Corso di Laurea in Matematica Analisi Matematica 3/Analisi 4 - SOLUZIONI (8/6/5) Docente: Claudia Anedda ) Trovare il limite puntuale della successione di funzioni f k (t) = cos(kt), t R. Stabilire se tale limite è anche k uniforme. Si ha lim f k(t) =. k La successione di funzioni converge dunque puntualmente alla funzione identicamente nulla; tale convergenza è anche uniforme. Infatti si ha f k (t) per k. k ) Scrivere la soluzione generale del seguente sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine y = y 5y 3 y = 3y + y 3 y 3 = y + y 3. e della seguente equazione differenziale sin(t) ( ẏ tan t ) + y =, t (, π ) (suggerimento: per l ultima equazione, per l integrazione usare le formule parametriche e la formula di duplicazione delle funzioni seno e coseno). La matrice dei coefficienti è A = 5 3. A λi = se e solo se ( λ)(λ )(λ 4) =. Ci sono, quindi, 3 autovalori distinti: λ =, λ =, λ 3 = 4. Un autovettore relativo a λ si trova risolvendo il sistema 5 x y =, z
da cui si trova, per esempio, h = risolvendo il sistema 5 x y z. Un autovettore relativo a λ si trova = da cui si trova, per esempio, h =. Un autovettore relativo a λ 3 si trova risolvendo il sistema 5 x y =, z da cui si trova, per esempio, h 3 = 5. La soluzione generale è data da, y(t) = c e t h + c e t h + c 3 e 4t h 3. Quella assegnata è un equazione differenziale lineare del primo ordine. Scriviamola nella forma ẏ = y sin(t) + tan t (nell intervallo considerato sin(t) ) e applichiamo la formula risolutiva: dt dt y(t) = e sin(t) e sin(t) tan t dt + c. Posto x = tan t (e, quindi t = arctan x e dt = dx) e utilizzando le formule + x parametriche sin t = x x x, cos t =, tan t = si ha + x + x x dt sin(t) = dt sin t cos t = + x x( x ) dx
= ( x x ) dx = [log x + log( x) log( + x)] + x (nell intervallo considerato gli argomenti del logaritmo sono positivi) = log x x = log tan t tan t cos t = log sin t sin t cos t sin t = log cos t, dove sono state usate le formule di duplicazione del seno e del coseno. Quindi y(t) = e log cos t sin t sin t tan t dt + c cos t = [ cot t tan t dt + c ] = cot t [ log cos t + c ]. Oppure, osservando che dt sin(t) = log x x == log x x + log log si ritrova = log x x + log = log tan t + log = log tan t + log [ y(t) = e log tan t e log = [ tan t e log tan t e log tan t dt + c ] ] tan t dt + c = [ log cos t + c ]. tan t 3) Rappresentare il grafico del prolungamento f periodico in R della funzione y = x + π, x [, ], scrivere la serie di Fourier associata a f in forma reale e complessa e studiarne la convergenza puntuale e uniforme. Prolunghiamo la funzione y(x) su tutto R in modo tale che sia π-periodica. 3
3π/ y π y = f(x) π/ x -5π/ -π -3π/ -π -π/ π/ π 3π/ π 5π/ -π/ -π -3π/ -π -5π/ Osservando il grafico, si vede che f(x) P π, in quanto, oltre che essere π-periodica, è continua. Pertanto gli integrali che definiscono i coefficienti di Fourier di f esistono e possiamo considerare la serie di Fourier associata a f. { x + π se π x f(x) = ; x π se π < x inoltre, f è pari, quindi tale serie sarà una serie di soli coseni, e b n = per n =,,... a = π f(x)dx = (essendo f pari) π) dx = π π ( x ( π ) π π =. a n = π ( x π) cos(nx)dx = nπ = [ ] cos(nx) n π [ ( x π) sin(nx) = n π ] [ cos( nπ) + nπ ]. sin(nx) Oppure, si poteva calcolare a n come a n = π (x π) cos(nx)dx. π Per n pari la quantità tra parentesi quadre si annulla; quindi poniamo n = k : 4 a k = (k ) π 4 k =,,...
La serie di Fourier associata a f è f(x) a + a n cos(nx) = π 4 π n= k= cos[(k )x]. (k ) La funzione f P π e soddisfa in ogni punto la condizione (D), essendo derivabile tranne nei punti x = kπ, k Z, dove esistono finite le derivate destra e sinistra (analogamente, si può osservare che l intervallo di periodicità può essere suddiviso in due intervalli in ciascuno dei quali f è monotona); quindi la sua serie di Fourier associata converge puntualmente x R con somma f(x), dato che f è continua. Anzi, vale una condizione ancora più forte: la serie k= a k = k= (k ) = k= (k ) converge (dal confronto con la serie k= ); pertanto è soddisfatta la condizione sufficiente k di convergenza delle serie di Fourier, e quindi la serie trovata converge uniformemente x R, e possiamo scrivere f(x) = π 4 π k= cos[(k )x]. (k ) Osserviamo anche che, come ci si può aspettare, sono soddisfatte anche le ipotesi del teorema sulla convergenza uniforme: f : R R, f è π-periodica, continua, con derivata continua tranne, al più, in un numero finito di punti dell intervallo [, π] nei quali è comunque soddisfatta la condizione (D), ii). 4) Studiare la convergenza uniforme della serie e 3n x n n= n(n + n ). La serie ( ) e 3 x n n= é una serie di potenze (basta porre n(n + n e3 x = ) convergenza è : infatti lim n n n n ( n + ) lim n n n n + n n =. t). Il raggio di Quindi la serie in t converge per t <, e la serie in x per e 3 x <, cioé per x < 3 log e x > 3 log. Osserviamo ora che, per t =, la serie in t diventa n n= ; usando il criterio di n(n + n ) condensazione e osservando che la serie n n= n non converge, si trova che n ( n + n ) l estremo t = non è compreso nell insieme di convergenza. Pertanto la serie di partenza 5
converge puntualmente in (, 3 log ) ( 3 log, + ) e uniformemente in (, a] [b, + ), con a < 3 log e b > 3 log. 6