Decorare l albero In uno scatolone Gloria ha riposto le palle dell albero di Natale che sono rosse, gialle e blu. Le gialle sono il doppio delle rosse, mentre le blu sono dieci in più delle rosse. Costruisci un foglio elettronico che: a. riceva in ingresso il numero delle palle rosse, determini il numero delle altre e calcoli la probabilità di estrarre rispettivamente una palla rossa, una gialla o una blu; b. valuti la probabilità di estrarre una palla blu seguita da una gialla e la probabilità di estrarre due palle blu, supponendo che la prima pallina non venga rimessa nella scatola; c. determini, in modo sperimentale, le probabilità suddette simulando 300 estrazioni di due palline. Prova il foglio per 5 palle rosse, poi per 20 palle. a. In un foglio elettronico scriviamo alcune didascalie per illustrare la soluzione del problema, come esemplificato in figura. Troviamo i numeri delle palline gialle, blu e totali (g, b e n) digitando rispettivamente: in C5: =2*C4 in C6: =C4+0 in C7: =SOMMA(C4:C6) Per calcolare la probabilità classica dell uscita di una palla rossa, di una gialla e di una blu, immettiamo le formule matematiche n r g b, n e n, digitando rispettivamente: in D: =C4/C7 in D2: =C5/C7 in D3: =C6/C7 in D4: =SOMMA(D:D3) (per controllo).
b. Per calcolare la probabilità dell uscita di una palla blu seguita da una gialla senza reimmissione, inseriamo la b g formula n $ n -, che esprime la probabilità del prodotto logico dei due eventi, digitando in D6: =D3*C5/(C7-) Per ottenere la probabilità di uscita di una palla blu seguita da un altra blu, sempre senza reimmissione, usiamo b la formula n n b - $ -, che esprime la probabilità del prodotto logico dei due eventi, digitando in D7: =D3*(C6-)/(C7-) c. Nelle colonne a destra del foglio di lavoro, implementiamo la simulazione delle 300 estrazioni senza reimmissione. Questo è un esempio di prospetto, di seguito spieghiamo i singoli passaggi. Poniamo prima un contatore per le 300 estrazioni, scrivendo in G6, 2 in G7 e trascinando la zona G6:G7 sino alla riga 305. Per l estrazione della prima pallina facciamo apparire un numero casuale fra e n, il numero totale delle palline, digitando in H6: =CASUALE.TRA(;$C$7) che restituisce un numero casuale compreso fra e n. Abbiniamo opportunamente un colore al numero casuale uscito: se il numero è compreso fra e r, la palla è rossa; se il numero è compreso fra r + e r+ g, la palla è gialla; se il numero è compreso fra r+ g+ e n, la palla è blu. Traduciamo questo immettendo in I6 la formula: =SE(H6<$C$4+; Rossa ;SE(H6<$C$4+$C$5+; Gialla ; Blu )) 2
Per l estrazione della seconda pallina, registriamo innanzitutto la variazione delle soglie per l abbinamento tra numero casuale e colore, che dipendono dal colore della prima pallina estratta. Digitiamo: in J6: =SE(I6= Rossa ;$C$4;$C$4+) in K6: =SE(O(I6= Rossa ;I6= Gialla );$C$4+$C$5;$C$4+$C$5+) Tenendo conto che il numero totale delle palline è diminuito di, in L6 facciamo comparire un numero casuale compreso fra e n - : =CASUALE.TRA(;$C$7-) Abbiniamo quindi il colore al numero uscito, scrivendo in M6: =SE(L6<J6; Rossa ;SE(L6<K6; Gialla ; Blu )) Digitiamo in N6: =SE(E(I6= Blu ;M6= Gialla );;0) che fa comparire il numero se la coppia estratta è blu-gialla, altrimenti fa comparire 0. In modo analogo, digitiamo in O6: =SE(E(I6= Blu ;M6= Blu );;0) che fa comparire il numero se la coppia estratta è blu-blu, altrimenti fa comparire 0. Selezioniamo la zona H6:O6 e la trasciniamo fino alla riga 305. Siamo pronti per calcolare le probabilità sperimentali. Scriviamo: in E: =CONTA.SE(I6:I305; Rossa )/300 in E2: =CONTA.SE(I6:I305; Gialla )/300 in E3: =CONTA.SE(I6:I305; Blu )/300 per ottenere le percentuali di uscita delle singole palle; in E4: =SOMMA(E:E3) per controllo; in E6: =SOMMA(N6:N305)/300 in E7: =SOMMA(O6:O305)/300 per ricavare le percentuali di uscita delle coppie blu-gialla e blu-blu. A ogni pressione del tasto F9 o a ogni altra digitazione nel foglio di lavoro, otteniamo il ricalcolo di tutto il foglio e quindi effettuiamo un altra sequenza di 300 estrazioni. 3
Esercizi in più 2 3 Una scatola contiene r palline rosse, v palline verdi, con v = 5r, g palline gialle, con g = r+ 0, e b palline blu, con b = r+ 30. Compila un foglio elettronico che risponda alle seguenti richieste. a. Determina il numero delle varie palline e la loro probabilità di uscita nel caso di un estrazione. b. Mostra se è più probabile l uscita di una pallina rossa seguita da una verde o di una pallina gialla seguita da una blu, nell ipotesi di doppia estrazione con reimmissione della prima pallina. Sul quaderno cerca l eventuale valore di r che renda equiprobabili le due coppie di estrazioni. c. Simula 50 estrazioni di due palline con reimmissione per confrontare i dati analitici con dati sperimentali. Prova il foglio con r = 0, r = 5, r = 20. Una scatola contiene n palline, di cui r rosse e v verdi, con v = r+ 30. Compila un foglio elettronico che chieda il valore di n e controlli che si ottengano valori interi positivi per r e per v, e, in caso affermativo, trovi il numero delle palline rosse e verdi e determini la probabilità di un estrazione contemporanea di una rossa e di una verde. Simula, poi, 50 estrazioni di due palline senza reimmissione per confrontare i dati analitici con dati sperimentali. Prova il foglio con n = 55, con n = 92 e con n = 00. Un sacchetto contiene t gettoni, di cui r rossi, g gialli, con g = r+ 30, v verdi, con v = r+ g, e b blu, con b = 3r. Compila un foglio elettronico che richieda il numero totale t dei gettoni, controlli se è possibile formare il sacchetto rispettando le condizioni poste e, in caso affermativo, determini il numero dei vari gettoni e calcoli le probabilità degli eventi seguenti nelle condizioni indicate: a. una estrazione: esce un gettone rosso; non esce un gettone verde; b. due estrazioni con reimmissione: esce prima un gettone giallo poi un gettone rosso; escono un gettone blu e uno verde in qualsiasi ordine; c. tre estrazioni con reimmissione: escono un gettone rosso, uno giallo e uno blu in qualsiasi ordine; non esce alcun gettone verde; d. quattro estrazioni con reimmissione: esce un gettone di ogni colore; esce almeno un gettone rosso; e. due estrazioni senza reimmissione: escono due gettoni verdi; esce prima un gettone giallo poi un gettone blu; f. tre estrazioni senza reimmissione: escono due gettoni gialli e uno di un altro colore; escono nell ordine un gettone verde, uno blu e uno giallo; g. quattro estrazioni senza reimmissione: escono quattro gettoni verdi; escono due gettoni gialli e due verdi in qualsiasi ordine. Simula 600 estrazioni di 4 gettoni per confrontare sperimentalmente la probabilità dell uscita di quattro gettoni, uno di ogni colore, nell ipotesi di estrazioni con reimmissione. Prova il foglio con t = 00 e con t = 95. 4
4 5 Un sacchetto contiene s gettoni, di cui r rossi e v verdi, con v = r+ 50, e un secondo sacchetto contiene t gettoni, di cui r rossi e v verdi, con r = 3v. Compila un foglio elettronico che riceva i valori di s e di t, controlli se si possono formare i due sacchetti e determini la probabilità di uscita di un gettone rosso e quella di un gettone verde, sapendo che, se nel lancio di un dado regolare a 6 facce esce o 2, estraiamo un gettone dal primo sacchetto, altrimenti lo estraiamo dal secondo. Simula 50 lanci del dado con la conseguente estrazione dal sacchetto selezionato per valutare sperimentalmente le suddette probabilità. Prova il foglio con s = 96 e t = 96, con s = 200 e t = 50 e con s = 60 e t = 92. Con l aiuto del foglio elettronico calcola la probabilità di ottenere con il lancio di tre dadi regolari a sei facce. Simula poi 600 lanci di tre dadi, registra le uscite, determina le probabilità di ognuna di esse e rappresentale con un istogramma. 5