DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA MATEMATICA A.A. 2013/2014 CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA MECCANICA DANIELE ANDREUCCI DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L INGEGNERIA UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY Le dimostrazioni fanno parte del programma, salvo che quando viene esplicitamente indicato il contrario con il simbolo (s.d.). La numerazione n/m relativa agli esercizi si riferisce all esercizio n del gruppo m, nella raccolta pubblicata sul sito del corso. 1
1. Venerdì 4/10/2013 Presentazione del corso. Equazioni alle derivate ordinarie e alle derivate parziali. Casi di equazioni a derivate parziali riducibili a equazioni differenziali ordinarie: u x = u + 1, u t + cu x = 0. Soluzioni dell equazione della corda vibrante a variabili separabili: il caso u(x, t) = [k 1 cos( λct) + k 2 sin( λct)][k 3 cos( λx) + k 4 sin( λx)]. Soluzioni dell equazione del calore a variabili separabili: il caso u(x, t) = exp( λdt)[k 1 cos( λx) + k 2 sin( λx)]. Per casa 1.1. Gli altri casi. Problemi al contorno, condizioni del tipo di Dirichlet e di Neumann. Soluzioni a variabili separabili di problemi al contorno per l equazione del calore (Neumann) e l equazione delle onde (Dirichlet). Per casa 1.2. Trovare la soluzione a variabili separabili di problemi al contorno per l equazione del calore (Dirichlet) e l equazione delle onde (Neumann). Separazione delle variabili in dimensione spaziale maggiore di 1. Problemi agli autovalori per il laplaciano, con condizioni al contorno di Dirichlet e di Neumann. Definizione di coppia autofunzione/autovalore. Similitudine con gli autovettori/autovalori di matrici. Esercizio 1.3. Calcolo di tutte le autofunzioni per il problema di Dirichlet (in dimensione 1). Per casa 1.4. Trovare le autofunzioni relative ai problemi di Neumann e di Dirichlet nel caso del rettangolo. Paragrafi di riferimento sul testo: 3.1, 5.1, 5.2. 2
2. Mercoledì 9/10/2012 Derivazione dell equazione del calore (o della diffusione). Derivazione dell equazione della corda vibrante. Problemi di Cauchy e problemi al contorno. Soluzione di un problema al contorno per la corda vibrante (corda fissata agli estremi) e di uno per l equazione del calore (condizioni adiabatiche al contorno). Paragrafi di riferimento sul testo: 1.1, 1.4, 2.1. 3
3. Venerdì 11/10/2013 Teorema 3.1. Tutti gli autovalori del problema di Dirichlet per il laplaciano sono positivi. Tutti gli autovalori del problema di Neumann per il laplaciano sono non negativi, e lo zero è un autovalore. Teorema 3.2. Due autofunzioni dello stesso problema per il laplaciano, corrispondenti ad autovalori diversi, sono ortogonali. Analogia con il caso di autovettori di matrici simmetriche. Autofunzioni normalizzate in modo che ϕ 2 dx = 1. Ω Integrale generale di un sistema lineare di e.d.o. a coefficienti costanti y = Ay come N y(t) = c n e λnt v n, n=1 se {v n } è una base di autovettori di A con Av n = λ n v n. Sviluppo della soluzione del problema di Dirichlet per l equazione del calore in serie di autofunzioni; scelta delle condizioni al bordo per le autofunzioni (uguali a quelle nel problema). Rilevanza dell omogeneità delle condizioni al bordo. Esercizio 3.3. Calcolo delle autofunzioni per il problema con condizioni al bordo di tipo misto in (0, L): ϕ = λϕ, ϕ(0) = 0, ϕ (L) = 0. Il laplaciano di funzioni radiali. Esercizio 3.4. Calcolare le soluzioni di u = β, x 2 + y 2 < R 2, u ν = α, x2 + y 2 = R 2, ammesso che β, α soddisfino l opportuna condizione. Interpretazione in termini di temperature stazionarie. Paragrafi di riferimento sul testo: 5.2, 5.3. 4
4. Mercoledì 16/10/2013 Derivazione dell equazione di Laplace in teoria dell elasticità: principio di Dirichlet. Teorema 4.1. Se u minimizza J(u) = u 2 dx, u K = {u C 2 (Ω) u = u 0 su Ω}, (4.1) Ω allora u risolve u = 0, in Ω, (4.2) u = u 0, su Ω. (4.3) Teorema 4.2. Se vale (4.2) (4.3) allora u minimizza J come in (4.1).(s.d.) Problemi al contorno, condizioni di Neumann e di Dirichlet. Condizione necessaria per l esistenza di soluzioni del problema di Neumann per l equazione di Laplace e suo significato. Funzioni armoniche, subarmoniche e superarmoniche. Il teorema della media per tali funzioni (s.d.). Esercizio 4.3. Calcolo di soluzioni di problemi radiali per il laplaciano in dimensione 3. Calcolo di flussi alla frontiera per problemi con condizioni miste. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3, 1.6, 2.1, 2.2. il 5
5. Venerdì 18/10/2013 Prodotto scalare tra funzioni. Norma di una funzione. Proprietà di simmetria, linearità e positività del prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e triangolare. Esempio 5.1. Norma di f(x) = x n, in I = (0, 1). Norma e prodotto scalare di f n (x) = sin(nx) in I = (0, π). Esercizio 5.2. Trasformazione dell equazione u t D u = cu nella v t D v = 0 mediante la posizione v = e ct u. Soluzioni dell equazione di Laplace in coordinate polari a variabili separabili (in R 2 ). Vari casi di ammissibilità delle soluzioni ottenute. Esercizio 5.3. 43, 45/250 30/480 Paragrafi di riferimento sul testo: 3.2, 7.1. 6
6. Mercoledì 23/10/2013 Concetto di dipendenza continua dai dati. La soluzione del problema di Cauchy u = 0, in un intorno di {x = 0}; u(0, y) = u 0 (y), y R, u x (0, y) = u 1 (y), y R, non dipende con continuità dai dati u 0, u 1 ; controesempio u(x, y) = δ cosh(nx) cos(ny), (x, y) R 2. Il principio del massimo debole per funzioni armoniche ( u = 0), subarmoniche ( u 0), superarmoniche ( u 0). Applicazioni del principio di massimo per l equazione di Laplace: Teorema 6.1. La soluzione del problema di Dirichlet è unica. Teorema 6.2. La soluzione del problema di Dirichlet dipende con continuità dai dati. Il principio del massimo forte (s.d.). Il Lemma di Hopf (s.d.). Esercizio 6.3. 10, 13, 15/430; 4/480. Paragrafi di riferimento sul testo: 2.6, 4.1, 4.2. 7
7. Venerdì 25/10/2013 Sistemi ortogonali. Teorema 7.1. Un insieme di funzioni ortogonali due a due (e non nulle) sono linearmente indipendenti. Corollario 7.2. Lo spazio L 2 (I) ha dimensione infinita come spazio vettoriale. Migliore approssimazione di soluzioni con sistemi ortonormali. La disuguaglianza di Bessel. Sistemi ortonormali completi. L identità di Parseval. Teorema 7.3. La soluzione del problema al contorno di Dirichlet (o di Neumann) per l equazione delle onde nell intervallo (0, L) soddisfa la stima dell energia: L 0 [u t (x, t) 2 + c 2 u x (x, t) 2 ] dx = L 0 [u t (x, 0) 2 + c 2 u x (x, 0) 2 ] dx. Teorema 7.4. La soluzione del problema al contorno di Dirichlet (o di Neumann) per l equazione del calore nell aperto Ω soddisfa sup 0<t<T Ω T u(x, t) dx + 2 0 Ω D u(x, τ) 2 dx dτ = 2 Ω u(x, 0) dx. Applicazioni dei precedenti teoremi alla dipendenza continua. Esempio 7.5. La funzione u(x, y) = x 2 y 2 definita in x > y > 0 non soddisfa il lemma di Hopf nel punto (0, 0). Esercizio 7.6. 1, 25, 27 (uso delle funzioni barriera)/480. Paragrafi di riferimento sul testo: 6.1, 6.2, 7.2, 7.3, 7.4. 8
8. Mercoledì 30/10/2013 Principio di massimo debole, di massimo forte e lemma di Hopf per l equazione del calore. Studio asintotico per t + di soluzioni di problemi al contorno per l equazione del calore mediante sopra e sottosoluzioni. Esercizio 8.1. 11/420, 11/430. Per casa 8.2. 6/420. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.3, 4.4, 4.6. 9. Mercoledì 6/11/2013 Teorema 9.1. Se u risolve l equazione delle onde u tt c 2 u xx = 0 in un rettangolo, allora u(x, t) = f(x ct) + g(x + ct). Teorema 9.2. Il problema di Cauchy per l equazione delle onde ha un unica soluzione data dalla formula di D Alembert. Interpretazione qualitativa delle soluzioni descritte dalla formula di D Alembert. Esercizio 9.3. 1/300; 2/310. Paragrafi di riferimento sul testo: 3.3, 10.1. 9
10. Venerdì 8/11/2013 Corollario 10.1. Se e solo se {ϕ n } è completo vale (f, g) = (f, ϕ n )(g, ϕ n ), f, g, n=1 Teorema 10.2. Il sistema di Fourier è completo. (s.d.) Teorema 10.3. I sistemi ortonormali S e C sono completi. Esercizio 10.4. 11/610, 15/620. Metodo della riflessione per soluzioni di problemi con condizioni di contorno miste. Cambiamenti di intervallo e sistemi ortonormali. Il fenomeno di Gibbs. (s.d.) Esercizio 10.5. 8/600. Paragrafi di riferimento sul testo: 8.1, 8.2, 8.3, 8.5. 11. Mercoledì 13/11/2013 Dipendenza continua mediante la formula di D Alembert. Soluzioni deboli per l equazione delle onde. Delta di Dirac. Nuclei di approssimazione, convoluzioni. Teorema 11.1. Se {ϕ λ } è una famiglia di nuclei di approssimazione e f : R N R N è una funzione continua e limitata, allora per ogni x R N, per λ 0. f ϕ λ (x) f(x), Uso della formula di D Alembert per risolvere problemi al contorno. Esercizio 11.2. 3/310. Paragrafi di riferimento sul testo: 10.4, 10.5, 10.6, 11.1, 11.2. 10
12. Venerdì 15/11/2013 Teorema 12.1. Se f C 1 ([ π, π]), f( π) = f(π) allora la sua serie di Fourier converge uniformemente. Derivazione della serie di Fourier per serie. Caso di regolarità ulteriore. Teorema 12.2. (s.d.) Prodotti di sistemi ortonormali completi: se {ϕ n } è completo in A e {ψ m } è completo in B, allora {ϕ n ψ m } è completo in A B. Applicazione al caso delle autofunzioni del laplaciano in rettangoli, con varie condizioni al bordo. Sistemi ortonormali completi a doppio indice. Teorema 12.3. (s.d.) I sistemi { } { } 2 2 π sin(2n + 1)x n 0 π cos(2n + 1)x n 0 sono completi in L 2 ((0, π/2)). Teorema sull esistenza di un sistema completo di autofunzioni nel caso di un dominio generico. Autofunzioni e autovalori del problema di Dirichlet per il laplaciano nel caso del cerchio; funzioni di Bessel. Esercizio 12.4. 11, 13/600. 16/610. 3/625. Paragrafi di riferimento sul testo: 8.2, 8.4, 8.7, 9.1, 9.5. 11
13. Mercoledì 20/11/2013 Proposizione 13.1. Se m f M e i ϕ λ sono nuclei di approssimazione, allora m f ϕ λ M. Costruzione di una famiglia di nuclei di approssimazione con la formula ϕ λ (x) = 1 ( ) x λ ϕ, N λ se ϕ 0 e R ϕ = 1. N Formula di rappresentazione della soluzione del problema di Dirichlet nel semispazio per l equazione di Laplace. Teorema di esistenza e unicità per soluzioni limitate. Teorema 13.2. Se il dato al bordo soddisfa m u 0 M, allora la soluzione del problema di Dirichlet nel semispazio per l equazione di Laplace soddisfa m u M. Se il dato iniziale è integrabile in R N allora la soluzione soddisfa u(x, y) C y N, y > 0. Formula di rappresentazione della soluzione del problema di Cauchy per l equazione del calore. Teorema di esistenza e unicità per soluzioni limitate. Teorema 13.3. Se il dato iniziale soddisfa m u 0 M, allora la soluzione del problema di Cauchy per l equazione del calore soddisfa m u M. Se il dato iniziale è integrabile in R N allora la soluzione soddisfa u(x, t) C, t > 0. t N 2 Effetto regolarizzante dell equazione del calore (e di quella di Laplace). Esercizio 13.4. 5/520. Paragrafi di riferimento sul testo: 11.2, 11.3, 11.4, 11.5. 12
14. Venerdì 22/11/2013 Il metodo di Galerkin; confronto con il metodo di Fourier. Corda vibrante con carico: il caso stazionario con carico regolare (soluzione esplicita); il caso stazionario con carico concentrato c 2 u xx = pδ(x a), 0 < x < L. (soluzione esplicita limite di soluzioni con carico regolare dato da nuclei di approssimazione); le condizioni di interfaccia o salto [u] = 0, [u x ] = p c 2, e il loro significato modellistico; il caso evolutivo con carico concentrato (soluzione per serie). Esercizio 14.1. 13, 14/630. Problema della lunghezza critica per l equazione del calore. Paragrafi di riferimento sul testo: 13.1, 14.1, 14.2, 14.3. 13
15. Venerdì 29/11/2013 Corda vibrante con carico: il caso evolutivo con carico concentrato e dipendente linearmente dall incognita: u tt c 2 u xx = pu(a, t)δ(x a), 0 < x < L. Applicazione del metodo di Galerkin. Risoluzione con il metodo di Fourier, ossia sviluppo della soluzione in un opportuno sistema ortonormale di autovalori, soluzioni non identicamente nulle in C([0, L]) di ϕ = λϕ, x (0, a) (a, L) ; ϕ (a+) ϕ(a ) = p c 2 ϕ(a), ϕ(0) = ϕ(l) = 0. Teorema 15.1. Se (ϕ, λ) è come sopra, allora λ > 0. Per casa 15.2. Se (ϕ i, λ i ), i = 1, 2, sono come sopra con λ 1 λ 2, allora L ϕ 1 (x)ϕ 2 (x) dx = 0. 0 L equazione u = pδ(x x 0 ), x R N : Definizione di soluzione debole. Ricerca della soluzione per approssimazione, come limite di soluzioni di 1 u ε = p ω N ε χ N B ε(x 0 )(x), x R N. (Caso N = 2.) Dimostrazione che il limite u soddisfa u(x) ϕ(x) dx = pϕ(x 0 ), R N per ogni ϕ C (R N ). Esercizio 15.3. 33/520, 18/620. Paragrafi di riferimento sul testo: 14.3, 14.4, 14.5. 14
16. Mercoledì 4/12/2013 Derivazione secondo Einstein dell equazione della diffusione. Soluzione fondamentale. Cammino medio. Paradosso della velocità infinita di propagazione. Teorema 16.1. Se u è la soluzione del problema di Cauchy per l equazione del calore, corrispondente al dato iniziale non negativo u 0, vale che per ogni ε > 0 esiste C ε > 0 tale che u(x, t) dx (1 ε) u 0 (x) dx, { x C ε Dt+L} { x L} per ogni u 0 0, L > 0. Ottimalità della stima asintotica u(x, t) costante t N 2 per soluzioni non negative del problema di Cauchy per l equazione dl calore. Esercizio 16.2. 3/520 Paragrafi di riferimento sul testo: 1.2, 11.5. 15
17. Venerdì 6/12/2013 Il bilaplaciano. Le autofunzioni del laplaciano lo sono anche del bilaplaciano; autovalori corrispondenti. Soluzioni per serie di Fourier. Per casa 17.1. Soluzioni a variabili separabili di 2 u = 0. La piastra di lunghezza infinita. Teorema 17.2. Se u è armonica in Ω R N allora v = x i u, v = x 2 u risolvono 2 v = 0. Il bilaplaciano in R 2 Soluzioni radiali del bilaplaciano: 1, r 2, r 2 ln r, ln r. Risoluzione del problema radiale in r 2 = x 2 + y 2 < R 2 2 u = p, 0 < r < R, u(r) = 0, u r (R) = 0. Una soluzione di 2 u = pδ(x, y) in R 2. Risoluzione del problema radiale in r 2 = x 2 + y 2 < R 2 2 u = pδ(x, y), 0 < r < R, u(r) = 0, u r (R) = 0. Esercizio 17.3. 29/520, 17/530, 12/610. 18. Mercoledì 11/12/2013 Principio di Duhamel. Esempio di applicazione all e.d.o. y = ay +f(t). Applicazione al problema di Cauchy per l equazione delle onde non omogenea (con dimostrazione) e del calore (senza dimostrazione). Esercizio 18.1. 1, 4/350; 1/490 (cambiamento di fase). Paragrafi di riferimento sul testo: 12.1, 12.2, 12.3. 16
19. Venerdì 13/12/2013 Trasformata di Fourier. Applicazione alla ricerca della soluzione fondamentale per l equazione del calore. Trasformata di Laplace. Applicazione alla risoluzione di problemi ai valori iniziali e al contorno per l equazione del calore. Applicazioni alla risoluzione di problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie. Esercizio 19.1. 28/320. Paragrafi di riferimento sul testo: 15.1, 15.2, 15.3, 16.1, 16.2, 16.3. 20. Mercoledì 18/12/2013 Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine in due variabili: iperboliche, paraboliche, ellittiche. Esercizio 20.1. 19/430; 13/480. Paragrafi di riferimento sul testo: 18.1, 18.2, 18.3. 21. Venerdì 21/12/2012 Soluzione mediante il principio di Duhamel del problema di Cauchy per l equazione della corda vibrante con carico concentrato. Esercizio 21.1. 12, 24/470; 34/480; 23/610; 1/615. FINE DEL CORSO 17