9. Teoremi dinamici 1. Impuso Si definisce impuso eementare dj di una forza F a grandezza: dj = F. (1) Se a forza è costante, impuso finito ne intervao di tempo t è J = F t. () Se a forza è funzione de tempo, impuso ne intervao di tempo t = t t 1 è t J = F(t). (3) t 1 Ne SI impuso di una forza si misura in newton per secondo (N s)esidefinisce come impuso dea forza costante di un newton per itempo di un secondo; esso ha e stesse dimensioni dea quantità dimoto. Motipicando ambo i membri de equazione fondamentae dea dinamica per, siha F = ma = m dv = d(mv) =dp. L impuso eementare è uguae aa variazione infinitesima dea quantità dimoto essendo, ne ambito dea meccanica cassica, a massa invariante. Daa precedente si deduce che impuso finito, in un certo intervao di tempo, è dato da J = t t 1 F = t t 1 dp = p. (4) La precedente esprime i teorema de impuso: L impuso dea forza agente su un punto materiae in un certo intervao di tempo, è uguae aa variazione dea quantità di moto de punto materiae neo stesso intervao di tempo. I teorema de impuso può dare un contributo aa souzione di probemi di dinamica quando a forza agente su punto materiae è funzione soo de tempo. La variazione dea quantità di
196 Capitoo 9 - Teoremi dinamici F(t) O t 1 F(t) O t 1 Fig. 9.1 a) b) t t t t moto de punto materiae viene ottenuta integrando a (4), senza risovere equazione differenziae de moto. Moto spesso, come nei probemi d urto, non è nota esatta espressione di F (t) o intervao di tempo durante i quae essa agisce ma, viceversa, è noto effetto integrato dea forza, cioè a variazione dea quantità dimoto, espressa daa (4). Si noti che una certa variazione di quantità dimoto può essere determinata da una forza moto intensa, che agisce per un breve intervao di tempo, oppure da una forza meno intensa che agisce per un intervao di tempo più ungo. Per esempio, a stecca che copisce una paa da bigiardo produce una forza moto intensa in un intervao di tempo moto breve, determinando una certa variazione di quantità dimoto dea paa. Viceversa, una forza come a gravità, per produrre a stessa variazione, deve agire per un tempo notevomente più ungo. In figura 1 sono mostrati quaitativamente due grafici dea forza che agisce durante urto tra due corpi, in funzione de tempo. La variazione dea quantità di moto èastessa, vaore numerico de area racchiusa daa curva e asse dei tempi; ne caso (a) urto avviene in un tempo più ungo eaforza ha intensità massima minore rispetto a caso (b), in cui intervao di tempo èpiù breve. Da teorema de impuso segue che se a risutante dee forze agenti su punto materiae ènua, si ha p = cost, reazione che esprime i teorema dea conservazione dea quantità di moto: La quantità di moto di un punto materiae è costante se è nua a risutante dee forze agenti su esso. Questo teorema si può dedurre direttamente daa egge fondamentae dea dinamica F = dp/, ponendo F = 0(egge di inerzia). Si osservi ancora che se a forza agente su punto materiae è ortogonae ad una certa retta, a componente dea quantità di moto ungo tae retta è costante; in particoare a retta può essere coincidente con uno degi assi dea terna di riferimento. Esempi 1. I battipao è una macchina che serve a conficcare pai ne terreno facendo cadere pressoché iberamente i magio su pao. Supponendo che i magio abbia una massa di 1000 kg e cada da atezza h =10m, determinare a forza agente su pao, assumendo che impuso venga trasmesso in 10 s. La veocità con cui i magio giunge su pao è e a corrispondente quantità di moto: v = gh =14m/s p 1 = mv =1, 4 10 4 kg m/s.
. Momento di una forza 197 Dopo urto i magio in pratica si ferma; a quantità dimoto è p 0. La variazione dea quantità dimoto risuta p = p 1;pertanto impuso è dato da J = p =1, 4 10 4 N s. La forza corrispondente è F = J t =1, 4 106 N. Se invece di impiegare i battipao si poggiasse sempicemente una massa su pao, i suo vaore dovrebbe essere circa 140 tonneate.. Una paa di 100 grammi cade da un atezza h =m, con veocità iniziae nua e, dopo urto co pavimento, supponendo urto perfettamente eastico, rimbaza verso ato, raggiungendo a stessa quota di partenza. Determinare impuso impresso aa paa daa forza di gravità e queo ne urto co pavimento. La veocità con cui a paa tocca i pavimento è v = gh, pertanto i moduo de impuso dovuto aa gravità è J = p = mv 0=m gh =0, 66 N s. Poiché è nota sia a forza che intervao di tempo, t 1 =0,t = v/g =0, 639 s, èpossibie cacoare impuso mediante a (3); infatti: t J = mg = mg(t 0) = 0, 66 N s, t 1 risutato identico a precedente. L impuso impresso aa paa durante i rimbazo è J = p = mv mv 1, dove v 1 èaveocità con cui a paa raggiunge i pavimento e v a veocità con cui essa rimbaza. Poiché imodui di tai veocità sono uguai, urto eastico, i moduo de impuso risuta J = p = mv ( mv) =mv =m gh =1, 5 N s. Confrontando questo vaore con queo reativo aa caduta ibera, e tenendo conto che urto con i pavimento avviene in un tempo moto breve, si concude che a forza agente durante urto, è maggiore dea forza di gravità, che agisce nea caduta ibera. Se intervao di tempo durante i quae avviene urto potesse essere misurato, potremmo ricavare intensità dea forza. Supponendo che t =10 s, risuta F = J t =1, 5 10 N, maggiore di un fattore 1000 dea forza di gravità.. Momento di una forza Si definisce momento M di una forza rispetto ad un poo O a grandezza: M = r F, (5) dove r èivettore che individua i punto di appicazione dea forza rispetto a poo O. I momento di una forza gode di tutte e proprietà de prodotto vettoriae; inotre non muta spostando a forza ungo a sua retta d azione, né assumendo un quasiasi
198 Capitoo 9 - Teoremi dinamici atro poo su una retta paraea aa retta d azione dea forza. Le componenti cartesiane de momento sono: M x = yf z zf y, M y = zf x xf z, M z = xf y yf x. Ne SI i momento di una forza si misura in newton per metro (N m)..1. Momento di più forze appicate ad un punto (forze concorrenti) Se più forze sono appicate ad un punto, cioè sono concorrenti, a forza agente su punto è a risutante dee forze: F = F 1 + F + + F n. I momento risutante dee forze rispetto ad un poo O, è ovviamente uguae aa somma dei momenti dee singoe forze, vautati rispetto ao stesso poo: M = r F 1 + r F + + r F n ; ma per a proprietà distribuitiva de prodotto vettoriae si ha M = r (F 1 + F + + F n )=r F. Ciò significa che, ne caso di forze concorrenti, i momento risutante è uguae a momento dea risutante dee forze. In atri termini un sistema di forze concorrenti può essere sostituito da una singoa forza: a risutante. 3. Momento angoare (momento dea quantità dimoto) Si definisce momento angoare L, rispetto ad un poo O, a grandezza: L = r p; (6) dove r èivettore che individua i punto rispetto a poo. I momento angoare gode dee proprietà de prodotto vettoriae. Ne SI i momento angoare si misura in J s oppure in m kg s 1. Le componenti cartesiane de momento angoare risutano L x = m(xż zẋ), L y = m(zẋ xż), L z = m(xẏ yẋ). Si osservi che i vettore quantità di moto p può essere scomposto in un componente radiae p r,avente adirezione di r, edinun componente trasversae p θ normae ad r, perciò siha L = r (p r + p θ )=r p θ. (7) Nea definizione di momento angoare è efficace soo i componente trasversae dea quantità di moto.
3. Momento angoare (momento dea quantità di moto) 199 Una reazione moto sempice sussiste tra momento angoare e veocità areoare; ricordando che quest utima è definita da ds = 1 (r v), si ottiene immediatamente L =m ds, ds = L m. (8) Veocità areoare e momento angoare sono vettori equiversi. I momento angoare è una grandezza fondamentae dea dinamica in quanto rappresenta anaogo rotazionae dea quantità di moto. In figura è mostrato i momento angoare, rispetto ad un poo O, diunpunto materiae che percorre una traiettoria circoare di raggio R, attorno ad un asse di rotazione fisso, coincidente con asse z de riferimento. La componente L z de momento angoare, secondo asse z è L z = L sin θ = mvr sin θ; ω z L z ϑ L R r O m v y essendo r sin θ = R e v = ωr, siottiene L z = mr ω. La veocità areoare, in conformità con a -III, risuta x Fig. 9. ds = L z m = 1 R ω = 1 R θ. 3.1. Teorema de momento angoare Ne riferimento inerziae di figura 3 si consideri i momento dea forza F appicata ad un punto, rispetto ad un poo Q: M =(r r Q ) F =(r r Q ) dp, ed i momento angoare de punto materiae rispetto ao stesso poo, L =(r r Q ) p. Derivando rispetto a tempo, si ha z r Q Q r F P dl = dr p dr Q p +(r r Q) dp, ed osservando che i primo termine de secondo membro è nuo, perché i due vettori sono paraei, si ha x O Fig. 9.3 y dl = v Q p + M. Da quest utima reazione si ottiene: M = dl + v Q p. (9)
00 Capitoo 9 - Teoremi dinamici Se i poo Q è fisso o a veocità diquest utimo è paraea a p: M = dl. (10) Le equazioni (9) e (10) sono e anaoghe dea egge fondamentae dea dinamica reativamente ae rotazioni ed esprimono i teorema de momento angoare: In un riferimento inerziae i momento risutante dee forze agenti su punto materiae, rispetto ad un poo Q, è uguae aa derivata de momento angoare rispetto a tempo, essendo questo determinato rispetto ao stesso poo, più iprodotto vettoriae tra a veocità de poo e a quantità dimoto. In anaogia ae (1) e (), definiamo impuso angoare eementare a quantità: dj θ = M. (11) Poiché daa (10) M = dl, siha dj θ = dl. (1) Se M dipende soo da tempo, impuso angoare ne intervao di tempo t = t t 1,è dato da t t J θ = M = dl = L. t 1 t 1 Se, in un riferimento inerziae, i momento dea risutante dee forze agenti su punto ènuo, e ciò siverifica quando F = 0, sistema isoato, oppure se F è diretta come r, siha dl =0, L = cost, (13) reazione che esprime a conservazione de momento angoare. I moto si svoge in un piano ortogonae a L. Imomento angoare si conserva, per esempio, nei campi di forza centrai se si assume come poo i centro dee forze. In coordinate cartesiane, assumendo un riferimento con origine ne poo O e asse z ortogonae a piano de moto, e componenti de momento angoare risutano L x =0, L y =0, L z = m(xẏ yẋ). (14) L unica componente de momento angoare è quea ungo asse z. Le(14) verificano i egame con a veocità areoare. 3.. Moti piani In fondo a paragrafo 3 è stata evidenziata a reazione esistente tra momento angoare e veocità angoare. Nei moti piani,
3. Momento angoare (momento dea quantità di moto) 01 ricordando a (7) e tenendo presente che i moduo dea veocità trasversae è dato da v θ = r dθ, si ha: L = r p θ = mr dθ k = mr ω. Definendo momento di inerzia de punto materiae rispetto a asse passante per i poo O, aquantità I = mr,siottiene L = Iω. (15) In un moto piano momento angoare e veocità angoare sono paraei e ortogonai a piano de moto. Si coga anaogia che esiste tra a quantità di moto p, grandezza che si riferisce aa trasazione, definita da prodotto dea massa per a veocità, ed i momento angoare definito da prodotto tra i momento di inerzia e a veocità angoare. Nei moti piani momento dee forze e momento angoare sono ortogonai a piano de moto ma possono avere direzioni opposte. Fissato un riferimento con origine ne poo e asse z ortogonae a piano, derivando rispetto a tempo a (14), si ha dl z = m(ẋẏ + xÿ ẏẋ yẍ) =x(mÿ) y(mẍ). Poiché per a seconda egge dea dinamica: mẍ = F x, mÿ = F y, si ottiene dl z = xf y yf x, che è proprio a componente secondo asse z de momento dea forza, equazione (10). Inotre daa (15) si deduce: M z = I dω = Iα, dove α è acceerazione angoare; i momento dea forza determina una acceerazione angoare. Ne moto circoare uniforme è ovviamente M z =0eL = cost. Per quanto riguarda energia cinetica T = mv /, essendo v = ωr, siha e, per a (15): T = 1 mω r = 1 (mr )ω = 1 Iω, (16) T = 1 Lω. (17)
0 Capitoo 9 - Teoremi dinamici Più in generae, quaora i moto non fosse piano, T = 1 L ω. Questa espressione verrà considerata in seguito, a proposito de energia cinetica dei sistemi rigidi. Esempi 3. Momento angoare dea Terra rispetto a Soe e de eettrone di un atomo di idrogeno rispetto a nuceo. Si supponga, in entrambi i casi, che e orbite siano circoari. Poiché eforze sono centrai, i momento angoare è costante. Per a Terra si assuma: massa M T =5, 98 10 4 kg, distanza media da Soe r = 1, 49 10 11 m,periodo di rivouzione T =3, 16 10 7 s. Essendo ω =π/t =1, 98 10 7 rad/s, siha L T = M T r ω =, 67 10 40 J s. Per eettrone: massa m e =9, 11 10 31 kg, distanza media da nuceo r e = 5, 9 10 11 m,veocità angoare ω =4, 13 10 16 rad/s; siha L e = mr eω =1, 05 10 34 J s. Si noti enorme diversità degi ordini di grandezza. I momento angoare de eettrone costituisce una dee costanti fondamentai dea fisica; infatti esso ènumericamente uguae a = h/π, doveh èacostante di Panck. F Fig. 9.4 m 4. Una massa m, fissata ad un estremo di un fio, ruota su una superficie orizzontae priva di attrito come in figura 4. A atro estremo de fio, che passa attraverso un foro, praticato ne piano in corrispondenza a centro dea traiettoria, è appicata una forza che trascina i fio con veocità costante. Determinare espressione dea forza ed i avoro compiuto quando i raggio dea traiettoria si riduce da r 0 a r 1. La forza è centrae ed essendo i suo momento rispetto ad O nuo, i momento angoare dea massa si conserva: L = mr 0ω 0 = mr ω. Poiché i fio è trascinato con veocità costante, a forza è quea centripeta F = mω r, che, tenendo conto de espressione de momento angoare, diventa F = m r4 0ω 0 r 3 0 = m r4 ω r 3 = L 1 m r. 3 I avoro per ridurre i raggio dea traiettoria da r 0 a r 1 è ( ) L = L 1 1, m r1 r0 che si può scrivere [ ( ) ] [ L = L 1 r0 ( 1 = 1 ) ] r0 m r 1 mv 0 1. r 1 r 0 L energia cinetica dea massa è aumentata; si può dire che i momento angoare si comporta in maniera anaoga ad una energia potenziae repusiva. Per portare una particea in rotazione da una certa distanza a una distanza minore, deve essere compiuto avoro esterno.
3. Momento angoare (momento dea quantità di moto) 03 5. Una massa puntiforme m, egata a estremo di un fio inestendibie di unghezza 0,sipuò muovere su un piano orizzontae privo di attrito. L atro estremo de fio èfissato a bordo di un perno ciindrico fisso, di raggio R, ortogonae a piano de moto, figura 5. Aa massa è impressa una veocità iniziae v 0, ortogonae a fio che inizia ad avvogersi attorno a perno. Determinare i momento angoare e a veocità dea massa in funzione de tempo. Questo caso è diverso da queo de esempio precedente, anche se a prima vista potrebbe sembrare anaogo. Infatti osserviamo subito che a forza appicata da vincoo (perno) aa massa non passa per asse de perno. I momento angoare rispetto a tae asse non si conserva. L energia cinetica èperò costante, poiché ivincoo non compie avoro su sistema fio massa. Pertanto 1 mω r = cost, ωr = cost, che dà per ogni vaore di r = (P O) i corrispondente vaore di ω. Imoduo dea veocitàè dunque costante ne tempo. Discutiamo con quache dettagio i probema. La unghezza de fio a istante t è = 0 Rθ, e, daa figura, e coordinate di Q sono x Q = R sin θ, y Q = R(1 cos θ). Le coordinate di P, componenti de vettore (P O), sono date da y R ϑ O Q v P T ϑ 0 Fig. 9.5 v 0 x x = R sin θ +( 0 Rθ) cos θ y = R(1 cos θ)+( 0 Rθ) sin θ; da cui, derivando, si ottengono e componenti dea veocità: ẋ = ( 0 Rθ) θ sin θ ẏ =( 0 Rθ) θ cos θ. Poiché siconserva energia cinetica, i moduo dea veocità a istante t è uguae a moduo dea veocità iniziae: v = ẋ +ẏ =( 0 Rθ) θ = v 0. Integrando questa equazione, si ottiene θ(t): Si ricava t ( 0 Rθ)dθ = v 0, θ R θ = v 0t. 0 0 θ = 0 R ± 1 R 0 Rv 0t. dove va assunto i segno negativo perché devono essere soddisfatte e condizioni iniziai, ossia per t =0,θ =0. La tensione de fio varia ne tempo ed è uguae aa reazione de vincoo esercitata in Q; pertanto T = ma n = m v = v 0 0 Rθ. La tensione cresce ad diminuire di o a aumentare di θ, epuò raggiungere un vaore uguae a carico di rottura de fio. Essendo i moto piano, i momento angoare è ortogonae a piano de moto e dipende ovviamente daa sceta de poo. Assumendo come poo origine dee coordinate O, unica componente de momento angoare è quea ungo asse z, ortogonae a piano de moto: L z = m(xẏ yẋ).
04 Capitoo 9 - Teoremi dinamici Sostituendo e espressioni ricavate per x, y, ẋ, ẏ, si ottiene L z = m( 0 Rθ) θ ( 0 Rθ + R sin θ) =mv 0( 0 Rθ + R sin θ). Poiché imomento angoare iniziae, θ = 0, è L 0 = mv 0 0, si deduce che i momento angoare è diminuito. Ciò sipuòverificare anche per mezzo dea (10); poiché atensione è orientata sempre verso i centro di curvatura dea traiettoria, i suo momento è opposto a L, che deve diminuire ed ha quindi derivata temporae negativa. Anaogamente diminuisce i momento angoare rispetto a Q; infatti, pur essendo i momento dea tensione rispetto a Q nuo, questo poo non è fisso epera (9) si ha dl z = mv Qv 0. Si concude che in ogni caso non si ha conservazione de momento angoare. 4. Sistemi a massa variabie La seconda egge dea dinamica scritta nea forma F = dp, è stata appicata in tutti i casi in cui a massa si mantiene costante durante i moto. A parte gi effetti reativistici, che qui non prenderemo in esame, esistono casi in cui a massa varia per quache motivo. Per esempio, un missie durante i moto consuma combustibie e subisce una continua diminuzione di massa. Una fune pesante posta a suoo, un estremo dea quae venga soevato, costituisce un atro esempio di sistema a massa variabie; man mano che a fune viene soevata una massa sempre maggiore di fune partecipa a moto e a massa aumenta fino a vaore dea massa totae. In casi de genere, anziché considerare acceerazione, bisogna prendere in esame a variazione dea quantità di moto e dunque scrivere F = dm v + mdv, (18) a quae esprime chiaramente come a forza comprenda un termine reativo aa variazione de inerzia a moto ed un termine reativo aa variazione di veocità. Esempi 6. Moto di un razzo L invenzione dei razzi è attribuita ai Cinesi e risae a circa 1500 anni fa; è certamente noto che espusione da razzo dei gas di combustione con veocità v ne provoca i moto in direzione opposta. I razzo iniziamente è rifornito di combustibie che consuma graduamente durante i moto, perciò a sua massa diminuisce.
4. Sistemi a massa variabie 05 Supponiamo che i razzo iniziamente si trovi in una regione deo spazio in cui non siano presenti forze esterne, per esempio neo spazio interpanetario, eche abbia una certa quantità dimoto iniziae. Ad un certo istante viene acceso i motore ed i gas di combustione vengono espusi, a ritmo costante, con veocità v; figura 6. Poiché F = 0, indicando con e ettere maiuscoe e grandezze reative a razzo e con e minuscoe quee reative a gas, a (18) si scrive d (MV)+ d (mv) =0, (19) dove e veocità sono riferite ad una terna inerziae. I primo termine, tenendo presente che a massa de razzo diminuisce co ritmo con cui i gas viene espuso ( dm/), diventa d (MV)= dm V + M dv = dm V + M dv. (0) I secondo termine va considerato con maggiore dettagio; a veocità v de gas è egata aa veocità V de razzo e aa veocità diespusione v e reativa a razzo, di soito costante, daa reazione v = V v e, quindi d (mv) = dm dv (V ve)+m. La derivata dm/ è sempicemente a quantità, costante, di combustibie bruciata ne unità ditempo; i secondo termine ènuo perché igas, una vota asciato i razzo, non cambia uteriormente a sua veocità, pertanto d (mv) = dm (V ve). (1) Sostituendo e (0) e (1) nea (19) si ottiene dm V + M dv + dm (V ve) =0 da cui M dv = dm ve. () La precedente definisce a spinta de razzo, che dipende daa massa di combustibie bruciata ne unità ditempo e daa veocità diespusione. Per ottenere a veocità finae de razzo basta tener presente, nea (), che aquantità digas espuso è uguae aa diminuzione di massa de razzo, dm = dm, dunque M dv = dm ve, dv = dm M ve. Integrando: Vf Mf dm dv = v e V 0 M 0 M, si ottiene V f V 0 = v e n M f. M 0 Quando i razzo è soggetto a forze esterne, a () diventa v Fig. 9.6 M dv dm ve = F e, se si tratta di un razzo posto in verticae e soggetto a azione dea gravità, assumendo positiva orientazione verso ato: dv + ve M motipicando per ed integrando V V 0 dv + v e M M 0 dm dm M = g; = g t t 0 ;
06 Capitoo 9 - Teoremi dinamici si ottiene: V V 0 + v e n M = gt, M 0 ovvero V = V 0 + v e n M0 M gt. Se t f èitempo impiegato per bruciare tutto i combustibie, V = V f e M = M f,veocità emassa sono quee finai. x O t 7. Un carreo di massa m 0 si muove con veocità v 0 costante su un binario rettiineo privo di attrito. A istante t = 0enea posizione =0inizia a nevicare e a neve si deposita su carreo a ritmo costante di λkg/s. Determinare a posizione de carreo in funzione de tempo in assenza di forze, supponendo che a neve cada verticamente e che a sua veocità sia trascurabie. Si determini inotre a forza necessaria per mantenere costante a veocità iniziae de carreo. Poiché dm = λ, m = m0 + λt, a (18) diventa λv +(m 0 + λt) dv dv =0, λv = (m0 + λt). Separando e variabii: dv v = λ m 0 + λt eintegrando n v = n(m 0 + λt)+c 1. La costante di integrazione, per e condizioni iniziai, è C 1 =nm 0v 0, dunque n v = n(m 0 + λt)+nm 0v 0, da cui v = m0v0 m 0 + λt = m0v0 m, che esprime a conservazione dea quantità dimoto. Lo spazio percorso si ottiene integrando espressione dea veocità: dx = m0v0 m 0 + λt, che, separando e variabii, diventa dx = m 0v 0 m 0 + λt. Integrando, si ottiene x = m0v0 λ n(m0 + λt)+c1. La costante di integrazione, per e condizioni iniziai, risuta m 0v 0 n m 0/λ, pertanto ( ) x = m0v0 λ n m0 + λt. m 0 La precedente, in funzione de tempo, ha un andamento ogaritmico mostrato quaitativamente in figura 7. Per determinare a forza orizzontae necessaria affinché icarreo mantenga costante a veocità iniziae, basta osservare che nea (18) dev essere dv/ = 0, perciò Fig. 9.7 F = dm v = λv0.
4. Sistemi a massa variabie 07 8. Determinare veocità eacceerazione de carreo de esempio precedente, supponendo di appicare una forza orizzontae costante F eche a veocità iniziae v 0 sia nua. Per a (18) si ha F = λv +(m 0 + λt) dv, e separando e variabii: dv F λv = m 0 + λt, che integrata dà 1 λ n(f λv) = 1 n(m0 + λt)+c. λ La costante di integrazione va determinata tenendo conto dee condizioni iniziai; risuta C = 1 n(m0f ). λ Sostituendo nea precedente e ricavando v, si ha Derivando si ottiene v = Ft m 0 + λt. a = Fm 0 (m 0 + λt). 9. Una catena omogenea di unghezza e densità ineica λ, è appoggiata su un piano orizzontae, privo di attrito, con un tratto di unghezza pendente ungo a verticae, figura 8. La catena è iniziamente in quiete; determinare i moto di caduta. Fissato come riferimento un asse verticae voto verso i basso, assumiamo come coordinata estremo ibero x dea catena. L energia cinetica e energia potenziae sono T = 1 λẋ, U = x 0 gλxdx = 1 gλx, dove si è assunta nua energia potenziae per x = 0, superficie de piano, e si è indicato con λx a massa di catena che a istante t, partecipa a moto. Per aconservazione de energia meccanica si ha 1 λẋ 1 gλx = 1 gλx 0, da cui si ottiene ẋ = g (x x 0). Fig. 9.8 O x Separando e variabii si ha equazione differenziae: dx g = x x, 0 che integrata dà cosh 1 x g = t + C. La costante C nua perché pert =0,cosh 1 1=0.Pertanto ( ) g x(t) = cosh t. La precedente esprime i moto fino a istante τ in cui a catena abbandona i piano; dopo di che i moto avviene con acceerazione costante, g. Ao scopo di ricavare i tempo, per comodità, poniamo α = g/; siha e αt + e αt x =, e αt xe αt + =0,
08 Capitoo 9 - Teoremi dinamici e αt = x ± x x 0, t = g n x ± x x 0, avendo escuso i segno negativo perché privo di significato. Per x = si ha τ = g n ± x 0. La veocità dea catena prima di asciare i piano è ẋ = v(t) = g sinh ( g t ). A istante in cui ascia i piano è v(τ) = g sinh ( g τ ) = g Poiché e ατ e ατ. si ha v(τ) = x0 g = x0 g e ατ = + x 0, ( + x 0 ( + x 0 ) + x 0 ) x 0 = g ( x 0 ). x = 0 L acceerazione in funzione dea unghezza x, è data da ẍ = g ( ) g x0 cosh t = g x. Quando a catena abbandona i piano, x =, come s è detto, acceerazione è quea di gravità. 10. Una cavo omogeneo pesante, di unghezza, èposto a cavao di un pioo iscio. Determinarne i moto di caduta, supponendo che i cavo iniziamente penda da una parte di una unghezza + eche inizi a scivoare con veocità iniziae nua, figura 9. I probema è anaogo a precedente. Indichiamo con x a unghezza de tratto più ungo di cavo e assumiamo uguae a zero energia potenziae quando i cavo èinequiibrio, cioè idue capi sono aa stessa quota. Per a conservazione de energia si ha: 1 λẋ 1 λg(x ) = 1 λgx 0. ẋ = g [(x ) x 0]. Separando e variabii si ottiene equazione differenziae dx g = (x ) x, 0 Fig. 9.9 x = 0 che integrata fornisce ( ) g x = + cosh t. I moto è descritto daa reazione precedente fino a istante τ in cui x =. Successivamente i cavo abbandona i pioo con veocità v e cade con acceerazione di gravità. Come ne esempio precedente, si ottiene: τ = g n + x 0, v = g ( x 0 ).