Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del --8 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio ( punti Data la funzione f(, = i determinare il suo dominio naturale; ii studiarne la continuità; { + (, (, (, = (, iii determinare massimo e minimo di f su dato dal triangolo di vertici S = (,, S = (, e S = (, Esercizio ( punti Calcolare l integrale e + d d dove = { (, R : + 9,, } Esercizio (8 punti Dato il campo di vettori ( + cos + F(, = + ( + cos + + + i dire se è conservativo sul suo dominio naturale; ii calcolare il lavoro di F lungo la curva (γ, I, con I = [, ] e parametrizzazione ( γ : [, ] R, γ(t = t, sin t
Svolgimento Esercizio Data la funzione f(, = i determinare il suo dominio naturale; { + (, (, (, = (, La funzione è definita come f (, = + su R \{(, }, e come f (, = su {(, } Il dominio naturale di f è X = R \{ = ±}, mentre il dominio naturale di f è X = {(, } Dunque il dominio naturale di f è X = (R \ { = ±} {(, } ii studiarne la continuità; Essendo le funzioni f e f composizione di funzioni continue, la funzione f è sicuramente continua in tutti i punti del suo dominio naturale diversi da X X = {(, } Rimane quindi da studiare la continuità di f in (,, e dobbiamo stabilire se lim f(, = f(, = (, (, Iniziamo a studiare il comportamento lungo le rette della forma = λ con λ R \ {±} Si trova lim =λ, (, (, + = lim λ 4 + λ λ = λ R \ {±} Lo stesso vale restringendoci all asse, ossia ponendo = Consideriamo poi il limite lungo le curve del tipo = α con α > e α Si trova lim = α, (, (, + +α + α = lim α = lim + +α +o( =, se α > lim + +α =, se α (, α +o( α Come ultima direzione consigliata per lo studio del limite, scegliamo le curve tangenti a una delle direzioni che annullano il denominatore, = ± Poniamo per esempio = + β, con β > Si trova lim =+ β, (, (, + = lim + 4 + +β ( + β = lim + 4 + o( 4 +β + o( +β per β Abbiamo dunque dimostrato che il limite non esiste, e quindi la funzione f non è continua in {(, } iii determinare massimo e minimo di f su dato dal triangolo di vertici S = (,, S = (, e S = (, L insieme è rappresentato nella figura
5 5-5 - -5-5 5 5 5 Figure : L insieme Per studiare massimo e minimo assoluto di f su dobbiamo considerare i valori che la funzione assume su eventuali punti di non differenziabilità, sui punti critici liberi interni a, sui punti critici vincolati al bordo di e sugli eventuali spigoli del bordo L insieme è interamente contenuto nella parte interna del dominio naturale X della funzione f che definisce f La funzione f è un rapporto di polinomi, e dunque è differenziabile in tutto Possiamo quindi calcolare il gradiente su f(, = ( ( ( + ( da cui si ricava che i punti critici soddisfano =, e quindi non ci sono punti critici liberi in Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Gli spigoli sono i punti ( ( ( S = S = S = La funzione f è differenziabile su tutto il bordo per quanto visto prima Il bordo lo dividiamo in tre parti: Γ = { =, } Γ = { =, } Γ = { =, } Per quanto riguarda Γ possiamo usare la parametrizzazione γ (t = (t, t, t [, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g (t = f(γ (t = + t4 t, t [, ] t Risulta g (t = t (t 8t+ (t, dunque non ci sono punti critici in (,
Per quanto riguarda Γ possiamo usare la parametrizzazione γ (t = (, t, t [, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g (t = f(γ (t = + 8t, t [, ] 4 t Risulta g (t = 8(t +4 (4 t, dunque non ci sono punti critici Per quanto riguarda Γ possiamo usare la parametrizzazione γ (t = (t, t, t [, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g (t = f(γ (t = + t t 4, t [, ] t Risulta g (t = t (t 8t+, dunque non ci sono punti critici in (, I valori che dobbiamo (t confrontare sono dunque Dunque il massimo di f è e il minimo è 5 f(s =, f(s =, f(s = 5 Esercizio Calcolare l integrale e + d d dove = { (, R : + 9,, } L insieme è rappresentato nella figura È possibile svolgere l integrale applicando le formule di riduzione, vedendo come insieme semplice rispetto alla ma l integrale non è agevole, oppure usando il cambiamento di variabili in coordinate polari, ossia ψ(ρ, θ = (, con { = ρ = ρ e det J ψ (ρ, θ = ρ Svolgiamolo con il cambiamento di variabili Dunque ponendo S l insieme tale che ψ(s =, abbiamo e + d d = sin θ eρ dρ dθ Determiniamo adesso S e proviamo a scriverlo come insieme semplice Dalla definizione di troviamo { S = (ρ, θ [, + [, ] : ρ 9, ρ, ρ } S 4
Figure : L insieme Ω Le prime due condizioni, e l informazione ρ > che si ricava dalla terza condizione, ci dicono che h i ρ [, ] e θ, La terza condizione per S si riscrive invece, osservando che > per ogni θ,, come ρ L insieme S e quindi quello rappresentato in figura con ρ sulle ascisse e θ sulle ordinate Per 5 5 5-5 - 5 5 5 Figure : L insieme S scriverlo come insieme semplice dobbiamo considerare la soluzione in [, ] di = 5
che è θ = arcsin, e la soluzione in [, ] di = che è θ = Possiamo dunque scrivere S come unione di due insiemi semplici, { S = (ρ, θ : θ θ }, { ρ (ρ, θ : θ, ρ } Dunque = = θ θ = ( sin θ e + d d = sin θ eρ dρ (e sin e θ dθ + ( e + e θ dθ + + θ S sin θ eρ dρ dθ = ( sin θ ( e = e e + e sin θ eρ dρ (e e + e dθ = dθ = = Esercizio Dato il campo di vettori F(, = ( + cos + + cos + ( + + + i dire se è conservativo sul suo dominio naturale; Il dominio naturale del campo è l insieme aperto e connesso X = R \ {(, } Per dire se il campo è conservativo su X, studiamo innanzitutto se è irrotazionale Troviamo ( F (, = cos + + + + = = ( ( sin + cos + + + + + ( + F (, = ( cos + + + =
e dunque ( sin + = ( cos + + + + ( + rot(f(, = F (, F (, = Quindi il campo F è irrotazionale Il dominio naturale X non è semplicemente connesso, e dunque per determinare se F è conservativo su X dobbiamo calcolare il lavoro del campo lungo una curva chiusa che racchiuda il punto {(, } Definiamo la curva ( γ, I con I = [, ] e γ(t = (cos t, sin t Si trova allora che L(F, γ = < ( cos cos t sin t cos sin t + cos t ( sin t, cos t > dt = dt = Essendo il lavoro non nullo, il campo F non è conservativo su X ii calcolare il lavoro di F lungo la curva (γ, I, con I = [, ] e parametrizzazione ( γ : [, ] R, γ(t = t, sin t Studiamo le proprietà della curva (γ, I La curva è di classe C, e non è chiusa, essendo γ( = (, γ( = (,, e il sostegno disegnato in figura 4 è contenuto interamente nel dominio del campo, e in particolare nell insieme = { > } Per il calcolo del lavoro possiamo 5-5 - 4 8 Figure 4: Il sostegno della curva (γ, I considerare il campo F ristretto all insieme, che è semplicemente connesso Essendo il campo irrotazionale, il Lemma di Poincaré implica che F è conservativo su Possiamo quindi definire una curva γ : [a, b] R di classe C, con sostegno contenuto in e con punto iniziale in (, e punto finale in (,, e usare che L(F, γ = L(F, γ Un esempio è la curva ( γ : [, ] R, γ(t = t, per la quale si trova L(F, γ = L(F, γ = < ( cos t t (, > dt = cos t dt = 7
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito B del --8 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio ( punti Data la funzione f(, = i determinare il suo dominio naturale; ii studiarne la continuità; { + (, (, (, = (, iii determinare massimo e minimo di f su dato dal triangolo di vertici S = (,, S = (, e S = (, Esercizio ( punti Calcolare l integrale e + d d dove = { (, R : + 9,, } Esercizio (8 punti Dato il campo di vettori ( + sin + F(, = + ( + sin + + + i dire se è conservativo sul suo dominio naturale; ii calcolare il lavoro di F lungo la curva (γ, I, con I = [, ] e parametrizzazione ( γ : [, ] R, γ(t = t, sin t 8
Svolgimento Esercizio Data la funzione f(, = i determinare il suo dominio naturale; { + (, (, (, = (, La funzione è definita come f (, = + su R \ {(, }, e come f (, = su {(, } Il dominio naturale di f è X = R \{ = ±}, mentre il dominio naturale di f è X = {(, } Dunque il dominio naturale di f è X = (R \ { = ±} {(, } ii studiarne la continuità; Essendo le funzioni f e f composizione di funzioni continue, la funzione f è sicuramente continua in tutti i punti del suo dominio naturale diversi da X X = {(, } Rimane quindi da studiare la continuità di f in (,, e dobbiamo stabilire se lim f(, = f(, = (, (, Iniziamo a studiare il comportamento lungo le rette della forma = λ con λ R \ {±} Si trova lim =λ, (, (, + = lim λ 4 + λ λ = λ R \ {±} Lo stesso vale restringendoci all asse, ossia ponendo = Consideriamo poi il limite lungo le curve del tipo = α con α > e α Si trova lim + lim = α, (, (, + = lim +α + α α = +α +o( =, se α > lim + +α =, se α (, α +o( α Come ultima direzione consigliata per lo studio del limite, scegliamo le curve tangenti a una delle direzioni che annullano il denominatore, = ± Poniamo per esempio = + β, con β > Si trova lim =+ β, (, (, + = lim + ( + β ( + β = lim + 4 + o( 4 +β + o( +β per β Abbiamo dunque dimostrato che il limite non esiste, e quindi la funzione f non è continua in {(, } iii determinare massimo e minimo di f su dato dal triangolo di vertici S = (,, S = (, e S = (, L insieme è rappresentato nella figura 5 9
5 5 5-5 -5 - -5 5 5 Figure 5: L insieme Per studiare massimo e minimo assoluto di f su dobbiamo considerare i valori che la funzione assume su eventuali punti di non differenziabilità, sui punti critici liberi interni a, sui punti critici vincolati al bordo di e sugli eventuali spigoli del bordo L insieme è interamente contenuto nella parte interna del dominio naturale X della funzione f che definisce f La funzione f è un rapporto di polinomi, e dunque è differenziabile in tutto Possiamo quindi calcolare il gradiente su f(, = ( + ( ( ( da cui si ricava che i punti critici soddisfano =, e quindi non ci sono punti critici liberi in Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Gli spigoli sono i punti ( ( ( S = S = S = La funzione f è differenziabile su tutto il bordo per quanto visto prima Il bordo lo dividiamo in tre parti: Γ = { = +, } Γ = { =, } Γ = { =, } Per quanto riguarda Γ possiamo usare la parametrizzazione γ (t = (t, t +, t [, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g (t = f(γ (t = t( + t t +, t [, ] Risulta g (t = (+t (t +4t+ (t+, dunque non ci sono punti critici in (,
Per quanto riguarda Γ possiamo usare la parametrizzazione γ (t = (t,, t [, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g (t = f(γ (t = + 8t t, t [, ] 4 Risulta g (t = 8(t +4 (t 4, dunque non ci sono punti critici Per quanto riguarda Γ possiamo usare la parametrizzazione γ (t = (t, t, t [, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g (t = f(γ (t = + t( t t, t [, ] Risulta g (t = ( t (t 4t+, dunque non ci sono punti critici in (, I valori che dobbiamo (t confrontare sono dunque Dunque il massimo di f è 4 e il minimo è f(s =, f(s =, f(s = 4 Esercizio Calcolare l integrale e + d d dove = { (, R : + 9,, } L insieme è rappresentato nella figura È possibile svolgere l integrale applicando le formule di riduzione, vedendo come insieme semplice rispetto alla ma l integrale non è agevole, oppure usando il cambiamento di variabili in coordinate polari, ossia ψ(ρ, θ = (, con { = ρ = ρ e det J ψ (ρ, θ = ρ Svolgiamolo con il cambiamento di variabili Dunque ponendo S l insieme tale che ψ(s =, abbiamo e + d d = cos θ eρ dρ dθ Determiniamo adesso S e proviamo a scriverlo come insieme semplice Dalla definizione di troviamo S = {(ρ, θ [, + [, ] : ρ 9, ρ, } ρ S
Figure : L insieme Ω Le prime due condizioni, e l informazione ρ > che si ricava dalla terza condizione, ci dicono che h i ρ [, ] e θ, La terza condizione per S si riscrive invece, osservando che > per ogni θ,, come ρ L insieme S e quindi quello rappresentato in figura 7 con ρ sulle ascisse e θ sulle ordinate Per 5 5 5-5 - 5 5 5 Figure 7: L insieme S scriverlo come insieme semplice dobbiamo considerare la soluzione in [, ] di =
che è θ = arccos, e la soluzione in [, ] di = che è θ = Possiamo dunque scrivere S come unione di due insiemi semplici, { S = (ρ, θ : θ θ, ρ } { (ρ, θ : θ θ, ρ } Dunque = = θ θ ( cos θ = e e + d d = cos θ eρ dρ (e e θ e S dθ + θ dθ + θ + e cos θ eρ dρ dθ = ( θ cos θ θ e cos θ eρ dρ dθ = (e cos e θ dθ = = θ = e + e e Esercizio Dato il campo di vettori F(, = ( + sin + + sin + ( + + + i dire se è conservativo sul suo dominio naturale; Il dominio naturale del campo è l insieme aperto e connesso X = R \ {(, } Per dire se il campo è conservativo su X, studiamo innanzitutto se è irrotazionale Troviamo ( F (, = sin + + + + = = ( ( cos + sin + + + + + ( + F (, = ( sin + + + =
e dunque ( cos + = ( sin + + + + ( + rot(f(, = F (, F (, = Quindi il campo F è irrotazionale Il dominio naturale X non è semplicemente connesso, e dunque per determinare se F è conservativo su X dobbiamo calcolare il lavoro del campo lungo una curva chiusa che racchiuda il punto {(, } Definiamo la curva ( γ, I con I = [, ] e γ(t = (cos t, sin t Si trova allora che L(F, γ = < ( sin cos t sin t sin sin t + cos t ( sin t, cos t > dt = dt = Essendo il lavoro non nullo, il campo F non è conservativo su X ii calcolare il lavoro di F lungo la curva (γ, I, con I = [, ] e parametrizzazione ( γ : [, ] R, γ(t = t, sin t Studiamo le proprietà della curva (γ, I La curva è di classe C, e non è chiusa, essendo γ( = (, γ( = (,, e il sostegno disegnato in figura 8 è contenuto interamente nel dominio del campo, e in particolare nell insieme = { > } Per il calcolo del lavoro possiamo 8 4 4 8 Figure 8: Il sostegno della curva (γ, I considerare il campo F ristretto all insieme, che è semplicemente connesso Essendo il campo irrotazionale, il Lemma di Poincaré implica che F è conservativo su Possiamo quindi definire una curva γ : [a, b] R di classe C, con sostegno contenuto in e con punto iniziale in (, e punto finale in (,, e usare che L(F, γ = L(F, γ Un esempio è la curva ( γ : [, ] R, γ(t = t, per la quale si trova L(F, γ = L(F, γ = < ( sin t t (, > dt = sin t dt = 4