robabilità, laurea triennale in Matematica II prova di valutazione in itinere a.a. 008/09. Francesco lancia ripetutamente due dadi non truccati: sia T il numero di lanci necessario ad ottenere per la prima volta un punteggio dei due dadi uguale a 4. Giovanni effettua ripetute estrazioni con reinserimento da un mazzo di carte napoletane regolare: sia S il numero di estrazioni necessario ad ottenere per la prima volta un sette o un due. i) Trovare le densità discrete di T ed S e i loro valor medi. Si tratta di leggi note? T ed S possono ritenersi indipendenti? ii) Trovare la densità discreta di Z. maxt, S) e calcolare Z ). iii) Calcolare T S).. Si consideri il vettore aleatorio X, Y ) con X {, 0, } e Y {,, 3, 4} e densità discreta congiunta: 0. 0. 0.08 0 X x i, Y y j ) p X,Y x i, y j ) 0. 0. 0 0 0 0. 0. 0. dove x, x, x 3 ), 0, ) e y, y, y 3, y 4 ),, 3, 4). Calcolare: i) le densità marginali di X e Y ed i valori medi di X e Y ; ii) X 0 Y ); iii) la covarianza di X e Y. Dire, giustificando la risposta, se le v.a. X e Y sono stocasticamente indipendenti. 3. Sia X una v.a. a valori interi non negativi, tale che X > k) p) k+, k 0,,... per un fissato p 0, ). Supponiamo che k0 X > k). i) Trovare la densità discreta di X e calcolarne media e varianza. ii) Sia Y X; trovare la densità discreta di Y e calcolare Y Y 0). 4. a) Il centralino di una grossa azienda di telecomunicazioni ha a disposizione 000 linee. Supponiamo che la probabilità che una linea sia occupata è p 0 3 ; calcolare: i) la probabilità che tutte le linee siano libere; ii) la probabilità che almeno una linea sia occupata; iii) il numero medio di linee occupate ed il numero più probabile di linee occupate. b) Siano X, X,..., X 00 v.a. indipendenti con la stessa distribuzione di oisson di parametro. osto X 00 X +X +...X 00 00, stimare: X 00 )
Gli studenti degli anni precedenti esame con CFU) devono svolgere anche i due esercizi seguenti, tralasciando l esercizio n. 4. Sia X una v.a. continua con densità : i) Calcolare EX). ii) Calcolare X > ). iii) Calcolare X > X > 4 ). iv) Trovare la densità di T X. f X t) { t se t [0, ] 0 altrimenti 6. Una moneta equilibrata viene lanciata n volte. er ogni k n poniamo X k se il k esimo lancio ha dato testa e X k 0 altrimenti. Indichiamo con X n n X +... + X n ) la proporzione di teste negli n lanci. Usando l approssimazione normale, calcolare: i) X n 0.), per n 900; ii) X n 0.0), per n 900. iii) Sempre usando l approssimazione normale, stimare quanto deve essere grande n perché sia X n 0.0) 0.9.
Soluzioni della II prova di valutazione in itinere a.a. 00/06. i) I dadi danno un punteggio 4 se si verificano le uscite, 3), 3, ) e, ). Il numero totale delle coppie possibili è 36, perciò la probabilità di fare il punteggio 4 è p 3/36 /. Dunque, T è l istante di primo successo in una sequenza di prove indipendenti e Bernoulliane di parametro p, per cui, se k,,... : T k) ) k Il valor medio di T è ET ) /p. La probabilità di estrarre ogni volta un 7 o un dal mazzo di carte napoletane è 4+4 40. ertanto, analogamente al caso precedente, S è l istante di primo successo in una sequenza di prove indipendenti e Bernoulliane di parametro p /, per cui, se k,,... : S k) ) k 4 Il valor medio di S è ES) /p. Le v.a. T ed S, riferendosi a meccanismi di estrazione diversi, sono da ritenersi indipendenti. ii) Risulta, per k,,... : Z k) T k, S k) per l indipendenza di T ed S) T k) S k). Si ha ora: e analogamente T k) Dunque, riprendendo il calcolo: k h ) h ) )k /) k S k) k h... 4/) k ) h 4 Z k) /) k ) 4/) k ) Siccome Z k) Z k) Z k ), si ottiene: Z k) /) k ) 4/) k ) /) k ) 4/) k ) er k, tale probabilità è uguale a effettuando i calcoli) 0.0408.
iii) Si ha: [ k k h T S) ) h k 4/ 4 4 T k) S k) k ) k ] ) k 4 4 )) k k /)k / [ 4 ] ) k 4... 6 6 0.3 ) k 4. i) la densità marginale di X si ottiene sommando p X,Y x i, y j ) su tutti gli indici j, ovvero: 4 p X x i ) X x i ) p X,Y x i, y j ) Si ottiene in tal modo la distribuzione di X : 0.3, 0., 0.4). Analogamente la densità marginale di Y si ottiene sommando p X,Y x i, y j ) su tutti gli indici i, ovvero: j p Y y j ) Y y j ) 3 p X,Y x i, y j ) i Si ottiene in tal modo la distribuzione di Y : 0., 0.3, 0.3, 0.). Si ha: EX) 0.3+0 0.+ 0.4 0., EY ) 0.+ 0.3+3 0.3+4 0..38 ii) Si ha: X 0 Y ) X 0, Y ) Y ) p X,Y 0, ) p Y ) 0. 0.3 0.3 iii) Tenendo conto delle varie possibilità, si trova che la v.a. Z XY può assumere valori { 3,,, 0,, 3, 4} con probabilità 0.08, 0., 0., 0., 0., 0., 0.). Quindi EXY ) 3) 0.08 + ) 0. + ) 0. + 0. + 3 0. + 4 0. 0.87 e covx, Y ) EXY ) EX)EY ) 0.87 0..38 0.3 Le v.a. X e Y non sono indipendenti, poiché la loro covarianza è diversa da zero. 3. i) Dall espressione di X > k) si ricava facilmente che X k) p p) k, k 0,,... ovvero X Geomp). Inoltre, poiché per una v.a. a valori interi non negativi k0 X > k) rappresenta la media di X, si ottiene EX). Sapendo inoltre che
una v.a. geometrica ha media /p, deve essere /p, ovvero p 3. Dunque X Geom 3 ). Conosciamo già la media che è, mentre la varianza è p)/p 6. ii) La v.a Y X assume valori interi pari: Y h) X h) p p) h, h 0,,... Allora Y Y 0) {Y 0} {Y }) Y 0) + Y ) p + p p) p p) 3 3 9. 4. a) Il numero delle linee occupate è una v.a. X B000, p) con p 0 3. i) X 0) p) 000 ; per l approssimazione di oisson, risulta X Y oiλ), ove λ 000 p. Dunque X 0) Y 0) e. ii) X ) Y ) Y 0) e. iii) EX) np EY ). Il valore più probabile di X o equivalentemente di Y ) si ottiene trovando k tale che k Y k) e k! è massima. Calcolando i vari valori per k 0,,... si trova che Y k) cresce per k compreso tra 0 e 4 e inoltre Y 4) Y ) 6 4 e. er k > 4, Y k) decresce. Dunque i valori più probabili per X sono 4 e. b) Si ha E X 00 ), V ar X 00 ) 0 ; per la disuguaglianza di Chebicev, si ha: X 00 > ) V ar X 00 ) 4 0 0 0. Quindi: X 00 ) X 00 > ) 0. 0.8.. i) Si ha: ii) Si ha: iii) Si ha: EX) + tf X t)dt 0 [ t 3 t tdt 3 ] 0 3. X > ) + f X t)dt tdt [t ] 3 / / / 4. X > X > ) 4 X > /, X > /4) X > /4) X > /) X > /4) / tdt 3 /4 tdt 4 6 4. iv) Ricordiamo che, se X è una v.a. con densità f X e a, b sono due costanti con a 0, allora Y ax + b ha densità: ) t b f Y t) f X a a.
Nel nostro caso risulta a e b 0, per cui si ottiene: ) t f Y t) f X { t se t [0, ] 0 altrimenti { t se t [0, ] 0 altrimenti. 6. Le v.a. X k sono di Bernoulli di parametro p ; dunque EX k) p e V arx k) p p) 4. osto S n X + X +... + X n, risulta S n Bn, p). i) Si ha: X 900 0.) 900 X 900 900 0.) X + X +... + X 900 49) X + X +... + X 900 900 900 49 40 Usando l approssimazione normale, questa probabilità vale circa W 9/), dove W N 0, ). Dunque: ) X 900 0.) 9 Φ Φ0.6) 0.77 0.743. ii) Si ha, utilizzando ancora l approssimazione normale, con W N 0, ) : X S900 40 900 0. 0.0) S 900 40 9) W 9 ) Φ0.6) Φ 0.6) Φ0.6) Φ0.6)) Φ0.6) 0.77 0.44. iii) Abbiamo, sempre per l approssimazione normale: X Sn n 0. 0.0) n ) 0.0 n Sn 0. n 0. 0.0 n ) n 0. W 0.0 n ), n ). 9 ) dove W N 0, ). Questa probabilità vale Φ0.0 n) ; se vogliamo che essa sia maggiore di 0.9, deve essere Φ0.0 n) > 0.97. Dalla tavola della distribuzione normale standard, si ricava che 0.97 Φ.96), dunque deve aversi Φ0.0 n) > Φ.96). Siccome la funzione di distribuzione Φ è crescente, da ciò segue che 0.0 n >.96, ovvero ).96 n > 9604. 0.0