Capitolo 3 - Sistemi a coda (parte I)

Aunt d Ret d Telecomuncazon Catolo 3 - Sstem a coda (arte I) Introduzone... Legge d Lttle...4 Fattore d utlzzazone...9 Esemo: sstema G/G///... Sstema a coda M/M/... Introduzone: uso delle catene d Marov... Frequenze d transzone d stato... 3 Dagramma delle frequenze d transzone d stato... 3 Determnazone delle frequenze d transzone d stato... 4 Determnazone delle robabltà asntotche... 7 umero medo d utent resent nel sstema a regme... Dstrbuzone del temo d ermanenza... Condzone d stabltà del sstema... Temo medo d attesa e numero medo d utent n attesa... 3 Caso artcolare: sstema d to M/M/// ad arrv rallentat... 4 Frequenze d transzone... 4 Sstem a coda d to M/M///... 8 Introduzone... 8 Frequenze d transzone... 9 Probabltà asntotche... 9 Verfca della stabltà del sstema... 3 Sstem a coda d to M/M///... 33 Introduzone... 33 Frequenze d transzone... 33 Le robabltà asntotche... 35 Determnazone del traffco n uscta... 37 Sstem a coda d to M/M///... 38 Introduzone... 38 Frequenze d transzone... 39 Le robabltà asntotche... 4 Probabltà d blocco... 4 Determnazone del traffco n uscta... 4 Sstem a coda d to M/M///... 44 Introduzone... 44 Frequenze d transzone... 44 Probabltà asntotche... 45 Probabltà d attesa e numero medo d utent n coda... 48 Determnazone del traffco n uscta e verfca della stabltà... 49 Sstem a coda d to M/M///... 49 Sstem a coda d to M/M/m//M... 5 Descrzone... 5 Frequenze d transzone d stato... 5 Probabltà asntotche e robabltà d blocco... 54

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 ITRODUZIOE Per comrendere cosa sa un sstema a coda, ensamo a quanto accade n un suermercato: c sono una sere d clent (che sono cosddett utent ), qual s mettono n fla (coè n attesa d servzo ) allo scoo d assare da una delle casse ( cosddett servent ) er agare l conto (ossa rcevere l servzo desderato). Qualcosa d assolutamente analogo accade n un sstema a coda, che uò essere schematzzato nel modo seguente: servente S traffco n ngresso servente S servente S 3 traffco n uscta coda d attesa servente S Possamo vsualzzare l sstema a coda come un normale SISTEMA che, rcevendo qualcosa n ngresso, oera su questo qualcosa un certo numero d oerazon e genera una uscta. el caso del sstema a coda, l ngresso, che rende l nome d traffco n ngresso, è costtuto da tutte le rcheste d servzo al sstema: c sono coè una sere d utent che chedono servzo al sstema e vengono da esso accettat (coè entrano nel sstema). Il sstema dsone d un certo numero d comonent, che sono cosddett servent, adbt roro a fornre servz rchest. Dato che cascun servente uò servre una sola rchesta er volta, qund solo utente, è charo che le rcheste d servzo che ossono essere soddsfatte contemoraneamente sono ar al numero d servent. D conseguenza, se c sono ù rcheste d quant sono servent, le rcheste n eccesso ossono essere o resnte, nel qual caso s arla d sstema con erdte, oure mantenute n attesa d essere servte, nel qual caso d arla d sstema senza erdte (o anche sstema conservatvo). Una volta che un certo utente ha rcevuto l servzo rchesto, esso esce dal sstema e, nseme a tutt gl altr utent che escono nseme a lu, forma l cosddetto traffco n uscta. Da questa descrzone, aare ovvo che, er defnre n modo comleto un sstema a coda, abbamo bsogno d defnre dvers arametr fondamental: n rmo luogo, dobbamo conoscere l to d traffco n ngresso: nel caso ù generale ossble, è ovvo che s tratterà d un rocesso stocastco, ma è anche ossble che nvece s tratt d qualcosa d fsso e d determnato. el caso d un rocesso stocastco, servono le sue caratterstche statstche: l caso ù frequenze è quello n cu tale traffco n ngresso è un rocesso stocastco d Posson con ntenstà (dove raresenta l numero medo d rcheste d servzo nell untà d temo); er ndcare questo, useremo, come smbolo formale che contraddstngue l traffco n ngresso, la lettera M. Se, anzché avere un rocesso d Posson, avessmo un rocesso determnstco, useremo la lettera D ; se, nfne, non avessmo né un rocesso d Posson né un rocesso determnstco, useremo la lettera G, er ndcare che s tratta d una rocesso stocastco con dstrbuzone d robabltà nota ma generca;

Sstem a coda - arte I n secondo luogo, c nteressa conoscere l cosddetto temo d servzo, ossa l temo che cascun servente mega er fornre l servzo rchesto dall utente; a seconda delle caratterstche del sstema, questo temo d servzo otrà essere determnstco (ad esemo costante su un recso valore) oure aleatoro (coè varable d volta n volta con una recsa dstrbuzone d robabltà); no assumeremo semre che l temo d servzo sa una varable aleatora; n artcolare, l caso ù frequente è quello d un temo d servzo con dstrbuzone esonenzale: questo sgnfca, come ben saamo, che s tratta d una varable aleatora senza memora, ossa che, fssato un certo stante t, l temo che ancora manca erché l servente termn l suo comto non dende da quanto è successo rma dell stante t. Quando l temo d servzo ha dstrbuzone esonenzale, usamo nuovamente la lettere M ; quando nvece questa varable è determnstca, ossa conoscamo con recsone quanto essa vale, allora usamo la lettere D ; quando nfne non conoscamo l suo valore, er cu è una varable aleatora roramente detta, ma saamo anche che non ha dstrbuzone esonenzale, usamo la lettera D ; ancora, un altro arametro fondamentale è ovvamente l numero d servent, n quanto questa nformazone c serve a care quant utent ossono essere servt contemoraneamente e quando è ossble che una rchesta d servzo non ossa essere soddsfatta nel momento n cu arrva; s tratta d un valore determnstco, noto a ror; è mortante anche conoscere la caactà d memorzzazone del sstema, ossa l numero d utent che ossono essere contemoraneamente resent nel sstema, sano ess sotto servzo o n attesa d servzo; e subto ovvo che l lmte mnmo d questa caactà è ar al numero d servent ( se così non fosse, ossa se la caactà d memorzzazone fosse nferore al numero d servent, no avremmo semre de servent nutlzzat e cò non avrebbe alcun senso). In generale, qund, la caactà d memorzzazone sarà ar o suerore (fno, teorcamente, ad ) rsetto al numero de servent; n artcolare, dre che essa è suerore al numero d servent sgnfca dre che l sstema uò mettere n attesa uno o ù utent (quest utent sono all nterno del sstema ma non stanno rcevendo alcun servzo, n quanto sono n attesa d rceverlo); nfne, un ultmo arametro mortante, legato al traffco n ngresso, è l numero d utent che otenzalmente ossono chedere l servzo al sstema a coda: er esemo, se no consderamo una centrale telefonca come un sstema a coda, è ovvo che questa centrale venga rogettata e dmensonata non solo sulla base delle caratterstche statstche revste er l traffco n ngresso (ossa n base all andamento delle rcheste d servzo), ma anche n base al numero d utent fornt d telefono, qual sono ercò tutt otenzal utent della centrale stessa. E ovvo che un arametro legato a questo numero d otenzal utent è l numero d servent, che andrà oortunamente dmensonato erché la maggor arte delle rcheste sano soddsfatte nel temo mnore ossble. Vedremo ù avant come vengono secfcat tutt quest arametr al fne d defnre n modo comleto un sstema a coda. Da notare che gl ultm due arametr (caactà d memorzzazone e otenzale numero d utent comlessv) sono sesso talmente grand da rtenerl ; n quest cas, ess non vengono secfcat. Ad ogn modo, questo asetto (ù che altro formale) sarà charo ù avant. 3

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 LEGGE DI LITTLE Prma d scendere nel dettaglo dell esame de rncal sstema a coda, enuncamo e dmostramo una mortante legge legata a sstem n generale. Consderamo un generco sstema (non necessaramente un sstema a coda) caratterzzato da arametr assolutamente generc. Faccamo le seguent oszon: ndchamo con l ntenstà del traffco n ngresso al sstema, l che sgnfca che raresenta l numero medo d utent che chedono servzo al sstema nell untà d temo; ndchamo noltre con n l numero d utent resent contemoraneamente nel sstema, l che sgnfca che tal utent ossono essere sa sotto servzo sa n attesa d servzo: n generale, s tratta d una varable aleatora, l che c consente d dre che l suo valore medo E[ n] raresenta l numero medo d utent resent comlessvamente nel sstema; ndchamo nfne con T l temo d ermanenza del generco utente nel sstema: s tratta coè del temo d servzo, cu s somma l eventuale temo d attesa (nel caso n cu sa revsto dal sstema). Anche n questo caso, abbamo una varable aleatora, er cu l suo valore medo E[ T] raresenta l temo medo totale d ermanenza degl utent nel sstema. Fatte queste remesse, la legge d Lttle afferma che queste tre grandezze sono legate dalla seguente relazone: [ ] E[ T] E n Vedamo d dare una gustfcazone ntutva d questo rsultato. Faccamo delle nuove oszon: ndchamo con A( t) l numero d arrv (coè d rcheste d servzo) a artre dall stante d osservazone, che suonamo essere t, fno ad un generco temo stante t; aare ovvo che questa quanttà sa monotona crescente, n quanto aumenta d uno ad ogn arrvo e non c è ossbltà che dmnusca; ndchamo con D( t) l numero d utent servt da t fno all stante t; anche questa quanttà è monotona crescente; ndchamo con ( t) l numero d utent resent nel sstema all stante t; al contraro delle recedent quanttà, (t) non necessaramente è monotona, n quanto dende roro da come varano A(t) e D(t). Essendoc no mess nell otes d un sstema a coda del tutto generco, queste tre quanttà A(t), D(t) ed (t) sono tutte de rocess stocastc. Ed è anche ovvo che esse sano legate dalla seguente relazone A( t) D( t) ( t) Infatt, è charo che l numero d utent (t) resent nel sstema all stante t è ar al numero d rcheste A(t) ervenute al sstema fno all stante t, dmnuto del numero d rcheste soddsfatte D(t). Qund, (t) rsulta defnto non aena defnamo A(t) e D(t); n altre arole, se no sceglamo una certa realzzazone del rocesso A(t) ed una certa 4

Sstem a coda - arte I realzzazone D(t), rsulterà anche defnta la corrsondente realzzazone d (t). Suonamo allora d consderare una artcolare realzzazone del rocesso A(t) e c autamo con un grafco er descrverla. Rortamo n ascsse l temo t ed n ordnate l valore d A(t). Suonamo che, nzalmente, l sstema non abba rcevuto alcuna rchesta e che ad un certo stante t gunga la rma rchesta d servzo al sstema: questo sgnfca che l valore d A(t) assa da ad n corrsondenza dell stante t : A(t) 4 3 t t Dato che l sstema avrà evdentemente almeno servente e dato che non c era nessun utente gà resente, la rchesta arrvata vene subto soddsfatta; ndchamo ercò con T l temo d ermanenza d questo rmo utente: è charo che, n questo caso, s tratta solo del temo d servzo, n quanto non c è nessuna attesa. Se, durante e doo questo ntervallo d temo T, non arrvano altre rcheste d servzo, l valore d A(t) s mantene costante, al fne roro d ndcare che, a artre dall stante t, c è stato un solo arrvo. Suonamo nvece che, rma che sa assato l ntervallo d amezza T, qund mentre ancora l rmo utente è sotto servzo, arrv una seconda rchesta: nell otes che l sstema sa senza erdte, questo secondo utente asserà un certo temo T nel sstema: se l sstema dsone d almeno servent, allora s tratta ancora una volta d semlce temo d servzo; vceversa, se l servente è uno solo, avremo un temo d attesa sommato o al temo d servzo. Ad ogn modo, n corrsondenza dell stante t d arrvo della seconda rchesta, l valore d A(t) assa ovvamente dal valore al valore (e questo anche se l sstema è con erdte, n quanto A(t) tene conto solo del numero d rcheste arrvate e non s reoccua del fatto che una o ù d esse sa stata resnta). 5

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 A(t) 4 3 t t t +T t Qu ossamo retere lo stesso dscorso d rma: nell otes che l temo d ermanenza d questo secondo utente sa T, se, durante o doo questo ntervallo d temo T, non arrvano altre rcheste d servzo, l valore d A(t) s mantene costante: A(t) 4 3 t t +T t t +T t Al contraro, se, ad un certo stante t 3 (recedente o successvo l stante t +T ) arrva una terza rchesta, A(t) assa da a 3 n corrsondenza d t 3 e così va, er cu s ottene un grafco del to seguente: 6

Sstem a coda - arte I A(t) 4 3 t t +T t t +T t 3 t 3 +T 3 t In generale, man mano che arrvano altre rcheste d servzo, A(t) aumenta, nel temo, nel modo ù o meno descrtto nel grafco. Fssato un certo stante t, l valore d A(t) è evdentemente dato dal valore del gradno ù alto. Un altra cosa da osservare è che, se no, oltre alla realzzazone d A(t), conoscamo esattamente valor de tem d ermanenza T,T,T 3 e così va, samo n grado d determnare anche la realzzazone d D(t): nfatt, con rfermento al grafco d rma, è charo che l numero d utent servt fno all stante t è, n quanto roro n t è arrvata la rma rchesta d servzo e qund rma d questo stante non uò essere stato servto nessun utente; l numero d utent servt assa nvece ad n corrsondenza dell stante t +T, quando coè l rmo utente esce del sstema; successvamente, D(t) assa a all stante t +T, quando anche l secondo utente è stato servto ed esce dal sstema; nfne, D(t) assa a 3 n corrsondenza dell stante t 3 +T 3. La realzzazone d D(t) è dunque quella dsegnata n blu nel grafco seguente: A(t) D(t) 4 3 t t +T t t +T t 3 t 3 +T 3 t 7

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 Ovvamente, come abbamo detto rma, not A(t) e D(t) n ogn stante t, è noto anche (t), che è n ogn stante la dfferenza tra A(t) ed D(t): dal unto d vsta grafco, (t), fssato l stante t, non è altro che la dstanza tra la curva d A(t) e quella d D(t). Per esemo, all stante t, (t) vale, ossa c sono due utent contemoraneamente resent nel sstema, mentre nvece, all stante t 3 +T 3 e negl stant successv, (t) vale. A questo unto, detta aunto (t) la realzzazone resa del rocesso stocastco che raresenta l numero d utent resent contemoraneamente nel sstema all stante t, è charo che (t) è una funzone reale d varable reale e qund, come tale, essa ossede una meda temorale (ossa l valore medo er untà d temo): s tratta della quanttà defnta come ( t) ( ) d t t τ τ ed essa raresenta dunque, relatvamente alla realzzazone consderata, l numero medo d utent resent nel sstema all stante t. In modo analogo, se no abbamo ndcato con l ntenstà del traffco n ngresso e consderamo una artcolare realzzazone del rocesso stocastco che raresenta tale traffco, ossamo ndcare con t la meda temorale del numero d utent che chedono l servzo al sstema, ossa l numero medo d utent che chedono servzo nell untà d temo. E ovvo che, essendo A(t) l numero d rcheste d servzo ervenute fno all stante t, sarà A( t) t t t A( t) Da questa relazone s rcava che t d ( t), che t ( t) t t e qund anche, andando a sostture nella esressone t t ( ) d A( t) τ τ L ntegrale che comare n questa formula non è altro che la somma, fno all stante t, delle aree de rettangol che comaono nel grafco d A(t) e D(t) mess nseme: 4 3 t t +T t t +T t 3 t 3 +T 3 t 8

Sstem a coda - arte I Tutt quest rettangol hanno altezza untara e base ar a rsettv tem d ermanenza de var utent, er cu la loro area è numercamente ar alla loro durata; noltre, l numero d rettangol, fno al generco stante t, è ar roro ad A(t), er cu ossamo scrvere che ( t) t t t t ( ) d A( t) τ τ A( t) A( t) T A( t) Adesso, s osserva come l termne T sa la somma de tem d ermanenza, fno A( t) all stante t, dvso er l numero totale d rcheste d servzo fno all stante t. S tratta allora della meda temorale del temo d ermanenza: osto allora T t A( t) A( t) T ossamo scrvere che ( t) T t t t A ben vedere, questa è roro la legge d Lttle, alcata erò ad una artcolare realzzazone del traffco n ngresso e della ermanenza nel sstema. Per assare da questa relazone a quella generale E[ n] E[ T], ossamo ensare d sfruttare l concetto d ergodctà n meda de rocess stocastc: n artcolare, è ossble dmostrare che se l sstema a coda è stable, rsulta essere ergodco n meda. Il fatto che sa ergodco n meda sgnfca che le mede temoral corrsondono alle mede d nseme con robabltà, l che qund c conferma la valdtà della legge d Lttle. La cosa mortante, che emerge dunque da questo dscorso, è che la legge d Lttle vale solo er sstem a coda stabl: dre che un sstema a coda è stable equvale a dre che l traffco n uscta dal sstema è uguale al traffco n ngresso. Immagnando l traffco n uscta con un flusso d fludo che entra nel sstema e quello n uscta come un fludo che esce dal sstema, rchedere che l sstema sa stable equvale a rchedere che l flusso n entrata sa ar a quello n uscta n ogn stante, ossa che non c sa alcun accumulo d fludo all nterno del sstema. FATTORE DI UTILIZZAZIOE Possamo defnre un arametro che sa ndce sa della stabltà del sstema sa anche della sua effcenza d funzonamento. S defnsce nfatt fattore d utlzzazone l raorto tra l numero medo d utent che chedono servzo al sstema nell untà d temo ed l numero medo d utent che l sstema uò servre nell untà d temo. Per la smbologa adottata fno ad ora, l numero medo d utent che chedono servzo al sstema nell untà d temo corrsonde all ntenstà del rocesso n ngresso; noltre, se X è la varable aleatora corrsondente al temo medo d servzo offerto dal sstema, allora la sua meda E[X] è l Se l sstema non fosse stable, ma nstable, otrebbe catare una stuazone del to seguente: suonamo che l sstema resca a servre, nell untà d temo, un numero medo d utent ar a ; se l numero medo d rcheste d servzo nell untà d temo fosse maggore d ed l sstema fosse nstable, l numero medo d utent che ermangono nel sstema tenderebbe a dventare nfnto. 9

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 temo medo d servzo e qund l suo recroco /E[X] è l numero medo d utent che l sstema uò servre nell untà d temo. D conseguenza, l fattore d utlzzazone è E[X] / E[X] In base a quanto detto oco fa, dre che l sstema è stable sgnfca dre che deve necessaramente rsultata <, n quanto solo questa condzone uò consentre che l traffco medo n uscta sa ar a quello medo n ngresso. Esemo: sstema G/G/// Possamo fare mmedatamente un esemo d alcazone della relazone E[X]. Consderamo un sstema a coda d to molto generale e n artcolare d to G/G///: con questa smbologa, voglamo ndcare che l sstema ha un traffco n ngresso generco, un temo d servzo generco, un solo servente, una caactà d memorzzazone nfnta ed un numero nfnto d otenzal utent del sstema. Voglamo dmostrare che, er un sffatto sstema, l fattore d utlzzazone rsulta essere dove con ndchamo la robabltà che l sstema sa vuoto, ossa non c sa alcun utente al suo nterno (l sstema non fornsce alcun servzo). Per fare questa dmostrazone, seguamo una strada molto smle a quella seguta er dmostrare la legge d Lttle: consderamo una artcolare realzzazone del rocesso n ngresso, rcavamo la tes - con rfermento a tale realzzazone e, nfne, assumendo valda l ergodctà del sstema, attrbuamo a tale tes carattere del tutto generale. Suonamo che, durante un ntervallo d temo d durata τ, l traffco n ngresso sa caratterzzato da una ntenstà : essendo ar al numero medo d arrv (o rcheste d servzo) nell untà d temo, deducamo che τ è l numero medo d arrv nell ntervallo d durata τ. Suonendo l sstema stable (<), l numero medo d utent n ngresso è ar al numero medo d utent n uscta: qund τ è anche l numero medo d utent n uscta dal sstema nell ntervallo d durata τ. Indchamo ora con la robabltà che, n un stante generco, l sstema sa vuoto: con questa oszone, con rfermento ancora all ntervallo d temo d durata τ, la quanttà (- )τ raresenta la frazone d temo n cu l sstema non è vuoto; durante questo temo, essendo resente nel sstema almeno un utente, l unco servente resente starà erogando l roro servzo, con un temo medo d servzo ar a E[X]. Cò sgnfca che l numero medo d utent n uscta è ( ) τ. E[X] D altra arte, questo numero medo d utent n uscta è stato rma dentfcato ar a τ, er cu abbamo l uguaglanza ( ) τ τ E[X] Da questa uguaglanza scatursce la tes che volevamo dmostrare: basta rcordars che E[X].

Sstem a coda - arte I Sstema a coda M/M/ ITRODUZIOE: USO DELLE CATEE DI MARKOV Passamo adesso allo studo d alcun de ù mortant sstem a coda. In accordo a quanto abbamo detto all nzo, arametr da secfcare er defnre n modo comleto un sstema a coda sono seguent: to d traffco n ngresso (M er un rocesso d Posson, D er un rocesso determnstco e G er un rocesso generco); dstrbuzone del temo d servzo (M er la dstrbuzone esonenzale, D er una dstrbuzone determnstca e G er una dstrbuzone generca); numero d servent (da ad ); caactà d memorzzazone (da ad ); utent otenzal del sstema (da ad ). Qund, er ndvduare l nostro sstema a coda, dobbamo secfcare, nell ordne aena utlzzato, quest 5 arametr: er esemo, quando dre che s consdera un sstema a coda d to M/M//7/ equvale a dre che l sstema rceve n ngresso un rocesso d Posson (con una certa ntenstà ), che l temo d servzo è una varable aleatora con dstrbuzone esonenzale (con un certo arametro ), che l sstema dsone d solo servente, che l sstema è n grado d mantenere contemoraneamente dentro d sé 7 dvers utent e che gl utent che otenzalmente ossono rchedere l servzo del sstema sono nfnt. Il rmo to d sstema che consderamo è d to M/M///, l che sgnfca che l traffco n ngresso è un rocesso d Posson (con ntenstà ), che l temo d servzo è una varable aleatora con dstrbuzone esonenzale (con arametro ), che l sstema dsone d solo servente, che l sstema è n grado d mantenere contemoraneamente dentro d sé utent e che gl utent otenzal sono : traffco n ngresso servente traffco n uscta coda d attesa Talvolta, er semlctà, gl ultm due arametr, essendo, vengono omess, er cu s arla semlcemente d sstema M/M/. La rma cosa da osservare rguarda la caactà d memorzzazone: dre che essa vale equvale a dre che l sstema uò mantenere contemoraneamente dentro d sé nfnt utent; n altre arole, nessuna eventuale rchesta d servzo vene rgettata dal sstema e, nel caso l servente sa gà occuato, cascuna rchesta vene osta n attesa er un certo temo, che rende l nome d

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 temo d attesa. Un sstema sffatto è un sstema senza erdte o sstema conservatvo, l che equvale a dre che tutte le rcheste d servzo vengono rma o o soddsfatte. Ovvamente, quando s modella un sstema reale tramte un sstema a coda, la caactà d memorzzazone non otrebbe essere ; d altra arte, quando er esemo s stma che l numero d rcheste è comunque basso o oco frequente, allora questa otes d artenza dventa lecta oltre che convenente (al fne d semlfcare calcol). La seconda osservazone rguarda nvece gl strument che no utlzzamo er studare questo sstema. In artcolare, c chedamo se è ossble studare un sstema d questo to medante una catena d Marov a valor dscret. Prma ancora d verfcare se questo sa ossble o meno, rcordamo cos è una catena d Marov: una catena d Marov a valor dscret è un rocesso stocastco, temo-dscreto o temocontnuo, a valor dscret, tale che, fssato un certo stante d osservazone t, l evoluzone del rocesso successva a tale stante dende solo dallo stato del rocesso n t non dende n alcun modo da quello che è successo negl stant recedent. I valor assumbl da arte del rocesso rendono sesso l nome d stat ed l rocesso stesso vene soltamente chamato sstema. Per verfcare se l nostro sstema a coda s ossa consderare come una catena d Marov, devono essere dunque verfcate due condzon essenzal:. l sstema deve resentare solo un numero dscreto d stat;. l sstema, fssato un certo stante d osservazone t, deve evolvere (assando n altr stat o rmanendo n quello nzale) solo n base alla stuazone n cu s trova nell stante d osservazone e non n base a quello che è accaduto rma d tale stante. La rma condzone è verfcata banalmente se no consderamo, come stat del sstema a coda, l numero d utent resent n esso: n questo caso, nfatt, otremo avere nel sstema utent, utente, utent e così va fno teorcamente ad utent. Qund, d ora n o dre che l sstema s trova nello stato equvale a dre che c sono utent resent al suo nterno (sano ess sotto servzo e n attesa d servzo): Inoltre, fare questa otes d base sgnfca anche che er evoluzone del sstema (coè er assaggo del sstema n altr stat, ncluso quello d artenza) no ntendamo la comarsa e la scomarsa degl utent, ossa la varazone del numero d utent resent all nterno del sstema stesso. D conseguenza, la seconda condzone sarà verfcata se no dmostramo che la varazone del numero d utent resent nel sstema, a artre dall stante d osservazone, dende solo dal numero d utent n stante e non da quell che erano resent negl stant recedent. Fssamo dunque un stante generco d osservazone che ndchamo con t: n analoga a quanto fatto n recedenza, ndchamo con (t) l numero d utent resent nel sstema all stante t, con A(t) l numero d arrv all stante t e con D(t) l numero d utent servt semre all stante t. Dobbamo dmostrare che (t) dende solo da t e non dagl stant recedent. E mmedato dedurre che A(t) dende solo da t e non dagl stant recedent: nfatt, avendo suosto che l traffco n ngresso sa un rocesso d Posson, saamo che l temo d attesa, ossa l temo che ntercorre tra l stante consderato e l arrvo mmedatamente successvo, ha dstrbuzone esonenzale, ossa è senza memora, er cu A(t) non uò che dendere solo da t. A questo, s aggunge l fatto che anche D(t) dende solo da t e non dagl stant recedent: l motvo sta nella otes d artenza er cu l temo d servzo, ossa l temo necessaro a cascun servente er fornre l servzo rchesto, abba dstrbuzone esonenzale; questa otes fa sì che D(t) non denda dagl stant recedent t. In conclusone, essendo (t)a(t)-d(t) e avendo dmostrato che A(t) e D(t) dendono solo da t e non dagl stant recedent, è ovvo che lo stesso vale er (t), er cu ossamo descrvere un sstema a coda d to M/M/ medante una catena d Marov.

Sstem a coda - arte I In effett, questo rsultato è generalzzable: un qualunque sstema a coda n cu l rocesso n ngresso sa un rocesso d Posson ed l temo d servzo abba dstrbuzone esonenzale, è descrvle medante una catena d Marov temocontnua. Sulla base d cò, ossamo sfruttare tutto quello che abbamo detto crca le catene d Marov temo-contnue al fne d trarre una sere d mortant concluson crca sstem a coda che consderamo. FREQUEZE DI TRASIZIOE DI STATO I rm due concett sulle catene d Marov temo-contnue che utlzzamo sono seguent: n rmo luogo, abbamo defnto le cosddette robabltà asntotche come le robabltà d P X( t) j è la robabltà che la catena s trov nello stato j all stante t, la stato a regme: se ( ) corrsondente robabltà asntotca, ossa la robabltà che la catena, a regme (coè er t ) s lm P X( t) j ; trov nello stato j, è ( ) j t n secondo luogo, abbamo defnto le cosddette frequenze d transzone d stato: la generca frequenza γ j è l numero d volte n cu l sstema assa dallo stato allo stato j nell untà d temo. Le robabltà asntotche e le frequenze d transzone d stato sono legate dalla seguente relazone j j γ j γ j j dove j ndca uno qualsas de ossbl stat della catena. Vedamo allora come utlzzare quest concett nel caso d un sstema a coda. In rmo luogo, quant stat ha l nostro sstema? Consderando che s tratta d un sstema d to M/M///, ossa d un sstema con caactà nfnta d memorzzazone, e consderando che cascuno stato corrsonde al numero d utent resent contemoraneamente nel sstema, è charo che l numero d stat è : lo stato corrsonde a utent resent nel sstema lo stato ad un solo utente e così va fno ad. lm P X( t) j raresenta la robabltà che, n condzon La generca robabltà asntotca ( ) j t d regme, c sano j utent nel sstema; la generca frequenza d transzone d stato γ j raresenta nvece l numero d volte n cu nel sstema, nell untà d temo, s assa da utent a j utent resent. j Dagramma delle frequenze d transzone d stato Dalle catene d Marov ossamo anche rendere l modo grafco con cu abbamo nteso raresentare gl stat del sstema e le vare frequenze d transzone; s tratta d quello che abbamo chamato dagramma delle frequenze d transzone d stato, che qu rortamo: 3

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 γ γ... γ γ γ γ γ Ovvamente, l dagramma comrende n lnea teorca nfnt stat e comrende anche le frequenze d transzone tra stat non adacent. Il motvo er cu queste ultme non sono state ndcate sarà charo tra oco: faremo nfatt vedere che, er l sstema consderato, esse sono nulle. Determnazone delle frequenze d transzone d stato Per determnare le frequenze d transzone d stato, note che sano le robabltà asntotche, non dobbamo far altro che rsolvere l sstema raresentato dall equazone j j γ j γ j j j Ovvamente, dato che j uò assumere nfnt valor comres tra ed, la rsoluzone d questo sstema uò essere effettuata solo a lvello analtco e non a lvello numerco (ossa col calcolatore). Possamo tuttava arrvare alla determnazone de termn γ j usando un arocco ntutvo ù che analtco. Suonamo ad esemo d volere γ,+, ossa la frequenza d transzone dallo stato allo stato +. Intanto, quando l sstema assa dallo stato allo stato +? Lo stato + corrsonde a dre che c è un utente n ù nel sstema rsetto allo stato, er cu l assaggo da ad +, tenendo conto che nessuna rchesta vene ma resnta, avvene nel momento n cu arrva una nuova rchesta d servzo. Indcato allora con A(t) l numero d arrv n un ntervallo d amezza t, c chedamo quanto valga P( A( δ ) ), ossa la robabltà che, n un ntervallo d amezza δ generca, c sa solo arrvo. Se l sstema è d to M/M///, l traffco n ngresso è un rocesso d Posson (d ntenstà ), er cu, er valutare quella robabltà, ossamo usare la formula d Posson: δ δ P( A( δ) ) e δe! Se suonamo che l ntervallo δ sa ccolo, ossamo svluare n sere l termne esonenzale: P A( δ) δe δ δ δ + o( δ) δ ( ) ( ) S tenga resente che, avendo l sstema una caactà d memorzzazone nfnta, tutte le rcheste d servzo vengono accettate, ossa s traducono n utent che entrano nel sstema. S tratta o d vedere se la generca rchesta vene servta, nel qual caso l sstema era recedente vuoto, oure se vene messa n attesa, nel qual caso l sstema comrendeva gà almeno un utente. 4

Sstem a coda - arte I da cu, qund, assumendo che δ sa anch esso un nfntesmo d ordne suerore, ossamo concludere che P A( δ) δ + o( δ) ( ) Per ottenere adesso la frequenza d transzone γ,+, non dobbamo far altro che calcolare l lmte, er δ, d questa quanttà: ( ) ( o ) γ lm P A( δ) lm δ ( δ), + + δ δ La conclusone è dunque che γ, + Questo rsultato è molto mortante se s consdera che la frequenza d transzone γ,+ non dende n alcun modo da quale sa lo stato, l che sgnfca che, dat due stat adacent qualsas, la frequenza d transzone da uno al successvo è semre ar a.... Vedamo adesso quanto vale γ,+, ossa la frequenza d transzone dallo stato allo stato +. Intanto, l sstema assa dallo stato allo stato + quando arrvano contemoraneamente due dverse rcheste d servzo. D conseguenza, no dobbamo calcolare l lmte, semre er δ, d P( A( δ ) ), che è la robabltà che, n un ntervallo d amezza δ generca, c sano arrv. Usando ancora una volta la formula d Posson, abbamo che ( ( δ) ) P A ( δ)! e δ Anche senza rcorrere allo svluo n sere dell esonenzale, è charo che P( A( δ ) ) è la somma d nfntesm tutt d ordne suerore, l che c consente d concludere subto che γ, + Qund, è nulla la frequenza d transzone da uno stato a due stat successv. E ntutvo accorgers che valga l seguente rsultato generale: γ, + Sono dunque nulle le frequenze d transzone tra uno stato generco ed uno stato + ad esso successvo che erò non sa ad esso consecutvo (coè con ). 5

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 La conclusone che traamo da quest dscors è la seguente: n un sstema a coda d to M/M/M//, l sstema assa da uno stato a quello successvo con frequenza d transzone ar a (ntenstà del traffco n ngresso), mentre non è n grado d assare ad uno stato ad un altro che non sa aunto l successvo. Detto n termn d numero d utent, l sstema, trovandos, n un certo stante, con utent dentro d esso, uò assare ad + utent con frequenza ar a, mentre non uò assolutamente assare a +,+3,... utent. Adesso dobbamo fare gl stess ragonament er assagg d stato all ndetro, ossa er assagg dallo stato generco allo stato recedente -, a due recedent - e così va. In artcolare, comncamo a valutare γ,-, ossa la frequenza d transzone dallo stato allo stato recedente. Intanto, l sstema assa dallo stato allo stato - quando esso termna d servre un utente, er cu quest ultmo esce dal sstema e qund decrementa d l numero d utent resent comlessvamente nel sstema stesso. Per analzzare questa stuazone, ndchamo con τ l temo resduo d servzo da dedcare all utente sotto servzo nell stante consderato: n altre arole, consderato un stante t e consderato un certo utente, τ ndca quanto temo tale utente deve rmanere ancora nel sstema erché ossa uscrne. Allora, al fne d valutare γ,-, no dobbamo P τ δ, che è la robabltà che c vogla un ntervallo d calcolare l lmte, semre er δ, d ( ) amezza δ generca erché l utente consderato rceva l servzo e esca dal sstema. Per calcolare P( τ δ) sfruttamo evdentemente l concetto d temo d servzo del sstema, ossa l temo d cu necesstà cascun servente del sstema er fornre l servzo rchesto. L otes che stamo facendo è che l sstema a coda consderato abba temo d servzo con dstrbuzone esonenzale e arametro, l che sgnfca che ossamo scrvere P ( τ δ) e δ dove rcordamo che raresenta la cosddetta frequenza d servzo del generco servente (ossa l recroco del temo medo d servzo): s tratta n ratca del numero medo d utent servt nell untà d temo. Svluando n sere quel termne esonenzale, abbamo che da cu s deduce che lm ( ) ( ) ( ) P τ δ δ + o( δ ) δ + o( δ) P τ δ, ossa qund che δ γ, Ancora una volta, abbamo trovato una frequenza d transzone costante qualche che sa lo stato d artenza: cò sgnfca che, dat due stat adacent qualsas, la frequenza d transzone da uno al recedente è semre ar a. Possamo dunque ulterormente erfezonare l dagramma delle frequenze d transzone:... 6

Sstem a coda - arte I Il asso successvo consste nel calcolare γ,-, ossa la frequenza d transzone dallo stato allo stato -: l sstema assa dallo stato allo stato - quando termna d servre due dvers utent; tuttava, l sstema ha un solo servente, che uò servre un utente er volta, er cu è escluso che o ù utent escano contemoraneamente dal sstema. Deducamo qund anche n questo caso che γ, Abbamo coè trovato che le frequenze d transzon all ndetro sono non nulle (ma ar a ) solo tra stat adacent. Mettendo nseme con quanto trovato rma crca le frequenze d transzone n avant, ossamo concludere che n un sstema a coda d to M/M///, assagg d stato, sa n avant sa ndetro, sono consentt SOLO tra stat adacent (con frequenza n avant e ndetro). DETERMIAZIOE DELLE PROBABILITÀ ASITOTICHE Questo rsultato, ossa la conoscenza d tutte le frequenze d transzone d stato, c consente d calcolare le robabltà asntotche del sstema: nfatt abbamo detto rma che tal robabltà sono legate alle frequenze d transzone dalla relazone j j γ j γ j j j che raresenta un sstema n un numero d equazon ar al numero d stat ossbl del sstema (che n questo caso sono ). el caso del sstema a coda che stamo consderando, abbamo detto che γ, + γ, γ γ,, + er cu quel sstema, al varare d j, s semlfca notevolmente. Comncamo dal caso n cu j: l equazone è γ γ Al rmo membro, l unco valore d er cu abbamo una frequenza d transzone non nulla è e lo stesso vale er l secondo membro, er cu l equazone è γ γ 7

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 Saamo o che er cu. Passamo a j: l equazone è γ, + γ, γ γ Al rmo membro, gl unc valor consentt sono e e lo stesso vale er l secondo membro: abbamo dunque che γ + γ γ + γ ( ) ( ) e qund anche che Vedamo ora er j: l equazone è ( + ) ( + ) γ γ e essa dventa evdentemente ossa anche ( γ + γ ) ( γ + γ ) 3 3 ( + ) ( + ) 3 3 Potremmo anche rosegure (n teora fno a j), ma le tre equazon rcavate sono suffcent er far vedere quello che c nteressa: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 3 Infatt, dalla rma equazone s rcava evdentemente che. Sosttuendo questa nella seconda equazone e facendo qualche manolazone algebrca, s rcava o che Sosttuendo questa nella terza equazone e facendo altre manolazon, s rcava nfne che 3 3 8

Sstem a coda - arte I E evdente, dunque, l seguente rsultato fondamentale: Questa relazone dce che tutte le robabltà asntotche dendono, secondo l raorto / elevato ad una oortuna otenza, dalla robabltà asntotca dello stato j. Per calcolare questa robabltà asntotca, utlzzamo la condzone d normalzzazone: monamo coè che rsult Sosttuendo la relazone trovata rma, rsulta e da qu s rcava evdentemente che ell otes che l raorto / sa mnore d, quella è semlcemente la somma della sere geometrca, er cu ossamo ulterormente scrvere A ben guardare, l raorto / non è altro che l fattore d utlzzazone defnto n recedenza: nfatt, è l numero medo d utent che chedono servzo al sstema nell untà d temo, mentre è l numero medo d utent servt dal sstema nell untà d temo. Ponamo allora. A questo unto, c rcordamo che la condzone < (coè <) equvale a rchedere un sstema stable 3. Possamo concludere che, se l sstema consderato è stable, le robabltà asntotche valgono ( ) 3 Infatt, dre che > sgnfca dre che l sstema uò servre medamente, nell untà d temo, ù utent d quant chedono servzo al sstema, l che è condzone necessara affnché l traffco medo n uscta ossa essere uguale al traffco medo n ngresso, ossa aunto alla stabltà del sstema. Se non fosse così, se coè fosse >, l sstema non ruscrebbe a rmanere stable, n quanto l numero d utent al suo nterno s accumulerebbe ndefntamente, dventando ercò nstable. 9

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 Questa formula vale dunque se l sstema è stable. In caso d sstema nstable, nvece, la relazone da consderare è quella generca, ossa e qund UMERO MEDIO DI UTETI PRESETI EL SISTEMA A REGIME La conoscenza delle robabltà asntotche c consente d fare un ulterore mortante calcolo: se ndchamo con la varable aleatora che ndca l numero d utent resent comlessvamente nel E corrsonde al numero medo d sstema n un certo stante, è charo che l suo valor medo [ ] utent resent nel sstema nel dato stante: alcando semlcemente la defnzone d meda d una varable aleatora, esso vale E[ ] dove, dato che usamo le robabltà asntotche, c stamo ovvamente rferendo alla condzone d regme. Sosttuendo l esressone rcavata rma er la generca robabltà asntotca nell otes n cu <, abbamo dunque che Essendo <, ossamo concludere che [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) E ossa E[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) E Possamo a questo unto utlzzare la legge d Lttle E[ ] E[ T], n cu T raresenta l temo d ermanenza totale d un utente nel sstema. Per quanto trovato oco fa su E[], ossamo concludere che l temo medo d ermanenza del generco utente nel sstema vale / E[ T ]

Sstem a coda - arte I Può essere nteressante dagrammare sa E[] sa E[T] n funzone d, ovvamente facendo l otes che var tra ed (sstema stable); n base alle relazon aena ottenute, abbamo grafc del to seguente: E[] E[T] L andamento è charamente lo stesso n quanto le due quanttà sono legate dal fattore. Dstrbuzone del temo d ermanenza In questo aragrafo, voglamo contnuare l anals del sstema M/M/// e, n artcolare, voglamo rcavare la funzone denstà d robabltà del temo d ermanenza T del generco utente nel sstema. Indchamo tale funzone con f T (x). Per determnare f T (x), dobbamo ntanto stablre quale sa la cosddetta dsclna d coda del sstema: er dsclna d coda s ntende l crtero con cu s scegle, tra gl utent resent nella coda d attesa, l rossmo da servre. Il caso ù semlce, che vene adottato n tutt sstem a coda, è quello d una dsclna d to FCFS (che sta er Frst Come Frst Served): gl utent vengono servt nell ordne con cu sono arrvat. Premesso questo, consderamo un generco utente che facca rchesta d servzo al sstema; dato che l sstema ha una caactà d memorzzazone nfnta, l utente vene accettato nel sstema, er cu da qu arte l suo temo d ermanenza nel sstema; se l sstema è vuoto, allora l utente vene mmedatamente servto, er cu l temo d ermanenza s rduce al solo temo d servzo; se, nvece, nel sstema è gà resente almeno un utente, allora l nuovo utente dovrà metters n attesa. Suonamo allora che l nuovo utente, entrando nel sstema, trov altr utent, d cu uno è sotto servzo e gl altr - sono n attesa (e saranno servt rma d lu). Dato che l temo d servzo è d to esonenzale ed l servzo al generco utente è ndendente dal servzo agl altr utent, deducamo che l temo d ermanenza (attesa+servzo) del nuovo utente sarà la somma de tem d servzo degl altr utent nonché del suo. Tutt quest tem d servzo hanno, er otes, una dstrbuzone d to esonenzale con arametro, er cu la loro somma avrà una dstrbuzone d Erlang d grado + e con arametro ( 4 ): 4 Il rsultato er cu la somma d varabl ndendent esonenzal è una varable d Erlang è stato dmostrato n recedenza

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 + x ft (x) x e x >! E oortuno recsare che questo rsultato è condzonato al fatto che c fossero gà utent nel sstema quando è arrvato l utente da no consderato. Qund, la denstà d robabltà da consderare è d to condzonato: se a è la varable aleatora che dà l numero d utent gà resent nel sstema, dobbamo scrvere, a rgore, che f! + x ( x ) x e x T a > Per calcolare la denstà d robabltà roramente detta, dobbamo consderare tutt ossbl valor d (qund da a +) e le rsettve robabltà: dobbamo coè scrvere che f T (x) f T + x x ( x a ) P( a ) x e P( a ) e x P( a ) C serve adesso conoscere ( )! P a, ossa la robabltà che l nuovo utente, entrando nel sstema, trov gà un numero d altr utent resent. on esste, n roosto, un rsultato generale. Tuttava, nel caso del sstema M/M/// che no stamo consderando, s uò dmostrare che, concde roro con la robabltà essendo l numero d utent otenzale er l sstema, P( a ) d stato ( ). Sosttuendo, abbamo ercò che! f T (x) ( x) x x x e x ( ) e ( ) e ( )!! ( x)! e x x ( ) e Scrvendo n manera ù oortuna quanto trovato, concludamo che f T (x) ( )x ( ) e Da questa esressone deducamo che l temo totale d ermanenza del generco utente nel sstema è ancora d to esonenzale, ma con arametro -. Da qu deducamo anche che l temo medo d ermanenza è, così come avevamo trovato rma er altre ve. CODIZIOE DI STABILITÀ DEL SISTEMA Sulla base de rsultat ottenut, ossamo adesso controllare che sa verfcata la condzone d stabltà del sstema, che corrsonde a dre che l traffco n uscta è uguale a quello n ngresso. Se ndchamo con γ l ntenstà del traffco n uscta, ossa l numero medo d utent che escono dal sstema nell untà d temo, ossamo coè far vedere che γ

Sstem a coda - arte I dove è l ntenstà del traffco n ngresso, ossa l numero medo d utent che entrano nel sstema nell untà d temo. Quanto vale γ? γ è ar al numero medo d utent servt dal sstema nell untà d temo, che abbamo ndcato con, er la robabltà che nel sstema c sa almeno utente: questa robabltà vale ovvamente, er cu ossamo scrvere che γ ( ) Sosttuendo al osto d l esressone trovata n recedenza nell otes che <, abbamo che ( ) γ ( ) σ TEMPO MEDIO DI ATTESA E UMERO MEDIO DI UTETI I ATTESA Contnuando nella rcerca e nella determnazone d arametr caratterstc relatv al sstema a coda n esame, rovamo adesso a valutare l temo medo d attesa del generco utente nel sstema: s tratta coè del temo medo che cascun utente deve attendere, a artre dal momento n cu fa rchesta d servzo, er rcevere effettvamente tale servzo. E W (dove W è ovvamente Saamo gà che questo temo medo d attesa, che ndchamo con [ ] la varable aleatora corrsondente al temo d attesa) è legato al temo medo d ermanenza del sstema E[ T ] ed al temo medo d servzo, che abbamo detto essere E[X]/, dalla relazone [ ] E[ W] E T + E[X] E[W] + e aragraf recedent abbamo trovato che l temo medo d ermanenza vale E[ T ] er cu [ ] E[ T] E W, Oltre al temo medo d attesa, ossamo anche calcolare quanto vale l numero medo d utent n attesa d servzo. Se ndchamo con q la varable aleatora che fornsce l numero d utent n attesa, ovvamente l suo valore medo E[q] sarà l numero medo d utent n attesa d servzo. Per calcolare questo valore medo, ossamo alcare nuovamente la legge d Lttle, ma non all ntero sstema a coda, bensì al sottosstema costtuto solo dalla coda d attesa: non dmentchamo, nfatt, che la legge d Lttle è stata dmostrata er un sstema qualsas a atto che fosse stazonaro e la coda d attesa rentra n tale otes. Possamo ercò scrvere che E[ q] E[ W], da cu s rcava evdentemente che E[ q] 3

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 CASO PARTICOLARE: SISTEMA DI TIPO M/M/// AD ARRIVI RALLETATI Consderamo nuovamente un sstema a coda d to M/M///, ossa un sstema n cu l traffco d ngresso è un rocesso d Posson, l temo d servzo è una varable aleatora d to esonenzale, c è solo servente, la caactà d memorzzazone è nfnta (sstema senza erdte) e l numero d utent otenzal del sstema è anch esso. Rsetto al caso consderato n recedenza, faccamo questa volta l otes che l ntenstà del rocesso n ngresso non sa costante e ar a, ma sa funzone dello stato del sstema: n artcolare, suonamo che essa sa data dalla relazone α + dove α è una costante reale mentre ndvdua lo stato del sstema (ossa l numero d utent resent nel sstema). Un sstema sffatto vene detto ad arrv rallentat n quanto è evdente che l ntenstà del rocesso n ngresso dmnusce all aumentare d, ossa all aumentare del numero d utent gà resent nel sstema stesso 5. Così come abbamo fatto n recedenza, c nteressa valutare le frequenze d transzone d stato e le robabltà asntotche. Frequenze d transzone Saamo gà che, er un sstema d questo to, sono nulle le frequenze d transzone tra stat non adacent, mentre le frequenze d transzone d stato sono ar all ntenstà del traffco n ngresso, quando s va n avant, e a quello del traffco n uscta quando s va ndetro. La dfferenza con un sstema normale d to M/M/// è che, mentre n quel caso l ntenstà del traffco n ngresso è costante e ar a, n questo caso essa dende dallo stato del sstema: abbamo ercò che α γ α α α γ + α α γ 3 + 3... γ + α + on camba nvece nente er le frequenze d transzone all ndetro, che rmangono tutte ugual a : nfatt, quale che sa l numero d utent resent nel sstema (tranne ovvamente ), no abbamo l 5 Un tco sstema reale che ossa funzonare n questo modo è l cosddetto nodo ntermedo n una rete d calcolator: un nodo ntermedo d una rete è sostanzalmente un comuter che rceve de dat da una sere d lnee d ngresso e l nstrada su una sere d lnee d uscta; quando le lnee d uscta sono n numero nferore a quelle d ngresso, l nodo uò rsultare sovraccarcato, n quanto è ossble che dat n ngresso arrvno n quanttà suerore a quella che l nodo resce a smaltre n uscta; allora, er ottmzzare l funzonamento ed evtare erdta d dat, l nodo segnala agl altr dsostv cu è collegato d rallentare l flusso d nformazon verso d lu; s uò allora ensare d rallentare l flusso roorzonalmente all quanttà d dat che sono gà resent nel nodo e sono n attesa d essere nstradat sulle lnee d uscta. 4

Sstem a coda - arte I unco servente occuato, er cu l numero medo d utent servt dal sstema nell untà d temo è ar al numero medo d utent servt nell untà d temo dal servente stesso, ossa aunto. α α... Come s nota anche da questa raresentazone grafca del sstema, l traffco n ngresso dmnusce all aumentare del numero d utent resent. ote le frequenze d transzone d stato, c andamo a calcolare le robabltà asntotche facendo ancora una volta uso della relazone j γ j j j γ che raresenta un sstema n un numero d equazone ar al numero d stat ossbl del sstema (che n questo caso sono ). Comncamo dal caso n cu j: l equazone è j γ γ L unco valore d er cu abbamo una frequenza d transzone non nulla è, er cu l equazone è γ γ. Saamo o che α γ, + + γ, j α 3 er cu α. Passamo a j: l equazone è γ γ Gl unc valor consentt er l ndce sono adesso e : abbamo dunque che ( γ + γ ) ( γ + γ ) e qund anche che α + α + ( ) 5

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 Vedamo ora er j: l equazone è γ γ e essa dventa evdentemente ( γ + γ ) ( γ + γ ) 3 3 3 ossa anche α + α 3 3 + Potremmo anche rosegure (n teora fno a j), ma le tre equazon rcavate α α + α + ( ) α + α 3 3 + sono suffcent er far vedere quello che c nteressa. Infatt, dalla rma equazone s rcava evdentemente che α : sosttuendo questa nella seconda equazone e facendo qualche manolazone algebrca, s rcava o che α Sosttuendo questa nella terza equazone e facendo altre manolazon, s rcava nfne che 3 3 α 6 3 E evdente, dunque, l seguente rsultato fondamentale: α! Passamo al calcolo d. Utlzzamo la condzone d normalzzazone, ossa monamo che rsult : sosttuendo la relazone trovata rma, rsulta! α 6

Sstem a coda - arte I e da qu s rcava evdentemente che α! A rescndere dal valore del raorto α/, la sommatora che comare uò essere rsolta e s rcava n artcolare che e e α Possamo dunque concludere che le robabltà asntotche er questo artcolare to d sstema a coda valgono α e! Una cosa nteressante che s nota è che quella formula non è altro che la formula d Posson d arametro α/, dal che s deduce che l numero medo d utent resent nel sstema nell untà d temo è ar a α/. Da notare che, n questo caso artcolare, non abbamo vncol sul valore d α/, al contraro d quanto vsto nel caso recedente. Essendo un arametro caratterstco del sstema, non avere vncol su sgnfca sostanzalmente non avere vncol su α. ote le robabltà d stato (asntotche), ossamo anche calcolare l numero medo d utent che chedono servzo al sstema: come è ovvo che sa, questo numero (che ndchamo con ) dende dallo stato del sstema, n quanto è dato da α α α α + + +... + +... α 3 + + + Sosttuendo l esressone trovata rma er le robabltà d stato e facendo qualche manolazone algebrca, ottenamo α α α α +! α e α αe α α ( + )!... e α 7

Aunt d Ret d Telecomuncazon - Catolo 3 Sstem a coda d to M/M/// ITRODUZIOE Il secondo to d sstema a coda che consderamo è l to M/M///, l che sgnfca che s tratta d un sstema con le seguent caratterstche: l traffco n ngresso al sstema è un rocesso d Posson che suonamo abba ntenstà (che raresenta ercò l numero medo d utent che entrano nel sstema nell untà d temo); l temo d servzo è una varable aleatora con dstrbuzone esonenzale che suonamo abba arametro (che raresenta qund l numero medo d utent servt nell untà d temo); c è solo servente nel sstema; l sstema è con erdte, n quanto ha una caactà d memorzzazone (ntesa come numero massmo d utent che ossono essere contemoraneamente resent nel sstema, sa sotto servzo sa n attesa d servzo) fnta e ar ad ; c sono otenzal utent del sstema. traffco n ngresso servente traffco n uscta coda d attesa (solo - utent) La dfferenza con l sstema coda d to M/M/// recedentemente esamnato è dunque nella caactà d memorzzazone, che da nfnta è dventata adesso fnta; questo fatto comorta una rma conseguenza fondamentale: mentre nel sstema d to M/M/// c otevano essere anche utent resent contemoraneamente, er cu avevamo ossbl stat del sstema, dove ogn stato corrsonde aunto al numero d utent resent contemoraneamente, adesso gl stat sono dventat fnt e ar ad +: stato utent resent stato stato... stato utente resente utent resent utent resent La seconda conseguenza, come detto anche rma, è l fatto che l sstema è con erdte: nfatt, otendo conservare al suo nterno al ù utent (d cu ovvamente sotto servzo, n quanto c è solo servente, e rmanent - n attesa d servzo), ogn eventuale rchesta d servzo che ervenga quando c sono gà utent nel sstema, vene rgettata. 8