Esercitaione su segnali discreti, trasformata Zeta e filtri 7 febbraio 2013 1. Trasformata Zeta di semplici segnali discreti 2. Inversione 3. Equaioni alle differene 4. Filtri 1. Calcolo di trasformata Zeta Eserciio 1.1 Calcolare la trasformata Zeta dei segnali: H(n 1), (n + 1)H(n 1), H(n + 1)( 1) n, H(n)(n 2) 2 3 n, H(n)n cos(n), H(n)n 3. Eserciio 1.2 Calcolare la trasformata Zeta dei seguenti segnali causali (si intende che il primo valore è quello di posto 0): U 1 1, 0, 1, 0, 1, 0, ; U 2 0, 1, 0, 1, 0, 1, ; U 3 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, U 4 1, 0, 0, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 8, 0, 0, 16, 0, 0, 32, 0, 0, 64, 2. Inversione Eserciio 2.1 Stabilire se le seguenti funioni della variabile C sono le trasformate Z di qualche segnale causale e, nel caso, calcolarne la trasformata inversa. 6, 2 +, 6 3 4 2, Re( 2 ), 8 2 4, 2, e 1/, e, log, log(1 + 1/) 3. Equaioni alle differene Eserciio 3.1 Determinare il segnale Z trasformabile V tale che V (n + 1) V (n 1) H(n + 1) per ogni n Z. Eserciio 3.2 Determinare il segnale Z trasformabile V tale che V (n 1) 2V (n 2) H(n 1)2 n per ogni n Z. Eserciio 3.3 Determinare i valori V (n), n 0, in modo che V (0) V (1) 1; V (n + 2) 4V (n + 1) + 3 1 per n 0. Eserciio 3.4 Determinare i valori V (n), n 0, in modo che V (0) 1, V (1) V (2) V (3) 0; n + V (n 4) per n 4. 1
4. Filtri Eserciio 4.1 Scrivere la risposta impulsiva e la funione di trasferimento dei seguenti filtri discreti lineari e tempo-invarianti U T V e specificare quando i filtri sono causali. U(n) + U(n + 1), 1 2 U(n) 1 5 4 U(n 4), ku(n k), U(n k), U(k), 2 n Eserciio 4.2 Idem (i filtri sono assegnati mediante equaioni alle differene!) V (n) V (n 1) V (n 2) U(n), V (n) V (n + 2) U(n) U(n + 1), V (n) 2V (n 1) + V (n 2) U(n + 1) U(n) 2 k U(k) Eserciio 4.3 Determinare risposta impulsiva e funione di trasferimento dei filtri inversi dei due precedenti esercii. Eserciio 4.4 Scrivere il filtro ottenuto componendo a due a due i filtri dell eserciio 4.1. Eserciio 4.5 Siano A 1 δ 0 + δ 1 δ 2, A 2 k 0 ( 1)k δ k, A 3 δ 3 e siano U 1 δ 1, U 2 H, U 3 k 0 kδ k. Calcolare, per tutte le combinaioni possibili di i e j V ij A i U j Eserciio 4.6 Stabilire quali dei filtri degli esercii 4.1 e 4.2 sono stabili. 2
Soluioni 1. Trasformata Zeta di semplici segnali discreti Eserciio 1.1 Facendo riferimento alle Proprietà elementari (Leione 8, pagine 2-3) e all esempio fondamentale H(n) Z 1, si calcola: H(n 1) S 1 [H](n) Z 1 1 1 1 ; (n + 1)H(n 1) nh(n 1) + H(n 1) Z d { } 1 + 1 d 1 1 2 1 ( 1) ; 2 H(n + 1)( 1) n ( 1) n S 1 [H](n) Z (/a) (/a) 2 (/a) 1 a 1 + 1 ; H(n)(n 2) 2 (n 2 4n + 4)H(n) Z d { d } 4 d d d 1 d 1 + 4 1 ( + 1) ( 1) 4 3 ( 1) + 4 2 1 ; H(n)(n 2) 2 3 n Z H(n)n cos(n) Z 1 2 3( + 3) ( 3) 4 3 3 ( 3) + 4 2 3 ; [ ] e i (e i 1) + e i 2 (e i 1) 2 (3 + ) cos(1) 4 2 2 2 cos(1) + 1 ; H(n)n 3 n(n(nh(n))) Z d { d { d }} d d d 1 d { d } d d ( 1) 2 d (3 ) d ( 1) 3 (4 + 3 2 ). ( 1) 4 Eserciio 1.2 Applicando la definiione di trasformata Zeta U + Z U(n) n 3
si calcola U 1 U 2 2. Inversione Z 1 + 0 + 1 0 + 0 + 1 2 + 0 +... + 1 4 1 2 2n 1 2 2 1 ; n0 Z 0 + 1 + 0 + 1 + 0 +... + 1 3 1 2n+1 (oppure: U 2 S 1 [U 1 ] n0 Z 1 U 1); ( ) U 3 (n) e in π 2 H(n) e i π n 2 H(n) (i) n H(n) Z U 4 + + 2 k δ Z 3k n0 2 n 1 3n 1 2/ 3 3 3 2 + n0 i 1 2n 2 1 Eserciio 2.1 Usiamo il Teorema 8.2. Tutti i polinomi e le funioni raionali, essendo funioni olomorfe al di fuori di un numero finito di discontinuità, ed avendo un polo di ordine (grado numeratore - grado denominatore) ad, sono trasformate di un segnale ammissibile. 6 è olomorfa su C e ha un polo di ordine 6 per, quindi è la trasformata di un segnale ammissibile, che si può calcolare ricordando che δ(n) Z 1, δ(n k) Z 1 k. Otteniamo quindi 6 Z 1 δ(n + 6). Notiamo che 2 + e 63 4 sono entrambe olomorfe in C\{0} e hanno un polo di ordine 2 1 per. Per linearità, abbiamo (In effetti, 63 4 2 2 + Z 1 δ(n 2) + δ(n + 1); 6 3 4 2 Z 1 6δ(n + 1) 4δ(n 2). 4 2 + 6, ovvero la stessa funione con coefficienti diversi.) La funione Re( 2 ) non è olomorfa in nessun punto, quindi non può essere la trasformata di un segnale ammissibile. 8 Studiamo ora U (). (Olomorfa per > 2, polo di ordine 6 ad.) Utiliiamo 2 4 il metodo di inversione di una funione raionale con poli semplici (pagina 8-5). Per calcolare V (n), bisogna calcolare i residui, al variare di n 6, della funione 8 ( 2)( + 2) n 1 n+7 ( 2)( + 2). 4
Le uniche singolarità sono 0 2, 1 2, entrambe poli semplici. Quindi ( ) n+7 Res ( 2)( + 2) ; 2 2n+7 2n+6 4 2, ( ) n+7 Res ( 2)( + 2) ; 2 ( 2)n+7 ( 2)n+6, 4 2 dove il ±4 al denominatore si trova, per esempio, calcolando Applichiamo la formula (8.20): d d ( 2)( + 2) ±2 2 ±2 ±4. Res (V (); 2) + Res (V (); 2) 1 2 ( 2 n+6 + ( 2) n+6). e 1/ è olomorfa per > 0 ed ha una discontinuità eliminabile ad. e 1/ + n0 1 n! ( ) n 1 + n n! n0 U(n) 1 n! per n 0. e è olomorfa su tutto C, ma all infinito non ha né un polo di ordine m, né una singolarità eliminabile (ha, in effetti, una singolarità esseniale). Quindi, non può essere la trasformata di un segnale ammissibile. La funione 2 non è olomorfa in nessun punto, quindi non può essere la trasformata di un segnale ammissibile. log non è olomorfa sulla semiretta dei numeri reali negativi, quindi non può essere la trasformata di un segnale ammissibile. log(1 + 1/) è olomorfa per > 1 ed ha una discontinuità eliminabile ad. log(1 + 1/) + n1 ( 1) n 1 1 n ( ) n 1 U(n) ( 1)n 1 n per n 1. 3. Equaioni alle differene Eserciio 3.1 Risolviamo V (n + 1) V (n 1) H(n + 1) per ogni n Z. Applichiamo la trasformata Z, ricordando le proprietà dello Shift: Raccogliamo V (): V () 1 V () 1. V () 3 ( + 1)( 1) 2. 5
Applichiamo il metodo di inversione mediante fratti semplici (pagina 8-5). Si tratta di trovare i coefficienti A 1, A 2,1, A 2,2 tali che V () 2 ( + 1)( 1) 2 A 1 + 1 + A 2,1 1 + A 2,2 ( 1) 2. (1) Notare che: aniché studiare V (), studiamo V ()/, in modo da poter alla fine moltiplicare per, ottenendo fraioni di cui conosciamo l antitrasformata; dato che 1 è un polo di ordine 2, nella decomposiione in fratti semplici abbiamo due termini, uno con ( 1) e uno con ( 1) 2 al denominatore. Calcoliamo i coefficienti: A 1 ( + 1) V () 1 A 2,2 ( 1) 2 V () 1 2 1 1 ( 1) 2 4, 2 1 ( + 1) 1 2, mentre A 2,1 si trova, per esempio, sostituendo 0 e i valori già trovati nell equaione (1): 0 1 4 + A 2,1 1 + 1 1 A 2 ( 1) 2 2,1 3 4. Sostituiamo i valori trovati in (1), moltiplichiamo per (e per 4, per semplificare un po ): 4V () + 1 + 3 1 + 2 ( 1) 2. Per finire calcoliamo l antitrasformata, ricordando gli esempi di calcolo di pagina 8-3: Eserciio 3.2 Risolviamo 4 ( 1) n H(n) + 3H(n) + 2nH(n). V (n 1) 2V (n 2) H(n 1)2 n per ogni n Z. Applichiamo la trasformata Z, ricordando le proprietà dello Shift: 1 V () 2 ( ) 2 V () 2 2 2 2. Raccogliamo V (): V () 22 ( 2) 2. (2) Applichiamo il metodo di inversione mediante fratti semplici (pagina 8-5). Si tratta di trovare i coefficienti A 1,1, A 1,2 tali che V () 2 ( 2) 2 A 1,1 2 + A 1,2 ( 2) 2. (3) 6
Calcoliamo A 1,2 ( 2) 2 V () 4, 2 mentre A 1,1 si trova, per esempio, sostituendo 0 e il valore di A 1,2 nell equaione (3): 0 A 1,1 2 + 4 ( 2) 2 A 1,1 2. Sostituiamo i valori trovati in (3) e moltiplichiamo per V () 2 2 + 4 ( 2). 2 Per finire calcoliamo l antitrasformata, ricordando gli esempi di calcolo di pagina 8-3: 2 n+1 H(n) + 2 n+1 nh(n). Notare che, giunti all equaione (2), si sarebbe potuto concludere più velocemente: nh(n) Z 2 n nh(n) Z 2 n+1 (n + 1)H(n + 1) Z ( 1) 2 2 ( 2) 2 22 ( 2) 2. Per eserciio, verificare che i due risultati sono uguali, ovvero che 2 n+1 H(n) + 2 n+1 nh(n) 2 n+1 (n + 1)H(n + 1). Eserciio 3.3 Studiamo il problema alle differene con valori iniiali V (0) V (1) 1; V (n + 2) 4V (n + 1) + 3 1 per n 0 In quest equaione è dato un segnale di input U(n) 1, costante per n 0. Per cominciare dobbiamo definire U(n) su tutto Z, in maniera consistente con i dati iniiali V (0) e V (1) (assumiamo V (n) 0 per n < 0). Poniamo U(n) 0 per n < 2, U( 2) V (0) 4V ( 1) + 3V ( 2) 1, U( 1) V (1) 4V (0) + 3V ( 1) 3, U(n) 1 per n 0, ovvero U(n) δ(n + 2) 3δ(n + 1) + H(n). Studiamo V (n + 2) 4V (n + 1) + 3 U(n) per n Z 7
come negli esercii precedenti. Usando la trasformata Z otteniamo 2 V () 4V () + 3V () U () ( 2 4 + 3)V () 2 3 + V () V () 4V () Eserciio 3.4 Riscriviamo il problema come 1 ( 3)( 1) 3 ( 3)( 1) + 1 ( 2) 2 ( 3)( 1) 2 3 + 3 1 2 ( 1) 2 4 3 n H(n) + 3H(n) 2nH(n). ( 3)( 1) 2 V (0) 1, V (1) V (2) V (3) 0; V (n) V (n 4) n per n 4. Sostituendo i dati iniiali per n 0, 1, 2, 3 (in quest ordine), nell equaione V (n) V (n 4)U(n), ricaviamo U(0) 1, U(1) U(2) U(3) 0. (E, naturalmente, U(n) 0 per n < 0.) Risolviamo quindi l equaione V (n) V (n 4) U(n) su tutto Z, dove U(n) è il segnale di cui sopra, che si può scrivere in maniera compatta come U(n) δ(n) + nh(n 4). Dobbiamo quindi trasformare V (n) V (n 4) δ(n) + nh(n 4). Per evitare una derivata, trasliamo di 4 posti e applicando la trasformata Z otteniamo Osserviamo che V (n + 4) δ(n + 4) + (n + 4)H(n) 4 V () V () 4 + V () ( 1) + 4 2 1 3 4 1 + 1 ( 4 1)( 1) 2 + 4 ( 4 1)( 1). ( 4 1) ( 2 1)( 2 + 1) ( 1)( + 1)( i)( + i), V () 3 ( 1) 2 + 4 3 ( 1) 3 ( + 1)( i)( + i) A 1 + 1 + A 2 i + A 3 + i + A 4,1 1 + A 4,2 ( 1) 2 + A 4,3 ( 1) 3. (etc..) 8
4. Filtri Eserciio 4.1 U(n) + U(n + 1), A δ + δ 1, A () 1 +, (non caus.) 1 2 U(n) 1 4 U(n 4), A 1 2 δ 1 4 δ 4, A () 1 2 4 4, (causale); 5 ku(n k), 5 A kδ k, 5 A () k k, (causale); 2 n U(n k), A U(k), A 2 k U(k), A k1 δ k, A () δ k, A () 2 k δ k, A () Eserciio 4.2 Filtri dati mediante equaioni alle differene V (n) V (n 1) V (n 2) U(n). Applichiamo la trasformata Z : moltiplichiamo per 2 e raccogliamo V : cioè V () k1 k, k, V () 1 V () 1 V () U (), 2 ( 2 1)V () 2 U (), 2 2 1 U (), A () 2 2 1. Per calcolare la risposta impulsiva A Z 1 (A ), osserviamo che (non caus.); (causale); ( ) k 2, (causale); A () 2 ( 0 )( 1 ), con 0 1 + 2 5, 1 1 5 2 e quindi Oppure: A () A 0 + A 1, con A 0 5 + 0 1 10 5 A () A 0 + A 1 0 1 A(n) A 0 0 n H(n) + A 1 1 n H(n), A 1 5 5 10 A () 2 ( 0 )( 1 ) F 0()F 1 (), con F 0 () 0, F 1 () 9 1
e quindi cioè A(n) F 0 F 1 (n), A(n) k Z con F 0 (n) n 0 H(n), F 1 (n) n 1 H(n), k 0H(k) n k 1 H(n k) 0 k n k 1 n+1 0 1 n+1. 0 1 Eserciio 4.3 Risposta impulsiva e funione di trasferimento dei filtri inversi V (n) V (n 1) V (n 2) U(n). Dato che la funione di trasferimento del filtro inverso è la reciproca della funione di trasferimento A () 2 2 1 1 A () 2 1 2 1 1 1 2. La risposta impulsiva del filtro inverso si può calcolare tramite ( ) 1 Z 1 Z (1 1 1 A () 1 ) δ δ 2 1 δ 2, o direttamente dalla definiione. Ovvero, dato che il filtro T era dato con un equaione alle differene, l inverso è semplicemente il filtro V (n) T 1 V (n) V (n 1) V (n 2) e quindi δ T 1 δ δ 1 δ 2. Eserciio 4.4... Eserciio 4.5 Calcolare V ij A i U j. V 11 A 1 U 1 δ 1 + δ 2 δ 3. Notare che U 1 δ 1 è la risposta impulsiva del filtro S 1 e quindi ogni volta che faccio la convoluione con U 1 ottengo uno shift di 1 a destra. V 12 A 1 U 2 H + S 1 [H] S 2 [H] H + δ 1. V 13 A 1 U 3 (δ 0 + δ 1 δ 2 ) nh(n) nh(n) + (n 1)H(n 1) (n 2)H(n 2). V 21 A 2 U 1 ( 1) n H(n) δ(n 1) ( 1) n 1 H(n 1). V 22 A 2 U 2 ( 1) n H(n) H(n) H(n) n ( 1)k H(n) cos 2 (nπ/2), che è solo un modo un po involuto, ma compatto, per indicare il segnale che vale 1 per i numeri pari e positivi e ero per tutti gli altri interi. V 23 A 2 U 3 ( 1) n H(n) nh(n) ( 1) n n ( 1)k k. Oppure, per calcolare il segnale in maniera più esplicita, si può procedere così: V 23 Z 1 ( 2 ( + 1)( 1) 2 Z [V 23 ] Z [A 2 ]Z [U 3 ] ) + 1 ( 1) 2 1 (( 1) 1[ 4 S n + 3 + 2n ) ] H(n) 10 ( 1)n + 1 + 2n H(n 1). 4
V 31 A 3 U 1 δ 3 δ 1 δ 4. V 32 A 3 U 2 δ 3 H H(n 3). V 33 A 3 U 3 δ 3 nh(n) (n 3)H(n 3). Eserciio 4.6 Per capire se un filtro è stabile, usiamo la condiione (8.60) sulla sommabilità della risposta impulsiva. (Dall eserciio 4.1) U(n) + U(n + 1), A δ + δ 1, 1 2 U(n) 1 4 U(n 4), A 1 2 δ 1 4 δ 4, 5 ku(n k), A 2 n U(n k), A U(k), A 2 k U(k), A 5 kδ k, k1 δ k, δ k, 2 k δ k, A(n) 2 A(n) 1 4 A(n) 10 A(n) + A(n) + A(n) + stabile; stabile; stabile; instabile; instabile; instabile; (Dall eserciio 4.2) A(n) n+1 0 1 n+1 0 1 A(n) + instabile; 11