Prova scritta del 8//7 È data la funzione: f) = 6 + 4 log tema A) f) = 4 log tema B) Determinarne: a) dominio, limiti significativi, asintoti; b) derivata prima, crescenza, punti di massimo e di minimo; c) derivata seconda, concavità, flessi; d) grafico. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa π 4 della funzione: f) = sin e cos al grafico 3 L automobile da corsa F sta percorrendo una pista rettilinea. Il telemetro T, che è posto a lato della pista a 8 metri da essa, rileva in un certo istante che la distanza T F è di 3 metri e che tale distanza sta aumentando con velocità di 64 metri al secondo. Qual è la velocità dell automobile in quell istante? 4 Calcolare l area della regione del piano compresa fra i grafici delle funzioni f) = + e g) = log, per. 5 Nel sistema cartesiano O,, y, z) considerare i punti: P,, 4), Q,, 3), S3,, ) a) Dopo aver scritto equazioni parametriche della retta r passante per P e Q, verificare se è vero o no che il punto, 3, ) appartiene a r. b) Determinare il piano contenente la retta r e il punto S. c) Calcolare l area del triangolo P QS. 8//7
, tema A Funzione da studiare: f) = 6 + 4 log. a, b. Dominio: >, cioè. Limiti significativi. lim 6 + 4 log ) = + ) = ± Perciò la retta = è asintoto verticale destro e sinistro. Il prossimo limite presenta un indeterminazione che si può risolvere così: ) lim f) = lim ± ± = + ) + ) = + 6 + 4log Infatti la seconda frazione entro parentesi ha limite: log lim ± H = lim ± = lim ± = Derivata prima. Ricordando ancora che D log = si ha: f ) = 6 + 4 = 6 + 4 Il prossimo limite implica che non c è asintoto obliquo né a + né a : f) H f ) lim = lim = lim 6 + 4 ) = ± ± ± ± Crescenza. f ) > per 3+ > : 3 + > + + + > + + + f ) > + + f) è decrescente per <, crescente per < <, decrescente per < <, crescente per >. I punti = e = sono rispettivamente di massimo e di minimo relativo. Si ha f) = 5. 8//7
c Derivata seconda. f ) = D 6 + 4 ) = 4 = 4 La condizione f ) > è verificata per >, cioè per < oppure >. La funzione è convessa negli intervalli ], [ e ], + [, concava negli intervalli ], [ e ], [. I punti = e = sono di flesso. d Grafico. 8//7 3
, tema B Funzione da studiare: f) = 4 log. a, b. Dominio: >, cioè. Limiti significativi. lim 4 log ) = ) = + ± Perciò la retta = è asintoto verticale destro e sinistro. Il prossimo limite è in forma indeterminata + ± : ) lim f) = lim ± ± = + ) ) = + 4log Infatti la seconda frazione entro parentesi ha limite: log lim ± H = lim ± = lim ± = Derivata prima. Ricordando ancora che D log = si ha: f ) = 4 = 4 Il prossimo limite implica che non c è asintoto obliquo né a + né a : f) H f ) lim = lim = lim 4 ) = ± ± ± ± Crescenza. f ) > per > : > + + > + + f ) > + + f) è decrescente per <, crescente per < <, decrescente per < <, crescente per >. I punti = e = sono entrambi di minimo relativo. Si ha f ) = 3, f) = 4 log = è punto di minimo assoluto). 8//7 4
c Derivata seconda. f ) = D 4 ) = + 4 Essendo f ) > per ogni, la funzione è convessa sia in ], [ sia in ], + [) e non ci sono flessi. d Grafico. 8//7 5
Valori in = π 4 : f) = sin e cos f ) = cos + e cos sin f π 4 ) = e f π 4 ) = + e Equazione della retta tangente: = y = f π 4 ) + f π 4 ) π 4 ) y = e + 3 Unità di misura: m, sec. Indichiamo rispettivamente con z = zt) e = t) le misure di T F e HF. Per il teorema di Pitagora, in ogni istante vale la relazione: + 8 = z Deriviamo termine a termine: ) + e ) + e π ) 4 8 H z d dt = zdz T dt Essendo per ipotesi z = 3, dalla prima relazione si ricava: = z 8 = 9 34 = 4 D altronde sappiamo che ) dz dt = 64 e perciò dalla seconda relazione ricaviamo: ) ) d d 3 64 4 = 3 64, = = 8 dt dt 4 8//7 6 F
4 Secondo la formula dell area b a [f) g)] d, dobbiamo calcolare: I = + ) log d Calcoliamo dapprima per parti con fattore differenziale log d = log d = =... d = Perciò l integrale indefinito è: + ) log In conclusione: I = = log + c ): d = + log + + c [ + log + ] = + log + + ) + = = = log + Osservazione. Un valore approssimato di tale area è.348. 8//7 7
5 Dati del problema: P,, 4), Q,, 3), S3,, ) a La retta r passa per P e ha direzione Q P =,, ), quindi ha equazioni parametriche: { = + t y = t z = 4 t Sostituendo le coordinate del punto dato, 3, ) risulta: { = + t { t = 3 3 = t t = 3 = 4 t t = Dunque il punto non appartiene a r le coordinate non corrispondono a uno stesso valore del parametro t). b Ricaviamo equazioni cartesiane di r eliminando t dalle equazioni parametriche): { = y z = 4 + y { + y + = y z + 4 = Consideriamo il fascio di asse r e sostituiamo le coordinate di S: λ+y+)+µy z+4) =, λ3++)+µ +4) =, µ = λ Ponendo λ = e µ = abbiamo il piano richiesto: c + y + y z + 4) =, y + z 6 = Determiniamo il vettore Q P ) S P ) =,, ) 5,, ): i j k v = = i + ) j + 5) + k + 5) = 3, 3, 6) 5 L area del triangolo P QS è: v = 3 + 3) + 6 = 3 54 = 6 8//7 8