Legge di Lapace Legge di Biot-Savart La egge di Biot Savart si riferisce ad un campo magnetico in un punto generato da un eemento infinitesimo di corrente. Per ottenere i campo totae si devono sommare tutti i contributi dovuti ad ogni tratto di corrente infinitesima, si ottiene così a egge di Lapace: B d B Id ˆr k m corrente corr. d B k m Id ˆr r 2 La egge di Lapace (o egge di Biot-Savart generaizzata) permette di determinare i campo magnetico prodotto daa corrente circoante in un fio conduttore in ogni punto deo spazio posto ad una distanza r da fio stesso B µ 0 4π corr. Id ˆr r 2 r 2 Legge di Lapace: Campo magnetico totae generato da un corrente
Campo magnetico generato da una fio rettiineo percorso da corrente Consideriamo un fio rettiineo percorso da una corrente I, andiamo a cacoare i campo magnetico in punto P a distanza R da fio Consideriamo tutte e variabii dea egge di Lapace: I campo B Id ˆr B d B k m ne punto P corrente r 2 corr. L eemento I d di corrente P La distanza r de eemento di corrente I d da punto P r B? Consideriamo anche a distanza ungo i fio R I versore unitario rˆ rˆ θ L angoo θ tra i versore rˆ e eemento d d I d rˆ I prodotto vettoriae dipende da θ: d B d rˆ d sinθ La direzione de eemento di campo è sempre perpendicoare a piano definito dai due vettori I verso è definito daa regoa dea mano destra: poice puntato ungo i verso dea corrente, a mano si chiude ne verso dee inee di campo e inee di forza de campo sono dee circonferenze concatenate a fio di corrente> ne punto P in figura i campo esce da muro B corrente db k m corr. Id rˆ 2 r Daa figura si vede che: R rsinθ sinθ R r r 2 + R 2 B k m Idsinθ, r e θ variano corr. R sinθ 2 + R 2 r 2 + R 2 r 2 dsinθ r 2 R 2 + R 2 2 + R 2 Per risovere integrae di devono esprimere due dee variabii in funzione dea terza ed integrare rispetto a quest utima ( ) d R ( 2 + R ) d 2 3 2 Abbiamo espresso eemento de integrae tutto in funzione di : B k m Idsinθ r k IR 2 m 2 + R 2 corr. ( ) 3 2 d
Campo magnetico generato da una fio rettiineo percorso da corrente B k m + 2 + R 2 IR d k IR d ( 2 + R ) 2 3 2 m 2 + R 2 >>R 2 Fio visto in sezione I + R + 2 ( ) 3 2 I B 2k m R B µ 0 I dx x x 2 + a a x 2 + a ( ) 3 2 campo magnetico generato da un fio rettiineo percorso da corrente 2π R B k m IR R 2 E ricordando che + 2 + R 2 µ 4π 0 k m B I B 1 R Ø I campo magnetico generato da un fio rettiineo percorso da corrente ha inee di forza che si avvogono intorno a fio su un piano perpendicoare a fio stesso. Ø L intensità de campo è data da: B µ I 0 2π R Ø I verso è queo definito daa regoa dea mano destra
Campo magnetico a centro di una spira circoare Utiizziamo a egge di Biot-Savart per determinare intensità direzione e verso di un campo magnetico in un punto posto a centro di una spira percorsa da corrente. Consideriamo una spira di raggio R in cui scorre una corrente stazionaria I e cacoiamo i campo magnetico ne punto O a centro dea spira. Considerazioni: d ˆR d ˆR y d d R I tutti gi eementi dea spira si trovano aa stessa distanza R da O db d L eemento di campo generato da eemento di corrente ha moduo: db db k m Id è perpendicoare a piano definito da > per ogni eemento I campo totae sarà quindi ungo a direzione de asse dea spira B I db k m R d 2 k m I B µ I 0 2R î R 2 d R 2 d e µ 0 4π rˆ I R 2π R 2 d BdBî B B î d 2π R Campo magnetico generato da una spira di corrente I di raggio R cacoato ne centro dea spira stessa z ˆR O d x B Bî
Campo magnetico su asse di una spira circoare Utiizzando a egge di Biot-Savart si può determinare intensità direzione e verso di un campo magnetico in un punto posto ad una distanza x ungo asse per i centro di una spira percorsa da corrente. B µ 0 IR 2 î 2( R 2 + x 2 ) 3 2 Campo magnetico generato da una spira di corrente I di raggio R in un punto su asse dea spira ad una distanza x da centro dea spira stessa d I campo per ragioni di simmetria è diretto ungo asse dea spira ed i verso è definito daa regoa dea mano destra Per x0 si ritrova i campo ne centro dea spira: Per x>>r (distanze moto maggiori de raggio dea spira): B µ 0 I 2R î B µ 0 IR2 2x 3 î d B y R θ r x d B y d B y θ d B d B
Campo magnetico su asse di una spira circoare Utiizziamo a egge di Biot-Savart per determinare intensità direzione e verso di un campo magnetico in un punto posto ad una distanza x ungo asse per i centro di una spira percorsa da corrente. Consideriamo una spira di raggio R in cui scorre una corrente stazionaria I e cacoiamo i campo magnetico ne punto P distante x da centro dea spira. Considerazioni: d ˆr d ˆr d tutti gi eementi dea spira si trovano aa stessa distanza r da P r R 2 + x 2 db d Id ˆr Id Id db k m k m k m L eemento di campo generato da eemento di corrente ha moduo: r 2 r 2 è perpendicoare a piano definito da d R r cosθ cosθ R r R R 2 + x 2 R 2 + x db 2 e rˆ Soo a componente d porta contributo aa somma finae poiché e componenti d B y si eidono a coppia B x I cosθ B B x î + B y ĵ B x î B x db x db cosθ k m d 2π R I cosθ B x µ 0 4π R 2 + x 2 B µ 0 IR 2 î 2( R 2 + x 2 ) 3 2 d µ 0 4π IR 2π R ( R 2 + x 2 ) 3 2 µ 0 IR 2 Campo magnetico generato da una spira di corrente I di raggio R in un punto su asse dea spira ad una distanza x da centro dea spira stessa R 2 + x 2 d 2( R 2 + x 2 ) 3 2 Per x0 d R θ r x d B y d B y B µ I 0 2R î θ d B d B
Osservazioni: Anaogia con i campo eettrico di un dipoo Campo magnetico generato da una spira in cui circoa una corrente I in un punto a distanza x>>r Definiamo i vettore momento magnetico: con vettore superficie dove A πr 2 è a superficie deimitata daa spira > A I verso di (e quindi de momento di dipoo) si ottiene con a regoa dea mano destra: e dita ungo a direzione dea corrente I i poice indica i verso di Ne nostro caso B µ 0 IR2 2x 3 nˆ iˆ Anaogia con i campo eettrico di un dipoo ˆn B µ 0 IR2 2x 3 motipico e divido per2 π B µ 0 2 µ 4π ˆn La spira percorsa da corrente è a tutti gi effetti un dipoo magnetico î µ I A I π R 2 E k 2 p z 3 µ I A A A A ˆn ( ) ˆn p Campo eettrico generato da un dipoo di momento eettrico p in un punto a distanza z>>dimensioni de dipoo x 3 qd A B k m 2 µ x 3 E k 2 p z 3 B 1 x 3
Osservazioni(2) I campo magnetico terrestre assomigia a campo magnetico di un dipoo con asse de campo incinato di 11 rispetto a asse di rotazione terrestre La terra NON è un magnete permanente Le sostanze ferromagnetiche perdono e oro caratteristiche magnetiche quando vengono scadate intorno agi 800 C ed nuceo dea terra è a temperature moto superiori (da 3000 C a 5400 C) Si ritiene I campo magnetico terrestre (magnetosfera) funziona come uno scudo, schermando a Terra da'impatto diretto dee particee cariche provenienti da Soe che compongono i vento soare. La maggior parte di queste particee scivoano ungo i bordo esterno dea magnetosfera e passano otre a Terra. Una parte de vento soare può però penetrare dentro a magnetosfera ed interagire con a ionosfera terrestre, dando uogo, in ta modo, a fenomeno dee aurore boeari ed aurore austrai. Più di 10 9 particee ad ata energia vengono emesse da Soe ogni secondo. Se i venti soari non fossero defessi da campo magnetico terrestre questi sarebbero in grado di strappare via atmosfera terrestre. La presenza de campo dipoare terrestre è sfruttata da moti organismi viventi: Otre ai batteri, anche animai come i piccioni, e api e e tartarughe marine utiizzano una sorta di bussoa Interna per orientarsi, gi uccei migratori hanno ne becco dei ricettori di campo magnetico fatti di metai che come piccoe bussoe si orientano in base a geomagnetismo.
Campo magnetico e corrente: egge di Ampere Abbiamo visto ne caso di campi eettrici, soprattutto in presenza di simmetrie, a determinazione de campo eettrico in un punto deo spazio risuta spesso più sempice se si appica i teorema di Gauss piuttosto che a egge di Couomb. I teorema di Gauss mette in reazione i fusso di un campo eettrico attraverso una superficie chiusa con a carica in essa contenuta. I Fusso de campo magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre nuo ( perché e inee di forza sono sempre chiuse e quindi i numero di inee entranti in una quasiasi superficie chiusa è uguae a numero di inee uscenti) Esiste comunque una reazione anaoga a teorema di Gauss anche ne caso di campo magnetico. Ø Consideriamo un fio di unghezza indefinita percorso da una corrente I. I fio produce un campo magnetico con e inee di forza che giacciono su piani perpendicoari a fio e costituite da circonferenze concentriche Per questioni di simmetria i campo magnetico ha a stessa intensità su tutti i punti che giacciono su una stessa circonferenza concentrica a fio ed è pari a: µ 0I dove r è a distanza tra i fio ed i punto in cui si cacoa i campo. Sia ds un eemento infinitesimo de percorso circoare ungo una inea de campo ( a distanza r da fio) e consideriamo i prodotto scaare B ds. Poiché i due vettori sono paraei si ha con B costante in ogni punto de percorso B ds Bds Se consideriamo a somma dei prodotti scaari ungo tutto i percorso circoare si ha quindi: B ds B circonferenza circ. ds Φ E E d A q in sup. chiusa ε 0 µ 0I B2πr 2πr µ 0I 2πr Teorema di Gauss B 2πr circonferenza B ds µ 0 I
Campo magnetico e corrente: egge di Ampere (2) Abbiamo quindi trovato che, per un fio rettiineo percorso da una corrente I, integrae B d s ungo una inea chiusa (in questo caso una circonferenza) è pari a prodotto dea permeabiità magnetica con intensità dea corrente circoante ne fio. Questo risutato è in reatà un risutato generae, vaido per tutti i conduttori in cui circoi corrente continua. che porta aa formuazione dea egge di Ampere (anaogo magnetico de teorema di Gauss): Teorema di Ampere: La circuitazione de campo magnetico (cioè 'integrae ungo una inea chiusa de campo magnetico) è uguae aa somma dee correnti eettriche ad essa concatenate (cioè che attraversano una superficie racchiusa nea inea chiusa. B ds µ I 0 B d s µ 0 I circonferenza egge di Ampere B d s µ 0 (i 1 i 2 ) NB: a circuitazione ed i fusso sono e grandezze che megio definiscono un campo vettoriae
Appicazione de Teorema di Ampere: Campo magnetico generato da un soenoide Soenoide: avvogimento eicoidae di un fio. Le proprietà di un soenoide sono: Lunghezza : L Diametro: D N. Di spire: N Densità dee spire nn/l ( unità di misura di n è i m -1 ) Le singoe spire possono essere considerate ciascuna una sorgente di campo magnetico ed i campo magnetico totae sarà i risutato dea somma vettoriae dei campi prodotti dae singoe spire. Se i soenoide è costituito da un numero sufficientemente fitto di spire (grandi vaori di n) è possibie generare un campo magnetico reativamente uniforme a interno de soenoide stesso. A crescere de numero di spire ci si avvicina sempre più a caso di soenoide ideae, ne quae e spire sono così fitte da potere considerare una distribuzione continua e a unghezza è moto maggiore de diametro de soenoide stesso In questo caso i campo magnetico a esterno de soenoide è nuo mentre i campo interno è uniforme
Campo magnetico generato da un soenoide (2) Cacoiamo, mediante i teorema di Ampere, i campo magnetico a interno di un soenoide in cui circoa una corrente I. Consideriamo un cammino chiuso ungo un piano che tagi in due i soenoide Scegiamo i cammino 1-2-3-4 in figura, cioè un rettangoo di ati w ed. B d s Si può cacoare integrae ungo questo percorso, considerandoo somma degi integrai ungo i 4 ati de rettangoo: B ds ato1 B ds + ato 2 B ds + I contributo dovuto a ato 2 ed a ato 4 sono nui in quanto ungo questi percorsi d s B I contributo dovuto a ato 3 è nuo poiché fuori da soenoide (ideae) B d s ato 3 B ds + Per i teorema di Ampere integrae è pari a prodotto dea permeabiità magnetica de vuoto con a corrente totae concatenata a cammino chiuso: ato 4 B ds B d s B ds B ds B ato1 ato1 B d s ato1 B µ 0 I concatenta Se N è i numero totae di spire presenti in una tratto di soenoide ( e quindi nn/ è a densità di spire), a corrente concatenata sarà: Iconcatenat a NI Teorema N di Ampere: B ds B µ 0NI B µ 0 I µ 0 ni B ni campo magnetico µ a interno di un 0 soenoide B 0
Forza magnetica tra due fii percorsi da corrente NB: Le due forze sono uguai ed opposte come ci si doveva aspettare per i 3 egge di Newton Ø Un fio percorso da corrente produce un campo magnetico Ø Un campo magnetico agisce con una forza su un fio percorso da corrente Due fii percorsi da corrente dovrebbero attrarsi o respingersi per interazione magnetica Con una serie di esperimenti Ampere dimostrò che due fii rettiinei paraei percorsi da corrente neo stesso verso si attraggono, mentre si respingono se e correnti circoano in verso opposto. Consideriamo due fii paraei di unghezza posti ad una distanza a tra oro in cui passano e correnti I 1 ed I 2 rispettivamente. Determiniamo a forza agente tra i due fii: F Sia a forza dovuta a campo magnetico generato da fio 2 agente su fio 1 I campo magnetico generato da fio 2 in un punto su fio 1 è pari a: Poiché: 1 I1 B2 B 2 F1 I1B 2 I verso di F 1 si determina con a egge dea mano destra > F 1 rivota verso i basso, verso i fio 2 F 2 I B Sia 2 1 a forza dovuta a campo magnetico generato da fio 1 agente su fio 2 Con un ragionamento anaogo a caso di F 1 troviamo: µ 0I2 2πa µ 0I2I 2πa 1 I1 F 2 F 1 I verso di F 2 sarà opposto a queo di F 1 e quindi rivoto verso i fio 1 F 2 µ 0I 2πa 2 B2 µ 0I1 µ 0I1I B1 I2 2πa 2πa 2 I2 B 2 F 1
Forza magnetica tra due fii percorsi da corrente (2) Se due fii paraei distanti 1m sono percorsi daa stessa corrente ed interagiscono con una forza per unità di unghezza pari a: F2 10-7 N/m a corrente è, per definizione 1A. F 1 µ 0 I 2 I 1 2πa F 2 µ 0I1I2 2πa La forza magnetica esercitata reciprocamente dai due fii per unità di unghezza è: F µ 0I1I 2πa I verso dee forze dipende da verso di percorrenza dea corrente nei fii: Ø Due conduttori paraei in cui scorrono correnti neo stesso verso si attraggono Ø Due conduttori paraei in cui scorrono correnti in verso opposto si respingono La forza magnetica tra due fii conduttori paraei percorsi da corrente è utiizzata per definire ampere: 2
Accenni su induzione magnetica Abbiamo visto che i campi eettrici vengono generati da cariche a riposo ed i campi magnetici vengono generati da cariche eettriche in movimento (correnti) Esistono comunque campi eettrici prodotti da campi magnetici variabii A inizio de 1800 Michae Faraday (Inghiterra) ed Joseph Henry (USA) dimostrarono indipendentemente che si possono generare dee correnti (indotte) a interno di un circuito mediante dei campi magnetici variabii Formuazione dea egge di Faraday de induzione Un conduttore eettrico rettiineo si muove attraverso un campo magnetico uniforme B diretto perpendicoarmente a muro con una veocità v Si genera una forza magnetica che fa scorrere gi eettroni ungo i conduttore Si genera quindi una corrente data dao spostamento degi eettroni dentro i conduttore
Accenni di induzione magnetica (2) Consideriamo un sistema come queo in figura: Una spira coegata a gavanometro ed un magnete Quando i magnete si avvicina aa spira i gavanometro misura una corrente (in un determinato verso) Quando i magnete rimane fermo non circoa acuna corrente a interno dea spira ( i gavanometro segna 0) Quando si aontana i magnete daa spira i gavanometro segna una corrente in verso opposto a quea che si aveva durante avvicinamento Si consideri i circuito rappresentato in figura: Un circuito primario costituito da una batteria ed una bobina coegati mediante un interruttore, a bobina è avvota intorno ad un aneo ferromagnetico per produrre un campo magnetico più intenso. Un secondo circuito è costituito da una bobina anch essa avvoto intorno a aneo e coegata direttamente ad un gavanometro (nessun coegamento a generatori di tensione o corrente) Quando i circuito primario viene chiuso i gavanometro (iniziamente a 0) segna per quache istante una corrente in un certo verso e poi torna a zero. Quando i circuito primario viene aperto di nuovo i gavanometro segna momentaneamente una corrente in verso opposto e poi torna a zero
Legge di Faraday Da queste osservazioni sperimentai Faraday dedusse che: Ø Una corrente non può essere prodotta da un campo magnetico stazionario Ø Un campo magnetico variabie ne tempo produce corrente Per poter formuare a egge di Faraday abbiamo bisogno di introdurre una nuova grandezza: I fusso Magnetico Consideriamo un eemento di superficie da su una superficie arbitraria. Se i campo magnetico su questo eemento di superficie è B, i fusso magnetico di B attraverso eemento da è dato da: d Φ B B da I fusso totae attraverso a superficie A è quindi: Φ B A dφ B A B da L unità di misura de fusso magnetico è i weber W: [W][T] [m] 2 Legge di Faraday: La f.e.m. indotta in un circuito è uguae aa rapidità con cui varia i fusso magnetico attraverso i circuito cambiata di segno: ε dφ dt B Legge di Faraday Φ B fusso de campo magnetico attraverso a superficie imitata da circuito
Legge di Faraday (2) Esempio: Bobina Se i circuito è costituito da una bobina composta da N spire i fusso passa attraverso N superfici deineate dae N spire. La forza eettromotrice indotta sarà pari aa somma dee N forze eettromotrici generate daa variazione di fusso in ogni spira: ε Nε spira N dφ B dt Esempio: Spira piana Consideriamo ora un campo magnetico uniforme ed una spira piana di superficie A incinata di un angoo θ rispetto a campo I fusso magnetico concatenato con a spira in questo caso è: Φ B B d A B da cosθ B cosθ da La forza eettromotrice indotta è quindi: dφ d ε B cosθ dt dt ( BA ) BA cosθ Si avrà una forza eettromotrice indotta non nua se si verifica una dee seguenti condizioni: 1) Varia i moduo B ne tempo 2) Varia a superficie A ne tempo 3) Varia angoo fra B e a normae aa superficie
Legge di Lenz Perché compare un segno nea egge di Faraday? ε dφ dt B Ø La forza eettromotrice indotta ε ha una poarità che determina i verso in cui scorre a corrente indotta. Ø Tae corrente a sua vota genererà un campo magnetico indotto Ø I verso dea corrente determina i verso di tae campo magnetico che sarà tae da opporsi aa variazione de fusso magnetico che o ha generato. Legge di Lenz La poarità dea forza eettromotrice indotta tende a produrre una corrente i cui campo magnetico indotto si oppone aa variazione di fusso concatenato con i circuito
Legge di Lenz Consideriamo una sbarretta che si muove su due guide paraee in presenza di un campo magnetico uniforme perpendicoare ae due guide e verso come mostrato in figura (entrante ne fogio) La sbarretta insieme con e due guide e a resistenza di carico R chiudono un circuito. 1) La sbarretta si muove verso destra: -I fusso concatenato con i circuito aumenta poiché aumenta a superficie de circuito -Per a egge di Lenz i verso dea corrente è tae che i campo magnetico indotto si oppone aa variazione di fusso de campo esterno. -I campo indotto deve quindi essere un campo uscente da fogio (per diminuire i campo totae) -Per a regoa dea mano destra a corrente deve circoare in senso antiorario 2) La sbarretta si muove verso sinistra: -I fusso concatenato con i circuito diminuisce poiché diminuisce a superficie de circuito. -Per a egge di Lenz i verso dea corrente è tae che i campo magnetico indotto si oppone aa variazione de fusso (in questo caso una riduzione) -I campo indotto deve quindi essere un campo entrante (per aumentare i campo totae) -La corrente deve circoare in senso orario NB: Se ne caso 1 ( spostamento verso destra) a corrente circoasse in senso orario si avrebbe una vioazione dea conservazione de energia poiché essa produrrebbe un campo indotto che aumenterebbe a veocità di variazione di fusso e quindi a f.e.m. che aumenterebbe a corrente, a quae aumenterebbe i campo indotto etc.etc.
Esempio Si consideri una spira rettangoare immersa in un campo magnetico B disuniforme e variabie con direzione perpendicoare a fogio ed uscente da esso. L intensità de campo è data da: y dx B 4t 2 x 2 [Ts 2 m 2 ] Dove B è espresso in tesa, t in secondi ed x in metri. La spira ha arghezza W3,0m ed atezza H 2,0m Determinare moduo e direzione dea f.e.m indotta Nea spira a istante t0.10s W x Poiché B varia ne tempo varierà anche i suo fusso attraverso a superficie deimitata daa spira> si avrà quindi una f.e.m. che in moduo vae : ε dφ B dt Φ B B d A 3cm B da BH dx 4t 2 x 2 H dx tesa 0cm m 2 s 2 Φ B 4t 2 3m H x 2 tesa dx 0m m 2 s 2 4 3 t2 Hx 3 3m tesa 0m m 2 s 2 4 3 t2 2m 27m 3 tesa m 2 s 2 72t2 ( weber ) s 2 Φ B 72t 2 weber s 2 dφ B 144t weber Vot dt s 2 ε 144t ε(t 0.10s) 144 0.1s Vot s s 14.4V Poiché con i passare de tempo B aumenta anche i fusso aumenterà>i campo prodotto daa corrente indotta deve essere entrante ne fogio in modo da diminuire i campo magnetico totae > a corrente indotta fuisce nea spira in senso orario H da B
Magnetismo nea materia Perché i materiai si magnetizzano? Consideriamo i modeo di Bohr per atomo; in questo modeo gi eettroni orbitano intorno a nuceo con un periodo T10-16 s. Se consideriamo a carica de eettrone (e1.6 10-19 C) i moto di questa particea intorno a nuceo corrisponderà ad una corrente I Q/T 1.6mA I moto di ciascun eettrone può essere quindi assunto come una corrente circoante in una spira Una spira di corrente genera un campo magnetico con momento di dipoo magnetico: µ I A L r p I A µ Poiché eettrone si muove in verso opposto aa corrente (carica negativa) i momento magnetico ed i momento angoare hanno versi opposti Nea maggior parte dee sostanze i momenti magnetici dei singoi eettroni si compensano tra oro dando come risutato netto un effetto di magnetizzazione moto piccoo o nuo Otre a momento angoare eettrone ha anche uno spin che contribuisce a momento magnetico. Negi orbitai gi eettroni si distribuiscono a coppie a spin opposti (principio di Paui) compensando a vicenda gi spin. Negi atomi con Z dispari esiste però ameno un eettrone spaiato e quindi un momento magnetico di spin
Magnetismo nea materia (2) Nei materiai ferromagnetici (ferro, cobato, niche gadoinio.) sono presenti dee regioni microscopiche (domini), de ordine di 10-12 10-8 m 3, nei quai i momenti magnetici sono tutti aineati. In un materiae non magnetizzato i domini sono orienti in modo casuae dando perciò un momento magnetico medio nuo. Quando i materiae ferromagnetico viene posto in un campo magnetico i domini tendono ad ainearsi con i campo magnetico e a sostanza si magnetizza Si osserva che i domini aineati diventano man mano più grandi a spese di quei non aineati che si riducono notevomente in numero. Quando i campo viene rimosso i materiae conserva a magnetizzazione nea direzione de campo magnetico