Programma precorso di matematica a.a. 015/16 Quello che segue è il programma dettagliato del precorso. Si fa riferimento al testo [MPB] E. Acerbi, G. Buttazzo: Matematica Preuniversitaria di Base, Pitagora Editrice Bologna (00). Gli esercizi che sono richiamati in corrispondenza ad un argomento sono quelli riassuntivi del libro [MPB] che si trovano al termine di ciascun capitolo, ad esempio (1.) è l esercizio numero al termine del capitolo 1. IMPORTANTE: tutti gli esercizi affrontati nella lezione vanno svolti per intero. Nell eventualità che non si riesca a svolgere un esercizio per intero, questo sarà proposto allo studente come esercizio da fare a casa e verrà corretto nella lezione successiva. Quando risulti necessario integrare con esercizi aggiuntivi, utilizzare se possibile quelli del testo [MPB]. 1
Organizzazione della lezione I docenti lavorano in coppia docente 1/docente nel modo seguente: ( ) Nella prima ora di lezione il docente 1 introduce rapidamente le definizioni ed i risultati, e poi svolge alcuni esercizi; ( ) Il docente assegna alcuni esercizi agli studenti; ( ) Nelle due ore successive i due docenti stimolano gli studenti a svolgere gli esercizi, girando tra le file degli studenti, rispondendo ai loro quesiti e cercando di chiarire i loro dubbi. ( ) Il docente risolve gli esercizi proposti. ( ) Al termine della lezione, uno dei due docenti propone esercizi per la lezione successiva. Gli studenti sono invitati a ripassare gli esercizi svolti durante la lezione. N.B. Nulla vieta di scansionare il tempo come segue (anzi, dovrebbe essere preferito rispetto al precedente). ( ) Nella prima ora di lezione il docente 1 introduce rapidamente le nuove definizioni ed i risultati necessari e poi svolge alcuni esercizi; ( ) Il docente 1 assegna alcuni esercizi agli studenti; ( ) Nell ora successiva i due docenti stimolano gli studenti a svolgere gli esercizi, girando tra le file degli studenti, rispondendo ai loro quesiti e cercando di chiarire i loro dubbi. ( ) Il docente risolve gli esercizi proposti. ( ) Nella terza ora di lezione docente introduce rapidamente nuove definizioni e risultati e svolge alcuni esercizi; ( ) Il docente assegna alcuni esercizi agli studenti; ( ) Nell ora successiva i due docenti stimolano gli studenti a svolgere gli esercizi, girando tra le file degli studenti, rispondendo ai loro quesiti e cercando di chiarire i loro dubbi. ( ) Il docente 1 risolve gli esercizi proposti. ( ) Al termine della lezione (se resta il tempo), uno dei due docenti propone esercizi per la lezione successiva. I docenti devono cercare di riservare un poco di tempo (15 0 minuti) per rispondere ai quesiti degli studenti relativi agli argomenti della lezione precedente.
LOGICA(tempo: h.) Proposizioni e predicati (ovvero frasi che possono essere vere o false), operatori logici (non, and e or) e loro tabelle di verità, quantificatore esistenziale, quantificatore universale, negazione di proposizioni contenenti quantificatori esistenziali e/o universali, implicazione e sua tabella di verità. Esercizi da fare: (1.),(1.4),(1.9),(1.10) INSIEMI(tempo: h.) Linguaggio (appartenenza, inclusione, intersezione, unione e complementazione), paradosso di Russell (l insieme di tutti gli insiemi che non contengono sè stessi, ovvero il paradosso del barbiere che fa la barba a frutti coloro che non si fanno la barba da sè), leggi di De Morgan. Esercizi da fare: (1.0);(1.1); (1.) b) e c), (1.4);(1.5) FUNZIONI(tempo: 7 h.) Definizione di funzione f : A B, funzioni iniettive (definizione, esempio e controesempio), funzioni suriettive (definizione, esempio e controesempio), funzioni bunivoche, immagine di una funzione ovvero preso C A dare definizione ed esempi di f(c), controimmagine di una funzione ovvero preso C B dare definizione ed esempi di f 1 (C), funzione inversa (definizione ed esempio), funzione composta. Esercizi da fare: (1.); (1.)a),c) e d);(1.6);(1.41);(1.45) a),b),c) e d). Note: Gli argomenti sottolineati sono MOLTO importanti per lo studente. GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI(tempo: 1h.) sin x, cos x, tan x, e x, 10 x, log e x, log 10 x, polinomi (1; x; x ; x ;...x n ;...), radice quadrata, radice cubica e valore assoluto. Note: Va fatto solo il grafico delle funzioni, e in particolare il logaritmo si intende solo in base e ed in base 10, come pure l esponenziale. Per quanto riguarda i polinomi, si intendono i grafici di x n, n N. Confrontare i grafici di log e x e log 10 x. Confrontare i grafici di e x e 10 x. ALGEBRA(tempo: 4 h.) Fare riferimento al paragrafo.1 del libro [MPB]: somma e prodotto in R, ordine - se a b, c R allora a + c b + c; - se a b, c 0 allora a c b c. Va fatto un ripasso delle proprietà delle potenze - ((A) α ) β = A α β, A > 0, α, β R. - A α A β = A α+β, A, B > 0, α, β R - A α B α = (A B) α, A, B > 0, α R
Gli studenti debbono saper ordinare in ordine crescente una lista di numeri come segue ;, 4 4, Esercizi da fare: (.);(.)(questo esercizio va preceduto da esercizi dello stesso tipo ma più semplici e seguito da altri);(.4);(.5);(.6);(.7);(.8);(.9);(.10);(.16); Note: Fare una osservazione relativa all esercizio (.9). GOMETRIA ANALITICA(tempo: 6 h.) R, distanza e disuguaglianza triangolare, equazione della retta per punti, coefficiente angolare,fascio di rette per un punto, retta perpendicolare, retta parallela, fascio di rette parallele, circonferenza di raggio r > 0 centrata in (a, b) (definizione: {(x, y) : (x a) +(y b) = r }, intersezione tra circonferenza e retta, cerchio {(x, y) : (x a) + (y b) r }), parabola con asse parallelo agli assi coordinati (definita come funzione y = ax + bx + c ovvero x = Ay + By + C), distanza punto-retta, tangenti ad una circonferenza. Esercizi da fare: dall esercizio (.0) all esercizio (.44) compresi. SISTEMI LINEARI (tempo: h.) Considerare dei sistemi di o equazioni nelle incognite x, y: risolverli analiticamente e interpretarli analiticamente come intersezioni tra rette (si possono avere 0, 1 o infinite intersezioni). Qui si tratta di risolvere gli esercizi (.14) e (.15) b) e c) per via analitica interpretando il risultato graficamente attraverso le nozioni di geometria analitica introdotte nel precorso. Note: Risolvere analiticamente utilizzando il metodo di sostituzione. TRIGONOMETRIA ELEMENTARE(tempo: 8 h.) Osservate che il triangolo è l unico poligono piano rigido, e che la triangolarizzazione è alla base per esempio del calcolo di distanze astronomiche, calcolo di aree etc. La trigonometria nasce per risolvere i triangoli. Definizione di radiante: la misura di un angolo in radianti si ottiene tracciando un arco di circonferenza di raggio R compreso entro l angolo dato e calcolando L/R. In tal modo un angolo retto misura π/ radianti etc. Definizione di sin x, cos x come coordinate del punto P (x) che si muove sulla circonferenza trigonometrica; determinazione dei valori di sin x e cos x per gli angoli più comuni: vedi la tabella a pagina 56 [MPB]; sin θ + cos θ = 1 per ogni θ R (Teorema di Pitagora); formula della somma per il seno ed il coseno valide per ogni α, β R 4 4 4
- sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α; - cos(α + β) = cos α cos β sin α cos β. Si ricavano subito le formule di duplicazione, valide per ogni x R: - sin(x) = sin x cos x; - cos(x) = cos x sin x ottiene e di bisezione, partendo da cos(x) = cos( x/) = cos (x/) sin (x/) si 1 cos x ; - cos x = 1 sin (x/), da cui sin(x/) = - cos x = cos 1+cos x (x/) 1, da cui cos(x/) =. π Calcolare le funzioni trigonometriche nei punti 6, π 5, π 4, π, π 5 (per l angolo π 5 si studi il triangolo isoscele di angoli π 5, π 5 e π 5 e con due lati di lunghezza 1. Bisecando uno degli angoli alla base si ottiene un triangolo simile a quello di partenza e quindi bla bla) Esercizi da fare: dall esercizio (.1) all esercizio (.8) compresi. GRAFICI FUNZIONI(tempo: 6 h.), Definire il grafico di f : A B ovvero G(f) = {(x, f(x)) : x A} R. Cosa significa che (a, b) G(f)? Definire il campo di esistenza o dominio massimale di una funzione reale, cioè {x R : f(x) R}; funzioni crescenti/decrescenti debolmente/strettamente (dare esempi e controesempi), funzioni pari/dispari (dare esempi e controesempi), funzioni periodiche (dare esempi e conteoesempi). Esercizi da fare: (1.8);(.);(.6);(.8);(.11)(l es..11 va visto come osservazione);(.1)(.4);(4.6). Fare poi gli esercizi dal (4.7) al (4.17). Note: Questo argomento è fondamentale. Gli esercizi dal (4.7) al (4.17) ovviamente non vanno fatti per intero, ma volta per volta va selezionato un esempio da ognuno di essi. DISEQUAZIONI-PRIMA PARTE(tempo: 6 h.) Disequazioni di primo grado x α > 0: risoluzione analitica e interpretazione grafica; disequazioni di secondo grado ax + bx + c > 0(<): risoluzione analitica evidenziando le radici del polinomio di secondo grado e interpretazione grafica; divisione tra polinomi con 5
resto: fare e far fare alcuni esempi; Teorema di Ruffini: dato un polinomio di grado n P (x), se P (a) = 0 allora P (x) = (x a)q(x), ove Q(x) è un polinomio di grado n 1; disequazioni di grado > : ridursi a casi più semplici con la divisione tra polinomi ed il Teorema di Ruffini; sistemi di disequazioni; disequazioni razionali. Esercizi da fare: (.11)(.1)(.1)(.17)(.18)(.19)(.0). DISEQUAZIONI-SECONDA PARTE: esponenziali e logaritmi(tempo: 4 h.) Data la definizione dell esponenziale, utilizzare le proprietà a),b), c), d) ed e) pp. 86 di [MPB], mentre data la definizione di logaritmo utilizzare le proprietà f),g),h) ed i) (utilizzare in un esercizio la proprietà j)) pp. 87. Per la formula del cambio di base si osservi che, comunque si prendano a, e > basi del logaritmo e comunque si prenda x > 0 si ha x = e log e x = e log e (alog a x) = e log a (x) log e (a) da cui si deduce log e x = log a (x) log e (a) ovvero la formula del cambiamento di base. Quando x = e, si scopre log a (e) log e (a) = 1. Esercizi da fare: (.49)(.50). Seguiranno altri esercizi. Obiettivi: - essere in grado di ordinare una successione di numeri tipo log 4; log 5 1 10 ; log 7 - essere in grado di ordinare una successione di numeri tipo ; ( ) ; 5 1/ - essere in grado di risolvere una disequazione elementare del tipo x > 4, log x < 0 oppure log( x ) >. Esercizi da fare: (.49)(.50). Inoltre fare tre esercizi del tipo: e x 5x+ > 1, log(x 5x + ) < log(x 1), log(x 4) < log(x 5x + ) log(x 1). Seguiranno informazioni più precise 6
Legge oraria del precorso: Lez. 1(4h.) Logica (h); Insiemi (h); Lez. (4h.) Funzioni (4h); Lez. (4h.) Funzioni (h); Grafici funzioni elementari (1h); Lez. 4(4h.) Algebra (4h); Lez. 5(4h.) Geometria Analitica (4h); Lez. 6(4h.) Geometria Analitica (h); Sistemi Lineari (h); Lez. 7(4h.) Trigonometria (4h); Lez. 8(4h.) Trigonometria (4h); Lez. 9(4h.) Grafici Funzioni (4h); Lez. 10(4h.) Grafici Funzioni (h); DISEQUAZIONI-PRIMA PARTE (h); Lez. 11(4h.) DISEQUAZIONI-PRIMA PARTE (4h); Lez. 1(4h.) DISEQUAZIONI-SECONDA PARTE: esponenziale e logaritmo (4h.); 7