Esercitazione di Microeconomia 7 Maggio 2012 Marcello De Maria demaria.mar@gmail.com
Il Dilemma del Prigioniero In economia l idea prevalente è che il comportamento degli individui sia mosso dagli interessi personali, con decisioni che vengono prese in maniera razionale secondo il principio di massimizzazione dell utilità personale (Homo Economicus). Esistono però situazioni in cui il comportamento puramente egoistico dell Homo Economicus lascia spazio a considerazioni di tipo altruisco, o dove un atteggiamento di tipo cooperativo produce effetti di benessere migliori rispetto ad un comportamento competitivo (Dilemma del Prigioniero).
Esercizio 1 Durante la correzione del compito di microeconomia, il professore si accorge che i compiti di due studenti - Mario e Giuseppe - sono esattamente identici e con una futile scusa decide di convocarli immediatamente. I due malcapitati, colti alla sprovvista, vengono messi in due stanze separate e non hanno modo di comunicare. Il professore li mette di fronte alle seguenti possibilità: - Se confessate entrambi vi annullo i compiti e vi sospendo per 3 mesi. - Se uno confessa e l altro no, chi confessa non viene sospeso, ma l altro viene sospeso per 4 mesi. - Se entrambi non confessate, verrete sospesi per 1 mese ciascuno. Disegnate la matrice dei pay-offs per i due studenti e determinate quale sarà la strategia prevalente, considerando che i due non possono essere certi in nessun modo della decisione dell altro. L obiettivo, per entrambi, è minimizzare la durata della sospensione.
Soluzione esercizio 1 La matrice dei pay-offs è così formata: Confessa Giuseppe Non confessa Se Mario confessa il suo pay-off è: 3(1/2) + 0(1/2) = 1,5 Mario Confessa Non confessa 3 Mario 3 Giuseppe 4 Mario 0 Giuseppe 0 Mario 4 Giuseppe 1 Mario 1 Giuseppe Se non confessa è: 4(1/2) + 1(1/2) = 2,5 Lo stesso calcolo vale per Giuseppe. La strategia prevalente sarà per entrambi quella di confessare, poiché minimizza i mesi di sospensione.
Commento Esercizio 1 Pur derivando dall applicazione di un criterio di razionalità individuale, la scelta di confessare porta ad un risultato sub-ottimale: se entrambi avessero potuto comunicare e raggiungere un accordo vincolante avrebbero certamente scelto di collaborare - dunque di non confessare - minimizzando così la durata della sospensione (1 mese per ciascuno). Ma non basta, poiché lo scenario in cui gli studenti confessano entrambi costituisce anche il peggiore esito possibile dal punto di vista collettivo (6 mesi di sospensione in tutto), mentre la situazione più favorevole possibile corrisponde al caso in cui si sceglie di non tradire il compagno (solo 2 mesi di sospensione in totale). Il dilemma del prigioniero dunque mette in risalto il conflitto tra razionalità individuale (massimizzazione dell interesse personale) ed efficienza (ovvero il miglior risultato possibile, sia a livello individuale che collettivo). Non sempre una scelta individuale razionale produce i migliori risultati!
Esercizio 2 La zia offre ai suoi due nipoti - Gino e Franco - un pagamento di 10 per pulire il suo balcone. I due non possono svolgere il compito da soli, né possono farlo con un altra persona, perché la zia non si fiderebbe! Le funzioni di utilità dei due sono le seguenti: Ug = 3Mg/0,5Mf Uf = 3Mf/0,5Mg Dove Mf è la ricchezza di Franco, mentre Mg è quella di Gino. Sapendo che inizialmente si ha Mf = Mg = 12 e che se Gino riceve una quota pari a p sul compenso totale allora Franco riceverà (10 - p), qual è la quota minima che Gino accetterebbe per svolgere questo servizio? I due troveranno un accordo per dividere la ricompensa - svolgendo così il compito richiesto dalla zia - o si rifiuteranno?
Soluzione esercizio 2 Dati: Ug = 3Mg/0,5Mf Uf = 3Mf/0,5Mg Ma = Mb = 12 Ricompensa = 10 Pay-off Gino = p Pay-off Franco = 10 - p Mg = Mf = 12 Poiché anche Franco vorrà almeno 8,571 per eseguire il servizio (infatti le funzioni di utilità di Gino e Franco sono speculari), alla fine i due non eseguiranno il lavoro per conto della zia. La ricompensa che questa aveva proposto (=10) è troppo bassa per consentire ai due di accettare (8,571 + 8,571 = 17,142). Calcolo il livello iniziale di utilità => Ug = Uf = 3x12/0,5x12 = 36/6 = 6 Calcolo p, cioè la quota minima di ricompensa che Gino vuole ricevere per eseguire il compito, ossia quella che quantomeno non peggiora il suo livello iniziale di utilità (Ug = 6): (12x3) + p / (0,5x12) + (10-p) = 6 => 36 + p / 6 + 10 - p = 6 => 36+p = 6 (16-p) => 36 + p = 96-6p => 7p = 60 => p = 60 / 7 = 8,571
Esercizio 3 Considerate una situazione identica a quella dell esercizio precedente, ad eccezione della forma funzionale delle utilità di Gino e Franco, che stavolta sono di questo tipo: Ug = 2Mg +1/2Mf Uf = 2Mf + 1/2Mg I due accetteranno l incarico in questo caso? Quale accordo troveranno per dividere la ricompensa?
Soluzione esercizio 3 Dati: Ug = 2Mg+0,5Mf Uf = 2Mf+0,5Mg Ma = Mb = 12 Ricompensa = 10 Pay-off Gino = p Pay-off Franco = 10 - p Mg = Mf = 12 In questo caso i due accetteranno l incarico in ogni caso, poiché qualsiasi ripartizione tra Franco e Gino della ricompensa produce un incremento di utilità per entrambi, pari a sempre a 10! Si ha infatti: 2 x 12 + p + 6 + (10 - p) => ponendo ad esempio p=0 => 24 + 0 + 6 + 10-0 = 46
Commento esercizi 2 e 3 Al variare della forma funzionale dell utilità, può cambiare la decisione che gli individui prendono anche in contesti del tutto identici: Nell esercizio 2, le funzioni di utilità sono tali che se aumenta l utilità di un individuo diminuisce quella dell altro. In Questa situazione i due rinunciano alla ricompensa poiché se uno ci guadagna, l altro peggiora invece la sua situazione. Nell esercizio 3, la funzione di utilità tende all altruismo: i due nipoti sono talmente legati che se uno migliora la propria situazione anche l altro ne riceve un beneficio, a prescindere dalla ripartizione della ricompensa.
Commento es. 2 e 3 In generale l assioma di scelta individuale razionale basato sulla massimizzazione dell utilità personale, pur essendo in grado di descrivere il comportamento prevalente degli individui, deve essere analizzato in relazione ad alcuni elementi che sono in grado di modificare anche in maniera profonda gli esiti: - Asimmetrie informative - Costi di transazione e sunk costs - Struttura delle preferenze individuali - Tendenza all altruismo o all egoismo - Aspettative sul futuro - Contesto di riferimento etc...
La Produzione (breve periodo) La funzione di produzione descrive la relazione esistente tra la Q di output prodotto e la Q di input necessari per produrla. Es: Q = ƒ(k,l) => Q = 2/3KL Il prodotto medio (AP) è il rapporto tra la Q di output prodotta, e la Q di input necessaria per produrla. Ad esempio nel caso del Lavoro (L): AP = Q/L Il prodotto marginale (MP) è la Q di output derivante dall utilizzo di una unità addizionale di un input variabile, a parità di tutti gli altri fattori. Ad esempio, ne caso del Lavoro (L): MP = Q/ L
Esercizio 4 Data la funzione di produzione: Q = 2/3K 0 L Quanto lavoro è necessario per produrre un output pari a 18, se K 0 è costante, pari a 1? Qual è in questo caso la produttività del lavoro?
Soluzione esercizio 4 Per calcolare il lavoro necessario a produrre un output pari a 18 riscrivo l equazione della funzione di produzione ponendo Q=18 e sapendo che K 0 =1: Q = 2/3K 0 L => 18 = 2/3L => 18 x 3/2 = L => L = 27 La produttività del lavoro coincide con il prodotto medio (AP): AP L = Q/L => AP L = 18/27 = 2/3
Esercizio 5 Quantità (Q) Lavoro (L) 0 0 10 1 28 2 52 3 75 4 93,75 5 93,75 6 75 7 Dalla tabella ricavate i valori di MP ed AP in corrispondenza di ogni unità di Lavoro impiegata. Successivamente disegnate le curve del prodotto totale, del prodotto medio e del prodotto marginale A quale livello di L si ha che AP=MP? In corrispondenza di quale livello di utilizzo del fattore lavoro entra in gioco la legge dei rendimenti decrescenti?
Soluzione esercizio 5 Quantità (Q) Lavoro (L) Ap = Q/L Mp = Q/ L 0 0 0 0 10 1 10,000 10,000 28 2 14,000 18,000 52 3 17,333 24,000 75 4 18,750 23,000 93,75 5 18,750 18,750 93,75 6 15,625 0,000 75 7 10,714-18,750
Mp, Ap Prodotto Tot. Curva del Prodotto Totale 93,75 93,75 75 75 52 100 90 80 70 60 50 40 28 30 20 Graficamente si ha: 10 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Lavoro Curva del Prodotto Medio (AP) e Curva del Prodotto Marginale 30 25 20 15 10 5 0-5 0 1 2 3 4 5 6 7-10 -15-20 -25 Lavoro Ap = Mp quando vengono impiegate 5 unità di lavoro La quarta unità di lavoro impiegata ha un rendimento marginale minore rispetto alla terza (23<24). Oltre la terza unità di lavoro, dunque, entra in gioco la legge dei rendimenti decrescenti. Ap = Q/L Mp = DL/DL
La Produzione (lungo periodo) Nel breve periodo almeno un fattore della produzione non può essere modificato; nel lungo periodo invece tutti i fattori sono variabili. Isoquanto: rappresenta tutte le combinazioni possibili di fattori che producono uno stesso livello di output. Il saggio marginale di sostituzione tecnica (MRTS) è il saggio al quale un fattore può essere sostituito con un altro, lasciando inalterato il livello di output. MRTS = MP LA /MP KA = Q/ L Attenzione: I rendimenti di scala costanti, crescenti e decrescenti non vanno confusi con la legge dei rendimenti marginali decrescenti!
Esercizio 6 In una data situazione produttiva, il saggio marginale di sostituzione tecnica (MRTS) tra K ed L risulta pari a 5 ( si può sostituire 1 unità di K con 5 di L). Aumentando la quantità di L di 20 unità - fermo restando la quantità di K - la produzione aumenterebbe di 80000. Si calcoli il prodotto (produttività) marginale del K.
Soluzione esercizio 6 Dati: Aumento di produzione per un aumento di L di 20 Unità = 80000 MRTS = 5 = MP K /MP L Ricordando che MRTS = MP K /MP L si ha che MPK =MP L xmrts so che MP L = 80000/20 = 4000 Segue quindi che MPk = 4000x5 = 20000
Esercizio 7 Individuate nel grafico le regioni corrispondenti a rendimenti di scala crescenti, costanti e decrescenti. Che tipo di rendimenti vi aspettate di trovare passando dal punto F al punto X?
Soluzione esercizio 7 Rendimenti di scala crescenti nel tratto A-C Rendimenti di scala decrescenti in C-E Rendimenti di scala decrescenti nel tratto E- F; poiché da qui i rendimenti cominciano a decrescere, mi aspetto che anche F-X abbia rendimenti di scala decrescenti
I Costi Il costo fisso è un costo che nel breve non varia al variare dell output: FC = rk 0 Il costo variabile è il costo totale del fattore di produzione variabile per ogni livello di output: VC Q1 = wl 1 Il costo totale è la somma di costi fissi (FC) e variabili (VC): TC Q1 = VC Q1 +FC = wl + rk 0
Altri costi di breve periodo Costo medio fisso: AFC Q1 = FC/Q1 = rk 0 /Q1 Costo medio variabile: AVC Q1 = VC Q1 /Q1 = wl 1/ Q1 Costo medio totale: ATC Q1 = AFC Q1 + AVC Q1 = (rk 0 +wl 1 )/Q1 Costo marginale: MC Q1 = DTC Q1 /DQ = DVC Q1 /DQ
Esercizio 9
Esercizio 8 Output (Q) Lavoro (L) 0 0 4 1 14 2 27 3 43 4 58 5 72 6 81 7 86 8 Sapendo che il salario (w) è pari a 10
Soluzione Esercizio 8 Output (Q) Lavoro (L) FC VC =wl TC =VC+FC 0 0 30 0 30 4 1 30 10 40 14 2 30 20 50 27 3 30 30 60 43 4 30 40 70 58 5 30 50 80 72 6 30 60 90 81 7 30 70 100 86 8 30 80 110 AVC =VC/Q AFC=FC/Q ATC=AVC+AFC MC1=DTC/DQ MC2=DVC/DQ 0,00 0,00 0,00 - - 2,50 7,50 10,00 2,50 2,50 1,43 2,14 3,57 1,00 1,00 1,11 1,11 2,22 0,77 0,77 0,93 0,70 1,63 0,63 0,63 0,86 0,52 1,38 0,67 0,67 0,83 0,42 1,25 0,71 0,71 0,86 0,37 1,23 1,11 1,11 0,93 0,35 1,28 2,00 2,00
Esercizio 9 Due processi produttivi differenti (a e b) che generano uno stesso output danno origine alle seguenti curve di costo marginale: MCa=12Qa MCb=12Qb Calcola Qa e Qb tali da minimizzare i costi di produzione, dato un output pari a 12 (ricorda che l allocazione più efficiente per due processi produttivi si ha quando Mca=MCb). Sei in grado di calcolare il valore del costo marginale in questo caso?
Soluzione Dati: MCa = 12Qa MCb = 4Qb Qa + Qb = 12 => Qb = 12 - Qa Pongo MCa = MCb => 12Qa = 4Qb => 12Qa = 4(12 - Qa) => 12Qa = 48-4Qa => 16Qa = 48 => Qa = 48/16 = 3 Quindi Qb = 12 - Qa =12-3 = 9 Per trovare MCa ed MCb sostituisco nell espressione iniziale i valori di Qa e Qb ottenuti, verificando che sia rispettata MCa=MCb => 12x3 =4x9 = 36)