Istituzioni di Matematiche sesta parte

Istituzioni di Matematiche sesta parte anno acc. 2013/2014 Univ. Studi di Milano D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 1 / 27

index Matrici e operazioni tra matrici 1 Matrici e operazioni tra matrici 2 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 2 / 27

Matrici e operazioni tra matrici Vettori e matrici Un vettore ad n componenti è una n upla ordinata di numeri reali a 1, a 2,..., a n, che possono essere elencati in colonna (vettore colonna a 1 a 2... a n o in riga (vettore riga (a 1, a 2,..., a n. Una matrice a m righe ed n colonne (detta anche matrice m n è una tabella di numeri reali della forma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ = (a ij i=1,...,m,j=1,...,n, a m1 a m2... a mn (i indice di riga, j indice di colonna. OSSERVAZIONE - Un vettore riga ad n componenti è identificabile con una matrice 1 n, un vettore colonna ad n componenti è identificabile con una matrice n 1. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 3 / 27

Matrici e operazioni tra matrici Somma di matrici e prodotto di una matrice per un numero reale Due matrici con lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne possono essere sommate: (a ij i=1,...,m,j=1,...,n + (b ij i=1,...,m,j=1,...,n, = (a ij + b ij i=1,...,m,j=1,...,n, ad esempio ( 1 1 2 0 3 0 ( 0 1 1 + 1 2 0 = ( 1 0 1 1 5 0 Una matrice può essere moltiplicata per un numero reale ad esempio λ(a ij i=1,...,m,j=1,...,n = (λa ij i=1,...,m,j=1,...,n, 2 ( 1 1 0 2 3 1/2 = ( 2 2 0 6 4 1.. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 4 / 27

Matrici e operazioni tra matrici Prodotto di matrici Date due matrici A = (a ij ad m righe e n colonne e B = (b hk ad n righe e p colonne (tali cioè che il numero delle colonne di A sia uguale al numero delle righe di B si può definire una matrice C = A B con m righe e p colonne, detta prodotto riga per colonna di A per B: la matrice C ha come elemento della riga r e colonna s il numero reale c rs = a r1 b 1s + a r2 b 2s + + a rn b ns. A = a 11 a 12... a 1n............ a r1 a r2... a rn............ a m1 a m2... a mn, B = b 11... b 1s... b 1p b 21... b 2s... b 2p............... b n1... b ns... b np ( ( 1 0 2 2 0 1 0 Ad esempio, se A = 1 3 0 e B = 5 1 3 1, si ha 0 0 1 0 ( 2 + 0 + 0 0 + 0 + 0 1 + 0 + 2 0 + 0 + 0 2 + 15 + 0 0 + 3 + 0 1 9 + 0 0 + 3 + 0 ( 2 0 3 0 = 13 3 10 3. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 5 / 27

Matrici e operazioni tra matrici ESEMPIO A = tabella dei prezzi in euro degli articoli H, K e L per bambini (b, donne (f e uomini (m, B = tabella della composizione delle famiglie F1 e F2 in termini di bambini (b, donne (f e uomini (m. A = * b f m H 20 50 50 K 30 40 30 L 10 10 20, B = * F1 F2 b 1 3 f 1 1 m 2 1 20 50 50 1 3 Posto A = 30 40 30 10 10 20 e B = 1 1 la matrice C = A B permette di 2 1 ottenere la tabella della spesa in euro delle famiglie F1 e F2 per gli articoli H, K e L. C = * F1 F2 H 170 160 K 130 160 L 60 60 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 6 / 27

Matrici e operazioni tra matrici ESEMPIO (catena alimentare A = tabella delle quantità (rispetto un opportuna unità di misura di sostanze inquinanti I1, I2 presenti negli alimenti A1, A2 e A3. B = tabella delle quantità di alimenti A1, A2 e A3 ingerite dagli animali delle specie S1 e S2. A = * A1 A2 A3 I1 I2 10 8 5 2 3 1, B = * S1 S2 A1 1 2 A2 1 2 A3 2 1 con notazioni analoghe a quelle viste nell esempio precedente, C = A B fornisce la tabella delle quantità di inquinanti I1 e I2 ingerite dagli animali di specie S1 e S2. C = * S1 S2 I1 I2 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 7 / 27

index 1 Matrici e operazioni tra matrici 2 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 8 / 27

Sistema lineare, matrice dei coefficienti e matrice completa Sistema di m equazioni lineari nelle n incognite x 1, x 2,..., x n (a ij, b h R a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2...... a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m Una soluzione del sistema: n upla di numeri reali (x 1, x 2,..., x n tali che a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2...... a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 9 / 27

Matrice completa del sistema: [A b] = a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2............... a m1 a m2... a mn b m A = matrice dei coefficienti del sistema, b = colonna dei termini noti a 11 a 12... a 1n b 1 A = a 21 a 22... a 2n............ b = b 2... a m1 a m2... a mn b m Esempio: m = 3, n = 4, (x 1, x 2,..., x n = (x, y, z, w 3x + 2y z + w = 0 ( 3 2 1 1 0 x + 3y + 2z = 1 [A b] = 1 3 2 0 1 x + z + 3w = 2 1 0 1 3 2 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 10 / 27

Utilizzando la notazione del prodotto riga per colonna il sistema a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2...... a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m può anche essere scritto come Ax = b ove A è la matrice dei coefficienti del sistema, b è la colonna dei termini noti e x 1 x = x 2... è il vettore colonna delle incognita. x n D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 11 / 27

Un sistema lineare si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione, determinato se ammette una ed una sola soluzione, indeterminato se ha più di una soluzione (ed in tal caso ne ha infinite. Ad esempio il sistema è impossibile; il sistema { x +y = 0 x +y = 1 { x +y = 0 x = 1 è determinato ed ha come unica soluzione (x, y = (1, 1 ; il sistema { x +y = 0 2x +2y = 0 è indeterminato ed ha le infinite soluzioni (x, y = (k, k, al variare di k. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 12 / 27

Il metodo di Gauss STRATEGIA: passare dalla matrice [A b] ad un altra matrice [A b ] che rappresenti un sistema equivalente (cioè che ammette le stesse soluzioni, ma molto più semplice da risolversi. OPERAZIONI SULLE RIGHE (lecite, ovvero che fanno passare da un sistema ad un altro equivalente: 1 scambiare due righe tra loro; 2 moltiplicare una riga per una costante diversa da zero; 3 sommare ad una riga il multiplo di un altra. N.B. Le operazioni vanno fatte sulla matrice completa [A b], non solo sulla matrice A dei coefficienti. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 13 / 27

Operazioni lecite sulle righe Esempio di operazione di tipo 1 (scambio R 1, R 3 ( 3 2 1 1 0 1 3 2 0 1 1 0 1 3 2 ( R 1 R 1 0 1 3 2 3 1 3 2 0 1 3 2 1 1 0 Esempio di operazione di tipo 2 (3R 2 ( 3 2 1 1 0 1 3 2 0 1 1 0 1 3 2 ( 3R 3 2 1 1 0 2 3 9 6 0 3 1 0 1 3 2 Esempio di operazione di tipo 3 (R 1 + 3R 2 ( 3 2 1 1 0 1 3 2 0 1 1 0 1 3 2 ( R 1 +3R 0 11 5 1 3 2 1 3 2 0 1 1 0 1 3 2 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 14 / 27

Esempi di matrici "semplici" ESEMPIO 1. corrisponde al sistema ( 1 2 1 0 2 0 1 3 1 0 0 0 1 3 4 x + 2y z = 2 y + 3z + w = 0 z 3w = 4 dall ultima equazione si ricava z = 3w + 4, che si può sostituire nella seconda trovando y = 3z w = 3(3w + 4 w = 10w 12, e alla fine, sostituendo la z e la y nella prima si ricava anche x = 2y + z + 2 = 2( 10w 12 + (3w + 4 + 2 = 23w + 30. Quindi le soluzioni del sistema sono della forma (x, y, z, w = (23w + 30, 10w 12, 3w + 4, w. Si sono trovate infinite soluzioni quindi il sistema è indeterminato. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 15 / 27

ESEMPIO 2. corrisponde al sistema che è evidentemente impossibile. ( 1 2 1 0 2 0 1 3 1 0 0 0 0 0 4 x + 2y z = 2 y + 3z + w = 0 0 = 4 Si noti che negli esempi 1 e 2 le matrici sono a gradini con un 1 come coefficiente dell incognita di ogni "gradino". D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 16 / 27

SCOPO DEL METODO: Ridurre la matrice [A b] in una forma a gradini del tipo: 1............ 0 0 1............ 0 0 0 1....................................... 0 0 0 0............ 0 0 0 0... 1...... in cui in ogni riga compaiono meno incognite della riga precedente. STRUMENTO UTILIZZATO: le operazioni lecite sulle righe viste sopra. Si tratta di un algoritmo: dopo un numero finito di passi si ottiene una matrice dalla quale risulta evidente se il sistema ammette soluzioni oppure no e che, in caso affermativo, permette di trovare le soluzioni ricavando via via le incognite a partire dall ultima equazione e procedendo a ritroso. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 17 / 27

Illustrazione del metodo Come "creare" i gradini? Salvo effettuare scambi di righe, si parte da una matrice in cui la prima incognita compaia nella prima equazione. Moltiplicando la prima riga per una costante si ottiene una matrice in cui il primo elemento della prima riga è 1 R 2 ar 1 R 3 br 1,...,... 1 a 12... a 1n b 1 a a 22... a 2n b 2 b a 32... a 3n b 3.............................. 1 a 12... a 1n b 1 0 a 22... a 2n b 2 0 a 32... a 3n b 3 0............ 0............ D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 18 / 27

A questo punto nel sistema dalla seconda equazione in poi non compare più la prima incognita, quindi compaiono al più n 1 incognite. Su questo sistema con una equazione in meno e con meno incognite si opera analogamente a quanto visto sopra. Se nel corso della procedura, una riga della matrice si annulla interamente (cioè diventa (0 0 0... 0, tale riga può essere cancellata (corrisponde all equazione 0 = 0. Se nel corso della procedura, una riga della matrice si annulla in tutte le entrate salvo che nell ultima (cioè diventa (0 0 0... k, k 0, il sistema è impossibile (tale riga infatti corrisponde all equazione 0 = k. Alla fine della procedura la matrice è ridotta a gradini, e il sistema, se risolubile, può essere risolto a partire dall ultima equazione a ritroso. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 19 / 27

ESEMPIO A 2x 2y + 4z = 0 x + 2z = 2 z = 1 3x 3y = 6 2 2 4 0 1 0 2 2 0 0 1 1 3 3 0 6 1 1 2 0 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 6 6 (1/2R 1 R 4+6R 3 1 1 2 0 1 0 2 2 0 0 1 1 3 3 0 6 1 1 2 0 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 R 2 R 1 R 4 3R 1 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 20 / 27

( 1 1 2 0 0 1 0 2 0 0 1 1 x y + 2z = 0 y = 2 (x, y, z = (4, 2, 1 z = 1 Si è trovata una ed una sola soluzione, quindi il sistema è determinato. ESEMPIO B 3x + y = 4 + x 2y = 3 x 3y = 8 ( 1/5R 2 R 1 R 2 ( 3 1 4 1 2 3 1 3 8 ( 1 2 3 3 1 4 ( 1 1 3 8 2 3 0 1 13/5 0 5 11 R 2 +3R 1 R 3 +R 1 R 3 +5R 2 ( 1 2 3 0 5 13 0 5 11 ( 1 2 3 0 1 13/5 0 0 2 Il sistema quindi è impossibile. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 21 / 27

ESEMPIO C x 2y + z = 0 2x + y = 1 3x 4y + z = 2 ( 1 2 1 0 2 1 0 1 3 4 1 2 ( 1 2 1 0 0 1 2/5 1/5 0 10 4 2 (x, y, z = ( z+2 5, z Il sistema è indeterminato 5, 2z+1 R 2 2R 1 R 3 +3R 1 ( 1 2 1 0 0 5 2 1 0 10 4 2 R 4 +10R 2 (1/5R 2 ( 1 2 1 0 0 1 2/5 1/5 0 0 0 0 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 22 / 27

ESERCIZIO 1 Per ciascuna di queste matrici stabilire se rappresenta un sistema determinato, indeterminato o impossibile. A = C = E = ( 1 0 1 3 0 0 1 0 0 0 0 0 ( 1 2 0 5 0 0 1 3 0 0 0 4 ( 1 2 0 5 0 1 1 3 0 0 k + 3 0 B = D = al variare dei numeri reali h, k e r. ( 1 1 0 0 0 1 6 1 0 0 1 0 F = ( 1 1 0 0 0 1 6 1 0 0 0 h 1 ( 1 1 0 0 0 1 6 1 0 0 r 2 1 r + 1,, D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 23 / 27

ESERCIZIO 2 Stabilire se i seguenti sistemi lineari hanno soluzioni, ed, in caso affermativo, determinarle. 2y 2z = 1 { x y = 1 x +z w = 0 x +y +2z = 0 y +z = 2 2x 2y z = 2 x +2y +z +w = 4 ESERCIZIO 3 Al variare del parametro reale h, stabilire se ciascuno dei seguenti sistemi lineari è determinato, indeterminato o impossibile. { x y = 2 x +2y +2z = 0 y +2z = h + 1 x +z = 0 y +z = 2 y z = 1 x +2y +hz = h + 2 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 24 / 27

Se un sistema è indeterminato e le sue soluzioni dipendono da s parametri, si dice che il sistema ha s soluzioni. Se invece il sistema è determinato, si dice anche che ha 0 soluzioni. Ad esempio, il sistema { x +y +z = 0 2x +2y +2z = 0 ha le infinite soluzioni (x, y, z = (h, k, h k, al variare dei parametri h e k. Pertanto si tratta di un sistema indeterminato che ha 2 soluzioni. Invece il sistema dell esempio C ha 1 soluzioni. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 25 / 27

Caratteristica o rango di una matrice Il procedimento di riduzione a gradini che si è applicato alla matrice completa di un sistema lineare per ridurla a forma "semplice", può essere applicato ad una qualsiasi matrice. Il numero delle righe non nulle che si ottengono alla fine del procedimento viene detto caratteristica o rango della matrice (si dimostra che tale numero non dipende dalle operazioni che si sono fatte per ridurre a gradini la matrice. TEOREMA (di Rouché Capelli - Il sistema lineare Ax = b ha soluzioni se e solo se la caratteristica della matrice dei coefficienti A coincide con la caratteristica della matrice completa [A b]. Inoltre, se il sistema è risolubile, le soluzioni del sistema sono n r, ove n è il numero delle incognite e r è la caratteristica di A (e di [A b]. Ad esempio nel sistema dell esempio 2 x + 2y z = 2 y + 3z + w = 0 0 = 4 la matrice dei coefficienti ha caratteristica 2, mentre la matrice completa ha caratteristica 3, e il sistema è impossibile. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 26 / 27

x + 2y z = 2 Invece, nel caso del sistema y + 3z + w = 0, tanto la matrice dei z 3w = 4 coefficienti quanto la matrice completa hanno caratteristica 3. Il sistema è risolubile ed ha 4 3 = 1 soluzioni. ESERCIZIO - Calcolare la caratteristica di ciascuna delle seguenti matrici: ( 1 0 2 1 1 0 4 0 M = 1 1 1 3 ; N = 1 1 5 0 0 1 1 2 0 1 3 1 1 2 2 1 ESERCIZIO - Al variare del parametro reale α, determinare la carratteristica della matrice ( 0 1 2 1 1 1 2 2. α 2 0 α D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 27 / 27