MECCANICA COMPUAZIONALE Modelli numerici di frattura del calcestruzzo 21 dicembre 2004 Sommario 1) Modellazione numerica del calcestruzzo 2) Richiami di analisi non-lineare 3) Richiami di elementi finiti 4) Elementi finiti con non-linearità materiali 5) Modello di danno uniassiale 6) Modelli continui 3D e applicazioni 1
1. FRAURA NEL CALCESRUZZO Introduzione Lo studio e la progettazione delle strutture in CA vengono solitamente effettuati con l ausilio di codici agli elementi finiti, limitandosi ad analisi lineari. In casi eccezionali (e.g. forte sisma) le strutture escono inevitabilmente dal campo lineare e si danneggiano. È necessario modellare tali situazioni per poterle controllare e garantire la sicurezza. La fessurazione del CLS è un fenomeno dalla fisica complessa Non ne esiste un modello numerico definitivo È comune anche in altri materiali dell Ingegneria Civile (muratura, rocce, alcuni terreni) 2
Fonti di non-linearità nel C.A. calcestruzzo: fessurazione in trazione plasticità in compressione ritiro fenomeni viscosi (fluage) acciaio: plasticità interazione acciaio-calcestruzzo: trasferimento delle azioni da cls fessurato ad armature perdita di aderenza e sfilamento Cause della micro-fessurazione del cls La perdita di caratteristiche meccaniche è dovuta al proliferare di cavità e microdifetti preesistenti (già prima di ogni carico), dovuti a: Discontinuità della matrice cementizia (difetti in scala atomica, porosità capillare, idratazione localmente incompleta, locali eccessi d acqua) Ritiro e dilatazioni termiche differenziali fra le varie fasi (matrice, inerti vari) Discontinuità di interfaccia matrice-inerti uoti macroscopici in fase di getto (dalle bolle d aria a vuoti dovuti ad insufficiente vibrazione, ostacoli offerti da cassero o armature, ecc.) In prossimità dei difetti si hanno concentrazioni tensionali che provocano l allargamento dei difetti stessi e il loro progressivo collegarsi fino a formare macrofessure. 3
Prova sperimentale di trazione uniassiale Si fa riferimento agli sforzi applicati (medi) e non agli sforzi locali che sono invece influenzati dalle disomogeneità. σ 3 MPa ε 1. Lineare 2. Apertura delle microfessure 3. Softening GRANDEZZE CARAERISICHE (oltre a E e ν): Resistenza a trazione ( f t ) Energia di fessurazione ( G t ) Legge di softening (σ = f w (w) ), per ottenere un legame con ε si divide w per una lunghezza h interessata dalle fessure -35 MPa La resistenza a trazione è minore di un ordine di grandezza rispetto a quella a compressione Espressioni analitiche della legge di softening Legge di Hordijk (segue i dati sperimentali): σ = f w = f + e + c 3 Hor cw 1 cw 2 c2 3 w w ( ) t 1 exp ( 1 1 ) wc wc wc exp Legge esponenziale: σ w ( ) Confronto fra varie espressioni (fissati f t e G t ) fw(w) [MPa] w = f w = ft exp wf 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 Hordijk's esponenziale bilineare lineare 0,5 0 0 0,01 0,03 0,04 0,05 0,06 0,08 0,09 0,1 0,11 0,13 0,14 w [mm] 0,15 0,16 0,18 0,19 0,2 0,21 0,23 0,24 4
Modelli di fessurazione Modelli Numerici Discreti Continui (Locali o Non-locali) Misti Danno Plasticità Fessurazione diffusa Discontinui Embedded Crack X-FEM Danno Scalare Isotropo Danno Anisotropo Fessure fisse Fessure fisse multiple Fessure Rotanti Microplane RC-SD 2. RICHIAMI DI ANALISI NON-LINEARE 5
Introduzione P Struttura INPU (carichi esterni) Sistema fisico = P (,"t" ) sistema di equazioni (in generale non-lineare) OUPU (spostamenti, deformazioni, sforzi, ) antaggi: -1 (,"t" ) Caso lineare = P = K P sistema di equazioni lineari e soluzione con metodi standard computazionalmente poco oneroso vale il principio di sovrapposizione degli effetti (combinazioni di carico, sovrapposizione modale, ) L approssimazione lineare non è sempre applicabile! 6
Possibili fonti di non-linearità Gruppi di equazioni fondamentali SAICHE (equilibrio) COSIUIE (legame) CINEMAICHE (congruenza) non-linearità fisica (plasticità dell acciaio, fessurazione del cls, ) σ = σ (,"") ε ij ij t 1 u u i j uk uk εij = + + 2 x j xi xi xj non-linearità geometrica (equilibrio della struttura deformata: l eq. in conf. indef. è un controsenso fisico!!) Condizione di equilibrio di un sistema discreto e linearizzazione Immaginiamo di poter scrivere l equilibrio in forma vettoriale come: F int P ( ) ( ) F int int () = P vettore delle forze interne (dipendente dalla struttura) spostamenti nodali (incogniti) carichi esterni (dati) Caso lineare: F int ()=K lin Caso non-lineare: linearizzazione attorno a 0 in equilibrio (F int ( 0 )=P 0 ): F F + Δ = F + Δ +... = P + ΔP = P int int int 0 0 0 K Δ P F ( ) = Fint K matrice di rigidezza tangente 0 0 int condizione di equilibrio equilibrio linearizzato 7
Obbiettivo dell analisi non-lineare e la procedura incrementale-iterativa Obbiettivo: tracciare la risposta carico-spostamento della struttura. Si assume il carico dipendente da un solo parametro scalare λ (moltiplicatore di carico): P = λ P ref Come il FEM discretizza la struttura nello spazio, la procedura incrementale effettua la discretizzazione del percorso caricospostamento: dato uno stato in equilibrio definito dalla coppia ( i,λ i ) la procedura incrementale stabilisce come si debba ricercare il successivo stato ( i+1,λ i+1 ). Poiché le equazioni di equilibrio sono non-lineari, ogni coppia in equilibrio è ricercata con l ausilio di un metodo iterativo. Ingredienti Procedura incrementale (criterio con cui vengono ricercate le coppie (,λ)): Controllo di carico Controllo di spostamento A lunghezza d arco Metodo iterativo (metodo con cui si risolvono le equazioni di equilibrio): Rigidezza tangente aggiornata (Newton-Raphson o N-R ) Rigidezza tangente non aggiornata (metodi modificati ) Rigidezza elastica (o rigidezza costante o rigidezza lineare ) Rigidezza secante (quasi-newton) Criterio di convergenza (grandezza con cui si misura l errore e che determina la fine delle iterazioni): Norma dei residui Norma degli spostamenti Norma energetica 8
Procedura incrementale: controllo di carico λp ref punto limite (snap-through) ( i,λ i P ref ) ( 2,λ 2 P ref ) ( 1,λ 1 P ref ) corrisponde ad un modo naturale di applicare il carico per passi impossibile seguire il percorso di equilibrio oltre il punti limite Procedura incrementale: controllo di spostamento P punto limite (snap-through) (λ 1 ref,p 1 ) (λ 2 ref, P 2 ) (λ i ref,p i ) punto di ritorno (snap-back) Il moltiplicatore si applica agli spostamenti e si ricercano i carichi corrispondenti: tutti gli spostamenti assegnati devono essere fra loro proporzionali, ciò accade solo in pochi modelli fisici (e.g. carichi concentrati in prove sperimentali). consente di superare i punti limite ma non i punti di ritorno λ ref 9
Procedura incrementale: a lunghezza d arco λp ref punto limite (snap-through) ( c ) 2 2 = Δ λ + Δ ( 2,λ 2 P ref ) ( i,λ i P ref ) punto di ritorno (snap-back) ( 1,λ 1 P ref ) non si ha il controllo né sul carico né sugli spostamenti è possibile seguire ogni percorso di equilibrio λp ref Metodi iterativi: Newton-Raphson Κ ( * i,1) Κ ( * i,2) ( i+1,λ i+1 P ref ) λ i+1 P ref Κ ( i ) ( * i,2,f int (* i,2 )) R i,1 R i,2 λ i P ref ( i,λ i ) ( * i,1,f int (* i,1 )) Convergenza quadratica (poche iterazioni). K viene calcolata ed ed invertita ad ad ogni ogni passo (onere computazionale). Δ * i,1 Δ* i,2 Δ * i,3 10
Metodi iterativi: Newton-Raphson modificato λp ref λ i+1 P ref Κ ( i ) Κ ( i ) ( i+1,λ i+1 P ref ) λ i P ref Κ ( i ) ( i,λ i ) R R i,2 i,1 ( * i,2,f int (* i,2 )) ( * i,1,f int (* i,1 )) K viene calcolata ed ed invertita una una sola sola volta: ciascuna iterazione è più più rapida. La La convergenza diviene lineare e dunque sono sono necessarie più piùiterazioni. Δ * i,1 Δ* i,2 Δ * i,3 Metodi iterativi: quasi-newton (della secante) λp ref λ i+1 P ref λ i P ref Κ ( i ) ( i,λ i ) Κ S ( * i,1) Κ S ( * i,2) ( i+1,λ i+1 P ref ) R i,2 ( * i,2,f int (* i,2 )) R i,1 ( * i,1,f int (* i,1 )) K viene calcolata ed ed invertita solo solo al al primo passo, ai ai passi successivi si si utilizza la la matrice di di rigidezza secante (più (piùrapida da da calcolare). La La velocità di di convergenza è intermedia fra fra il il metodo di di N-R N-R standard e quello modificato Δ * i,1 Δ * i,2 Δ* i,3 11
Metodi iterativi: rigidezza iniziale Il metodo della rigidezza iniziale (o elastica o costante) utilizza sempre la matrice di rigidezza elastica. Il metodo richiede in genere molte iterazioni e presenta la convergenza più lenta. In alcuni casi tuttavia rende l analisi più stabile. Criteri di convergenza La procedura iterativa termina quando: e δ δ errore relativo o assoluto dell iterazione corrente (calcolato dal programma) k k = < eref Le possibili varianti sono: a) nella scelta della grandezza da normare: 1) norma dei residui (R i,k ) toll precisione ricercata (fissata dall utente) 2) norma delle correzioni degli spostamenti (Δ * i,k ) 3) norma energetica (prodotto di R i,k per Δ * i,k ) b) nella scelta del tipo di norma (euclidea, max-abs, sum-abs, ). c) nella scelta della quantità di riferimento (se si considera l errore assoluto è e ref = 1.0, se si considera l errore relativo è e ref = e 1 ). 12
Scelta dell algoritmo Non è possibile definire a priori l algoritmo migliore, ma va scelto di volta in volta in base a: Non-linearità fisica o geometrica Hardening o softening Dimensione del problema Carichi applicati in singoli punti o su intere superfici Non-linearità improvvise o graduali 3. RICHIAMI DI ELEMENI FINII 13
Problema elastostatico Il problema elastostatico è caratterizzato dai tre gruppi di equazioni definiti in ogni punto del continuo Congruenza: Legame: 1 u u i j εij = + 2 x j x i E ν σ ij = εij + εkkδij 1+ ν 1 2ν in Equilibrio: σ ij + bj = 0 x i Cui si aggiungono le condizioni al contorno: c.c. statiche c.c. cinematiche σ ˆ ijnj = t su S i t u = rˆ i i su S r Notazione computazionale In meccanica computazionale si è soliti raccogliere spostamenti, deformazioni e sforzi in vettori: b b 1 = b 2 b 3 σ σ11 σ 22 σ 33 = σ12 σ 23 σ 31 ε ε1 ε 2 ε γ 23 γ 31 3 = γ12 u u 1 = u 2 u 3 tˆ tˆ 1 = tˆ 2 tˆ 3 Si noti come anche i tensori del secondo ordine di sforzi e deformazione vengano rappresentati in vettori colonna. rˆ rˆ 1 = rˆ 2 rˆ 3 14
Problema in notazione computazionale congruenza: legame: equilibrio: ε = u cin σ = E ε sta σ + b= 0 c.c. statiche: c.c. cinematiche: Rsta σ =ˆ t su St R u= rˆ cin su S r 1 0 0 0 2 0 0 0 3 sta = cin = 2 1 0 R 0 3 2 3 0 1 α1 0 0 α2 0 α3 = 0 α 0 α α 0 0 0 α3 0 α1 α 2 sta 2 1 3 1 ν ν ν 0 0 0 ν 1 ν ν 0 0 0 ν ν 1 ν 0 0 0 E 1 2ν 0 0 0 0 0 E = ( 1+ ν)( 1 2ν ) 2 1 2ν 0 0 0 0 0 2 1 0 0 1 2ν 0 0 0 0 0 R 2 cin = 0 1 0 0 0 1 carichi esterni sta σ + b = 0 sforzi generalizzati b EQUILIBRIO Diagramma di onti LEGAME σ σ = E ε u ε = u ε cin spostamenti R CONGRUENZA cin deformazioni generalizzate u= rˆ condizioni al contorno cinematiche R σ =ˆ t sta condizioni al contorno statiche 15
Energia potenziale totale 1 Π = ε σ d u bd u tˆ da EP u 2 u u S t Il pedice u indica che si tratta di un funzionale in cui la variabile indipendente sono gli spostamenti (deformazioni e tensioni sono assunti in funzione di questi tramite congruenza e legame). Nella formulazione agli spostamenti del FEM è questo il funzionale che utilizzeremo. È possibile scrivere funzionali analoghi dove le variabili indipendenti sono gli sforzi (metodo delle forze): energia potenziale complementare Per problemi specifici si ricorre inoltre alle formulazioni miste con l assunzione di più variabili indipendenti: potenziale di Hellinger-Reissner (spostamenti e sforzi) potenziale di eubeke-hu-washizu (spostamenti, deformazioni e sforzi) Principio dei lavori virtuali (PL) Definizione di spostamento virtuale: parte al primo ordine di una variazione di configurazione arbitraria (virtuale) compatibile con i vincoli. eorema dei lavori virtuali: la variazione di energia potenziale totale prodotta da spostamenti virtuali e deformazioni virtuali fra loro congruenti è nulla: δπ = δ d δ d δ da= 0 EP ˆ u ε σ u b u t S se e solo se forze e tensioni sono in equilibrio. N.B.: Data la sua importanza, si è soliti riferirsi a tale teorema (cioè enunciato dimostrabile!), come Principio dei Lavori irtuali (PL). L annullarsi della variazione dell energia potenziale totale è dunque equivalente all equilibrio e ci si riferisce ad essa come formulazione integrale dell equilibrio (o equilibrio in forma debole). Nel seguito utilizzeremo questa equivalenza: PL + congruenza equilibrio t 16
Discretizzazione della congruenza Dall interpolazione degli spostamenti: Applicando la congruenza si ha: La matrice: u( x) = Ω( x) v ( ) cin ( ( ) ) ( cin ( )) ( ) ε x = Ω x v = Ω x v= B x v ( ) = Ω( x) B x contiene le derivate delle funzioni di forma lungo gli spostamenti ed è detta matrice delle funzioni di forma per le deformazioni. L interpolazione delle deformazioni è dunque: cin ε( x) = B( x) v Discretizzazione del legame Considerando le equazioni di legame: σ ( x) = E ε( x) = E B( x) v si ottiene l interpolazione per gli sforzi: σ ( x) = E B( x) v alvolta si definisce la matrice: delle funzioni di forma per gli sforzi. ( ) = E B( x) S x 17
Discretizzazione del PL (1/2) Anziché sfruttare direttamente le equazioni di equilibrio puntuale (forma forte), applichiamo il principio dei lavori virtuali, cioè l equilibrio in forma integrale (forma debole). Spostamenti e deformazioni virtuali sono dovuti esclusivamente a spostamenti nodali virtuali (una volta scelte, le funzioni di forma sono fissate). Consideriamo spostamenti e deformazioni virtuali congruenti: δu = Ω δv δε = B δv Discretizzazione del PL (2/2) Dal PL: Π = ε σ u b u tˆ A= u δ EP δ d δ d δ d 0 St sostituendo le quantità discretizzate si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( ) v B x E B x v v Ω x b v Ω x tˆ St δ d δ d δ da= 0 portando fuori dagli integrali gli spostamenti nodali (che non dipendono dalla posizione): ( ) ( ) ( ) δv d d ˆ da = 0 B E B v Ω x b Ω x t St che conduce alla forma discretizzata del PL: [ ] δv k v p = 0 18
Equilibrio discretizzato Si definiscono dunque la matrice di rigidezza dell elemento: k B E Bd = e il vettore dei carichi nodali dell elemento: Dalla forma discretizzata del PL: ( ) d ( ) ˆ p = Ω x b + Ω x t da St [ ] δv k v p = 0 tenendo conto dell arbitrarietà degli spostamenti virtuali, si ottengono le equazioni di rigidezza, ovvero l equilibrio discretizzato: k v = p 4. NON-LINEARIÀ FISICHE 19
Equazioni costitutive congruenza: legame: equilibrio: ε = u cin (,t) σ = σ ε sta σ + b= 0 1. Interpolazione degli spostamenti: B x σ xb, x v, t d = δ v Fint ( v, t) = P Ingredienti 2. Cinematica lineare: ε x = u x ε x = B x v 4. Equilibrio (come PL): u( x) = Ω( x) v ( ) ( ) ( ) ( ) 3. Legame non-lineare: σ = σ ε σ xv = σ xb x v cin (, t) (,, t) (, ( ), t) ε σ = u b + u tˆ St δ d δ d δ da δu = Ω δv δε = B δv δv ( ) ( ( ) ) ( ) Ω x b d + δ v Ω( x) St t ˆ da 20
( ) = ( ) ( ( ) ) Fint v, t B x σ xb, x v, t d 5. Linearizzazione dell equilibrio F F v v F v Δv ( Δ ) ( ) int int 0 + int 0 + v v0 ( ) Δ ( ) K v v P F v 0 int 0 K F B σ ε B σ ε v v v σ ε = B d = ( ) ( ) ( ) d B x D x B x ε v ( ) ( ) = int =, t d =, t d = D σ = ε 6. Integrazione numerica NG i, NG j, NG k, NG ijk, NG ijk, NG ijk, NG ijk, NG ( ) ( ) ( ) d w w w det( ( )) ( ) ( ) ( ) K B x D x B x x J ξ B ξ D ξ B ξ = = i, j, k= 1 NG in, G jn, G kn, G ijkn, G ijkn, G ijkn, G ( ) ( ) d w w w det( ( )) ( ) ( ) F B x σ x x J ξ B ξ σ ξ int = = i, j, k= 1 5. MODELLI DI DANNO 21
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Modelli di fessurazione Modelli Numerici Discreti Continui (Locali o Non-locali) Misti Danno Plasticità Fessurazione diffusa Discontinui Embedded Crack X-FEM Danno Scalare Isotropo Danno Anisotropo Fessure fisse Fessure fisse multiple Fessure Rotanti Microplane RC-SD 26