Laboratorio di fisica I Relazione esperienza n.1 MISURAZIONE DELLA DENSITA DI SOLIDI OMOGENEI DI FORMA REGOLARE 13/11/2018 Bozzotta Riccardo Di Paola Guido Greco Federico Marino Francesco Pennino Pietro Sacco Giuseppe Indice 1 Introduzione e scopo dell esperienza 2 Strumentazione 3 Misurazioni dirette 4 Misurazioni indirette 4.1 Volume best, errore assoluto, errore relativo 4.2 Densità best, errore assoluto, errore relativo 5 Grafico volume-massa: rette di massima e minima pendenza 6 Discrepanza 7 Conclusioni
1 Introduzione e scopo dell esperienza Tale esperienza è finalizzata alla misurazione della densità di cinque oggetti a forma di cilindro cavo regolare dello stesso materiale. Lo scopo dell esperimento è verificare (studiando opportunamente gli errori nelle misure dirette e la loro propagazione nelle misure indirette) che gli oggetti abbiano eguale densità, e che quindi questa dipenda esclusivamente dal rapporto fra massa e volume. 2 Strumentazione La strumentazione utilizzata a tale scopo è: Calibro ventesimale: il calibro ha una risoluzione r=0.05 mm; ai fini dell esperienza è stato possibile assumere che l errore di lettura sia uguale all errore di precisione, il quale è di 0.025mm; dunque l errore strumentale è di 0.05mm (l errore strumentale è dato dalla somma fra errore di precisione ed errore di lettura). Bilancia elettronica: la bilancia ha un errore di precisione dello 0.2% sul valore misurato e un errore di lettura di 0.1g, cioè di un unità sull ultima cifra significativa (LSD). 3 Misurazioni dirette Per la stesura della tabella 1.0 (e della tabella 2.0) si è fatto uso dei concetti di 1) valore best di una misurazione, 2) errore assoluto e 3) errore relativo. 1) Il valore best è calcolato tramite la formula 0.1 2) L errore assoluto è calcolato tramite la formula 0.2 3) L errore relativo è calcolato dalla formula (0.3) l errore relativo percentuale è calcolato dalla formula (0.4). Ai fini dell esperienza sono stati misurati, tramite misurazioni dirette, il diametro esterno (che indicheremo con D), l altezza (h), il diametro interno (d) e la massa (m). Ogni misurazione è stata effettuata almeno tre volte, ed è stato poi calcolato il valore best tramite il valore centrale dell intervallo di dispersione (0.1) ; è stato infine scelto come errore della misurazione (ricavato dunque tenendo conto dell intervallo di semidispersione e che l errore strumentale è dato dalla somma fra errore di precisione ed errore di lettura) il valore così ottenuto: (0.2). Dopo aver stilato tutti i dati raccolti in tabella, si è proceduto alle misurazioni indirette di volume (V) e densità (ρ).
D(mm) δ D (mm) ε D h(mm) δ h (mm) ε h d(mm) δ d (mm) ε d 19.75 0.05 0.002531646 31.25 0.05 0.0016 17.30 0.05 0.002890173 19.85 0.05 0.002518892 19.50 0.05 0.002564103 17.30 0.10 0.005780347 24.85 0.05 0.002012072 16.75 0.10 0.005970149 21.67 0.05 0.002307337 19.85 0.05 0.002518892 12.00 0.05 0.004166667 17.35 0.05 0.002881844 24.75 0.05 0.002020202 4.95 0.05 0.01010101 22.00 0.15 0.006818182 Tabella 1.0 4 Misurazioni indirette 4.1 Volume best, errore assoluto, errore relativo È stato possibile calcolare il valore migliore del volume (V) tramite la relazione V= (1.0) e il suo errore relativo ε V = ( ) (2.0) ricavato considerando gli errori relativi sui diametri e sull altezza e la loro propagazione. Infatti, per il calcolo del volume (in quanto i cilindri utilizzati hanno forma cava), è stato sottratto al volume calcolato sul diametro maggiore : quello calcolato sul diametro minore: ottenendo la formula 1.0 La formula 2.0 è stata ricavata da: ε V = (2.1) ( ) = (2.2) ricavando gli errori assoluti dalla formula: (3.0)
Lo stesso ragionamento vale per ottenendo (3.1). Sostituendo la formule (3.0) e (3.1) alla formula (2.2) otterremo: ( ) ( ) È stato necessario utilizzare la somma diretta fra gli errori relativi in quanto, usando comunque lo stesso strumento di misura (nel caso particolare il calibro), le misurazioni sono da considerarsi dipendenti l una dall altra (ovviamente è stato trascurato il termine in quanto questo, essendo un numero esatto, ha un errore relativo pari a 0). Dalla 2.1 si passa alla 2.2 tramite la regola che ci dice che le incertezze nelle somme e nelle differenze (D 2 -d 2 ) - nel caso di valori dipendenti si ricavano sommando gli errori assoluti delle singole grandezze. La 3.0 e la 3.1, invece, sono ricavate tenendo conto della regola della propagazione degli errori nelle potenze. Infatti, in generale, Tramite le opportune sostituzioni ricaviamo la 2.2 Inoltre; È inoltre possibile calcolare la 2.0, in maniera equivalente, usando le regole di propagazione degli errori in qualunque funzione di più variabili. Infatti, utilizzando i concetti di limite, rapporto incrementale e derivate, è possibile dimostrare che, allora. Si può generalizzare questo concetto, tramite le derivate parziali, per una qualunque funzione in più variabili: usando opportunamente la somma diretta delle incertezze ottenute (grandezze dipendenti) o la somma in quadratura delle incertezze ottenute (grandezze indipendenti). Nel nostro caso particolare: Ottenendo:
4.2 Densità best, errore assoluto, errore relativo Il valore migliore della densità è stato ricavato come rapporto tra massa e volume di ciascun cilindro ed il suo errore relativo come ε ρ =, dato che massa e volume sono state ricavate tramite misurazioni indipendenti tra loro (somma in quadratura - regola della propagazione delle incertezze nei prodotti e nei quozienti -). m(g) δ m (g) ε m (%) V(cm 3 ) δ V (cm 3 ) ε V (%) ρ(g/cm 3 ) δ ρ (g/cm 3 ) ε ρ (%) 3.30 0.17 5 2.23 0.09 4 1.48 0.09 7 2.00 0.14 7 1.45 0.09 6 1.38 0.13 9 2.70 0.15 6 1.95 0.07 4 1.39 0.09 7 1.30 0.13 10 0.88 0.04 4 1.48 0.16 11 0.70 0.11 16 0.50 0.04 8 1.40 0.2 18 Tabella 2.0 5 Grafico volume-massa: rette di massima e minima pendenza Rappresentando in un grafico la massa in funzione del volume con i corrispettivi errori assoluti, è stato possibile osservare come sussista un rapporto di proporzionalità diretta tra le due grandezze: abbiamo quindi ricavato il massimo e il minimo valore della densità tracciando graficamente le rette di massima (in arancione) e minima (verde) pendenza e calcolandone i coefficienti angolari.
Il valore migliore della densità sarà quindi dato dal valore centrale dell intervallo di dispersione fra i due coefficienti angolari calcolati (la retta il cui coefficiente angolare rappresenta il valore best della densità è quella tracciata in blu) e il suo errore assoluto sarà l intervallo di semidispersione fra i due coefficienti: ρ best =1.43g/cm 3, δ ρ =0.05g/cm 3, ρ=(1.43±0.05)g/cm 3. 6 Discrepanza Inoltre, confrontando i risultati ottenuti dalle nostre misurazioni con i risultati ottenuti dal gruppo n.1, abbiamo potuto insieme valutare che la discrepanza fra i valori best della densità degli oggetti è risultata non significativa. Infatti: e nel nostro caso: 7 Conclusioni Al termine dell esperienza è stato possibile notare (come da ipotesi) la proporzionalità diretta tra massa e volume per oggetti dello stesso materiale e che, in questo caso specifico, è possibile supporre che il materiale di cui costruiti i cinque oggetti di forma cilindrica sia pvc (come verificato tramite ricerche: - in relazione al pvc - Al termine delle reazioni di polimerizzazione si presenta come polvere o come granulato bianco; la densità è generalmente di 1,40-1,45 g/cm3 - fonte: wikipedia -).