Uiversitá di Roma Tor Vergata Aalisi, Igegeria CIO-FR), Prof. A. Porretta Esame del 9 febbraio 08 Esame orale : Esercizio [7 puti] Studiare la fuzioe f) = + 4 ) disegadoe u grafico qualitativo e idicado: domiio, evetuali asitoti, itervalli di mootoia, evetuali puti di massimo/miimo relativo, puti di discotiuità o o derivabilità, itervalli di covessità e cocavità della fuzioe, flessi. Risoluzioe: La fuzioe è defiita per 0, è dispari e può riscriversi come f) = + 8 ) Per > 0, osserviamo che lim f) = 0 co tagete orizzotale) e che lim f) = + co crescita sottolieare, 0 + + ifatti f) 8 per + ). La derivata prima è 9+8 f +8 ) se 0, ) [ovvero < 0] ) = 7+8 +8 ) se, + ) [ovvero > 0] Si osserva che la fuzioe cresce i 0, ), decresce i, e 7 8 ) e cresce di uovo i e 7 8, + ). Il puto = è u puto di massimo locale, ed ache u puto di o derivabilità puto agoloso, f ) = 9, f ) + = 7). Il puto = e 7 8 è u puto di miimo locale. La derivata secoda è 8 8 +7 f +8 ) se 0, ) [ovvero < 0] 3 ) = 8 8 +5 +8 ) se, + ) [ovvero > 0] 3 Il puto = e 5 8 è u puto di flesso. La fuzioe è covessa i 0, ), covessa i, e 5 8 ) e cocava i e 5 8, + ). Si oti che la fuzioe o è covessa i tutto l itervallo 0, e 5 8 ), ma solo separatamete egli itervalli 0, ) e, e 5 8 ). Il grafico sarà disegato simmetricamete per < 0 rispettado la simmetria dispari. Si oti che la fuzioe potrebbe essere estesa co cotiuità i = 0 defiedo f0) = 0, i tal caso = 0 sarebbe u puto di flesso. La fuzioe o preseta asitoti.
Esercizio [8 puti] Discutere l esisteza del seguete itegrale improprio al variare di α R e calcolare il valore per α = 3. Risoluzioe: Per y, chiamo t = y e si ha y + y y ) α dy y + y = t + 4 + t = t + + t) e poiché + t = + 4 t + ot) per t 0, si ha t + + t) = 3 t + ot). Quidi y + y = 3 y ) + oy ) per y. Al deomiatore si ha y = y )y + ) y ) per y, e allora y 3 + y y ) y ) α α y ) α = 3 α+ y ) α che è itegrabile i y = se e solo se α <, ovvero α <. Per y + si ha + y = oy), quidi y + y y ) α y y α = y α che è itegrabile all ifiito se e solo se α >, ovvero α >. I coclusioe, la fuzioe è itegrabile se e solo se < α <. Per il calcolo α = 3 ) si ha y + y dy = y ) 3 y + y dy dy y ) 3 y ) 3 = y ) + y y ) 3 3 dy + y) = y ) dy + y) y ) 3 Per sostituzioe l ultimo itegrale diveta dy = [y = s ] + y) y ) 3 Mettedo tutto isieme, si ha D altra parte l ultimo limite fa y = s arcta y + y y ) 3 + s ) s ds = s s ) = y arcta + s ) )ds ) y. ) dy = y ) y + + arcta y π + lim[ y y y = y + ) = y y + y ] y y ) y + y + ) + ) y 0 quidi i coclusioe y + y dy = π y ) 3
Esercizio 3 [6 puti] Calcolare lim + 5 e + ) 3 ) Risoluzioe: Scrivedo e + ) = 3 e + ) il umeratore diveta 5 e + ) = 5 + 3 e + ) = 5 5 3 e + ) avedo usato che + t) t per t 0. Dal mometo che e < 5, si ha = 5 5 3 e + o 3 e ) 5 5 5 = o 3 e ) quidi alla fie il umeratore si approssima come 5 e + ) 3 e I cosegueza si ha 5 e + ) 3 ) 3 e 3 e = e ) = usado lo sviluppo di Taylor di + t) t per t 0. Semplificado gli espoeti ell ultimo passaggio si trova ifie 5 e + ) 3 e ) = e +o e )) e ) ) e e +o)
Esercizio 4 [5 puti] Risolvere la seguete equazioe: z 3 = i z i 3 rappresetado graficamete le soluzioi el piao complesso. Risoluzioe: Uguagliado moduli e argometi dei due membri, si ha avedo usato che i = e i π. Per la parte dei moduli si trova z 3 = z i 3, 3 Argz) = π + kπ. z 3 = z i 3 z = z i il che sigifica che la distaza di z dall origie è uguale alla distaza di z dal puto 0, ) corrispodete a i). Questo implica che z deve stare sull asse del segmeto che uisce 0, 0) a 0, ), ovvero Imz) =. D altra parte l argometo di z ha 3 possibilità, ovvero Argz) = π 6 + kπ, k = 0,, 3 il che sigifica che l argometo di z può essere π 6, 5 6 π, 3 π. Dal mometo che Imz) =, l argometo o può essere 3 π. Ci sarao ivece due soluzioi corrispodeti, geometricamete, all itersezioe della retta Imz) = co le semirette corrispodeti agli agoli π 6 e 5 6π. Ricordado che Imz) = z siθ), se θ idica l argometo di z, si avrà i quato gli agoli π 6 e 5 6 π hao seo uguale a. I coclusioe, si hao le due soluzioi z = Imz) siθ) = z = e i π 6 = 3 + i, z = e i 5 6 π = 3 + i Alla stessa coclusioe si poteva arrivare procededo per via algebrica, ache se era ua strada più luga.
Esercizio 5 [6 puti] Si determii l itegrale geerale della seguete equazioe differeziale y = y + + 4, 0, + ) e si verifichi che esiste ua sola soluzioe che resta limitata per 0, + ). Facoltativo : si dimostri che se f è ua fuzioe cotiua i [0, + ) tale che f) = o ) per +, allora esiste ua ed ua sola soluzioe dell equazioe differeziale y = y + f), 0, + ) che soddisfi la codizioe: lim y) = 0. + Risoluzioe: Dalla formula risolutiva per equazioi lieari del prim ordie si ha ) + 4 y = d + c Risolviamo l itegrale idefiito Co la sostituzioe u = il primo itegrale diveta + 4 e acora per sostituzioe = + 4 + 4 d = d + 4 = d d = [u = ] + 4u u [ + s ]ds = du = [ + 4u = s ] + 4u du u s s ds [ + s s + )]ds s + s s + + c Torado alla variabile origiaria s = + 4u = + 4 ) si ha + 4 d = + 4 + + 4 + 4 + + c. Mettedo tutto isieme si ha l itegrale geerale y = + 4 + + 4 ) + 4 + + c. Per verificare la limitatezza della soluzioe, dobbiamo guardare i limiti per 0 + e per +. Come prima cosa, osserviamo che per 0 + l uico termie sigolare è quello del aritmo; d altra parte si ha + 4 + 4 + = 4 + 4 + ) 4 ) per 0 + quidi y) 0 per 0 +. Questo comportameto è idipedete dalla costate c, quidi tutte le soluzioi restao limitate vicio a = 0. Diversa è la situazioe per +. Itato si ha + 4 + 4 + = 4 ) + 4 + = ) + + = + + ) )
e sviluppado + t) = t + ot) e + t = + t + ot) per t 0 si ha ) + + ) = + o da cui, riassumedo la parte col aritmo, si trova + 4 + 4 + = ) + o Ioltre usiamo che + 4 = + 4 + = ) + o. Quidi mettedo tutto isieme, dalla formula dell itegrale geerale si ha y = ) ) + o + c = + c + o) per. Si deduce che l uica soluzioe limitata si avrà co c = 0. Per la parte facoltativa: basta osservare che, dall itegrale geerale, si avrà ) f) y = d + c Se vogliamo fissare le idee, possiamo ache riscrivere l itegrale geerale come ) ft) y = dt + c. t Poiché ft) = o ) t per t +, sez altro ft) t è itegrabile a +, e l uica soluzioe che può soddisfare la richiesta è data da c = ft) t dt. I sitesi, l uica possibile soluzioe che può verificare la richiesta è y = e i effetti questa soluzioe la soddisfa, perché il teorema di de l Hopital permette di dire che i virtù dell ipotesi su f). lim y) = + f) + = lim lim + ft) t = lim dt ft) t dt + f) = 0