Lezione 16 (15 dicembre) Funzioni reali di due variabili

Lezione 16 (15 dicembre) Funzioni reali di due variabili

Funzioni in due variabili Una funzione reale di due variabili è una funzione f: Ω R 2 R (x, y) f(x, y) e per rappresentarla è necessario usare lo spazio R 3. Esempio: f x, y = x 2 + y 2 + 1

Intorno di un punto Dato P 0 = x 0, y 0 R 2, si chiama intorno di P 0 di raggio δ dove d P, P 0 I δ P 0 = P R 2 : d P, P 0 < δ è la distanza tra i punti P = (x, y) e P 0 e si calcola d P, P 0 = x x 0 2 + y y 0 2 L intorno è formato dai punti del piano che stanno all interno della circonferenza di raggio δ e centrata in P 0 ma non sul bordo. δ

Definizione di limite Sia f: Ω R 2 R una funzione e P 0 un punto di accumulazione per Ω, allora lim P P 0 f P = l se ε > 0 δ > 0 tale che P I δ (P 0 ) si ha f P l < ε.

Esempio Calcolare, se esiste, lim x,y (0,0) xy x 2 + y 2 Il dominio della funzione f x, y = xy x 2 + y 2 è Ω = x, y R 2 : x 2 + y 2 0 = R 2 {(0,0)} quindi P 0 = 0,0 è punto di accumulazione di Ω. Se il limite esiste, qualunque sia la direzione scelta per avvicinarsi al punto P 0, il valore del limite deve essere lo stesso.

Esempio Lungo la bisettrice y = x, con x > 0 la funzione assume la forma f x, x = x x x 2 +x 2 = 1 2 e calcolando il limite per x 0 + si ottiene 1 2.

Esempio Se il limite fosse 1, allora dovrebbe essere tale lungo ogni direzione. 2 Scegliamo per esempio la direzione y = 0, con x > 0 la funzione assume la forma f x, 0 = x 0 x 2 +0 2 = 0 x 2 = 0 e calcolando il limite per x 0 + si ottiene 0. Avendo ottenuto limiti diversi seguendo due direzioni diverse, il limite non esiste.

Definizione di continuità Sia f: Ω R 2 R una funzione. f è continua in P 0 = x 0, y 0 Ω se ovvero se lim f P = f(p 0 ) P P 0 lim f x, y = f(x 0, y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 )

Vettori Un vettore Ԧv è identificato mediante l assegnazione di: 1. un modulo (o lunghezza) 2. una direzione (la retta su cui giace il vettore) 3. un verso (dato dalla freccia) Un vettore viene rappresentato come un segmento orientato P 0 è il punto d applicazione

Derivata direzionale Sia Ԧv un versore (vettore di modulo 1) che descrive una direzione, allora la derivata di f x, y lungo la direzione di Ԧv è D v f P 0 se tale limite esiste finito. = lim h 0 f P 0 + h Ԧv f(p 0 ) h Le derivate lungo le direzioni degli assi cartesiani x e y, descritti rispettivamente dai vettori e 1 = (1,0) e e 2 = (0,1), sono chiamate derivate parziali.

Derivate parziali Lungo la direzione dell asse x il valore della y rimane costante quindi la variazione avviene solo rispetto alla x x x f x 0 + h, y 0 f(x 0, y 0 ) 0, y 0 = f x x 0, y 0 = lim h 0 h analogamente lungo la direzione dell asse delle y il valore della x rimane costante quindi la variazione avviene solo rispetto alla y y x f x 0, y 0 + h f(x 0, y 0 ) 0, y 0 = f y x 0, y 0 = lim h 0 h

Esempio Nella pratica: quando si deriva rispetto a x, la y deve essere considerata costante. Viceversa, quando si deriva rispetto a y, la x deve essere considerata costante. Calcolare le derivate parziali della funzione f x, y = x 3 + 2x 2 y 2 + 3y x x, y = f x x, y = 3x 2 + 2y 2 2x + 0 y x, y = f y x, y = 0 + 2x 2 2y + 3

Esempio. Derivate parziali Calcolare le derivate parziali della funzione Derivata parziale rispetto a x: f x, y = x 2 y 3 + sin x ln y + x y 5 x x, y = f x x, y = y 3 2x + ln y cos x + 1 0 Derivata parziale rispetto a y: y x, y = f y x, y = x 2 3y 2 + sin x 1 y + 0 5y4

Esempio. Derivate parziali Calcolare le derivate parziali della funzione f x, y = x 2 y 3 + 3 + cos x ln (y + 3) Derivata parziale rispetto a x: x x, y = f x x, y = 2x y 3 + 3 + cos x + x 2 0 + 0 sin x 0 Derivata parziale rispetto a y: y x, y = f y x, y = x 2 3y 2 + 0 + 0 1 y + 3