tesi: dim: 1 + 2 + + n = 1 + 2 + + (n + 1) = n (n + 1) 2 (n + 1) (n + 2) 2 1 + 2 + + n + (n + 1) = (1 + 2 + + n) + (n + 1) = = n (n + 1) 2 n (n + 1) + 2 (n + 1) + (n + 1) = = 2 (n + 1) (n + 2) = 2 Page 15 of 23

Passo induttivo: P (k) P (k + 1) Ipotesi: Tesi: dim: 1 + 2 + + n = 1 + 2 + + (n + 1) = n (n + 1) 2 (n + 1) (n + 2) 2 1 + 2 + + n + (n + 1) = (1 + 2 + + n) + (n + 1) = = n (n + 1) 2 n (n + 1) + 2 (n + 1) + (n + 1) = = 2 (n + 1) (n + 2) = 2 Allora, per induzione l uguaglianza, è vera n N. Page 15 of 23

Principio di Induzione Matematica 2 Forma: Sia P (n) un predicato con variabile n N. Se: La proposizione P (0) è vera; (Base dell Induzione) n N, se P (k) è vera k, 0 < k < n allora P (n) è vera; (Passo Induttivo) allora si ha che P (n) è vera n N. Page 16 of 23

Principio di Induzione Matematica 2 Forma: Sia P (n) un predicato con variabile n N. Se: La proposizione P (0) è vera; (Base dell Induzione) n N, se P (k) è vera k, 0 < k < n allora P (n) è vera; (Passo Induttivo) allora si ha che P (n) è vera n N. dimostrazione: Si deduce dalla seconda formulazione del Terzo assioma di Peano in modo analogo al Principio di Induzione Matematica 1 Forma. Page 16 of 23

Esempio: Teorema (Algoritmo della Divisione per i Numeri Naturali): Siano a, b N, b 0. Allora esistono due numeri naturali q, r tali che a = bq + r, 0 r < b Page 17 of 23

Esempio: Teorema (Algoritmo della Divisione per i Numeri Naturali): Siano a, b N, b 0. Allora esistono due numeri naturali q, r tali che a = bq + r, 0 r < b q è detto quoziente; r è detto resto. Page 17 of 23

Esempio: Teorema (Algoritmo della Divisione per i Numeri Naturali): Siano a, b N, b 0. Allora esistono due numeri naturali q, r tali che a = bq + r, 0 r < b q è detto quoziente; r è detto resto. dimostrazione: Fissiamo b > 0 e dimostriamo la tesi per induzione su a 0. Applichiamo il Principio di Induzione 2 Forma. Page 17 of 23

Esempio: Teorema (Algoritmo della Divisione per i Numeri Naturali): Siano a, b N, b 0. Allora esistono due numeri naturali q, r tali che a = bq + r, 0 r < b q è detto quoziente; r è detto resto. dimostrazione: Fissiamo b > 0 e dimostriamo la tesi per induzione su a 0. Applichiamo il Principio di Induzione 2 Forma. Base dell induzione a = 0. Allora basta prendere q = r = 0 e si ottiene la tesi 0 = b 0 + 0. Page 17 of 23

Esempio: Teorema (Algoritmo della Divisione per i Numeri Naturali): Siano a, b N, b 0. Allora esistono due numeri naturali q, r tali che a = bq + r, 0 r < b q è detto quoziente; r è detto resto. dimostrazione: Fissiamo b > 0 e dimostriamo la tesi per induzione su a 0. Applichiamo il Principio di Induzione 2 Forma. Base dell induzione a = 0. Allora basta prendere q = r = 0 e si ottiene la tesi 0 = b 0 + 0. Passo Induttivo: Supponiamo la tesi vera 0 k < a e la dimostriamo per a. Distinguiamo due casi: 1 a < b. Allora basta prendere q = r = a e si ottiene la tesi a = b 0 + a. 2 a b. Sia k = a b, allora 0 k < a e per ipotesi induttiva la tesi è vera ossia esistono q 0 e r 0 tali che k = b q 0 + r 0, con 0 r 0 < m. Quindi Page 17 of 23

allora a b = k = b q 0 + r 0, a = b (q 0 + 1) + r 0 = b q + r dove q = q 0 + 1, 0 r = r 0 < m. Dunque la tesi è vera per a e il passo induttivo è verificato. Per il Principio di Induzione 2 Forma la tesi è vera a N. Page 18 of 23

Assioma del Buon Ordinamento: Ogni sottoinsieme non vuoto T di N contiene un elemento minimo, cioè esiste un elemento t T tale che t x, x T. Page 19 of 23

Assioma del Buon Ordinamento: Ogni sottoinsieme non vuoto T di N contiene un elemento minimo, cioè esiste un elemento t T tale che t x, x T. Esempio 1: Teorema (Algoritmo della Divisione per i Numeri Naturali): Siano a, b N, b 0. Allora esistono due numeri naturali q, r tali che a = bq + r, 0 r < b Page 19 of 23

Assioma del Buon Ordinamento: Ogni sottoinsieme non vuoto T di N contiene un elemento minimo, cioè esiste un elemento t T tale che t x, x T. Esempio 1: Teorema (Algoritmo della Divisione per i Numeri Naturali): Siano a, b N, b 0. Allora esistono due numeri naturali q, r tali che a = bq + r, 0 r < b q è detto quoziente; r è detto resto. Page 19 of 23

Assioma del Buon Ordinamento: Ogni sottoinsieme non vuoto T di N contiene un elemento minimo, cioè esiste un elemento t T tale che t x, x T. Esempio 1: Teorema (Algoritmo della Divisione per i Numeri Naturali): Siano a, b N, b 0. Allora esistono due numeri naturali q, r tali che a = bq + r, 0 r < b q è detto quoziente; r è detto resto. dimostrazione: 1 Caso: a < b. Basta prendere q = 0, r = a e si ottiene la tesi. 2 Caso: a b. Consideriamo l insieme S = {a bn a bn 0, n N}. Page 19 of 23

S, infatti 0 a b = a b1 S. Allora, per l Assioma del buon ordinamento, S ha un elemento minimo. Sia esso r. Dunque r = a bq 0, per un opportuno q N. Abbiamo così provato che a = bq + r, con r 0. Ci rimane da verificare che r < b. Ragioniamo per assurdo e supponimo che r b. Allora 0 r b = a bq b = a b(q + 1) S e r b < r. Assurdo! Page 20 of 23

S, infatti 0 a b = a b1 S. Allora, per l Assioma del buon ordinamento, S ha un elemento minimo. Sia esso r. Dunque r = a bq 0, per un opportuno q N. Abbiamo così provato che a = bq + r, con r 0. Ci rimane da verificare che r < b. Ragioniamo per assurdo e supponimo che r b. Allora 0 r b = a bq b = a b(q + 1) S e r b < r. Assurdo! Page 20 of 23 Esempio 2: Proposizione: Non esiste alcun numero naturale n, compreso tra 0 e 1.

dimostrazione: Per assurdo supponiamo che esista un c N tale che 0 < c < 1. Consideriamo l insieme T = {c N 0 < c < 1}. Allora T è non vuoto dunque per l assioma del buon ordinamento possiede un elemento minimo m, 0 < m < 1. Moltiplicando per m > 0 si ottiene 0 < m 2 < m < 1 allora m 2 T e questo contraddice la minimalità di m. Page 21 of 23

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Riferimenti bibliografici [1] D. Dikranjan and M. S. Lucido, Aritmetica e Algebra, Liguori Editore, 2007. [2] G. M. Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico, Decibel Zanichelli, 1996. Page 23 of 23