Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del.9.15 Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna solidale Oxyz = Oê 1 ê ê 3 un sistema rigido è composto da una piastra quadrata omogenea P = ABCD, di lato a e massa m, e da un anello circolare γ, di centro O, raggio a e densità: λ(q = m a (Q O ê Q γ, saldati fra loro e disposti come indicato in figura (i lati AB e BC sono rispettivamente paralleli agli assi Ox e Oy. La terna Oxyz ruota con velocità angolare costante ω attorno all asse verticale Oy rispetto ad un riferimento inerziale non disegnato in figura. Un punto materiale P di massa m è inoltre vincolato a scorrere senza attrito lungo γ. Determinare: (a la massa e la posizione rispetto a Oxyz del baricentro del sistema γ P; (b la matrice d inerzia relativa a Oxyz di γ P; (c i momenti d inerzia di γ P relativi alle rette OA e BC; (d l equazione pura del moto di P in Oxyz, usando l angolo ϕ R evidenziato in figura; (e la condizione di equilibrio di P, relativa a Oxyz, in presenza di attrito radente statico di coefficiente µ s. 1
Esercizio Nel piano Oxy di una terna Oxyz con l asse Oy verticale un disco circolare omogeneo D 1, di raggio a, centro A e massa m, rotola senza strisciare lungo il bordo interno di una guida circolare fissa di centro C(, 5a, e raggio 5a. Un secondo disco D, identico al precedente e di centro B, rotola senza strisciare lungo l asse orizzontale Ox. I dischi sono pesanti ed una molla ideale di costante elastica k congiunge i loro centri. Assunti i vincoli ideali, si usino le coordinate lagrangiane adimensionali s, ϑ R in figura per determinare del sistema: (a gli equilibri; (b le proprietà di stabilità degli equilibri; (c l espressione dell energia cinetica; (d le equazioni pure del moto; (e gli eventuali equilibri di confine, precisandone le condizioni di esistenza, qualora fosse ϑ [ π/, π/]; (f i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile nel caso sia mg/ka = 1.
Soluzione dell esercizio 1 (a Massa e baricentro Massa dell anello γ L anello γ può essere descritto per mezzo della parametrizzazione: Q(ϕ O = a sin ϕ ê 1 a cos ϕ ê, ϕ [, π], cui è associato l elemento infinitesimo di lunghezza: mentre la densità di linea diventa: ds = Q (ϕ dϕ = a cos ϕ ê 1 + a sin ϕ ê dϕ = a dϕ, λ(ϕ = m a a cos ϕ = m cos ϕ, ϕ [, π]. a La massa dell anello è quindi data dall integrale: m γ = λ ds = γ = m [ π/ π cos ϕ dϕ π m cos ϕ a dϕ = m cos ϕ dϕ = a π π/ cos ϕ dϕ 3π/ π cos ϕ dϕ + π 3π/ cos ϕ dϕ [ [sin ] π/ = m ϕ [ sin ϕ ] π π/ [ sin ϕ ] 3π/ + [ sin ϕ ] ] π = π 3π/ = m [ 1 ( 1 ( 1 + 1 ] = 4m. ] = Massa del sistema γ P La massa del sistema costituito dall anello γ e dalla piastra P si ottiene sommando le masse delle singole parti, visto che il punto di intersezione A costituisce un insieme di misura nulla tanto per l anello quanto per la piastra. Si ha pertanto: m γ P = m γ + m P = 4m + m = 5m. Baricentro del sistema γ P Il baricentro G del sistema viene determinato mediante il teorema distributivo, che porge: G O = m γ(g γ O + m P (G P O m γ + m P dove il baricentro della piastra P coincide con il relativo centro geometrico e di simmetria: G P O = A O + C A = a ê 1 + a ê + a ê1 + a ê = 3 ( 1 + 1 a(ê 1 + ê,
mentre il baricentro dell anello va identificato con l origine O, a sua volta riconoscibile come centro di simmetria: G γ O =, come è immediato verificare notando che se Q e Q sono punti dell anello simmetrici rispetto ad O vale: λ(q = m a (Q O ê = m a (Q O ê = m a (Q O ê = λ(q. Si ha pertanto: G O = ( 1 4m + m + 1 a(ê 1 + ê 5m = 1 5 ( 1 + 1 a(ê 1 + ê. (b Matrice d inerzia Matrice d inerzia della piastra La matrice d inerzia della piastra quadrata omogenea, di massa m e lato a, rispetto alla terna baricentrale G P xyz è ben nota: [L P G P ] = ma 1/1 1/1 1/6 ed il vettore posizione del baricentro G P rispetto al riferimento Oxyz si scrive: G P O = ( 1 + 1 ( 1 aê 1 + + 1 aê, in modo che le coordinate di G P in Oxyz risultano: d 1 = ( 1 + 1 a d = ( 1 + 1 a d 3 =. La matrice d inerzia di P relativa a Oxyz è allora data dal teorema di Huygens-Steiner generalizzato: [L P O] = [L P G P ] + m P d + d 3 d 1 d d 1 d 3 d 1 d d 1 + d 3 d d 3 = d 1 d 3 d d 3 d 1 + d ( 1 = ma 1/1 + 1 ( 1 + 1 ( 1/1 + ma 1 + 1 ( 1 + 1 1/6 ( 1 + 1 4
dove vale: ( 1 + 1 1 = + 1 4 + 1 = 3 4 + 1 1 ( 1 1 + + 1 1 = 1 + 3 4 + 1 = 5 6 + 1 1 ( 1 6 + + 1 5 = 3 +, per cui: [L P O] = ma 5 6 + 1 3 4 1 3 4 1 5 6 + 1. 5 3 + Matrice d inerzia dell anello Poichè γ giace nel piano Oxy, ovvio piano di simmetria, ed ammette la retta Ox come asse di simmetria di massa, il riferimento cartesiano ortogonale Oxyz rappresenta una terna centrale d inerzia dell anello, rispetto alla quale la matrice d inerzia assume la forma diagonale: [L γ O ] = Lγ xx L γ yy. L γ xx + L γ yy Il momento d inerzia rispetto ad Ox risulta: ed essendo: π L γ xx = y λ ds = ( a cos ϕ m π cos ϕ a dϕ = ma cos ϕ cos ϕ dϕ = a γ [ π/ 3π/ π ] = ma cos 3 ϕ dϕ cos 3 ϕ dϕ + cos 3 ϕ dϕ π/ 3π/ cos 3 ϕ dϕ = (cos ϕ sin ϕ cos ϕ dϕ = sin ϕ 1 3 sin3 ϕ, si riduce a: [ L γ xx = ma 1 1 ( 3 1 + 1 3 1 + 1 + 1 1 ] = 8 3 3 3 ma. Per il momento d inerzia relativo ad Oy si ha invece: π L γ yy = x λ ds = (a sin ϕ m cos ϕ a dϕ = ma a γ 5 π sin ϕ cos ϕ dϕ =
[ π/ = ma sin ϕ cos ϕ dϕ ] π/ 3π/ π/ [ [1 [ 1 = ma 3 sin3 ϕ 3 sin3 ϕ = ma ( 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 = 4 3 3 ma e di conseguenza: sin ϕ cos ϕ dϕ + ] 3π/ π/ + [ 1 3 sin3 ϕ π 3π/ ] π sin ϕ cos ϕ dϕ 3π/ L γ xx + L γ yy = 8 3 ma + 4 3 ma = 4ma. ] = ] = Dunque: [L γ O ] = ma 8/3 4/3. 4 Matrice d inerzia del sistema γ P La matrice d inerzia del sistema costituito da piastra e anello è la somma delle matrici d inerzia relative alle singole parti componenti: [L O ] = [L P O]+[L γ O ] = ma = ma 5 6 + 1 3 4 1 3 4 1 5 6 + 1 5 3 + 7 + 1 3 4 1 3 4 1 13 6 + 1 17 3 + (c Momenti d inerzia di γ P Momento d inerzia relativo alla retta OA La retta passa per l origine ed è individuata dal versore tangente: +ma 8/3 4/3 = 4. ˆn = A O A O = 1 ê 1 + 1 ê. Il momento d inerzia del sistema γ P rispetto ad OA risulta pertanto: I OA = ˆn L O (ˆn = 1 (1 1 [L O] 6 1 1 = 1 Lxx + L yy + L xy = (
( = ma 7 + 1 + 13 6 + 1 3 ( = ma + 13 6 = 5 1 ma. Momento d inerzia relativo alla retta BC La retta BC è parallela all asse coordinato Oy, ma non contiene il baricentro G del sistema. Il momento d inerzia relativo a BC può quindi essere ricavato applicando due volte il teorema di Huygens-Steiner, la prima fra la retta BC e la retta parallela Gy passante per il baricentro: I BC = I Gy + M(x B x G e la seconda fra la retta baricentrale Gy e l asse coordinato Oy: I Oy = I Gy + Mx G. Sottraendo membro a membro le due equazioni si ottiene la relazione: nella quale è: per cui: I BC I Oy = M(x B x G Mx G M = 5m x B = a + a x G = 1 5 ( 1 + 1 a a I BC I Oy = 5m( + a x G 5mx a ( a G = 5m( + a + a x G = = 5ma ( 1 [ 1 + 1 + 1 ( 1 + 1 5 ] = = 5ma ( 1 ( 1 + 1 + 1 5 = 5ma ( 1 ( 3 + 1 5 1 1 = 5 1 + 4 = ma ( 1 ( 3 + 1 + 4 = 5 = ma ( 3 + 4 + 3 + 4 = ma ( 11 + 7. Il momento d inerzia cercato vale perciò: I BC = I Oy + ma ( 11 + 7 = ma ( 13 6 + 1 + ma ( 11 + 7 = ma ( 3 3 + 8. (d Equazioni del moto di P Essendo in rotazione uniforme con velocità angolare ωê rispetto ad un riferimento inerziale, la terna Oxyz non è galileiana ed in essa agiscono forze di trascinamento e forze di Coriolis. Per il punto P il postulato delle reazioni vincolari porge perciò l equazione: m P = mgê mωê [ωê (P O] mωê P + Φ (1 7
dove Φ indica la reazione vincolare agente sul punto materiale e la posizione di questo è individuata, in termini dell angolo ϕ R, dalla parametrizzazione: P (ϕ O = a(sin ϕ ê 1 cos ϕ ê con derivata prima: P (ϕ = a(cos ϕ ê 1 + sin ϕ ê e versore tangente: ˆτ(ϕ = P (ϕ P (ϕ = cos ϕ ê 1 + sin ϕ ê. La velocità e l accelerazione istantanee del punto si scrivono inoltre: P = P (ϕ ϕ P = P (ϕ ϕ + P (ϕ ϕ, mentre la forza di trascinamento si riduce a quella centrifuga: mωê [ωê (P O] = mω xê 1 = mω a sin ϕ ê 1. Per l ipotesi dei vincoli ideali l equazione pura del moto si ottiene proiettando la (1 lungo la direzione ˆτ tangente alla circonferenza vincolare: m P ˆτ = mgê ˆτ + mω a sin ϕ ê 1 ˆτ mωê P ˆτ, dove però il contributo della forza di Coriolis si annulla identicamente (forza che è ortogonale alla velocità istantanea e dunque alla curva: mωê P ˆτ = mωê P (ϕ ϕ ˆτ = mωê aˆτ ϕ ˆτ = ed il primo membro si riduce a: m P [ ˆτ = m P (ϕ ϕ + P (ϕ ϕ ] ˆτ = m [ a = m a [ P (ϕ ϕ + P (ϕ P (ϕ ϕ ] = m a L equazione richiesta diventa pertanto: ovvero, in forma adimensionale: P (ϕ ϕ + P (ϕ ϕ ] P (ϕ = [ P (ϕ ϕ + 1 d [ P (ϕ ] ] ϕ dϕ ma ϕ = mg sin ϕ + mω a sin ϕ cos ϕ ϕ = g a sin ϕ + ω sin ϕ cos ϕ. = ma ϕ. 8
(e Condizione di equilibrio per P in presenza di attrito radente Per un qualsiasi stato di quiete del punto P il postulato delle reazioni vincolari si riduce a: = mgê + mω a sin ϕ ê 1 + Φ e fornisce l espressione della reazione vincolare agente sul punto: Φ = mω a sin ϕ ê 1 + mgê di cui si devono calcolare la componente tangenziale, diretta lungo il versore ˆτ tangente alla circonferenza vincolare, e la componente ortogonale a γ, diretta lungo il versore normale ˆn = ê 3 ˆτ = ê 3 (cos ϕ ê 1 + sin ϕ ê = cos ϕ ê sin ϕ ê 1 = sin ϕ ê 1 + cos ϕ ê. La componente tangente vale: e quella ortogonale risulta: Φ ˆτ = mω a sin ϕ cos ϕ + mg sin ϕ Φ ˆn = mω a sin ϕ + mg cos ϕ. La condizione di equilibrio è data dalla legge di Coulomb-Morin dell attrito radente statico: e sostituendo le relazioni precedenti diventa: Φ ˆτ µ s Φ ˆn mω a sin ϕ cos ϕ + mg sin ϕ µs mω a sin ϕ + mg cos ϕ riducibile alla forma adimensionale: sin ϕ 1 aω g cos ϕ µ s cos ϕ + aω g sin ϕ. Si osservi che fra le configurazioni di equilibrio del punto materiale si hanno quelle con ϕ sufficientemente vicino a zero. Soluzione dell esercizio (a Equilibri Il sistema è scleronomo, a vincoli bilaterali ideali e soggetto a sollecitazioni esclusivamente posizionali conservative (il peso e l interazione elastica fra i centri dei dischi e in parte dissipative (le resistenze viscose nei punti A e B, rappresentate mediante i relativi potenziali. Per calcolare i potenziali si ricavano i vettori posizione del centro A: A O = C O + A C = 5aê +4a sin ϑ ê 1 4a cos ϑ ê = 4a sin ϑ ê 1 (5+4 cos ϑaê 9
e del centro B: Potenziale elastico Dalle relazioni precedenti si deduce: e quindi: B O = asê 1 + aê. A B = (4 sin ϑ saê 1 (6 + 4 cos ϑaê A B = a [ (4 sin ϑ s + (6 + 4 cos ϑ ] = = a ( 16 sin ϑ + s 8s sin ϑ + 36 + 16 cos ϑ + 48 cos ϑ = = a (5 + s 8s sin ϑ + 48 cos ϑ, per cui il potenziale elastico associato alla molla ideale di stiffness k risulta: U el = k A B = ka ( s + 4s sin ϑ 4 cos ϑ + costante. Potenziale gravitazionale Alle forze gravitazionali è associato il potenziale: U g = mgê (A O mgê (B O = = mga(5 + 4 cos ϑ mga = 4mga cos ϑ + costante. Potenziale del sistema La somma dei potenziali elastico e gravitazionale definisce il potenziale del sistema: U(s, ϑ = U el + U g = ka ( s + 4s sin ϑ 4 cos ϑ + 4mga cos ϑ a meno di una costante additiva arbitraria, che può essere posta uguale a zero. Equilibri Le configurazioni di equilibrio, tutte ordinarie, sono individuate come punti stazionari del potenziale U del sistema e vengono ottenute annullando simultaneamente le derivate parziali prime: s (s, ϑ = ka ( s + 4 sin ϑ ϑ (s, ϑ = ka (4s cos ϑ + 4 sin ϑ 4mga sin ϑ vale a dire risolvendo il sistema di equazioni non lineari: ka ( s + 4 sin ϑ = 4ka s cos ϑ + (4ka 4mga sin ϑ = 1
ossia: s = 4 sin ϑ kas cos ϑ + (6ka mg sin ϑ =. ( Una equazione di equilibrio per la sola variabile angolare si ricava sostituendo la prima equazione nella seconda, che diventa: ovvero: ed infine: 4ka sin ϑ cos ϑ + (6ka mg sin ϑ = ( 4ka sin ϑ cos ϑ mg 6ka = 4ka essendosi introdotto il parametro d ordine adimensionale: sin ϑ (cos ϑ λ =, (3 λ = mg 6ka 4ka = mg 4ka 3 ( 3/, +. L equazione (3 ammette due radici definite incondizionatamente per sin ϑ = : ϑ = ϑ = π, che, tenuto conto della prima delle (, corrispondono alle configurazioni di equilibrio: (s, ϑ = (, (s, ϑ = (, π. (4 Altre due radici di (3 si hanno invece per cos ϑ λ = : ϑ = arccos λ = ϑ ϑ = ϑ definite e distinte dalle precedenti per λ ( 1, 1, ossia: 1 < mg 4ka 3 < 1 1 < mg 4ka < 5 < mg ka < 1. Nella stessa ipotesi il sistema ammette pertanto gli ulteriori equilibri: con ϑ (, π. (s, ϑ = (4 sin ϑ, ϑ (s, ϑ = ( 4 sin ϑ, ϑ, (5 (b Stabilità degli equilibri Data la presenza di sole sollecitazioni posizionali conservative, la stabilità degli equilibri ordinari del sistema scleronomo può essere analizzata ricorrendo ai teoremi classici di 11
Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale. A questo scopo si rende necessario calcolare le derivate parziali seconde del potenziale: U (s, ϑ = ka s U s ϑ (s, ϑ = 4ka cos ϑ U ϑ s (s, ϑ = 4ka cos ϑ U ϑ (s, ϑ = ka ( 4s sin ϑ + 4 cos ϑ 4mga cos ϑ e determinare il segno degli autovalori della matrice hessiana corrispondente: ( 1 4 cos ϑ H U (s, ϑ = ka 4 cos ϑ 4s sin ϑ + 4 cos ϑ 4 mg ka cos ϑ in ciascuna configurazione di equilibrio. Configurazione (s, ϑ = (, Per questo equilibrio la matrice hessiana del potenziale si riduce a: ( 1 4 H U (, = ka 4 4 4 mg ka e ha determinante di segno non definito, che costringe a considerare tre diversi casi: deth U (, = (ka ( 4 + 4 mg ka 16 = (ka ( 4 mg ka 4 = 4(ka ( mg ka 1. Se mg/ka < 1 il determinante è negativo e la matrice presenta autovalori reali di segno opposto (matrice indefinita. Il ricorrere di un autovalore positivo implica l instabilità della configurazione per il teorema di inversione parziale di Lagrange- Dirichlet. Per mg/ka > 1 il determinante risulta positivo, ma la traccia (ovvero l elemento h 11 = ka è negativa: trh U (, = ka ( 3 4 mg < ka ( 3 4 = 17ka <. ka Ne deriva il carattere definito negativo dell hessiana, che implica l equilibrio essere un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per il teorema di Lagrange-Dirichlet. Se infine mg/ka = 1, il determinante è nullo e la traccia negativa: trh U (, = ka (3 4 = 17ka < per cui la natura del punto stazionario non appare evidente e si renderebbe necessaria un indagine più approfondita. In effetti, una conveniente riscrittura del potenziale 1
(adimensionalizzato per brevità mostra che si tratta di un massimo relativo proprio: 1 U(s, ϑ = s ka = s + 4s sin ϑ 4 cos ϑ + 4mg ka cos ϑ = + 4s sin ϑ 4 cos ϑ + 4 cos ϑ = s = 1 ( s 8s sin ϑ + 16 sin ϑ + 8 sin ϑ + 16 cos ϑ = = 1 (s 4 sin ϑ + 3 sin ϑ cos ϑ + 16 3 sin ϑ = = 16 1 (s 4 sin ϑ 3 sin 4 ϑ, dunque stabile per Lagrange-Dirichlet. Configurazione (s, ϑ = (, π In questo caso l hessiana risulta: ( 1 H U (, π = ka 4 4 4 + 4 mg ka ancora con determinante di segno non definito: deth U (, π = (ka ( 4 4 mg ka 16 = (ka ( 8 4 mg ka per cui è ancora necessario distinguere tre casi: + 4s sin ϑ + 16 cos ϑ = = 4(ka ( mg ka se mg/ka > il segno negativo del determinante implica che l hessiana sia indefinita, con un autovalore positivo e uno negativo. Per via dell autovalore positivo, l instabilità segue dall inversione parziale Lagrange-Dirichlet; per mg/ka < l hessiana è definita negativa, causa il segno negativo dell elemento h 11 = ka e quello positivo del determinante. L equilibrio costituisce un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità è assicurata dal teorema di Lagrange- Dirichlet; qualora sia invece mg/ka = si presenta un caso critico di stabilità, dato l annullarsi del determinante ed il segno negativo della traccia: trh U (, π = ka ( 5 + 8 = 17ka <. La matrice hessiana è solo semidefinita non definita negativa e non consente di determinare la natura del punto stazionario. Questo può essere riconosciuto come massimo relativo proprio di U, stabile, mediante una appropriata riscrittura del potenziale adimensionalizzato: 1 U(s, ϑ = s ka = s + 4s sin ϑ 4 cos ϑ + 4mg ka cos ϑ = + 4s sin ϑ 4 cos ϑ + 8 cos ϑ = s 13 + 4s sin ϑ 16 cos ϑ
che posto (s, ϑ = (s, π + δϑ, con l intesa di considerare s e δϑ abbastanza piccoli, diventa: 1 U(s, π + δϑ = s ka 4s sin δϑ + 16 cos δϑ = = 1 (s + 8s sin δϑ + 16 sin δϑ + 8 sin δϑ + 16 3 sin δϑ = = 16 1 (s + 4 sin δϑ + 3 sin δϑ cos δϑ 3 sin δϑ = = 16 1 (s + 4 sin δϑ 3 sin 4 δϑ. Configurazione (s, ϑ = (4 sin ϑ, ϑ, con ϑ = arccos λ e λ = mg 4ka 3 ( 1, 1 Nella fattispecie la matrice hessiana del potenziale è data da: ( 1 4 cos ϑ H U (4 sin ϑ, ϑ = ka 4 cos ϑ 16 sin ϑ + 4 cos ϑ 4 mg cos ϑ ka dove però risulta: mg 4ka 3 = cos ϑ mg 4ka = 3 + cos ϑ 4 mg ka = 4 + 16 cos ϑ, per cui: ed infine: 4 mg ka cos ϑ = 4 cos ϑ 16 cos ϑ 16 sin ϑ +4 cos ϑ 4 mg ka cos ϑ = 16 sin ϑ +4 cos ϑ 4 cos ϑ 16 cos ϑ = 16. In tal modo l hessiana si riduce a: H U (4 sin ϑ, ϑ = ka ( 1 4 cos ϑ 4 cos ϑ 16 con elemento h 11 = ka negativo e determinante positivo si ricordi che ϑ (, π: deth U (4 sin ϑ, ϑ = (ka ( 16 16 cos ϑ = 16(ka sin ϑ > e dunque definita negativa per il criterio di Sylvester-Jacobi. L equilibrio rappresenta un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per Lagrange-Dirichlet. 14
Configurazione (s, ϑ = ( 4 sin ϑ, ϑ, con ϑ = arccos λ e λ = mg 4ka 3 ( 1, 1 Per concludere che anche questo equilibrio è stabile basta osservare che la matrice hessiana del potenziale in questa configurazione coincide con quella dell equilibrio simmetrico precedente: H U ( 4 sin ϑ, ϑ = H U (4 sin ϑ, ϑ. (c Energia cinetica Energia cinetica del disco D 1 Il disco è privo di punti fissi e la sua energia cinetica può essere espressa convenientemente mediante il teorema di König: dove: T D1 = m A + 1 ID 1 ω1 Az A = 16a ϑ in modo che risulta: I D 1 Az = ma ω 1 = ( 5a a 1 ϑê3 = 4 ϑê 3, T D1 = m 16a ϑ + 1 ma 4 ϑê 3 = 8ma ϑ + 4ma ϑ = 1ma ϑ. Energia cinetica del disco D L energia cinetica del disco D, anch esso privo di punti fissi, si ricava dal teorema di König: T D = m Ḃ + 1 ID ω Bz con: e velocità angolare: per cui: ω = 1 a Ḃ = a ṡ I D Bz = ma d [ ] (B O ê1 ê3 = aṡ dt a ê3 = ṡê 3, T D = m a ṡ + 1 ma ṡê 3 = ma ṡ + ma 4 ṡ = 3 4 ma ṡ. Energia cinetica del sistema La somma delle energie cinetiche dei due dischi definisce l energia cinetica dell intero sistema: T = T D1 + T D = 1ma ϑ + 3 4 ma ṡ = 3 4 ma ṡ + 1ma ϑ. (6 15
(d Equazioni pure del moto Poichè il sistema olonomo è a vincoli ideali, le equazioni pure del moto possono essere identificate con le equazioni di Lagrange: in cui figura la lagrangiana: d ( L L dt ṡ s = d ( L dt ϑ L ϑ = L = T + U = 3 4 ma ṡ + 1ma ϑ + ka ( s + 4s sin ϑ 4 cos ϑ + 4mga cos ϑ. I termini parziali dei binomi di Lagrange si ricavano immediatamente: d ( L = 3 dt ṡ ma s d ( L dt ϑ = 4ma ϑ L s = ka ( s + 4 sin ϑ L ϑ = ka (4s cos ϑ + 4 sin ϑ 4mga sin ϑ e forniscono le equazioni richieste: 3 ma s + ka (s 4 sin ϑ = 4ma ϑ ka (4s cos ϑ + 4 sin ϑ + 4mga sin ϑ =. (e Equilibri di confine nel caso sia ϑ [ π/, π/] Per (s, ϑ R [ π, π] il sistema scleronomo diventa a vincoli unilaterali perchè presenta le configurazioni di confine individuate dagli insiemi: {(s, ϑ = (s o, π/ : s o R} e {(s, ϑ = (s o, π/ : s o R} che rappresentano due rette parallele nel piano (s, ϑ R. La caratterizzazione degli equilibri di confine avviene tramite il teorema di lavori virtuali, applicabile in virtù dell ipotesi di vincoli ideali. È senz altro opportuno esaminare separatamente i due tratti rettilinei della frontiera. Configurazioni della forma (s, ϑ = (s o, π/, s o R In questo caso il teorema dei lavori virutali porge per la configurazione (s, ϑ = (s o, π/ la condizione necessaria e sufficiente all equilibrio: α s s (s o, π/ + α ϑ ϑ (s o, π/ α s R, α ϑ, equivalente al sistema di relazioni: s (s o, π/ = ϑ (s o, π/ 16
nel quale risulta: s (s o, π/ = ka [ s o + 4 sin(π/ ] = ka (4 s o ϑ (s o, π = ka [ 4s o cos(π/ + 4 sin(π/ ] 4mga sin(π/ = 4ka 4mga per cui il sistema diventa: ka (4 s o = 4ka 4mga s o = 4 mg ka 6. Se ne deduce l esistenza quindi di un unico equilibrio di confine: (s, ϑ = (4, π/, definito per mg/ka 6. Si osservi che questa condizione è fisicamente intuitiva, perchè corrisponde a richiedere che l intensità caratteristica ka della forza elastica (diretta verso l alto sia abbastanza grande rispetto al peso mg del disco D 1 (ovviamente diretto verso il basso, in modo che il disco viene spinto contro l ostacolo fittizio che individua le configurazioni (s, ϑ = (s o, π/ (una barriera posta al di sopra della retta y = 4a nel piano Oxy. All equilibrio la molla AB deve inoltre disporsi verticalmente, in che impone si abbia s = 4. Configurazioni del tipo (s, ϑ = (s o, π/, s o R Nella fattispecie la condizione necessaria e sufficiente affinchè una configurazione (s, ϑ = (s o, π/ sia un equilibrio di confine del sistema si scrive: α s s (s o, π/ + α ϑ ϑ (s o, π/ α s R, α ϑ, ed equivale al sistema di relazioni: dove vale: s (s o, π/ = ϑ (s o, π/ s (s o, π/ = ka [ s o + 4 sin( π/ ] = ka ( s o 4 ϑ (s, ϑ = ka[ 4s o cos( π/ + 4 sin( π/ ] 4mga sin( π/ = 4ka + 4mga 17
in modo che la condizione di equilibrio si semplifica in: ka ( s o 4 = 4ka + 4mga Ne segue un ulteriore equilibrio di confine: s o = 4 mg ka 6. (s, ϑ = ( 4, π/ soggetto alla stessa condizione di esistenza mg/ka 6 dell equilibrio precendente. L interpretazione fisica del risultato è la stessa. Vale inoltre la pena di notare che alla medesima conclusione si sarebbe potuti pervenire direttamente sfruttando la simmetria del potenziale: U(s, ϑ = U( s, ϑ s R, ϑ [ π/, π/]. (f Modi normali delle piccole oscillazioni per mg/ka = 1 Per mg/ka = 1 i soli equilibri definiti si hanno per (s, ϑ = (, e (s, ϑ = (, π. Il primo è un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per Lagrange-Dirichlet; il secondo rappresenta invece un punto di sella, la matrice hessiana essendo indefinita, e risulta perciò instabile per l inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. La sola posizione di equilibrio stabile nell intorno della quale si possano studiare le piccole oscillazioni è dunque (s, ϑ = (,. In questa configurazione di equilibrio la matrice hessiana del potenziale vale: ( H U (, = ka 1 4 4 4 mentre dall espressione (6 si ha la matrice dell energia cinetica: ( A(, = ma 3/. 4 Le pulsazioni normali delle piccole oscillazioni attorno all equilibrio considerato sono le soluzioni positive in ω dell equazione caratteristica: = det [ ω A(, + H U (, ] [ ( ( ] = det ma ω 3/ + ka 1 4 = 4 4 4 [ ( ( ] mω = (ka 3/ 1 4 det +, k 4 4 4 che posto per brevità mω /k = µ diventa: 3 = µ 1 4 ( 3 4 4µ 4 = 4 µ 1 (µ 1 16 = ( 3 = 4 µ µ 3 ( 3 µ + 1 16 = 4 µ 5 µ + 1 16 = 36µ 6µ + 8 18
e semplificando si riduce a: 9µ 15µ + =. Le soluzioni dell equazione trinomia si scrivono: µ = µ ± = 15 ± 5 4 9 18 = 15 ± 153 18 = 15 ± 3 17 18 = 5 ± 17 6 e porgono le pulsazioni normali delle piccole oscillazioni: ω = µ k m = 5 17 k 6 m ω + = µ + k m = 5 + 17 k 6 m cui corrispondono le frequenze normali: f = ω π = 1 5 17 k π 6 m f + = ω π = 1 5 + 17 k π 6 m. Modo alto Il vettore delle ampiezze (a + b + T che individua il modo normale alto si ricava trovando una soluzione non banale del sistema lineare omogeneo: ( 3 ( µ + 1 4 a+ = 4 4µ + 4 b + ovvero dell unica equazione linearmente indipendente: ( 4a + + 4(µ + 1b + = a + + 6(µ + 1b + = che scritta in modo esplicito si riduce a: a + + 6 5 + 17 6 6 e porge come possibile soluzione: b + = a + + ( 17 1b + = a + = 17 1 b + = 1 a meno di un fattore non nullo arbitrario A +. Il modo normale alto può dunque essere espresso nella forma: ( ( s 17 1 = A ϑ + cos 1 ( 5 + 17 6 k m t + α + t R 19
con α + R fase assegnata a piacere. Si osservi che in questo modo normale le coordinate lagrangiane s e ϑ oscillano in opposizione di fase, causa il segno opposto delle ampiezze a + e b +. Modo basso Il modo normale di pulsazione più bassa ω si determina in modo analogo. In pratica, basta sostituire nelle relazioni precedenti 17 a 17 e introdurre per comodità di notazione un cambiamento di segno nel vettore delle ampiezze: ( ( s 17 + 1 = A ϑ cos 1 ( 5 17 6 k m t + α t R con A e α R costanti arbitrarie. In questo caso l oscillazione nel tempo dei parametri lagrangiani avviene in fase, dal momento che le ampiezze a e b presentano lo stesso segno.