Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni ANALISI MATEMATICA Prova scritta del 4 luglio 08 Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 5) Calcolare i valori di z C che soddisfano l equazione z 5 z z.. (Punti 9 Determinare il comportamento della serie.. (Punti 9) Data la funzione f(x) log x log x, a) (punti ) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti )determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti ) determinare gli intervalli di concavitá e di convessitá; d) (punti )disegnare il suo grafico approssimato. 4. (Punti 7) Calcolare il valore dell integrale 0 4x+ + 4 4x+ dx.
RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI. (Punti 5) Calcolare i valori di z C che soddisfano l equazione z 5 z z. Osserviamo che z non é soluzione. L equazione puó essere scritta quindi nella forma z 5 z z. Poniamo z x+iy e sostiuiamo nell equazione x+iy 5 (x y ixy) x+iy x 5+iy x y x+( 6xy+y). Eguagliamo la parte reale e la parte immaginaria del primo membro rispettivamente con parte reale e parte immaginaria del secondo ottenendo il sistema con incognite x, y R. x 5 x y x y 6xy +y Consideriamo la seconda equazione. Se y 0 allora la prima diventa x x+5 0 che non ha soluzioni reali dato che il suo risulta minore di zero. Sia y 0, dividiamo primo e secondo membro per y ottenendo l equazione: 6x+, che fornisce x. Sostituiamo 6 questo valore nella prima equazione del sistema y 55, da cui y 6, ± 55. In definitiva le 6 soluzioni dell equazione di partenza sono z, 6 ± i 55 6.. (Punti 9 Determinare il comportamento della serie. n log (x+) Scriviamo la serie data come somma di serie 5n 4 log n sin 7 n 6 arctann sin 7 n 6.
Si tratta di due serie a termini positivi, se n, possiamo applicare alla prima di esse il criterio del confronto mettendola in relazione con la serie convergente( ) ovvero Quindi n n log n, 5n 4 log n sin 7 n lim 6 n + (n log 5n 4 log n [ 7 +o ( )] n n) lim 6 n 6 n + log (n+) log n [ 5 +o ( )] n lim n n + log (n log n) 5. (n+) converge. Anche la serie 5n 4 log n sin 7 n 6 arctann sin 7 n 6. (n log n) é convergente perché il suo termine generale si maggiora, per ogni n, con quello di una serie armonica arctann sin 7 n 6 7π n 6. In definitiva la serie data risulta convergente in quanto differenza di serie convergenti.. (Punti 9) Data la funzione f(x) log x log x, a) (punti ) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti )determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti ) determinare gli intervalli di concavitá e di convessitá; d) (punti )disegnare il suo grafico approssimato. Infatti, per ogni n, vale la maggiorazione Ricordiamo che la serie armonica + n log n n. n converge avendo esponente maggiore di uno.
Il campo di esistenza della funzione é R \ {0; }. Utilizzando le proprietá del logaritmo possiamo scrivere x f(x) log x. Risulta f(x) 0 se l argomento del logaritmo é maggiore o uguale ad uno: x x x x, da cui seguono, dopo aver esplicitato il modulo, le disequazioni Ovvero x x, se x >, mentre se x <, risulta x x. x x+ 0, se x >, x +x 0, se x <. La prima ha soluzioni per ogni x R, quindi per ogni x >. La seconda ha soluzioni x o x, di conseguenza per ogni x oppure per ogni x [,). Scriviamo l espressione della funzione nella forma Osserviamo che f(x) log x x, x > log x, x <, x 0. x lim f(x) +, limf(x), lim x ± x 0 x ±f(x) +. Inoltre non ci sono asintoti obliqui dato che f(x) lim x ± x 0. Determiniamo gli intervalli di monotonia calcolando la derivata prima. f (x) x 4 x(x ), x > x 4, x <, x 0. x(x ) Da cui deduciamo che se x > allora f (x) 0 per x 4, f (x) 0 per x 4. Quindi f é crescente su [4 + ), decrescente su (,4]. Il punto x 4 é di minimo relativo. Invece se x < e x 0 allora f (x) > 0 per 0 < x <, f (x) < 0 per x < 0. Quindi f é crescente su (0, ), decrescente su (, 0). 4
Determiniamo ora gli intervalli di concavitá e di convessitá. f (x) x +8x 8 x (x ), x > x +8x 8 x (x ), x <, x 0. Poiché x + 8x 8 > 0 per 4 < x < 4 +, ed essendo il denominatore sempre positivo, deduciamo che f (x) > 0 se 4 < x < < x < 4 +. La funzione risulta allora convessa su (4,) e su (,4+ ), concava su (,0), (0,4 ), (4+,+ ). I punti x 4 e x 4+ sono di flesso. Possiamo ora tracciare il grafico di f. 4. (Punti 7) Calcolare il valore dell integrale 0 4x+ + 4 4x+ dx. Effettuiamo un cambio di variabile ponendo 4x+ t 4, da cui dx t dt. Per x 0 risulta t, mentre se x allora t 4. Possiamo quindi scrivere 4 t t +t dt 4 t 4+4 t+ dt 4 t 4 t+ + 4 t+ dt 4 (t ) dt + 4 [ ] 4 4 t+ dt t t + 4 [log t+ ] 4 4 + + 4log( 4 +) log8. 5