PROBABILITÀ E VARIABILI CASUALI

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1 PROBABILITÀ E VARIABILI CASUALI Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

2 Frequenza relativa e probabilità Mediante le le probabilità si si descrivono i i fenoeni che che possono essere essere pensati coe coe un un esperiento il il cui cui risultato sia sia soggetto a cabiaento al al ripetersi dell esperiento stesso stesso (pur (pur antenendo le le edesie condizioni operative). Esepio: Esperiento: Lancio Lancio casuale di di un un dado dado (ogni (ogni volta volta in in odo odo leggerente diverso) Risultato: uero sulla sulla faccia faccia superiore del del dado dado Insiee dei dei possibili risultati risultati (eleentari): {,,3,4,5,6} Evento: qualsiasi sottoinsiee dell insiee dei dei risultati risultati A={,}; B={,4,6}; ecc. ecc. Se Se si si esegue esegue un un nuero di di prove prove sufficienteente elevato, sia sia l esperienza sia sia la la teoria teoria della della probabilità ostrano che che la la frequenza relativa relativaf k f dei k dei singoli singoli risultati risultati (k=,,3,4,5,6) (o (o di di un un qualsiasi evento) è prossia alla alla loro loro probabilità: f k k = P( k) A f P( A) ATTEZIOE: 0 A B = f = P( B)... f 0 P( A) A Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC B

3 Istograa dei risultati L istograa dei dei risultati è il il grafico delle delle frequenze relative Lancio di un dado non truccato, esito di una serie di prove Risultato del lancio Frequenza relativa dei possibili risultati # prove Coento: questo istograa è sospetto! è troppo regolare!! 3 Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

4 S = spazio degli eventi, cioè cioè insiee di di tutti tuttii i risultati eleentari A,B,C,... = eventi (sottoinsiei di di S, S, inclusi lo lo stesso S e l insiee vuoto) AUB = unione di di A e B A B = intersezione di di A e B ota: la la probabilità di di AUB è spesso indicata con con P(A+B). ota: la la probabilità di di A B è indicata con con P(A,B) e detta probabilità congiunta. U Cenni di teoria della probabilità () U Assioi della della teoria teoria della della probabilità (proprietà delle delle probabilità):.. Per Per ogni ogni A esiste esiste (cioè (cioè è definita) P( A) 0.. P(S)= P(S)= Se Se A e B sono sono utuaente esclusivi (hanno (hanno intersezione nulla) nulla) P(A+B)=P(A)+P(B) ota: ota: non non sono sono altro altro che che le le proprietà eleentari della della frequenza relativa relativa Conseguenza (facilente diostrabile): P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A,B) bisogna contare solo solo una una volta volta l intersezione di di A e B! B! Si Si attribuiscono alla alla probabilità le le proprietà della della frequenza relativa, perché perché i i risultati risultati del del calcolo calcolo delle delle probabilità siano siano a loro loro volta volta interpretabili coe coe frequenze relative. 4 Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

5 Cenni di teoria della probabilità () Esepio: lancio lancio di di un un dado dado (ipotesi: dado dado non non truccato ==> ==> risultati risultati equiprobabili) A={,,3} (l evento A si si verifica verifica se se il il risultato eleentare è contenuto in in A) A) B={,4,6} (l evento B si si verifica verifica se se il il risultato è un un nuero pari) pari) Per Per calcolare la la probabilità di di un un evento evento basta basta contare contare i i risultati risultatiche lo lo copongono! P(A)=n P(A)=n A /n A /n dove dove n A è A il il nuero di di risultati risultati contenuti in in A e n il il nuero totale totale di di risultati. P(A)=P(B)=3/6 P(A+B)=P({,,3,4,6})=5/6 (o (o anche anche P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A,B)=3/6+3/6-/6=5/6, a a in in questo questo caso caso non non conviene) P(A)=n P(A)=n A /n A /npuò essere essere una una definizione generale di di probabilità? O Operché esistono anche anche i i dadi dadi truccati truccati (intenzionalente o no); no); potrebbe essere essere P()=0.5 e P()=...=P(6)=0.. In In questo questo caso caso si si avrebbe P(A)=0.7, P(B)=0.3 e P(A+B)=0.9. Regola Regola generale: nel nel caso caso dei dei risultati risultati equiprobabili, il il calcolo calcolo delle delle probabilità richiede solo solo di di saper saper contare; se se i i risultati risultati non nonsono equiprobabili occorre occorre saper saper soare..b.:.b.: il il nuero di di terini terinida da soare può può essere essere enore, o addirittura infinito! infinito! 5 Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

6 Esepio: lancio lancio di di due due dadi dadi (non (non truccati) Indipendenza statistica A={ A={ nel nel prio prio lancio lancio (e (e risultato qualsiasi nel nel secondo lancio)} lancio)} B={3 B={3 o 4 nel nel secondo lancio lancio (e (e risultato qualsiasi nel nel prio prio lancio)} lancio)} P(A,B)=P({ nel nel prio prio lancio, lancio, 3 o 4 nel nel secondo lancio})=/36 (infatti (infatti vi vi sono sono coppie coppiedi di risultati risultati equiprobabili: le le coppie coppie (,3) (,3) e (,4) (,4) costituiscono l evento congiunto) In In questo questo caso caso risulta risulta P(A,B) P(A,B) =P(A)P(B), cioè cioè la la probabilità congiunta è uguale uguale al al prodotto delle delle probabilità: si si dice dice che che gli gli eventi eventi A e B sono sono statisticaente indipendenti (o (o indipendenti). Effettivaente i i lanci lanci sono sono indipendenti, a eno eno che che si si voglia voglia credere che che il il dado dado ha ha eoria!! Si Si assue a priori priori l indipendenza statistica, e quindi quindi si si usa usa la la regola regola P(A,B)=P(A)P(B), quando A e B sono sono eventi eventi relativi relativi a esperienti indipendenti. Esepio tipico: tipico: ripetizione di di uno uno stesso stesso esperiento, cioè cioè prove prove ripetute (dette (dette anche anche prove prove di di Bernoulli )..B.:.B.: nel nel caso caso di di esperienti indipendenti vale vale la la regola regola P(A,B)=P(A)P(B) anche anche se se i i risultati risultati eleentari non nonsono equiprobabili (dado (dado truccato). 6 Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

7 Variabile casuali discrete (distribuzione di probabilità) Si Si dice dicevariabile casuale un un nuero reale associato al al risultato dell esperiento. Se Se i i possibili risultati sono nuerabili la la variabile casuale è detta discreta. Ad Ad esepio all esperiento lancio lancio del del dado dado (non (non truccato) associao la la variabile casuale che che può può assuere i i valori valori interi interi copresi tra tra e 6 con con probabilità /6. /6. ota: ota: se se invece invece vogliao indicare le le facce facce del del dado dado con con a,b,c,d,e,f non non definiao una una variabile casuale. Si Si dice dice distribuzione di di probabilità (o (o talvolta densità discreta di di probabilità) della della variabile casuale la la funzione P(a) P(a) (o (o talvolta p(a)), che che rappresenta con con quale probabilità la la variabile casuale assue il il valore a. a. Se Se i i risultati sono in in nuero finito finito si si tratta di di una una rappresentazione del del tutto tutto equivalente ad ad una una tabella contenente le le probabilità P(a). Distribuzione di probabilità della variabile casuale ell esperiento lancio del /6 dado la distribuzione di probabilità della variabile casuale vale /6 per i valori di a interi copresi tra e 6, e zero altrove Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

8 Teperatura isurata uero di prove Variabili casuali continue Le Le variabili casuali sono continue quando possono assuere un un insiee continuo di di valori (e (e quindi i i possibili risultati sono in in nuero infinito). Esepio: la la teperatura di di una una stanza stanza isurata ad ad un un istante istante di di tepo tepo casuale (con (con precisione infinita! infinita! ottenendo cioè cioè un un nuero reale). reale). Il Il concetto di di frequenza relativa relativaviene viene recuperato approssiando l insiee continuo di di valori valori con con un un nuero finito finito di di intervallini di di isura isura (discretizzazione). Ad Ad esepio, se se la la teperatura della della stanza stanza può può variare variare con con continuità tra tra 0 0 e gradi, gradi, non non coettiao un un grosso grosso errore errore approssiando l intervallo continuo con con intervallini contigui di di gradi gradi ciascuno. La La variabile casuale è diventata discreta (ci (ci sono sono possibili risultati risultati dell esperiento) e possiao approssiare la la probabilità coe coe liite liite della della frequenza relativa relativa per per elevato. 8 Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

9 Istograa Anche Anche per per le le variabili casuali casuali continue, una una volta volta discretizzate, è possibile tracciare l istograa coe coe grafico grafico della della frequenza relativa relativa dei dei risultati risultati in in ogni ogni intervallino in in cui cui si si è suddiviso l insiee continuo dei dei risultati. Teperatura isurata ATTEZIOE: i i valori valori dell istograa per per le le variabili casuali casuali continue, una una volta volta discretizzate, dipendono dalla dalla diensione dell intervallino scelto: scelto: più più è piccolo piccolo l intervallo più più sono sono bassi bassi i i valori valori dell istograa uero di prove Frequenza relativa 9 Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC 30 8 ISTOGRAMMA 6 4 ddp

10 Densità di probabilità (ddp) Per Per introdurre il il concetto di di densità densità di di probabilità p(a) p(a) di di una una variabile casuale continua a partire partire dall istograa occorrono i i seguenti passi: passi: --Utilizzare intervallini piccoli, piccoli, così così da da poter poter ritenere la la ddp ddp costante al al loro loro interno interno --Dividere il il valore valore dell istograa per per la la diensione dell intervallino (in (in odo odo che che il il risultato sia sia indipendente dalla dalla diensione dell intervallino) 3 --Utilizzare un un nuero olto olto elevato elevato di di prove prove (tanto (tanto più più elevato elevato quanto quanto più più piccolo piccolo è l intervallino) in in odo odo che che frequenze relative relative e probabilità quasi quasi coincidano Teperatura isurata uero di prove 0 Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC ddp

11 Uso della densità di probabilità di una v.c. continua La La densità densità di di probabilità p(a) p(a) di di una una variabile casuale continua è dunque dunque definibile coe coe p( a) Dalla Dalla densità densità di di probabilità p(a) p(a) è facile facile calcolare la la probabilità che che la la variabile casuale assua un un valore valore copreso in in un un intervallo a,, a.. Basta Basta soare! si si ottiene ottiene l area l area sottesa sottesa dalla dalla ddp ddpnell intervallo d interesse. P P( a < a + da).b.: se non è evidente di quale variabile = li da 0 casuale si sta parlando si scrive p da (a) ( a < ) = a a a p( a) da Si noti che P ( < < ) = p( a) da = Dunque l area l area sottesa sottesa dalla dalla ddp ddp di di una una qualunque 0 variabile casuale è unitaria. a a Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

12 Densità di probabilità congiunta In In odo odo del del tutto tutto analogo si si definisce la la ddp ddp di di due due (o (o più) più) variabili casuali casuali (densità di di probabilità congiunta): p y ( a, b) P( a < a + da, b < y b + db) = li da dadb db 0 0 La La densità densità di di probabilità congiunta p y (a,b) y (a,b) è utilizzata per per calcolare la la probabilità che che le le variabili casuali casuali e y assuano (congiuntaente) valori valori copresi in in una una regione regione del del piano. piano. Basta Basta integrare nella nella regione regione d interesse (integrale doppio). Le Le variabili casuali casuali e y sono sono dette dette statisticaente indipendenti se se p y ( a, b) = p ( a) p Si Si assue a priori priori che che le le variabili casuali casuali e y siano siano statisticaente indipendenti se se ottenute da da esperienti svolti svolti in in condizioni indipendenti (esepio: prove prove ripetute). y ( b) per ognia eb Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

13 Valor edio di una variabile casuale Il Il valor valor edio edio,, detto detto anche anche valore valore atteso attesoe [] [] o oento (statistico) di di ordine ordine uno, uno, di di una una variabile casuale è definito definito coe coe segue. segue. Se Se l esperiento viene viene eseguito volte volte ( (grande) è interpretabile approssiativaente coe coe edia edia aritetica dei dei risultati: = E[ ] = ap(a)da i i= Il valor edio di una variabile casuale è l ascissa del baricentro dell area sottesa dalla densità di probabilità. p(a) p(a) X a X a 3 Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

14 Proprietà del valor edio () La La proprietà fondaentale del del valor valor edio edioè la la seguente. Se Se dalla dalla variabile casuale si si ottiene ottiene una una nuova nuova variabile casuale y attraverso la la funzione y=f(), y=f(), dove dove f() f() è una una funzione prefissata (in (in tal tal caso caso si si dice dice che che y è funzione di di variabile casuale), il il calcolo calcolo del del valor valor edio edio di di y non non richiede di di deterinarne la la ddp ddp (cosa (cosa che che potrebbe essere essere difficile). Si Si può può invece invece procedere nel nel seguente odo, odo, ediante la la ddp ddp della dellavariabile : : E[ y] = f ( a) p ( a) da Analogo risultato vale vale per per una una funzione di di più più variabili casuali. La La diostrazione di di questa questa iportante proprietà non non è affatto affatto banale. banale. Tuttavia il il risultato non non sorprende, se se si si pensa pensa all interpretazione del del valor valor edio edio coe coe edia edia aritetica di di un un gran gran nuero di di risultati: E[ y] i= y i 4 Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC = i= f ( ) Esepio: la la variabile casuale ha ha ddp ddp unifore (cioè (cioè costante) nell intervallo (0,) (0,) e nulla nulla altrove. altrove. La La variabile casuale y è definita definita coe coe y=cos(). Il Il valor valor edio edio di di y è E[ y] = cos( a) p ( a) da = cos( a) 0 0 da = sin() = 0.84 i

15 Proprietà del valor edio () Dalla Dalla proprietà fondaentale del del valor valor edio ediosi si ottengono iediataente le le seguenti proprietà, di di uso uso frequentissio: Il Il valor valor edio edio della della soa soa+y +ydi di variabili casuali casuali è la la soa soa dei dei valori valori edi. edi. Se Se a e b sono sono costanti E[a+b] = a E[] E[] + b. b. Se Se e y sono sono variabili casuali casuali indipendenti e f() f() e g(y) g(y) sono sono funzioni arbitrarie, E[f()g(y)] = E[f()] E[f()] E[g(y)]. E[g(y)]. In In particolare, se se e y sono sono variabili casuali casuali indipendenti si si ha ha E[y] E[y] = y. y. Variabili casuali casuali e y tali tali che che sia sia E[y] E[y] = y sono y sono dette dette incorrelate..b.:.b.: due due variabili casuali casuali possono essere essere incorrelate anche anche senza senza essere essere indipendenti. Variabili casuali casuali indipendenti sono sono invece invece sepre sepre incorrelate. 5 Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

16 Valore quadratico edio e varianza Il Il valor valor quadratico edio edioe [ [ X [ ( ], ], detto detto anche anche potenza statistica o oento (statistico) di di ordine ordine,, di di una una variabile = Ecasuale X X ) è ] = definito definito ( a coe coe ) fxsegue. segue. ( a) daapprossiativaente, = è la la edia edia aritetica di di un un nuero olto olto elevato elevato di di risultati risultati di di altrettanti esperienti: = E [ X ] E[ X ] + = E[ X ] + = E[ X ] X E X X X X = a p(a)da i i= [ ] X La La varianza (detta (detta anche anche oento centrale di di ordine ordine ) ) di di una una variabile casuale è il il valore valore quadratico edio edio della della differenza tra tra e il il suo suo valor valor edio edio [ ] [ ] = E ( ) = E i i= i.b.:.b.: diostrare che che richiede un un piccolo piccolo calcolo. E [ ] [ ] ) = E ( 6 Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

17 Deviazione standard La La radice radice quadrata della della varianza è detta detta deviazione standard (o (o scarto scarto quadratico edio) edio) della della variabile casuale = La La deviazione standard è una una isura isura della della dispersione, rispetto rispetto al al valor valor edio, edio, dei dei valori valori assunti assunti nei nei vari vari esperienti dalla dalla variabile casuale.. Più Più è elevata elevata la la deviazione standard più più i i risultati risultati sono sono dispersi rispetto rispetto al al valor valor edio edio e la la ddp ddp è larga. larga p ( a) p ( a) p 3 ( a) > > Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

18 8 Fondaenti TLC Fondaenti di segnali e trasissione Densità di probabilità gaussiana ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ep ep ep 3 3 = + < = + < = + < da a P da a P da a P π π π ( ) = ep a p(a) π X a p(a) π π 0.35 π X X X X

19 Funzione Q e funzione errore copleentare (erfc) π p(a) C=B B B = + β β = Q π = erfc ep ( a ) β da = X β β a t Q(t) t Q(t) 0,00 5,000E-0 0,8,9E-0 0,05 4,80E-0,0,587E-0 0,0 4,60E-0,,5E-0 0,5 4,404E-0,4 8,080E-0 0,0 4,07E-0,6 3,806E-0 0,5 4,03E-0,8 3,590E-0 0,30 3,8E-0,0,80E-0 0,35 3,6E-0,4 8,00E-03 0,40 3,446E-0,8,600E-03 0,45 3,64E-0 3, 6,87E-04 0,50 3,085E-0 3,6,59E-04 0,60,743E-0 4,0 3,67E-05 s erfc(s) s erfc(s) 0,0,000E+00,6,370E-0 0, 8,875E-0,8,090E-0 0, 7,730E-0,0 4,700E-03 0,3 6,74E-0,,900E-03 0,4 5,76E-0,4 6,885E-04 0,5 4,795E-0,6,360E-04 0,6 3,96E-0,8 7,50E-05 0,7 3,E-0 3,0,09E-05 0,8,579E-0 3,3 3,057E-06,0,573E-0 3,7,67E-07, 9,700E-0 4,0,54E-08,4 4,770E-0 5,0,537E- per per ep t > 3Qt ( ) ( t / ) π t ep s > erfc( s) ( s ) πs 9 Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

20 Prove ripetute () Esepio: lanci lanci (indipendenti) di di una una oneta truccata, che che dà dà testa testa con con probabilità p. p. Consideriao la la variabile casuale k = nuero di di teste teste totali totali (non (non ci ci interessa l ordine). k Si Si possono ottenere k teste teste in in prove prove in in odi odi distinti, distinti, ciascuno avente avente probabilità p = p ( p) k k k k k ( p) P( k) (prodotto delle delle probabilità), e quindi quindi.. p=0.3 =0 p=0.3 =00 p=0.3 =000 E evidente che all auentare di la frequenza relativa si discosta sepre eno da p (legge dei grandi nueri) 0 Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC

21 Prove ripetute () Varianza del del nuero k di di successi in in prove prove indipendenti: se se p è la la probabilità di di successo nella nella singola singola prova prova si si può può diostrare che che la la varianza del del nuero di di successi è k = p ( e quindi quindi la la varianza della della frequenza relativa relativaf k f=k/ k è e tende tende a zero zero per per tendente a infinito. infinito. Gli Gli scarti scarti quadratici edi edisono dati dati rispettivaente da da e.. Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC p) p ( p) / p ( p) Esepio: p = p ( p) p ( p) / = = = p ( p) / Coe Coe si si vede vede lo lo scarto scarto quadratico edio ediodel del nuero di di successi auenta (a (a più più lentaente di di ), ), entre entre lo lo scarto scarto quadratico edio ediodella della frequenza relativa relativadiinuisce. Si Si E coprende evidente che coe coe all auentare sia sia possibile di in pratica la pratica frequenza isurare relativa una una si probabilità, discosta sepre eseguendo eno da p l esperiento un un nuero sufficiente (legge di di dei volte volte grandi (secondo nueri) la la precisione desiderata).

22 Soa di variabili casuali Si possono diostrare olte notevoli proprietà: Il Il valor valor edio edio della della variabile casuale z=+y z=+yè pari pari alla alla soa soa dei dei valori valori edi. edi. Se Se e y sono sono variabili casuali casuali indipendenti, la la variabile casuale z=+y z=+yha ha coe coe ddp ddp la la convoluzione delle delle due due ddp: ddp: p z ( a) = p ( a) p ( a) y Se Se e y sono sono variabili casuali casuali indipendenti, la la variabile casuale z=+y z=+yha ha varianza pari alla pari alla soa soa delle delle varianze: = + z La La soa soadi di un un nuero grande grande di di variabili casuali casuali indipendenti i ha i ha ddp ddp prossia alla alla gaussiana, indipendenteente dalle dalle singole singole densità! (teorea liite liite centrale) ( a p = y ( a) p ( a) p ( )... ( ) ep a p a π y y La La ddp ddp può può essere essere prossia alla alla gaussiana anche anche per per relativaente piccolo piccolo (=5 0). Fondaenti di segnali Fondaenti e trasissione TLC y y )