Problema 1 Un'industria calzaturiera produce scarpe da tennis che vende a 40 il paio e scarponi da trekking che vende a 50 il paio. Ogni paio di scarpe richiede 6 minuti di lavorazione a macchina e 5 minuti di lavorazione manuale, mentre ogni paio di scarponi richiede 4 minuti di lavorazione a macchina e 10 minuti di lavorazione manuale. La macchina a disposizione può lavorare al massimo 4 ore al giorno e l'operaio addetto alla produzione può lavorare al massimo 5 ore al giorno. Qual è la produzione giornaliera più conveniente per ottenere il massimo ricavo nel rispetto dei vincoli? [Grafico 1] Risolvere lo stesso problema ipotizzando che le scarpe siano vendute a 40 il paio e che gli scarponi siano venduti a 90 il paio. [Grafico 2] Risolvere lo stesso problema ipotizzando che le scarpe siano vendute a 45 il paio e che gli scarponi siano venduti a 30 il paio. [Grafico 3] Problema 2 Un camionista deve trasportare della merce confezionata in due diversi tipi (C 1 e C 2 ) di casse. Ogni cassa C 1 ha un volume di 240 dm 3 e pesa 25 Kg; ogni cassa C 2 ha un volume di 210 dm 3 e pesa 28 Kg. L'automezzo ha un volume di carico di 51 m 3 (1 m 3 = 1000 dm 3 ) e una portata di 6 tonnellate. Per non essere in perdita, l'autotrasportatore deve trasportare, per ogni viaggio, almeno 15 casse del tipo C 1 e 20 del tipo C 2. Dal trasporto guadagna 5 per ogni cassa C 1 e 8 per ogni cassa C 2. Come deve comporre il carico per realizzare il massimo guadagno? A quanto ammonta tale guadagno? Problema 3 Un'industria dolciaria, che produce panettoni al costo di 0.80 ciascuno e pandori al costo di 0.50 ciascuno, segue una lavorazione che deve rispettare le seguenti condizioni: il triplo del numero dei panettoni più il numero dei pandori non deve essere inferiore a 750; il doppio del numero dei panettoni più il triplo del numero dei pandori non deve essere inferiore a 850; la differenza fra il numero dei panettoni e quello dei pandori non deve superare 500; il numero dei pandori non deve superare 900. Quanti panettoni e quanti pandori l'azienda deve produrre per sostenere la minima spesa? A quanto ammonta tale spesa? Se l'azienda vende i panettoni a 4.80 ciascuno e i pandori a 5.50 ciascuno, con quale combinazione produttiva l'industria ottiene il minimo guadagno e con quale ottiene il massimo guadagno? A quanto ammontano i due guadagni?
Grafico 1 (problema 1)
Grafico 2 (problema 1)
Grafico 3 (problema 1)
Problema 1 Indicando con x il numero di paia di scarpe e con y il numero di paia di scarponi prodotti giornalmente dall azienda, la funzione da ottimizzare (in questo caso da massimizzare) è data da f(x, y) = 40x + 50y I vincoli sono espressi dal seguente sistema di disequazioni: 6x + 4y 240 tempo di lavorazione a macchina 5x + 10y 300 tempo di lavorazione a mano x 0 y 0 (Attenzione a convertire correttamente le unità di tempo: 4 ore = 240 minuti ecc.) Si rappresentano sul piano cartesiano le equazioni delle rette che descrivono i vincoli, in modo da determinare poi la regione ammissibile: 6x + 4y = 240 3x + 2y = 120 y = 3 x + 60 (retta a) 2 5x + 10y = 300 x + 2y = 60 y = 1 x + 30 (retta b) 2 In particolare risultano determinati i punti A(0; 30) (intersezione della retta b con l asse y) e C(40; 0) (intersezione della retta a con l asse x). I vincoli naturali x 0 e y 0 fanno sì che si debba operare all interno del primo quadrante; i vincoli tecnici legati ai tempi di lavorazione impongono di accettare le coppie di valori (x, y) che giacciono al di sotto delle rette corrispondenti. Resta da determinare il punto B di intersezione tra le due rette a e b; ciò si ottiene, come al solito, risolvendo il sistema composto dalle due equazioni: { 3x + 2y = 120 x + 2y = 60 { x = 60 2y 3(60 2y) + 2y = 120 { 180 6y + 2y = 120 x = 60 2y { 4y = 60 x = 60 2y { x = 30 y = 15 La regione ammissibile risulta pertanto delimitata dai punti A(0; 30), B(30; 15), C(40; 0) e D = O(0; 0). Si considera ora il fascio di rette di equazione 40x+50y = k che costituiscono le linee di livello relative alla funzione da massimizzare. La retta guida del fascio stesso (corrispondente al valore k = 0) è la retta d di equazione 40x + 50y = 0 y = 4 x, che passa per l origine e presenta 5 una pendenza qualitativamente intermedia tra quelle delle due rette a e b considerate in precedenza (m a < m d < m b ovvero m b < m d < m a, ossia 1 < 4 < 3 ). Al crescere di k la retta si sposta 2 5 2 progressivamente verso l alto, e dal grafico (Grafico 1) si osserva immediatamente che, viste le diverse pendenze delle rette in gioco, l ultima retta del fascio che attraversa la regione ammissibile è quella passante per B. Il punto B stesso rappresenta dunque la condizione ottimale cercata (x = 30 e y = 15, ossia una produzione giornaliera di 30 paia di scarpe e 15 paia di scarponi). In questa circostanza, il ricavo massimo è dato da f(30, 15) = 40 30 + 50 15 = 1950 e.
* * * Nel secondo caso la funzione da massimizzare diventa f(x, y) = 40x + 90y. La retta guida c del fascio (40x + 90y = 0 ovvero y = 4 x) presenta una pendenza meno ripida di ciascuna 9 delle altre rette ( m c < m b < m a ); dal grafico si osserva pertanto che, al crescere di k, l ultima retta del fascio che attraversa la regione ammissibile è in questo caso quella passante per A. Il punto A rappresenta dunque la condizione ottimale cercata (x = 0 e y = 30, ossia una produzione giornaliera di 30 paia di scarponi e nessun paio di scarpe). In queste condizioni il massimo ricavo è dato da f(0, 30) = 90 30 = 2700 e. (Grafico 2) * * * Nel terzo caso la funzione da massimizzare diventa f(x, y) = 45x+30y. La retta guida del fascio (45x + 30y = 0 ovvero y = 3 x) risulta parallela alla retta a; dal grafico si osserva pertanto che, al 2 crescere di k, l ultima retta del fascio che attraversa la regione ammissibile è in questo caso quella passante per B e C. Tutti i punti del segmento BC verificano pertanto le condizioni di ottimalità cercate; ovviamente sono soluzioni accettabili solo quelle che corrispondono a valori interi delle variabili x e y (x = 30 e y = 15; x = 32 e y = 12; x = 34 e y = 9; x = 36 e y = 6; x = 38 e y = 3; x = 40 e y = 0). In queste condizioni il massimo ricavo, valutabile indifferentemente in uno qualsiasi dei punti trovati, è dato (scegliendo ad esempio il punto C), da f(40, 0) = 45 40 = 1800 e. (Grafico 3)