Università degli Studi di Bari Dipartiento di Chiica 9 giugno 202 F.Mavelli Laboratorio di Chiica Fisica Teoria degli Errori Introduzione Definizione Un operazione di isura consiste nel: assegnare un valore nuerico per rappresentare una proprietà Un operazione di isura non è un processo arbitrario. La isura deve essere riproducibile. Lo sperientatore deve seguire un protocollo di regole ben definito. Una isura è influenzata dalle condizioni abientali in cui è effettuata. 2
9 giugno 202 2 Misura Capione Procedura per la isura della grandezza in esae isura della grandezza x 3 Scopo di una Misura Un operazione di isura può avere finalità diverse. Deterinazioni di costanti fisiche fondaentali. Caratterizzazione proprietà di ateriali o sistei fisici. Monitoraggio e controllo di sistei dinaici. 4
9 giugno 202 3 Metodi di Misura Si distinguono tre diversi etodi di isura: Metodo Diretto: consiste nel confronto diretto della grandezza da isurare con un capione assunto coe unitario. Metodo Indiretto: consiste nella deterinazione del valore di una grandezza attraverso la isura di altre grandezze legate alla pria da una relazione ateatica. Metodo Struentale: consiste nella deterinazione del valore di una grandezza attraverso l uso di uno struento opportunaente tarato. 5 Metodo Diretto Consiste nel confrontare direttaente la grandezza fisica in esae con quella assunta coe unitaria, il capione, o una copia di esso. 6
9 giugno 202 4 Metodo Diretto Questo etodo viene usato quasi esclusivaente per la isura di grandezze fondaentali o per la costruzione di copie dei capioni ed ha un interesse principalente storico. LITRO CAMPIONE cilindro in ottone di capacità di un litro, chiuso superiorente da un disco di vetro opaco di diaetro un pò aggiore di quello del contenitore. METRO CAMPIONE 7 Metodo Indiretto Consiste nella deterinazione del valore di una grandezza fisica attraverso la isura del valore di altre grandezze legate alla pria da una relazione analitica. Esepio: La velocità edia di un corpo può essere deterinata attraverso una isura dello spazio percorso (s) e del tepo necessario a percorrerlo (t) s v t 8
9 giugno 202 5 Esepio Il Problea di Raffaella Raffaella ha una pignatta piena di fagioli e vuole deterinarne il nuero. Metodo Diretto: li conta uno per uno. 9 Metodo Indiretto: ->deterina il peso coplessivo dei fagioli (M) e della pignatta (P), ->deterina il peso di un fagiolo (), ->ricava il nuero (n) dei fagioli dividendo il peso totale per il peso specifico. M - P n Metodo Struentale Consiste nella deterinazione del valore di una grandezza ediante l uso di una opportuna struentazione. Uno struento spesso deterina il valore della grandezza in esae ediante isure della variazione di una qualche proprietà ad essa correlata: Teroetro a Mercurio Variazione di volue del Mercurio Teperatura Alcuni struenti per poter essere utilizzati devono essere tarati o dal costruttore o dallo sperientatore. 0
9 giugno 202 6 Metodo Struentale La taratura dello struento consiste nella isura di capioni con valori della grandezza in esae noti (standard) per valutare la risposta dello struento Taratura Teroetro a Mercurio nell intervallo 0-00 C. Iergere il teroetro in una soluzione di acqua e ghiaccio (0 C) e segnare la posizione del ercurio, 2. quindi in acqua in ebollizione (00 C), segnare la posizione del ercurio, 3. dividere in 00 unità la distanza fra le due tacche la taratura così descritta iplica che sia valida una relazione lineare fra variazione del volue del ercurio e teperatura Incertezza di isura 3.5 3.6 3.55 3.58 3.50 3.55 2
9 giugno 202 7 Analisi degli Errori L analisi degli errori rappresenta lo studio ed il calcolo dell incertezza di una isura. Nessuna isura, per quanto scrupolosaente eseguita, può essere considerata esente da errori. Scopo dell analisi degli errori è: rendere la isura più affidabile possibile e quindi gli errori più piccoli possibili, 3 stiare il valore assio che gli errori possono assuere. Definizione di Errore L errore di una isura dx può essere definito coe il valore assoluto della differenza fra il valore reale x r ed il valore isurato x : dx x r x ossia lo scostaento fra la isura ed il valore reale. 4 Ovviaente questa è solo una definizione, infatti se conoscessio il valore reale della grandezza x non avreo bisogno di effettuare la isura.
9 giugno 202 8 Stia Errore E di iportanza fondaetale riuscire a stiare correttaente l errore che si coette quando si deterina il valore di una grandezza con una data procedura di isura. E anche iportante scrivere il valore ottenuto con il giusto nuero di cifre, ossia deterinare l ultia cifra significativa. 3.5 3.52 3.520 3.5200 5 Scala Graduata Se il risultato della isura si ottiene traite una lettura su di una scala graduata, l errore che si coette può essere stiato facilente coe la seidifferenza fra due tacche successive, ossia coe la più piccola quantità isurabile diviso due. 3.60 0.05 c 6
9 giugno 202 9 Misura Capione Procedura per la isura della grandezza in esae isura della grandezza x stia dell errore coesso 7 Cifre sigificative Il nuero di cifre significative è il nuero di cifre con cui è espresso un valore scritto in forato esponenziale: 0.0345 = 0.345e-3 3 0.03450 = 0.3450e-3 4 345 = 0.345e+3 3 l ultia cifra significatica espressa indica qual è l ncertezza sul dato riportato in assenza di un valore di errore esplicito:.345e-3 0.0005e-3 0.3455e-3 0.3445e-3.3450e-3 0.00005e-3 0.34505e-3 8 0.34495e-3
9 giugno 202 0 Cifre sigificative Il nuero di cifre significative va quindi deterinato, per il risultato di una isura, in base alla stia dell errore. Regola l errore va riportato al assio con 2 cifre significative Regola 2 l ultia cifra significativa in qualunque risultato deve essere dello stesso ordine di grandezza (nella stessa posizione deciale) dell errore 9 Cifre sigificative 92.8 0.3 92.8 0.3 92.8 0.3 9.28e+ 0.03e+ 92.8 3 93 3 92.8 3 9.3e+ 0.3e+ 92.8 30 90 30 92.8 30 0.9e+3 0.3e+3 20
9 giugno 202 Tipi di Errori Si distinguono tre tipi di errori possibili: Illegittii Sisteatici Casuali non vanno coessi vanno eliinati vanno stiati e ridotti 2 Errori Illegittii Sono dovuti ad una cattiva esecuzione della procedura di isura (inesperienza dello sperientatore) o a banale errore di calcolo (nelle isure indirette). 3.2 3.39 3.8 3.35 5.08 3.34 22 Le isure affette da errori illegittii scartano olto rispetto al valore vero (outlier) e vanno quindi eliinate e, nel caso, la isura va ripetuta.
x 9 giugno 202 2 Errori Sisteatici Sono errori sisteaticaente riproducibili, ossia che deterinano sepre lo stesso scostaento fra il valore vero e la isura. 23 Sono dovuti ad errori nella procedura di isura o alle condizioni in cui essa è effettuata, o ad una cattiva taratura dello struento. Errori Sisteatici Vengono evidenziati isurando grandezze il cui valore è noto o attraverso altre procedure di isura. 5 4.5 4 Metodo A 3.5 3 2.5 2.5 0.5 Metodo B Errore sisteatico 0 2 4 6 8 0 n. isura 24 Una volta scoperti devono essere eliinati riconsiderando attentaente tutta la etodica di isura.
valore x 9 giugno 202 3 25 Errori Casuali o Rando Sono errori dovuti a fluttuazioni delle condizioni operative (teperatura, pressione, ecc.) o a paraetri non controllati. Variano casualente da isura a isura e non possono essere individuati ed eliinati...0074 2..089 3. 0.986 4. 0.9955 5. 0.9880 6. 0.9973 7..0239 8. 0.9795 9. 0.9804 0..0249.04.03.02.0 0.99 0.98 0.97 0.96 2 4 6 8 0 N. isura Valor Medio Data una serie di isure effettuate su uno stesso sistea in tepi differenti o su sistei analoghi, ossia preparati con le stesse odalità, si calcola il valor edio coe la soatoria di tutti le isure x i ottenute, diviso per il nuero di isure N...0074 2..089 3. 0.986 4. 0.9955 5. 0.9880 6. 0.9973 7..0239 8. 0.9795 9. 0.9804 0..0249 x N i N x i.0074.089....0249 0 0.9997 26
Valore edio di x 9 giugno 202 4 Errori Casuali o Rando Sono quelli di cui si occupa l analisi degli errori e possono essere ridotti effettuando un gran nuero di isure e facendo la edia dei valori ottenuti..02.05.0 Valore reale.005 27 Media su 6 isure 0.995 2 3 4 5 6 7 8 9 0 N. di isure per la edia Esepio Il Problea di Raffaella Raffaella ha una pignatta piena di fagioli e vuole deterinarne il nuero con il etodo indiretto. che errore coette se pesa i fagioli con tutta la pentola? se trascura che insiee ai fagioli possono esserci delle lenticchie? se trascura che i fagioli non hanno tutti lo stesso peso? 28
9 giugno 202 5 Precisione E definita coe il reciproco del assio scarto ottenuto in una serie di isure di una grandezza p x ax x in..0074 2..089 3. 0.986 4. 0.9955 5. 0.9880 6. 0.9973 7..0239 8. 0.9795 9. 0.9804 0..0249 La precisione di un etodo di isura da inforazioni sulla riproducibilità della isura stessa, ossia su quanto siano fra loro vicini i valori di isure differenti eseguite sullo stesso capione. 29 p.0249 0.9795 0.0454 22.0264 Accuratezza E definita coe il reciproco del valore assoluto della differenza fra il valore reale x r ed il valore isurato x : a x x r..0074 2..089 3. 0.986 4. 0.9955 5. 0.9880 6. 0.9997 7..0239 8. 0.9795 9. 0.9804 0..0249 L accuratezza di un etodo di isura da inforazioni sull affidabilità del etodo ossia su quanto la isura ottenuta sia prossia al valore reale: a 0.9997.0000 0.0003 3.940 0 3 30
9 giugno 202 6 Precisione e Accuratezza Maggiori sono gli errori sisteatici inore è l accuratezza di una isura Errori Sisteatici Accuratezza Maggiori sono gli errori casuali inore è la precisione di una isura Errori Casuali Precisione 3 Esattezza Nel caso di un etodo di isura che restituisce il valore della grandezza isurata coe il valor edio di una serie di isure successive si definisce l esattezza E definita coe il reciproco del valore assoluto della differenza fra il valore reale ed il valore edio: e x x r..0074 2..089 3. 0.986 4. 0.9955 5. 0.9880 6. 0.9973 7..0239 8. 0.9795 9. 0.9804 0..0249
Esattezza 9 giugno 202 7 Precisione e Esattezza Il centro del bersaglio rappresenta il valore vero, entre i punti rossi sono valori di isure ripetute Metodo A Accurato esatto e preciso Metodo B bassa esattezza Alta precisione Metodo C Alta esattezza Bassa precisione Metodo D Bassa esattezza bassa precisione Precisione 33 Errore relativo Se il risultato di un operazione di isura risulta essere: x ± dx ove x è il valore isurato dx è l errore coesso, allora viene definito errore relativo: Errore relativo rel dx x il rapporto fra l errore ed il valore assoluto della isura. 34
9 giugno 202 8 Errore relativo L errore relativo è una grandezza adiensionale che ci perette di capire la bontà della nostra isura: Misura x 5 c 5 5 K Errore assoluto dx c c c Errore relativo rel 0.2 0.002 0.000002 bontà isura Coettere un errore assoluto di c su di una isura di 5 c o 5 o 5 K significa avere una procedura di isura via via igliore, coe 35 ostrato dall errore relativo via via più piccolo. Errore relativo percentuale L errore assoluto è solitaente di uno due ordini di grandezza inferiore al valore della isura. Spesso l errore relativo (~0-2 ) viene oltiplicato per 00 ed espresso coe errore percentuale Errore relativo percentuale: dx % 00 x 36
9 giugno 202 9 Errore relativo percentuale Errore Relativo Percentuale Nuero Cifre Sigificative L errore relativo percentuale è strettaente legato al nuero di cifre significative. Si considerino ad esepio i due nueri: 5.e+2 = 50 5.e- = 0.5 entrabi espressi con due cifre significative che avranno un incertezza sulla terza cifra 37 50 5 0.5 0.005 Errore relativo percentuale Perciò avranno entrabi un errore percentuale dell %: 5 0.005 % 00 00 % 50 0.5 Sareo così portati a concludere che un errore dell % corrisponde a 2 cifre significative. In realtà, se consideriao i due valori liite con 2 cifre significative: 99 0.5 0 0.5 % = 0.5% % = 5% 38
9 giugno 202 20 Errore relativo percentuale Troviao che un errore percentuale copreso fra lo 0.5% ed il 5% iplica una isura con 2 sole cifre significative. Cifre sigificative Errore percentuale 5%-50% ~ 0% 2 3 0.5%-5% 0.05%-0.5% ~ % ~ 0.% Ragionando in aniera del tutto analoga possiao ottenere la tabella di corrispondenza fra errore percentuale e nuero di cifre significative. 39 Esepio La isura della lunghezza l risulta essere: l = 50 ± c dl Errore relativo rel 0. 02 l 50 Errore relativo percentuale: dl % 00 2% l 40
9 giugno 202 2 Incertezza isura L incertezza sul risultato di una isura può essere espressa sia in terini di errore assoluto che in terini di errore relativo o percentuale: Errore assoluto x * dx Errore relativo x rel Errore relativo percentuale: x % * 4 * espressioni più usate Esepio La isura della lunghezza l vista in precedenza può essere, ad esepio, espressa coe: Errore assoluto 50 Errore relativo 50 0.02 Errore relativo percentuale: 50 2% 42
9 giugno 202 22 Diostriao: x dx x rel Metto in evidenza x d x x d x x x x >0 x =x x <0 x =-x x dx x dx x x dx x dx x x x dx rel 43 Esercizi Riscrivere i seguenti valori con l esatto nuero di cifre significative: h = 5.03 0.04329 h = 5.03 0.04 t = 9.5432.04 sec t = 9.5.0 sec q = -3.2 0-9 2.67 0-20 coulobs q = -3.2 0-9 0.3 0-9 coulobs l = 0.000000563 0.00000007 l = 560 70 n = (0.56 0.07)0-6 = 3.267 0 3 42 g = 3.27 0.04 Kg
9 giugno 202 23 Bibliografia. Capbell N.R., Foundation of Science, Dover, New York, 957. 2. Mandel J., The Statistical Analysis of Experiental Data, Dover, New York, 964. 3. Bevington P.R., Robinson D.K., Data Reduction and Error Analysis for the Physical Science, McGraw-Hill, New York, 992. 4. Taylor J.R., Introduzione all analisi degli Errori, Zanichelli, Bologna, 996. 45