Esame Scritto Fisica Generale T-B (CdL Ingegneria Civile e Informatica [A-K]) Prof. M. Sioli V Appello - 22/7/213 Soluzioni Esercizi Ex. 1 Nel vuoto, nella regione di spazio delimitata dai piani x = e x = d, dove d = 3 cm, è distribuita una carica elettrica con densità volumetrica uniforme ρ = 1 nc/m 3. a) Determinare modulo, direzione e verso del campo elettrostatico in tutto lo spazio e rappresentarne graficamente l andamento. Si supponga ora che le cariche non siano distribuite nel vuoto ma in un mezzo di costante dielettrica relativa ε r = 3. b) Determinare il campo elettrostatico all interno ed all esterno delle due superfici piane indefinite. Sol. 1 a) Data la simmetria della configurazione, il campo è parallelo all asse x ortogonale ai piani e risulta conveniente applicare la legge di Gauss. Per determinare il campo elettrostatico nelle regioni esterne alla distribuzione carica, si considera una superficie cilindrica Σ 1 il cui asse corrisponda all asse x e le cui basi S siano parallele ai piani e poste una in x < e l altra in x > d. Applicando la legge di Gauss: Φ Σ1 ( E) = Q int = E(x) 2S = ρ d S quindi nelle due regioni di spazio esterne alle superfici piane il campo è uniforme ed è pari a E(x) = ρd 2 î (x < ) E(x) = + ρd 2 î (x > d) 1
Il modulo del campo esterno allo strato è: E (x < ; x > d) = 169.5 V/m Per calcolare il campo nella regione compresa tra le due superfici in cui è distribuita la carica elettrica, si considera una superficie cilindrica Σ 2 orientata come sopra ma con una base all interno dello strato ( x d): Φ Σ2 ( E) = E(x)S + ρd 2 S = ρ x S da cui si ottiene il campo nella regione di spazio x d: ( ρx E(x) = ρd ) î ( x d) 2 L andamento del campo elettrostatico in funzione di x è mostrato in figura. E(x) + ρd 2 d x ρd 2 b) Considerando lo strato carico composto di un dielettrico, l andamento del campo E cambia solo all interno del mezzo, mentre nelle regioni esterne (nel vuoto) rimane invariato. Procedendo come nel punto a), si applica la legge di Gauss per il vettore spostamento elettrico D = ε r E (dielettrico normale), le cui sorgenti sono le sole cariche libere. Si ricava: ε r E(x)S + ρd 2 S = ρ x S Il campo all interno dello strato di dielettrico ( x d) risulta: ( ρx E(x) = ρd ) î ( x d) ε r 2 ε r 2
Ex. 2 Si consideri un filo percorso da una corrente i = 7 A, formato da due tratti rettilinei ed un semicerchio di raggio = 1 cm, come mostrato in figura. Il filo ha una lunghezza complessiva pari a 6. Si calcoli il campo di induzione magnetica generato nel punto C al centro del semicerchio. C i Sol. 2 Si applica il principio di sovrapposizione e si considera il campo magnetico B(C) come la somma dei contributi dati dagli elementi infinitesimi d l del circuito percorso dalla corrente i. Per la prima legge di Laplace, ogni elemento d l produce un campo d B espresso dalla relazione: db = µ i d l r 4π r 3 Si noti che i tratti rettilinei del filo non contribuiscono al campo magnetico in C, dal momento che sono paralleli al vettore posizione r. Contribuisce solo la semicirconferenza, dunque: B = semicirc µ i d l r 4π 3 dove si è tenuto conto che il modulo del vettore posizione è pari al raggio lungo il tratto semicircolare. Definendo l asse z perpendicolare ed uscente dal piano che contiene il filo, si ottiene: B = µ i 4π ˆk 2 semicirc dl = µ i 4 ˆk Come ci si potrebbe aspettare, il campo magnetico in C è pari alla metà del campo generato da una spira circolare di raggio nel suo centro. Ex. 3 Una spira rettangolare, di lati a e 4a e di resistenza, è estratta con velocità costante v da una regione di campo magnetico B uniforme, in cui era immersa solo per metà. 3
a) Calcolare la corrente indotta nella spira in funzione dei dati del problema; b) Calcolare la forza che agisce sulla spira in funzione della velocità di estrazione v; c) Determinare il lavoro compiuto per estrarre completamente la spira. B 2a 2a a v Sol. 3 a) Durante l estrazione, varia il flusso del campo magnetico attraverso la spira ed è dunque indotta una forza elettromotrice. Il flusso del campo B attraverso la parte di spira immersa nella regione magnetizzata si può scrivere nella forma: Φ( B) = B a (2a x) dove la normale alla superficie per il calcolo del flusso è stata scelta concorde al campo B. Arbitrariamente l asse x è stato definito in modo tale che la derivata di x sia pari alla velocità di estrazione v, l origine dell asse è stato posto alla fine della regione magnetizzata. Nella spira sarà indotta una f.e.m. per la legge di Faraday-Neumann- Lenz: E = d (B a (2a x)) = B a v dt La corrente indotta sarà quindi data da i = E = B a v Il segno positivo indica che il verso della corrente è antiorario: in accordo con la legge di Lenz, tende infatti a compensare la diminuzione del flusso del campo magnetico generando un contributo concorde al campo preesistente. 4
b) La spira percorsa dalla corrente i subirà una forza esprimibile tramite la seconda legge di Laplace: F = i l B Le forze agenti sui lati paralleli all asse x sono uguali ed opposte in ogni istante, quindi danno contributo nullo. La forza agente sul lato perpendicolare al moto (di lunghezza a) mentre è ancora immerso nella regione magnetizzata è pari a F = i a B î = B2 a 2 v La forza agente sulla spira si oppone al moto e dipende linearmente dalla velocità. c) Il lavoro per estrarre completamente la spira è compiuto da una forza uguale e contraria alla forza magnetica calcolata nel punto b): L = 2a F ext d l = 2a i a B dx = 2B2 a 3 v î 5