SERIE DI POTENZE Soo particolari serie di fuzioi, i cui termii soo moomi, evetualmete traslati: f (x) co f (x) =a (x x 0 ), a R, x 0 R, ossia dove a (x x 0 ) = a 0 + a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 ) 2 +... x 0 èdettocetro della serie, (a )èdettasuccessioe dei coefficieti della serie. Le ridotte soo poliomi: S N (x) = N a (x x 0 ) = a 0 +a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 ) 2 +...+a N (x x 0 ) N. Si vede subito che S N (x 0 ) vale costatemete a 0,percui ogi serie di poteze coverge (ad a 0 ) el proprio cetro. Siamo iteressati a studiare la covergeza della serie e porremo come al solito: Λ={x R : a (x x 0 ) coverge}. Sappiamo già chex 0 Λ e vedremo che Λ èsempreuitervallo, cetrato i x 0 (aperto, semiaperto o chiuso, che può ache essere tutto R o degeerare el solo x 0 ).
Esempi. 1 x coverge solo i x =0 (cetro)... Λ={0} Fissato x 0,siha lim x = lim ( x ) = lim e log( x ) =+ = o coverge perché il termie geerale o tede a 0. 2 x coverge i ogi x R... Λ=R È la serie espoeziale di parametro x: coverge assolutamete i R, per il criterio del rapporto. 3 x coverge x < 1... Λ=( 1, 1) È la serie geometrica di ragioe x. D ora i avati, cosidereremo solo serie cetrate i x 0 =0: a x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... (1) a cui ci si può sempre ricodurre co il cambio t = x x 0. Defiizioe. Si dice raggio di covergeza della (1) il valore { } R := sup Λ = sup x 0: a x coverge i x. Per defiizioe si ha 0 R +. Gli esempi precedeti mostrao che può effettivamete essere: 1 R =0, 2 R =+, 3 0 <R<+.
Teorema (del raggio di covergeza). 1 Se R =0, allora Λ={0} (e o c è covergeza per x 0). 2 Se R =+, alloraλ=r ec è covergeza assoluta su R e totale su ogi [a, b] R. 3 Se 0 <R<, allora ( R, R) Λ [ R, R] ec è covergeza assoluta su ( R, R) e totale su ogi [a, b] ( R, R). Duque Λ è sempre u itervallo, cetrato ell origie. Relativamete al caso 3, osserviamo esplicitamete che: o c è covergeza (emmeo putuale) per x >R, l itervallo di covergeza putuale Λ può differire da ( R, R) per i puti x = ±R, i quali vao studiati caso per caso. Il prossimo teorema garatisce che gli itervalli di covergeza uiforme raggiugoo gli estremi dell itervallo di covergeza Λ, ogiqualvolta vi fossero iclusi. Teorema (di Abel). Suppoiamo 0 <R<+. (i) Se c è covergeza putuale i x = R (cioè R Λ), allora c è covergeza uiforme su ogi [a, R] ( R, R]. (ii) Se c è covergeza putuale i x = R (cioè R Λ), allora c è covergeza uiforme su ogi [ R, b] [ R, R). (iii) Se c è covergeza putuale i x = ±R (cioè Λ=[ R, R]), allora c è covergeza uiforme su tutto Λ=[ R, R].
È ovvio che fao comodo criteri per determiare R. Teorema (criterio della radice per le serie di poteze). Se esiste il limite lim a = λ (fiito o ifiito), allora R = 1 + se λ =0 λ = 0 se λ =+ 1/λ altrimeti. Teorema (criterio del rapporto per le serie di poteze). a Se esiste il limite lim +1 = λ (fiito o ifiito), allora R = 1 a λ. Se i limiti o esistoo, devo determiare R tramite la defiizioe, vededo la serie come serie di fuzioi qualsiasi (ma ricordado che i teoremi del raggio e di Abel cotiuao a valere). Esempi.
Combiazioe lieare di serie di poteze 1 λ 0,leserie a x e λa x hao lo stesso itervallo di covergeza Λ e risulta λa x = λ a x, x Λ. 2 Se a x e b x hao raggi R 1 R 2, allora (a + b )x ha raggio R =mi(r 1,R 2 ) e iterv. di covergeza Λ = Λ 1 Λ 2. Se a x e b x hao raggi R 1 = R 2, allora (a + b )x ha raggio R R 1 (= R 2 ), il quale va determiato caso per caso. I ogi caso risulta (a +b )x = a x + b x, x i cui covergoo etrambe. Esempio otevole (sviluppi di sih x e cosh x su R). Abbiamo già aticipato che x = ex, x R. Leggedo al cotrario, diciamo che e x è sviluppabile (= scrivibile come somma di termii più semplici ) i serie di poteze su R (l uguagliaza vale x R). Segue che ache sih x è sviluppabile i serie di poteze su R. Ifatti x R: sih x = ex e x = 2 = 1 2 1 ( 1) x Aalogamete: x R, cosh x = 2 ( x) = 1 2 x = x1 1! + x3 3! + x5 5! +... = x 2 (2)!. ( x ( 1) x x 2+1 (2 +1)!. )
Cotiuità dellasommasututtoλ Sia a x co raggio R>0, itervallo Λ e somma S, cioè S(x) = a x, x Λ {0}. Teorema. S C (Λ), ossia S è cotiua i tutti i puti di Λ (ache egli estremi, se iclusi) Dimostrazioe. Itermiia x soo fuzioi di classe C (R). Fissiamo u qualsiasi x Λ. Per i teoremi del raggio e di Abel, x staiuitervallo[a, b] Λ su cui c è covergeza uiforme e quidi S risulta cotiua i x per il teorema di cotiuità della fuzioe somma. Itegrazioe termie a termie Sia a x co raggio R>0, itervallo Λ e somma S. Siao a, b Λ. Siccome c è covergeza uiforme su [a, b] (teoremi del raggio e di Abel), risulta b b S(t)dt = a t b dt = a t dt = a a a [ ] t +1 b a. +1 a I particolare, per a =0( Λ) e b = x, si ottiee che x Λ x x S(t)dt = a t x dt = a t dt = 0 0 0 a x +1 +1 = =1 dove la serie di itegrali ha acora raggio R (ci toreremo) ed il suo itervallo di covergeza può guadagare estremi di Λ. a 1 x
L ultimo risultato è spesso utile per: sviluppare i serie di poteze fuzioi itegrali o esprimibili elemetarmete; ricavare lo sviluppo i serie di poteze di ua fuzioe itegrado lo sviluppo della sua derivata; calcolare somme di serie (di fuzioi o umeriche). Esempio. Cosideriamo la fuzioe degli errori: erf (x) := 2 x π 0 e t2 dt (o calcolabile elemetarmete). Poiché e t2 = x erf (x)= 2 π = 2 π ( t 2 ), risulta che x R si ha 0 ( 1) t 2 dt = 2 π ( 1) x 2+1 2+1. ( 1) x 0 t2 dt Esempio otevole (sviluppo di log(1 + x) su ( 1, 1]). Si vuole sviluppare log (1+x) i serie di poteze (su u qualche itervallo). Sappiamo che d dx log(1 + x) = 1 1+x = ( x), x ( 1, 1). Allora x ( 1, 1) si ha x 1 x log(1 + x)= 0 1+t dt = ( t) x dt = 0 0 ( 1) t dt = ( 1) x 0 t dt = ( 1) x+1 +1 ( 1) 1 = x. =1
L uguagliaza log(1 + x) = ( 1) 1x =1 vale i effetti x ( 1, 1] (cioè ache i x = 1). Ifatti l ultima serie coverge alla propria somma, diciamo S(x), ache i x = 1, per il criterio di Leibiz (o coverge ivece i x = 1 perché( 1) 1 ( 1) = 1 ) S(x) coicide co log(1 + x) per x ( 1, 1) (dove vale il coto fatto prima) ed è cotiua i x = 1 per cotiuità della somma su tutto l itervallo di covergeza, per cui risulta ( 1) 11 =1 = S (1) = lim S (x) = x 1 lim log (1+x) = log 2. x 1 L esempio precedete forisce ache due cotroesempi: itegrado termie a termie, l itervallo di covergeza può effettivamete aumetare; la covergeza totale è più forte di etrambe quelle assoluta e uiforme; ifatti, essedoci covergeza putuale su ( 1, 1], per i teoremi del raggio e di Abel risulta log (1+x) = ( 1) 1x =1 metre sup x [0,1) ( 1) 1x = sup x x [0,1) = 1 assolutamete e uiformemete su [0, 1) (ad esempio) co =1 1 =+.
Esempio (e sviluppo di arcta x su [ 1, 1]). Si vuole calcolare la somma delle serie ( 1) ( 1) 2 +1 x2+1 e (2 +1) 3 2+1. Si vede piuttosto facilmete che la prima è ua serie di itegrali: ( 1) x2+1 2 +1 = = x 0 ( 1) x 0 t2 dt = x ( t 2 ) dt ( t 2 ) x 1 dt = 0 1+t2dt =arctax dove tutto fuzioa per x ( 1, 1) perché la serie 0 ( t 2 ) (geometrica di ragioe t 2 ) ha itervallo di covergeza ( 1, 1) ( t 2 < 1 t ( 1, 1)). Per cotiuità della somma, lo sviluppo di arcta x appea trovato vale i effetti x [ 1, 1], i quato per x = ±1 si hao le serie ( 1) (±1)2+1 2 +1 = ( 1) (±1)2 (±1) = ± 2 +1 che covergoo per il criterio di Leibiz. ( 1) 2 +1, Circa la serie umerica, essa può essere riscritta come e duque si trova ( 1) (2 +1) 3 2+1 = ( 1) 2 +1 ( 1 3 ( 1) 2 +1 ( ) 1 2+1 3 ) 2+1 =arcta 1 3.
Derivazioe termie a termie Per derivare termie a termie la somma di ua serie, occorre la covergeza uiforme della serie derivata (= serie delle derivate dei termii), cioè a x 1 = =1 a x 1 = a +1 ( +1)x. Lemma. Ua serie di poteze e la sua serie derivata hao lo stesso raggio di covergeza (ache se ullo). Cosegueza: a x elasuaserie itegrale a +1 x+1 hao lo stesso raggio (soo ua la derivata dell altra). Nota: poichè ogi serie si recupera itegrado la sua serie derivata, gli esempi visti provao che l itervallo di covergeza della serie derivata o aumeta e può perdere gli estremi. Suppoiamo ora che Etrambe a x e =1 a x abbia raggio R>0 e somma S. a x 1 covergoo uiformemete ell itoro di ogi x ( R, R), per cui risulta S C 1 ( R, R) e x ( R, R), S (x) = d dx a x = =1 a x 1 (per il teorema di derivazioe termie a termie). Il ragioameto può essere iterato tate volte quate si vuole, otteedo quidi il seguete: Teorema. S C ( R, R) e k >0, x ( R, R), S (k) (x) è la somma della serie otteuta derivado a x termie a termie k volte.
Il risultato precedete è spesso utile per: ricavare lo sviluppo i serie di poteze di ua fuzioe derivado lo sviluppo di ua sua primitiva; calcolare somme di serie (di fuzioi o umeriche). Esempio. Si vuole sviluppare (1 x) 2 i serie di poteze (su u qualche itervallo). Sappiamo che dx (1 x) 2 = 1 1 x + c e 1 1 x = x, x ( 1, 1). Allora x ( 1, 1) si ha 1 (1 x) 2 = d 1 dx1 x = d dx x = d dx x = x 1 = (+1)x =1 (poiché derivado termie a termie l itervallo o aumeta, il problema della covergeza i x = ±1 o si poe). Esempio. Si vuole calcolare la somma delle serie ( +1)x +1 e e 3 1. Si vede subito che la prima è ua serie di derivate: ( +1)x d = dx x+1 = d dx = d ( ) 1 dx 1 x 1 = x +1 = d dx 1 (1 x) 2 x =1 dove tutto fuzioa per x ( 1, 1) perché la serie geometrica ha raggio R = 1. Il problema della covergeza i x = ±1 o si poe, perché derivado l itervallo o aumeta. Di cosegueza, circa la serie umerica, si ottiee +1 e 3 1 = e ( +1) ( 1 e 3 ) = e 1 (1 1/e 3 ) 2 = e 7 (e 3 1) 2.
Corollario (sui coefficieti di ua serie di poteze) Cosideriamo ua serie a (x x 0 ) co Λ {x 0 } e somma S. Sappiamo che S C (Λ ) e le sue derivate si ottegoo derivado la serie termie a termie ifiite volte: x Λ si ha S (x) = S (x) = =1 =k a (x x 0 ) 1 = =1 a ( 1)(x x 0 ) 2 = a (x x 0 ) 1 =2 a ( 1)(x x 0 ) 2. S (k) (x) = a ( 1)( 2) ( k +1)(x x 0 ) k. Isolado il termie co = k si ottiee S (k) (x) = a k k!+ a ( 1)( 2) ( k +1)(x x 0 ) k =k+1 e calcolado i x = x 0 risulta S (k) (x 0 ) = a k k! per ogi k 1. Duque a = S() (x 0 ) per ogi 0 e quidi x Λ, S(x) = S () (x 0 ) (x x 0 ). I altri termii, abbiamo scoperto che: i coefficieti di ua serie di poteze soo i coefficieti di Taylor della sua somma, calcolati el cetro della serie; le ridotte di ua serie di poteze soo i poliomi di Taylor della sua somma, cetrati el cetro della serie.