MATEMATICA CORSO A II COMPITINO (Tema 1) 7 Aprile 011 Soluzioni 1. Trova l espressione analitica di una funzione reale di variabile reale f(x) definita, continua, decrescente su tutto R e tale che: lim f(x) = π x + Una possibile soluzione è la seguente. La funzione g(x) = e x è definita, continua e decrescente su tutto R, ma tende a 0 quando x tende a +. Affinché il suo limite a + sia π è sufficiente operare una traslazione di π unità nella direzione negativa dell asse delle ordinate, e quindi l espressione analitica della funzione con le caratteristiche cercate è f(x) = e x π Un altra possibile soluzione si trova utilizzando la funzione arcotangente.. Individua tra le quattro alternative (motivando!) l espressione analitica del grafico in figura. a) b) c) d) f(x) = 1 x +10 f(x) = x +10 x 10 f(x) = x+10 x 10 f(x) = 10x+50 x 1
Dal grafico in figura si deduce immediatamente che la funzione ha come dominio {x R : x 10} quindi possiamo escludere le alternative a) e d). Per decidere tra b) e c) è sufficiente notare che quando x tende a + la funzione b) tende a +, mentre la c) tende al valore finito, come il grafico in figura che presenta un asintoto orizzontale.. A partire dal grafico della funzione g(x) = log x, disegna il grafico della funzione f(x) = + log x x Esistono x R tali che f(x) 0? Qual è l insieme immagine di f(x)? L insieme di definizione di g(x) = log x è l insieme dei reali positivi e coincide con l insieme di definizione della funzione f(x). Nella figura a pagina successiva g(x) è disegnata punteggiata. La funzione tratteggiata è la funzione h(x) = g(x) x = log x x il cui grafico è ricavabile da quello di g(x) con le seguenti considerazioni: l insieme di definizione di h(x) coincide con quello di g(x); entrambe le funzioni passano per il punto di coordinate (1, 0); essendo, nell insieme di definizione, sempre x > 0, le due funzioni hanno lo stesso segno, ovvero negative per 0 < x < 1 e positive per x > 1; i limiti a 0 + coincidono (e valgono ), mentre a + la funzione h(x) tende a 0; poiché h(x) tende a 0 quando x tende a + necessariamente deve esistere almeno un punto di massimo relativo che sarà anche massimo assoluto della funzione. Per cercare questo massimo facciamo la derivata prima della funzione h(x): h (x) = 1 ln log x x ln = 0 1 ln log x = 0 x = e Inoltre si ha h (x) > 0 per 0 < x < e (funzione crescente) e h (x) < 0 per x > e (funzione decrescente), quindi effettivamente la funzione presenta un punto di massimo relativo in x = e, coincidente con il massimo assoluto, e che vale h(e) = (log e)/. Per ottenere il grafico della funzione f(x) (linea continua in figura) è sufficiente operare una traslazione di unità nella direzione negativa dell asse delle ordinate. La funzione f(x) ha allora come asintoto orizzontale la retta y = ed inoltre vale f (x) = h (x), quindi f(x) presenta un massimo relativo e assoluto per x = e con un valore di f(e) = + h(e) = + (log e)/. L insieme immagine di f(x) è (,f(e)), quindi non esistono x R tali che f(x) 0.
4. Studia la monotonia, eventuali punti di massimo o di minimo relativo o assoluto, concavità o convessità ed eventuali punti di flesso per la funzione f(x) = cosx+x La funzione è illimitata lim f(x) = lim x f(x) = + x + quindi non sono presenti massimi e minimi assoluti. Calcoliamo la derivata prima della funzione: f (x) = sinx+ I punti stazionari della funzione si trovano risolvendo la seguente equazione: f (x) = 0 sinx+ = 0 sinx = x = x k 1 = π +kπ x = xk = π +kπ k Z Per determinare la natura degli infiniti punti stazionari della funzione f(x) dobbiamo studiare il segno della derivata prima: f (x) > 0 sinx < kπ < x < x k 1 x k < x < (k +1)π k Z
Quindi la funzione cresce fino ai punti x k 1 e decresce fino a xk : ciò significa che i punti xk 1 sonomassimirelativi, mentriipuntix k minimirelativi. Perstudiareconvessità/concavità ci serve la derivata seconda: f (x) = cosx = 0 cosx = 0 x = x k = π +kπ x = xk 4 = π +kπ k Z Inoltre f (x) > 0 (convessa) cosx < 0 x k < x < x k 4 f (x) < 0 (concava) cosx > 0 kπ < x < x k x k 4 < x < (k +1)π 5. In un azienda sono presenti 1 amministratore, direttori generali, 6 impiegati operativi e impiegati amministrativi. Gli stipendi annui, in migliaia di euro, per ciascuna figura sono così distribuiti: amministratore 50 direttore generale 6 impiegato operativo 5 impiegato amministrativo 0 Calcola la media aritmetica, la moda, la mediana e la deviazione standard degli stipendi. Indichiamo con S l insieme degli stipendi: Allora la media vale S = {0,0,5,5,5,5,5,5,6,6,6,50} E(S) = 0 +5 6+6 +50 1 = 48 1 = 9, la moda (il valore più frequente tra gli stipendi) è 5 così come la mediana. Per calcolare la deviazione standard σ ricordiamoci che quindi σ = Var(S) = E(S ) [E(S)] σ = σ = 0 +5 6+6 +50 1 9 = 70.5 8.40 6. (6 punti) Tra le variabili X e Y della tabella sottostante si ipotizza una relazione esponenziale di Y in funzione di X. I dati in tabella sono approssimati alla seconda cifra decimale (l ultima riga contiene le medie). Determina tale relazione mediante una opportuna analisi di regressione. È buona l approssimazione? Se sì, utilizzala per determinare Y(1.5). 4
X Y XY X Y lnx lny (lnx)(lny) (lnx) (lny) X lny Y lnx 0.0 1.60 0. 0.04.56-1.61 0.47-0.76.59 0. 0.09 -.58 1.00 11.00 11.00 1.00 11.00 0.40 0 0 5.75.40 0 0.40.60 1.04 0.16 6.76-0.9 0.96-0.88 0.84 0.91 0.8 -.8.00 10.00 06.00 4.00 10609.00 0.69 4.6.1 0.48 1.48 9.7 71.9 1.70 67.0 114.4.89 4515.84 0.5 4.1. 0.8 17.70 7.15 5.66.10 115.00 41.50 4.41 15.00 0.74 4.74.5 0.55.51 9.96 85..0 10.00 64.00 4.84 14400.00 0.79 4.79.77 0.6.9 10.5 94.61 1.0 17.10 0.5 1.44 9.41 0.18.84 0.5 0.0 8.06.41 8.1 1.5 54.69 107..5 596.57 0.05.1 1.45 0.67 1.44 5.40 5.64 Indaghiamo, con un analisi di regressione, se è plausibile una relazione, tra le due variabili X ed Y, del tipo Y = ka X con k R e a reale positivo e diverso da 1. Applicando il logaritmo naturale ad entrambi i membri della precedente uguaglianza si ottiene una relazione lineare tra X e la variabile lny: lny = ln(ka X ) = lnk +X lna Applicando le formule della regressione lineare (utilizzando le opportune medie della tabella data) si ha m = lna = (X lny) X (lny) (X ) (X ) 1.17 0.5.1 da cui ed inoltre da cui La relazione cercata è Il coefficente di Pearson vale a e.1 9.1 q = lnk = (lny) m X.1.98 = 0.15 k e 0.15 1.16 Y = 1.16 9.1 X (X lny) X (lny) 0.99 [(X ) (X ) ][(ln Y) ((lny) ) ] e quindi l approssimazione è buona. Possiamo allora calcolare Y(1.5): Y(1.5) = 1.16 9.1 1.5 1.16 7.54 1.95 Per calcolare quest ultimo valore è possibile anche non ricavare i valori dei parametri k e a, ma utilizzare direttamente i parametri m e q della relazione lineare. 5