Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.

Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.

Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, che è verificata solo per particolari valori che vengono attribuiti a tali variabili. L espressione che si trova a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro, quella che si trova a destra si chiama secondo membro. Le variabili delle due espressioni si chiamano incognite. ESEMPIO I membro II membro Incognita: è la lettera Dominio : è l insieme dei valori che si possono attribuire a Soluzione: è il valore di che rende vera l uguaglianza

Classificazione Equazioni Razionali Le incognite non compaiono sotto un segno di radice Irrazionali Le incognite compaiono sotto un segno di radice Numeriche Oltre alle incognite non compaiono altre lettere letterali Oltre alle incognite compaiono altre lettere Intere le incognite non compaiono in un denominatore Fratte Le incognite compaiono anche nei denominatori Grado di un equazione intera nella forma P()0: È il grado del polinomio

4 Definizione e caratteristiche EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI Un equazione di dominio D si dice: determinata se ha un numero finito di soluzioni in D; indeterminata se ne ha un numero infinito; impossibile se non ha soluzioni in D. ESEMPI L equazione è determinata perché ha come sola soluzione 5. ( ) L equazione è indeterminata perché il primo membro è sempre uguale al secondo. 4 L equazione è impossibile perché non esiste un valore di che sommato a 4 dia ancora.

5 Diversi tipi di equazioni L equazione può contenere altre lettere oltre all incognita; queste lettere si chiamano parametri. Parametro a a Parametro: è una lettera che compare nell equazione, ma che si suppone abbia un valore fisso anche se non noto a priori. Incognita Incognita: è la lettera di cui si vuole trovare il valore che soddisfa l equazione. Per convenzione le incognite delle equazioni vengono indicate con le ultime lettere dell alfabeto internazionale, quindi, y, z; i parametri con le prime, quindi a, b, c e così via.

6 Diversi tipi di equazioni CLASSIFICHIAMO LE EQUAZIONI Equazioni numeriche: oltre alla, non contengono altre lettere Equazioni letterali : oltre alla contengono anche dei parametri a (a ) a l incognita non compare al denominatore Equazioni intere: l incognita si trova in almeno uno dei denominatori 4 Equazioni frazionarie:

7 Principi di equivalenza Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. ESEMPIO 6 e 5 Esse sono diverse nella forma, ma entrambe determinate con la stessa soluzione : 6 5 6 5

8 Principi di equivalenza PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Teorema. Se si aggiunge ai due membri di un equazione una stessa espressione algebrica P, che ha lo stesso dominio dell equazione data, si ottiene un equazione equivalente a quella data. A B A P B P

9 Principi di equivalenza L applicazione di questo principio ci permette di passare da un equazione ad un altra equivalente via via più semplice, che permette di determinare il valore di. 5 Applichiamo il primo principio di equivalenza Aggiungiamo 5 ad entrambi i membri 5 5 5 Riduciamo i termini simili Sottraiamo ad entrambi i membri Riduciamo i termini simili e otteniamo che è la soluzione cercata

0 Principi di equivalenza CONSEGUENZE DEL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Regola del trasporto. Si può spostare un termine da un membro all altro di un equazione purché gli si cambi segno. Di conseguenza una qualunque equazione si può sempre scrivere nella forma E() 0, dove E() è l espressione che si ottiene spostando tutti i termini al primo membro. ESEMPIO 4 4 4 0

Principi di equivalenza Regola di cancellazione. Se nei due membri di un equazione compaiono due addendi uguali, uno per ogni membro, questi possono essere soppressi. ESEMPIO 5 Sono uguali 5

Principi di equivalenza SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Teorema. Se si moltiplicano i due membri per una stessa espressione P, che abbia lo stesso dominio dell equazione e che in quel dominio sia sempre diversa da zero, si ottiene un equazione equivalente a quella data. A B A P B P

Principi di equivalenza CONSEGUENZE DEL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Regola di semplificazione. Si possono semplificare tutti i termini di un equazione per uno stesso fattore comune, purché diverso da zero. ESEMPIO 6 9 Tutti i termini sono divisibili per. 6 9

4 Principi di equivalenza Regola del cambio dei segni. Se si cambiano i segni a tutti i termini di un equazione, in entrambi i membri, si ottiene un equazione equivalente a quella data. ESEMPIO

5 Principi di equivalenza Regola della riduzione a coefficienti interi. Da un equazione a coefficienti frazionari si può passare ad un equazione a coefficienti interi moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. fra i denominatori di tutte le frazioni. ESEMPIO 6 m.c.m. (,, 6) 6 ( 6) 6 6 ( ) 6 6 6

6 Equazioni numeriche intere IL GRADO DI UN EQUAZIONE Un equazione intera si può sempre scrivere in forma normale come E() 0, dove E() è un polinomio. Quando un equazione è scritta in questa forma, si dice grado dell equazione il grado complessivo del polinomio E(). Ad esempio: 0 4 6 0 6 7 0 È un equazione di primo grado. È un equazione di secondo grado. È un equazione di terzo grado.

7 Equazioni numeriche intere LE EQUAZIONI LINEARI Un equazione di primo grado si dice anche lineare ed ha la forma: a b 0 Termine noto a è il coefficiente del termine di primo grado, b è il termine noto dell equazione. Il dominio di un equazione lineare è sempre R. Possiamo dire di avere risolto un equazione lineare quando riusciamo a scriverla nella forma k In questo caso diciamo che k è la soluzione e che S{k} è l insieme delle soluzioni.

8 Equazioni numeriche intere PROCEDURA DI RISOLUZIONE Data l equazione Si porta il termine noto al secondo membro a b 0 a b Si analizza il coefficiente a b a a 0 a 0 b 0 b 0 S { b } a Indeterminata S R Impossibile S

Esempi - 5 (- ) ( - 5 ) 6 4 5 5-9 6 6 6 5 9 6 5 9 6 6 5 9 6 5 5 5 5 5 5 5 ( è la SOLUZIONE ) 9

0 Esempio 7 - - 6 6 4 - ( - ) 6 6 Denominatori uguali,li sopprimiamo e facciamo i calcoli 4 Trasportiamo i monomi con la al I membro e i termini noti al secondo membro : - -4, riduciamo i termini simili : - 6-6, dividiamo per il coeff. numerico davanti alla -6-6 8 che è la SOLUZIONE -6-6

Per fare la verifica si calcolano separatamente i valori che entrambi i membri assumono quando in essi si sostituisce all incognita la soluzione ; se tali valori sono uguali la soluzione è esatta ESEMPIO VERIFICA di un'equazione X 4 X verifico che X 0 è la SOL. 0 4 0 0-45 6 6 0 è proprio la SOLUZIONE

Esempio 0 ( ) 0 6 ( - ) - Soluzione 000 6-0 - 6 - - 0 5-0 5/5-0/5 (-0)/5-6 Verifica 0 [(-6) ] 0 6 [(-6) - ] - (- 6) 0 (-6 ) 0 6 (-6 - ) 6 0 (-4) 0 6 (-8) 6-40 0-48 6-0 -6 6-0 - 0 verificata

ESEMPIO Per risolvere la seguente la seguente equazione algebrica: ( 5 ) 5( ) (5 )(5 ) si deve procedere come segue.. Si applicano le regole del calcolo algebrico per eliminare le parentesi e sviluppare i prodotti notevoli: 5 0 0 5 5 4. Si portano tutti i termini contenente l incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro. Nel passaggio da un membro all altro si cambia segno (conseguenza del principio di equivalenza), mentre per i termini che rimangono al loro posto i segni rimangono invariati: 5/ 0/ 0/ 5/ 5. Si riducono, secondo le regole del calcolo algebrico, i termini simili: 0 4. Si dividono entrambi i membri dell equazione per il coefficiente dell incognita (conseguenza del principio di equivalenza): 4 / 0 5 5 /

VERIFICA Per verificare se la soluzione trovata è esatta, bisogna sostituirla al posto della nell equazione di partenza ed ottenere l uguaglianza tra primo e secondo membro: ( 5 ) 5( ) (5 )(5 ) (5 5 ) 5( 5 ) (5 5 )(5 5 ) 5 676 65 6 0 6 6 uguaglianza verificata Se l uguaglianza non è verificata, c è un errore o nella risoluzione dell equazione, o nella verifica.

ESEMPIO N. Per risolvere la seguente la seguente equazione algebrica intera: 5 4 8 4 4 si deve procedere come segue.. Si effettua il mcm di tutti i denominatori e le conseguenti operazioni: 4 0 8 8. Si elimina il mcm moltiplicando entrambi i membri per il mcm (conseguenza del principio di equivalenza): 4 0 8 / 8/ 8/ 8/. Si portano tutti i termini contenente l incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro. Nel passaggio da un membro all altro si cambia segno (conseguenza del principio di equivalenza), mentre per i termini che rimangono al loro posto i segni rimangono invariati: 0 4

4. Si riducono, secondo le regole del calcolo algebrico, i termini simili: 5. Si dividono entrambi i membri dell equazione per il coefficiente dell incognita (conseguenza del principio di equivalenza): VERIFICA 4/ 4/ 59 4 4 59 Per verificare se la soluzione trovata è esatta, bisogna sostituirla al posto della nell equazione di partenza ed ottenere l uguaglianza tra primo e secondo membro: 59 5 59 59 77 95 59 4 4 4 4 4 8 4 4 48 96 8 96 59 4 54 88 96/ 95 6 59 96/ 84 6 6 uguaglianza verificata Se l uguaglianza non è verificata, c è un errore o nella risoluzione dell equazione, o nella verifica.

7 Esempio 4 (- ) 4 ( ) 5-5 8 Soluzione Verifica - - 4-4 - 8 5-5 - 8-4 - 4 8-5 8-5 -0 0-0/(-0) 0/(-0) (-0)/(0) - 4 [- - (-)] - 4 [(-) ] 5-5 - 8(-) 4 (- ) - 4 (- ) 5-5 8 4 (-) - 4 () 5-7 -8-4 5-7 -7-7 verificata

quindi, anche in questo caso, indipendentemente dal valore attribuito all incognita l equazione è sempre verificata 8 Vediamo ora qualche esempio di risoluzione di un equazione di I I grado indeterminata: Soluzione 4 ( 5)² ( 0)² 4 (² - 0 5) 4² - 40 00 4² - 40 00 4² - 40 00 4 ( 5)² ( 0)² identità verificata per qualsiasi valore attribuito alla oppure riprendendo da 4² - 40 00 4² - 40 00 e applicando la regola dell elisione si ottiene 0 0

9 Esempio 5 ( ) (-)² 6 ( ) Soluzione 5 ( ) (-)² 6 ( ) 5 5 4 6 5 6-5 4 0 0 anche in questo caso l equazione è soddisfatta indipendentemente dal valore attribuito alla, cioè è soddisfatta da qualsiasi valore di, dunque l equazione è indeterminata

0 Esempio (5 )² (5 )² 50 ( ) ( ) Soluzione (5 )² (5 )² 50 ( ) ( ) 5² 0 4 5² 0 4 50 (² - 4) 50² 8 50² - 00 8-00 risulta dunque che l equazione non è mai soddisfatta indipendentemente dal valore attribuito alla, cioè nessun valore dato alla è soluzione dell equazione. L equazione è impossibile

Esempio ( ) 4 ( ) ( ) Soluzione ( ) 4 ( ) ( ) 4 4 / / / / / / / 4/ 4/ / 0 0 Soluzione indeterminata Formule prodotti notevoli Quadrato di un binomio ( a b) a b ab ( a b) a b ab Prodotto di due binomi ( ) Prodotto di due binomi a b ( a b) a b

Esempio ( ) ( ) ( ) Soluzione ( ) ( ) ( ) / / / / / / Formule prodotti notevoli Cubo di un binomio ( ) Cubo di un binomio a b a b a b ab ( a b) a b a b ab

4 5 4 Soluzione Soluzione 4 5 4 4 8 4 4 0 / / 8 4 0 8 0 4 0 0 Esempio

8 5 5 5 Soluzione Soluzione 8 5 5 5 / / / / 8 5 5 5 5 8 5 5 4 4 5 4 40 4 4 6 / / 4 5 40 4 4 6 40 4 5 4 4 6 79 6 6 79 Esempio 4