e Uiversità di Trieste Facoltà d Igegeria. Esercizi sulle serie umeriche e sulle successioi e serie di fuzioi Dott. Fraco Obersel Esercizio Rispodere alle segueti questioi: a) Siao a 0 + a + a +... b 0 + b + b +... due serie covergeti. Cosa si può dire della serie somma (a 0 + b 0 ) + (a + b ) + (a + b ) +...? E se ua delle due serie diverge e l altra coverge? b) Suppoiamo che Cosa possiamo dire di c) Suppoiamo che sia ua serie a termii positivi e che a = s IR. =3 a? a 0 + a + a +... a = s IR. Cosa possiamo dire di a? d) Suppoiamo che a 0 + a + a +... sia ua serie a termii positivi e che a = s IR.
Cosa possiamo dire di a? e) Si provi che il carattere della serie è uguale al carattere della serie per ogi k IN. a a =k (Sol. a) coverge alla somma della serie, diverge, b) = s a 0 a a, c) coverge a s s, d) ulla, e) le ridotte delle due serie differiscoo per ua costate) Esercizio Si usi l itegrale geeralizzato per provare a) che la serie log() log(log ) diverge; b) che la serie (Sol. a) +, b) 3 + + =3 =3 coverge ad ua somma s co s < (log()) log. x log x log(log x) dx = x(log x) dx = log ) Esercizio 3 Si calcoli la somma della serie 00 + 0 00 + 00 00 3 + 000 00 4 +.... lim log(log(log b)) log(log(log 3)) = b + (Sol. È la serie somma di due serie geometriche covergeti di termie geerale (/0) + (/00) ; la somma è /9 + /99) Esercizio 4 Si provi che la serie di termie geerale a = = a 3 + cos +
è covergete ad u umero reale s e che 3 s 3. (Suggerimeto: cos ; ioltre se si ha + + ) (Sol. cofroto co serie geometriche 3/ (/) a 3 (/) ) Esercizio 5 a) Si determiio i valori di x IR per i quali la serie ( + 3x) risulta essere covergete, e se e calcoli la somma. b) Si determiio i valori di α ]0, π [ per i quali la serie si α risulta essere covergete, e se e calcoli la somma. (Sol. a) (/(3x)) per (/3) < x < 0, b) /( si (α)) per 0 < α < π/4) Esercizio 6 a) Si provi che se ua serie è semplicemete covergete (o assolutamete covergete), allora esistoo ecessariamete ifiiti termii di sego egativo e ifiiti termii di sego positivo della serie. b) Si provi che se per ua serie è applicabile il criterio del rapporto, allora il termie geerale della serie è u ifiitesimo di ordie soprareale. (Si pesi alla serie geometrica, che tipo di ifiitesimo è il termie geerale di ua serie geometrica? Co cosa si maggiora ua serie per la quale vale il criterio del rapporto?) (Sol. a) Si veda l Esercizio e), b) Se a + ka per ogi, si ha a a 0 k per ogi ) Esercizio 7 Si studi il carattere delle serie segueti: a) + 3 α 3 b) co α IR, α > 0 α c) = e! d) = = ( + = ) e) a + a + 3 a3 +... co 0 < a < 3
f) =! 4 6... () (Sol. a) coverge (ord. if.), b) coverge per α > (rapporto o ord. if.), c) diverge (a > e 3 per 3), d) coverge (radice), e) diverge (somma di ua serie armoica e di ua serie geometrica covergete), f) coverge (rapporto o si osservi che a = ) Esercizio 8 Si cosideri la seguete serie (di Megoli) = ( + ) ; a) si provi che a = + ; b) si scrivao le ridotte s, s, s 3 e si calcoli la ridotta -esima s ; c) si calcoli lim s ; + d) si scrivao le somme di = (Sol. b) s = +, c), d) e 3 ) + ( + ) e di ( + ). Esercizio 9 Si studi il carattere delle segueti serie, distiguedo se è il caso tra covergeza semplice e covergeza assoluta: cos(π) cos( π a) ). b) ( ) a co a IR. + a c) e) = = = si( π ) + d)! arctg(). = =3 ( ) log ( + + = (Sol. a) coverge semplicemete, b) coverge semplicemete per ogi a 0, assolutamete per a = 0, c) coverge semplicemete, d) coverge semplicemete, e) diverge) = ) Esercizio 0 Si studi il carattere delle segueti serie di umeri complessi: ) a) ( log( 43 ) + i log( 3 ) ( b) cos + i si ) c) = + i log ( + ) d) = + i 3 i 4
e) (4 + 3i) 5 + i f) = i ( ) + i + (Sol. a) coverge assolutamete b) o coverge, c) coverge assolutamete, d) coverge assolutamete, e) o coverge, f) coverge semplicemete) Esercizio Rispodere alle segueti questioi: a) Si verifichi che se la fuzioe f è limite uiforme della successioe di fuzioi (f ) IN, allora f è pure limite putuale della successioe. b) Si provi che la successioe di fuzioi (f ) dove f (x) : [0, ] IR è defiita da f (x) = x o ammette limite uiforme per +. Esercizio a) Si calcoli il limite putuale della successioe di fuzioi (f ) dove f : IR IR è defiita da f (x) = ( + x ). b) Detto f(x) tale limite si verifichi che f o coverge uiformemete a f per +. (Fissato ɛ > 0, per esempio si preda 0 < ɛ < e, deve essere f (x) f(x) < ɛ per ogi N ɛ e per ogi x. I particolare si può predere x = e si giuge ad ua cotraddizioe). Esercizio 3 Si cosideri la serie di fuzioi = si(3 x). a) Si verifichi che la serie coverge uiformemete su IR. b) Si verifichi che la serie delle derivate o coverge su IR. Esercizio 4 Si cosideri la serie di fuzioi = ( ) + + x. a) Si verifichi che per la serie assegata o è possibile applicare il test di Weierstrass. b) Si verifichi che la serie coverge uiformemete. Esercizio 5 Si cosideri la serie di fuzioi f(x) = e x. a) Si verifichi che la serie coverge uiformemete i ogi itervallo del tipo [ε, + [, co ε > 0. b) Si verifichi che f : ]0, + [ IR è cotiua e derivabile. 5
Esercizio 6 Suppoiamo di sapere che la serie di poteze a (x + ) coverge semplicemete (o assolutamete) el puto x = 3. Può la serie covergere el puto x =? Esercizio 7 Si calcoli il raggio di covergeza e si studi il comportameto agli estremi dell itervallo di covergeza delle serie segueti: x a). b) x. + c) e) ( ) = = x. d) = ( ) + 3 x. f) = (x 4). = g) (Si calcoli solo il raggio di covergeza) log e (x e). = (!) k (k)! x co k IN +. (Sol. a) E = ], [, b) E = ], [, c) E = ], ], d) E = ], 6[, e) E = ], ], f) E = ]0, e[, g) ρ = k k.) usado il teorema di itegrazioe. Esercizio 8 a) Si calcoli la somma di = b) Calcolare la somma della serie c) Si calcoli la somma della serie d) Calcolare la somma della serie ( ) x. x + + + x. ( ) x +. x e) Calcolare la somma della serie distiguedo i casi x > 0, x = + 0, x < 0. x (Sol. a) ( x) 3, b) x log( + x ) per x <, x 0, se x = 0, c) x log( x) per x <, se x = 0 d) arctg x per x <, x 0, x x x se x = 0, e) se x < 0 si ha x = ( x) e posso usare l esercizio d): 6
arctg x per x > ; se x = 0; se x > 0 si ha x = ( x) e posso usare x l esercizio b): x log( + x ) per x <.) x Esercizio 9 Si dimostri il seguete criterio di sviluppabilità. Sia h > 0, e sia I =]x 0 h, x 0 + h[ IR. Suppoiamo che esista ua costate M > 0 tale che f () (x) M! h per ogi e per ogi x I. Allora la fuzioe f è sviluppabile i serie di Taylor i x 0. Esercizio 0 Si rappreseti i serie di Taylor di cetro 0 la fuzioe e x e se e calcoli il raggio di covergeza. x (Sol. =! x, ρ =.)! Esercizio Si verifichi che cos ϑ = eiϑ + e iϑ (Sol. Si usi la formula di Eulero.) e si ϑ = eiϑ e iϑ. i Esercizio Si calcoli ua primitiva della fuzioe dove k IN, (Sol. f(x) = e (xk ) k, rappresetadola i serie. x k+!(k + ).) Esercizio 3 Mediate lo sviluppo i serie della fuzioe f(x) = e (x ) si calcolio el puto x = 0 le derivate di ogi ordie f () (0). (Sol. Cofrotado i coefficieti dello sviluppo i serie della fuzioe e della sua serie di Taylor si ottiee f () (0) = ( + )( + ) (), f (+) (0) = 0.) Esercizio 4 Calcolare (esprimedo il risultato i serie umerica) 0 arctg(t ) t dt. (Sol. ( ).) ( + )(4 + )4+ 7
Esercizio 5 Si risolva l equazioe + x = 3. Si usi tale soluzioe per x rappresetare il umero log 3 come serie di poteze. (Sol. y = ; log( + ) log( ) = + = ( )+ (/) + + = + = (+)4.) (/) = 8