(8.3) 0 altrimenti. Più in generale si considera il segnale δ k, k Z, 1 se n 0 0 altrimenti. H(n) =

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1 8. Trasformata Zeta Segnali discreti In questa leione ci occuperemo di segnali discreti e della loro analisi mediante la trasformata Zeta. Un segnale discreto U : Z C rappresenta una successione di valori, che possono essere complessi, del tipo (U(n)) n Z = (...,0,0,U( n 0 ),...,U( 1),U(0),U(1),U(2),...,U(n),... ) (8.1) Sarà utile rappresentare graficamente un segnale discreto come in figura Anche se è comodo considerare segnali definiti su tutti gli interi relativi (quindi anche per indici negativi n) ci limiteremo a considerare segnali che sono definitivamente nulli per n : supporremo cioè che esista un intero n 0 tale che U(n) 0 per ogni n < n 0. (8.2) Ciò significa che da a n 0 1 tutti i valori U(n) sono nulli, mentre il primo valore non nullo può essere U( n 0 ). Chiameremo ammissibili questi segnali e causali quelli per cui n 0 = 0; se infine un segnale ha solo un numero finito di coefficienti non nulli (è quindi ammissibile e inoltre U(n) 0 anche per n abbastana grande) verrà chiamato di durata limitata. Lo spaio dei segnali ammissibili sarà indicato con S a (Z) e quelli causali S 0 (Z). Esempi Il segnale δ (anche chiamato δ 0, quando si vuole specificare bene la posiione della freccia nel punto 0) è definito da { 1 se n = 0 δ(n) = δ 0 (n) = (8.3) 0 altrimenti. Più in generale si considera il segnale δ k, k Z, δ k (n) = δ(n k) = { 1 se n = k 0 altrimenti. (8.4) Il segnale di Heaviside H è definito da H(n) = { 1 se n 0 0 altrimenti. (8.5) Il segnale di Heaviside è utile per rappresentare segnali causali: infatti, se A(n) sono coefficienti qualunque, moltiplicando A(n) per H(n) si ottiene un segnale causale U(n) = H(n)A(n). Notaione Rappresentaione dei segnali discreti. Useremo le lettere maiuscole U, V, W,... per indicare segnali discreti. Tipicamente, quando si vogliono specificare direttamente i valori, si usa anche scrivere U (U(n)) n Z o, ancor più semplicemente U(n). Ad esempio si può parlare del segnale U definito da U(n) := H(n)2 n, n Z, o dire in modo più colloquiale Il segnale H(n)2 n sottintendendo che n sia il nome della variabile definita in Z. Un altra utile rappresentaione si può dare tramite i segnali δ k : si può infatti sempre scrivere U = k U(k)δ k, ovvero U(n) = k U(k)δ k (n) = k U(k)δ(n k). (8.6) 8-1

2 8. TRASFORMATA ZETA 8-2 Trasformata Zeta Definiione 8.1 La Trasformata Z di un segnale discreto ammissibile U S a (Z) è la funione di variabile complessa U = Z[U] definita da U () := n= U(n) n (8.7) per tutti i valori di C per cui la serie converge assolutamente. Chiameremo dominio di assoluta convergena di U, indicato con D(U ), tale insieme e diremo che U è Z-trasformabile se D(U ) contiene almeno un punto di C. Denoteremo con S tr (Z) la classe dei segnali Z- trasformabili. Notaione Come indicato nella definiione, indicheremo con Z[U] la trasformata Zeta del segnale U. Useremo anche il simbolo U Z U. La nuova funione U () sarà definita nel piano complesso. Precisaione Il dominio della trasformata Zeta. Sappiamo dalla teoria delle serie di potene che se il dominio di convergena della serie (8.7) contiene almeno un punto, allora la serie converge all esterno di un disco di centro 0 e raggio r [0, ), cioè D(U ) { C : > r} Non è difficile dimostrare che ciò avviene se e solo se i coefficienti U(n) sono a crescita esponeniale, se esistono cioè costanti C,R > 0 per cui U(n) CR n. (8.8) Se vale (8.8), allora il raggio di convergena r della serie (8.7) è sicuramente minore o eguale a R. Esempi La trasformata Zeta del segnale δ k è la funione k definita in C\{0} (quindi in questo caso r = 0): δ k Z k. (8.9) La trasformata Zeta di H è la funione, definita in { C : > 1}: in questo caso r = 1 1 H Z 1. (8.10) Infatti Z[H]() = n = n=0 n=0 ( 1 ) n = = 1 se 1 < 1. Proprietà elementari Linearità Segnali reali se U i Z Ui allora α 1 U 1 +α 2 U 2 Z α1 U 1 +α 2 U 2 Se U è reale allora U è Hermitiana, cioè U ( ) = U (). (8.11) Significato di U (1) U (1) = + n= U(n) quando la serie converge assolutamente. (8.12) Shift Dato un segnale U e uno shift intero di passo N Z, ricordiamo che S N [U] è il corrispondente segnale S N [U](n) := U(n N). Si ha se U(n) Z U () allora U(n N) Z N U (), (8.13) quindi ad uno shift in tempo di passo N corrisponde la moltiplicaione per N.

3 8. TRASFORMATA ZETA 8-3 Attenione! Occorre pensare il segnale U definito su tutto Z. Modulaione esponeniale Modulare un segnale U significa moltiplicarlo per un segnale esponeniale del tipo a n = ρ n e iωn, a = ρe iω C. Si ha se U(n) Z U () allora a n U(n) Z U (/a). (8.14) Da questa formula si deduce facilmente che cos(ωn)u(n) Z 1 [ ] U (e iω )+U (e iω ), 2 sin(ωn)u(n) Z 1 [ ] U (e iω ) U (e iω ). 2i Moltiplicaione per n Se U(n) Z U () allora nu(n) Z d U () (8.15) d Se si cerca il segnale che ha per trasformata la derivata di U è comoda la formula: Se U(n) Z U () allora (n 1)U(n 1) Z d U (). (8.16) d Iterando quest ultima si ottiene Se U(n) Z U () allora (n 1)(n 2)...(n k)u(n k) Z ( 1) k dk U (). (8.17) dk Causalità e comportamento di U all Il segnale U è causale se e solo se U ammette limite per : in tal caso U(0) = lim U (). (8.18) Similmente, se n 0 < 0 è il primo indice per cui U non è nullo (cioè U(n) 0 per n < n 0, U( n 0 ) 0) allora U ha un polo di ordine n 0 all, cioè U() U( n 0 ) n0 per. Viceversa, seu ècausaleesiannullanoancheiprimimterminiu(0) = u(1) =...U(m 1) = 0 mentre U(m) 0, allora U si annulla di ordine m per. Esempi di calcolo H(n)a n Z a Basta applicare la (8.14) a partire dalla (8.10): H(n 1)a n Z a a H(n)n Z ( 1) 2. H(n)a n Z /a /a 1 = a. Si applica la (8.15) sempre partendo dalla trasformata di H(n): H(n)n Z d ( ) = 1 d 1 ( 1) 2 = ( 1) 2.

4 8. TRASFORMATA ZETA 8-4 nu(n 1) Z d ( ) 1 U () d H(n)n(n 1)...(n k +1)a n k Z k! ( a) k+1 Si osserva intanto che n(n 1) (n k+1) si annulla nei primi k interi, da 0 fino a k 1, quindi al posto di H(n) si può mettere H(n k). Traslando di uno verso destra si ottiene il segnale (n 1)(n 2)...(n k)h(n k 1)a n k 1 Z k! 1 ( a) k+1 la cui trasformata si ottiene moltiplicando per ( 1) k e derivando k volte la trasformata di H(n 1)a n 1, cioè ( a) 1. Una ulteriore moltiplicaione per conclude il calcolo. H(n)cos(ωn) Z cosω ( cosω) 2 +sin 2 ω H(n)cos(ωn) Z 1 ( 2 e iω + ) e iω = e iω + e iω ( cosω) 2 2 (e iω +e iω = )+1 2 2cosω +1 ( cosω) = 2 2cosω +cos 2 ω +1 cos 2 ω = ( cosω) ( cosω) 2 +sin 2 ω H(n)sin(ωn) Z sinω ( cosω) 2 +sin 2 ω H(n)sin(ωn) Z 1 ( 2i e iω ) e iω = 2i sinω = ( cosω) 2 +sin 2 ω e iω +e iω 2 (e iω +e iω )+1 = sinω 2 2cosω +1 Inversione della trasformata Zeta Il teorema di inversione segue immediatamante dai risultati sugli sviluppi in serie di Laurent delle funioni olomorfe all esterno di un disco. Nell enunciato che segue sono presentati due risultati entrambi importanti: il primo fornisce una condiione necessaria e sufficiente per cui una data funione U in campo complesso è la trasformata Zeta di un segnale ammissibile U. Il secondo consiste nella formula esplicita per il calcolo dei coefficienti di U. Teorema 8.2 (Inversione della trasformata Zeta) Una funione di variabile complessa U : D(U ) C è la trasformata Zeta di un segnale ammissibile U se e solo se 1. U è definita e olomorfa al di fuori di un disco di centro 0 e raggio R, cioè { C : > R } D(U ). 2. U ha una singolarità eliminabile oppure un polo di ordine m per. In tal caso si scrive U Z 1 U e i coefficienti del segnale U sono determinati dalla formula di inversione U(n) = 1 U () n 1 d per ogni n Z, dove ρ > R. (8.19) 2πi C ρ(0) Il segnale U è causale se e solo se è una singolarità eliminabile di U ; altrimenti, se U ha un polo di ordine m all, il primo coefficiente non nullo di U è quello di posto m.

5 8. TRASFORMATA ZETA 8-5 Nel caso in cui U abbia solo un numero finito di singolarità, la formula (8.19) può essere espressa mediante i residui: Corollario 8.3 Nelle ipotesi del Teorema precedente, se D(U ) = C \ { 1, 2,..., K } allora, posto 0 = 0, K U(n) = Res(U () n 1 ; k ). (8.20) Vale la pena osservare che se U è causale (quindi se lim U () = l) e 0 non è un polo di U, allora 0 = 0 è al più un polo semplice per U () n 1 e solo quando n = 0. In tal caso la formula diventa U(n) = U (0)δ(n)+ K k=1 Res(U ()n 1 ; k ). Discussione Inversione di una funione raionale con poli semplici. Consideriamo l esempio particolarmente importante dell inversione di una funione raionale corrispondente ad un segnale causale U () = P() Q() con #P #Q, e poli 1, 2,... K non nulli e semplici, cioè Q ( i ) 0. (8.21) P e Q sono polinomi: l ipotesi che il grado di P non sia superiore a quello di Q corrisponde proprio al caso dei segnali causali. L ipotesi che gli eri di Q siano non nulli è solo di comodità: se 0 fosse un polo di ordine m per Q, si potrebbe fattoriare Q() = m Q(), U () = m U (), U P() () = Q() (8.22) e applicare l argomento che segue a U, dopo di che operare uno shift di passo m in tempo. Applicando la formula ( P() n 1 ) Res ; k = P( k)k n Q() k Q ( k ) si ottiene la formula ( P() n ) se k 0, Res Q() ;0 = U (0)δ(n) per 0 = 0, U(n) = U (0)δ(n)+ K k=1 P( k ) k Q ( k ) n k. (8.23) Dunque, nel caso di poli semplici, U(n) è la combinaione lineare di potene aventi come base i poli della funione, e come coefficienti i residui di P/Q nelle rispettive singolarità. Vi è un altro metodo di inversione quando U è una funione raionale, basato sullo sviluppo della funione in fratti semplici. Discussione Inversione mediante fratti semplici. Supponendo sempre (8.21), ci si riconduce ad antitrasformare A termini del tipo ( k ) j+1. Ciascuno di questi può essere anti-trasformato ricordando la regola ( ) 1 Z n ( k ) j+1 H(n) n j k (8.24) j L unica avvertena riguarda di scrivere lo sviluppo in fratti semplici di U ()/ = P()/(Q()), in modo da avere il grado del denominatore maggiore di quello del numeratore. Riassumendo, se 1, 2,, K sono le radici di Q ciascuna di ordine m 1,m 2, m K, la decomposiione in fratti semplici permette di scrivere P() Q() = A m j=0 m A K 1 1,j + + ( 1 ) j+1 j=0 A K,j ( K ) j+1, (8.25) ciascun blocco essendo relativo alle varie singolarità con tutte le potene di esponente negativo fino all ordine di polo. Moltiplicando per si ottiene U () = P() m Q() = A A 1,j j=0 e applicando la (8.24) si trova, per n 0, ( 1 ) m K j+1 j=0 A K,j ( K ) j+1 (8.26)

6 8. TRASFORMATA ZETA 8-6 m 1 1 U(n) = A 0 δ(n)+ j=0 A 1,j ( n j ) m K 1 n j j=0 Per n < 0 basta ricordare che U(n) 0 essendo il segnale causale. A K,j ( n j ) n j K. (8.27) Un osservaione merita il caso dei poli semplici, in cui tutti i coefficienti m k = 1. Di conseguena ciascun blocco è costituito da un solo addendo, e si trova U(n) = A 0 δ(n)+a 1,0 n 1 + +A K,0 n K. (8.28) I coefficienti A 0,A 1,0,,A K,0 sono precisamente i residui di P/Q nei punti 1, 2,, K e si ritrova quindi la formula (8.23). Applicaioni alle equaioni alle differene Sono dati coefficienti q 0 0,q 1,,q h e p 0,p 1, p k. Dato un segnale Zeta-trasformabile U il problema consiste nel determinare il segnale ammissibile V tale che q 0 V(n)+q 1 V(n 1)+ +q h V(n h) = p 0 U(n)+ +p k U(n k) per ogni n Z. (8.29) L equaione (8.29) può essere interpretata con il linguaggio dei filtri discreti. Per il momento ci accontentiamo di risolverla. L equaione si può scrivere nella forma q 0 V +q 1 S 1 [V]+ +q h S p [V] = p 0 U +p 1 S 1 [U]+ p k S q [U]. Passando alla trasformata Zeta, ricordando la proprietà di linearità e la proprietà(8.13), e ponendo V Z V, U Z U, si ottiene q 0 V +q 1 1 V + +q h h V = p 0 U +p 1 1 U + +p k k U cioè ( q 0 +q q h h) ( V () = p 0 +p p k k) U () da cui Eliminando infine le potene negative si ottiene Introducendo i polinomi legati ai coefficienti (q i ) (p i ) V () = p 0 +p p k k q 0 +q 1 1 U () (8.30) + +q h h V () = h k p 0 k +p 1 k 1 + +p k q 0 h +q 1 h 1 + +q h U () (8.31) P() = p 0 k +p 1 k 1 + +p k, Q() = q 0 h +q 1 h 1 + +q h e la funione A() := h P() k Q() si ottiene la relaione V () = A()U () (8.32) che permette di determinare V una volta che si conosca la trasformata Zeta U di U. Applicando poi la formula di inversione, si trovano i coefficenti del segnale discreto V.

7 8. TRASFORMATA ZETA 8-7 Attenione! Problemi con i dati iniiali. Un commento a parte meritano i problemi in cui l equaione alle differene non viene assegnata su tutto Z come nel caso della (8.29) prescrivendo a priori che V sia ammissibile. Si assegna la (8.29) solo a partire da n = h. Per determinare tutti i valori di V occorre quindi assegnare anche i primi h valori di innesco V(0),V(1),...,V(h 1). Il problema da risolvere quindi diventa (per semplicità consideriamo il caso di un solo termine a secondo membro) Dato un segnale a crescita esponeniale (U(n)) n h e h dati iniiali V 0, V 1,, V h 1 determinare i valori (V(n)) n h tali che q 0 V(n)+q 1 V(n 1)+ +q h V(n h) = U(n) per n h, V(0) = V 0 (8.33).. V(h 1) = V h 1 Per risolvere il problema si estende il segnale V anche per n < 0 in modo causale ponendo V(n) 0 per n < 0. A questo punto si definiscono i valori di U(n) per n < h in questo modo U(n) = 0 per n < 0 U(0) = q 0 V(0) = q 0 V0 U(1) = q 0 V(1)+q 1 V(0) = q 0 V1 +q 1 V0 U(2) = q 0 V(2)+q 1 V(1)+q 2 V(0) = q 0 V2 +q 1 V1 +q 2 V0.. U(h 1) = q 0 Vh 1 +q 1 Vh 2 + +q h 1 V1 +q h V0 (8.34a) (8.34b) (8.34c) (8.34d) A questo punto i segnali causali V,U soddisfano l equaione (8.29) su tutto Z e si può applicare il metodo precedente: si ottiene V () = A()U (), A() = h Q() = h q 0 h +q 1 h 1. (8.35) + +q h dove nel calcolo di U occorre anche considerare il contributo dei valori U(0), U(h 1) calcolati nelle (8.34a,b,...,d). Filtri discreti lineari e tempo-invarianti In questa breve presentaione del concetto di filtro ci limiteremo per semplicità al caso di segnali discreti ammissibili (vedi (8.2)) e Z-trasformabili, anche se sarebbe possibile una teoria più generale. Definiione 8.4 (Filtri) Un filtro discreto T è una trasformaione definita sullo spaio dei segnali discreti Z-trasformabili S tr (Z): una operaione, quindi, che ad ogni segnale U S tr (Z) (chiamato comunemente ingresso o input) associa un nuovo segnale V = T [U] S tr (Z) (chiamato uscita o output) e rappresentata graficamente come U T V. T si dice lineare se per ogni U 1,U 2 S tr (Z) e α,β C vale T [αu 1 +βu 2 ] = αt [U 1 ]+βt [U 2 ], cioè U 1 T V 1, U 2 T V 2 = αu 1 +βu 2 T αv 1 +βv 2. (8.36) T si dice tempo-invariante se T [S k [U]] = S k [T [U]] per ogni k Z e U S tr (Z); in simboli U T V = S k [U] T S k [V] k Z. (8.37) Osservaione Per verificare la condiione (8.37) basta considerare il caso k = 1 (lo shift di un posto verso destra): U T V = S 1 [U] T S 1 [V]. (8.38)

8 8. TRASFORMATA ZETA 8-8 In questa leione ci occuperemo esclusivamente di filtri lineari e tempo-invarianti. C è un altra proprietà importante nelle applicaioni. Definiione 8.5 (Filtri causali) Un filtro T si dice causale (o non-anticipativo) se l uscita V = T [U] corrispondente ad un ingresso U nullo per n < n 0 soddisfa la medesima proprietà: in formule U(n) 0 per n < n 0, U T V = V(n) 0 per n < n 0. Eserciio Mostrare che un filtro tempo-invariante è causale se e solo se trasforma segnali causali in segnali causali. Definiione 8.6 (Risposta impulsiva) La risposta impulsiva di un filtro lineare e tempo invariante T è il segnale discreto A definito da A = T [δ] cioè δ T A. Ecco alcuni esempi di filtri con la relativa risposta impulsiva: Esempi 1 Identità: U I U. A = δ. 2 Amplificaione di intensità c C: U c V = cu, V(n) = cu(n). A := cδ 3 Shift 4 Filtri FIR (Finite Impulse Response) U S N V = S N [U], V(n) = U(n N). A = δ N U p 0 I+p 1 S p h S h V { V(n) = p0 U(n)+p 1 U(n 1)+...+p h U(n h), A = p 0 δ +p 1 δ p h δ h. (8.39) 5 L esempio precedente si può generaliare considerevolmente: invece di considerare solo un numero finito di valori p 0,p 1,,p h, si può considerare una successione arbitraria (p n) n N e definire quindi il filtro T come U T V : V(n) = p k U(n k). A(k) = p k, A = p k δ k. (8.40) A priori potrebbe sembrare che ci sia il problema di controllare se la serie in (8.40) converge, ma in realtà si vede subito che essendo U ammissibile esso si annulla per indici inferiori ad un certo intero n 0 e di conseguena tutti i termini della serie sono nulli per n k < n 0 cioè k > n+n 0. Di fatto quindi n+n 0 V(n) = p k U(n k). (8.41) A differena della (8.39), però, dove il numero degli addendi era sempre h + 1, in (8.41) man mano che n cresce, anche il numero degli addendi cresce di conseguena. Per scrivere in modo compatto la definiione del filtro T si usa il simbolo T [U] = A U, dove A è proprio la risposta impulsiva definita in (8.40). Questa notaione verrà meglio spiegata nella successiva definiione 8.7 e nella discussione seguente. 6 I filtri si possono comporre in successione: se T 1, T 2 sono filtri, il filtro T := T 2 T 1 è definito da T [U] = T 2 [T 1 [U]] e rappresentato da U T 1 T 2 V 7 Si può anche considerare il filtro inverso T 1 che scambia entrata e uscita: possiamo cioè dire che V = T 1 [U] se e solo se T [V] = U: U T 1 V V T U. Per determinare la risposta impulsiva di T 1 bisogna trovare il segnale A tale che A T δ (8.42)

9 8. TRASFORMATA ZETA 8-9 Filtri e convoluione discreta Il precedente esempio 5 è di importana fondamentale: vedremo tra poco che di fatto tutti i filtri causali si possono rappresentare come nella formula (8.40). Questo fatto giustifica l introduione di una nuova operaione tra segnali discreti: Definiione 8.7 (Convoluione discreta) Se A,U S tr (Z) sono due segnali discreti, la loro convoluione V := U A è il nuovo segnale discreto definito da V(n) := k Z U(k)A(n k) = k ZA(k)U(n k) (8.43) Discussione Le somme sono uguali e la convoluione è commutativa. Con la sostituione k n k si vede subito che le due somme in (8.43) sono uguali e pertanto U A = A U (8.44) Discussione Le somme sono finite. È importante osservare che le somme che definiscono la convoluione in (8.43) coinvolgono solo un numero finito di termini. Verifichiamolo nel caso più importante di due segnali A, U causali: in tal caso U(n) 0 se n < 0 e quindi la prima serie parte da k = 0; d altra parte anche A(n k) 0 se n k < 0 cioè se k > n. Ciò significa che se n < 0 tutti gli addendi sono nulli e quindi il risultato è 0 mentre se n 0 la somma si arresta all indice k = n. Analogo discorso vale per la seconda serie: si ottiene pertanto n n A,U S c(z) = A U(n) = H(n) U(k)A(n k) = A(k)U(n k). (8.45) Discussione La convoluione di segnali causali è causale. Dalla (8.45) si vede subito che se A,U S c(z) sono causali, anche V = U A è causale. Ecco il risultato che avevamo preannunciato: Teorema 8.8 (Filtri, risposta impulsiva e convoluione) Sia T un filtro discreto lineare e tempo-invariante e sia A = T [δ] la sua risposta impulsiva. Allora per ogni segnale di ingresso U l uscita V si ottiene come convoluione discreta di U con A, cioè δ T A = U T A U = V, V(n) = k A(k)U(n k). (8.46) Il filtro T è causale se e solo se A è un segnale causale. Dimostraione Ci limitiamo a considerare il caso di un ingresso di durata limitata, U = n 1 k= n 0 U(k)δ k dove la somma è quindi finita. Essendo T tempo invariante osserviamo intanto che Essendo T lineare si ottiene da cui δ T A = T [δ k ] = S k [A]. V = T [U] = come nella definiione di convoluione. n 1 n 1 k= n 0 U(k)T [δ k ] = n 1 V(n) = U(k)A(n k) = U(k)A(n k) k= n 0 k k= n 0 U(k)S k [A] (8.47) Circa la causalità, se T è causale allora per definiione essendo δ causale anche A = T [δ] deve essere causale. Viceversa, se A = T [δ] è causale, la formula V(n) = k 0A(k)U(n k) mostra immediatamente che se U(n) 0 per n < n 0 anche V(n) = 0 per n < n 0.

10 8. TRASFORMATA ZETA 8-10 Osservaione Vale la pena notare esplicitamente che gli Shift sono particolari convoluioni: S k [U] = δ k U (8.48) Filtri, convoluione e trasformata Zeta Definiione 8.9 (Funione di trasferimento) La funione di trasferimento A di un filtro discreto lineare e tempo invariante è la trasformata Zeta della risposta impulsiva: A = Z[A], A() = n ZA(n) n dove δ T A. (8.49) Calcoliamo la funione di trasferimento degli esempi precedenti: Esempi 1 Identità: 2 Amplificaione 3 Shift 4 Filtri FIR 5 A = δ, A() = 1 A := cδ, A() = c. A = δ N, A() = N A = p 0 δ +p 1 δ p h δ h, A() = p 0 +p p h h. (8.50) A = p k δ k, A() = p k k (8.51) La funione di trasferimento gioca un ruolo fondamentale nello studio dei filtri discreti, forse anche superiore a quello della risposta impulsiva, graie a questo importante risultato: Teorema 8.10 Sia T un filtro discreto lineare e tempo-invariante, A = T [U] la sua risposta impulsiva, A = Z[A] la funione di trasferimento. Allora Vale cioè lo schema V = T [U] V () = A()U (). (8.52) U(n) T V(n) = (A U)(n) Z Z Z U () A V () = A()U () Dimostraione Al solito consideriamo solo il caso di un segnale di durata limitata U = n 1 k= n 0 U(k)δ k. Innanitutto, poiché la trasformata Z trasforma shift in moltiplicaioni per Z k, abbiamo Z S k [A] k A(). Applicando la linearità della Z-trasformata alla (8.47) si ottiene V () Z n 1 k= n 0 U(k) k A() = ( n 1 k= n 0 U(k) k ) A() = U ()A(). Nota Molto spesso un filtro viene assegnato direttamente attraverso la sua funione di trasferimento A. In tal caso l effetto del filtro sull ingresso U si può esprimere in due modi:

11 8. TRASFORMATA ZETA 8-11 Calcolando prima la trasformata inversa di A e poi usando la convoluione: A() Z 1 A, U T A U. (8.53) Calcolando la trasformata Z del segnale U, moltiplicandola per A e poi antitrasformando: U Z U A A U Z 1 V = Z 1( ) A()U (). (8.54) Graie alla corrispondena tra filtri e convoluione, otteniamo una formula molto utile: la trasformata Z trasforma convoluioni in prodotti. Corollario 8.11 (Convoluione e trasformata Zeta) Siano A, U segnali discreti Z trasformabili. Allora V := A U è Z-trasformabile e V = A U Z V () = A()U (). (8.55) Graie alla espressione mediante trasformata Zeta, si ottengono due proprietà utili nel calcolo della composiione di due filtri e dell inversione: Corollario 8.12 (Composiione) Se T 1, T 2 sono due filtri discreti lineari e tempo-invarianti con risposte impulsive A 1,A 2 e funioni di trasferimento A 1, A 2 rispettivamente, allora la risposta impulsiva A del filtro T := T 2 T 1 è la convoluione delle risposte impulsive, mentre la funione di trasferimento A è il prodotto delle funioni di trasferimento U T 1 T 2 V, A = A 1 A 2, A() = A 1 ()A 2 () (8.56) In particolare, la composiione tra filtri è commutativa: T 2 T 1 = T 1 T 2. Corollario 8.13 (Inversione) Se T è un filtro discreto lineare e tempo-invariante con funione di trasferimento A(), allora il filtro inverso T 1 1 ha funione di trasferimento A() e risposta impulsiva A 1 = Z 1( A 1). Osservaione Nella composiione dei filtri, così come nelle convoluioni, si possono arrangiare i fattori nell ordine che si vuole. Stabilità dei filtri discreti Richiami Segnali limitati e sup. Un segnale U è limitato se esiste una costante M 0 tale che U(n) M per ogni n Z. (8.57) La più piccola delle costanti M per cui vale la (8.57) si indica con U : U := sup U(n) (8.58) n Z Definiione 8.14 Un filtro discreto lineare si dice stabile se ogni ingresso limitato U viene trasformato in un uscita limitata V = T [U]. In tal caso è possibile mostrare che il rapporto tra V e U è controllato da una costante L, che viene chiamata costante di stabilità del filtro: V L U. (8.59) In altre parole, se tutti i valori in ingresso soddisfano U(n) M, in uscita V(n) L M. Riprendiamo gli esempi:

12 8. TRASFORMATA ZETA 8-12 Esempi 1 Identità: stabile, costante 1 2 Amplificaione: stabile, costante c 3 Shift: stabile, costante 1. 4 Filtri FIR: stabile, costante L = p 0 + p p h L ultimo esempio, quello di un filtro causale generale, merita un teorema, l ultimo di questa Leione. Teorema 8.15 (Stabilità dei filtri) Un filtro discreto lineare e tempo-invariante T è stabile se e solo se la sua risposta impulsiva A = T [δ] soddisfa la condiione L := n Z A(n) <, (8.60) cioè il dominio di assoluta convergena di A contiene la circonferena unitaria C 1 (0). In tal caso L è una costante di stabilità del filtro. Dimostraione Dimostriamo solo che la condiione (8.60) è sufficiente: in tal caso, se U è un ingresso che soddisfa la (8.57), si trova subito che l uscita V = T [U] soddisfa V(n) = A(k)U(n k) A(k) U(n k) A(k) M = M A(k) M L. k k k k Criterio 8.16 (Stabilità in termini della funione di trasferimento) Se la regione di assoluta convergena della funione di trasferimento A contiene una circonferena di raggio R < 1, allora il filtro T è stabile. Commento In pratica, se A è una funione raionale, basta controllare che tutti i poli di A abbiano modulo strettamente inferiore a 1. Dimostraione Si prende un raggio ρ (R,1) e si osserva che A è continua sulla circonferena C ρ(0), quindi sup A() = S <. C ρ(0) A questo punto si usa la formula di inversione per la trasformata Zeta, che fornisce A(n) = 1 A() n 1 d 2πi C ρ(0) e si applica la stima del modulo per un integrale in campo complesso, osservando la lunghea della circonferena vale 2πρ e che su C ρ(0) = ρ: Supponendo ad esempio A causale, si ottiene A(n) 1 2π 2πρ S ρn 1 Sρ n. n=0 A(n) S 1 ρ.