MODULO 2 MISURE DI LUNGHEZZA SUPERFICIE E VOLUME LUNGHEZZE Nel S.I. le lunghezze si misurano in METRI. Il metro ha multipli e sottomultipli, di seguito elencati Multipli del metro 10 m DECAMETRO [dam] 100 m ETTOMETRO [hm] 1000 m CHILOMETRO [km] Sottomultipli del metro 1/10 m Un decimo di m 0.1 m DECIMETRO [dm] 1/100 m Un centesimo di m 0.01 m CENTIMETRO [cm] 1/1.000 m Un millesimo di m 0.001 m MILLIMETRO [mm] 1/1.000.000 m Un milionesimo di m 10 6 m MICROMETRO [ m] 1/1.000.000.000 m Un miliardesimo di m 10 9 m NANOMETRO [nm] 1/1.000.000.000.000 m Un millesimo di miliardesimo di m 10 12 m PICOMETRO [pm] NOME MICROMETRO NANOMETRO PICOMETRO ESEMPI I globuli rossi misurano 8 [ m], un capello è di circa 70 [ m] Sono le dimensioni degli atomi. La doppia elica del DNA misura 2 [nm] Sono le distanze subatomiche. Per passare dall espressione di un numero all espressione dello stesso con multipli e/o sottomultipli si usano le EQUIVALENZE Prendiamo ad esempio la misura espressa dal numero 1578,642 m. Migliaia Centinaia Decine Unità Decimi Centesimi Millesimi 1 5 7 8 6 4 2 Questa tabella reca in ogni cella i diversi ordini di grandezza. Ad esempio, dalla cifra 8 alla cifra 5 ci sono 2 ordini di grandezza, così come dalla cifra 8 alla cifra 4. L ordine di grandezza è il numero di posizioni tra due cifre appartenenti ad uno stesso numero.
L unità di misura si riferisce SEMPRE all unità, cioè all ultima cifra intera prima della virgola. Per passare da un multiplo ad un sottomultiplo sposto la virgola a destra di quanti ordini di grandezza mi è necessario. Per passare da un sottomultiplo ad un multiplo, sposto la virgola a sinistra. Esempi di equivalenze di lunghezza 10.000,001 m = 10,000001 km = 100,00001 hm = 1.000,0001 dam = 10.000,001 m = 100.000,01 dm = 1.000.000,1 cm = 10.000.001 mm 10.000,001 hm = 1.000,0001 km = 10.000,001 hm = 100.000,01 dam = 1.000.000,1 m = 10.000.001 dm = 100.000.010 cm = 1.000.000.100 mm In geometria le lunghezze servono, ad esempio, per il calcolo dei perimetri. Note le lunghezze dei lati, il perimetro è la loro somma. E nel caso della circonferenza, come si calcola il perimetro? N.B. La circonferenze ed il cerchio sono due entità geometriche diverse: NON sono la stessa cosa! La circonferenza è il contorno del cerchio: è una linea chiusa, di forma circolare. E quindi una LINEA, si misura come una lunghezza, cioè in metri. E come se fosse il copertone della ruota della bicicletta. Il cerchio è tutta la regione del piano contenuta dalla circonferenza, che ne è parte. E una superficie, quindi si misura come un area, cioè in m². E' come se fosse la ruota intera! Come si è arrivati a capire la formula della lunghezza della circonferenza? Ci si è arrivati con l osservazione, arrivando a capire che, PER OGNI CIRCONFERENZA, il rapporto (cioè la divisione) tra la circonferenza ed il diametro è una costante, cioè un numero che è sempre lo stesso per OGNI circonferenza. Questo numero si chiama Pi greco [ ] e vale circa 3.14. Siccome quindi circonferenza fratto diametro = 3.14 cioè C / d = 3.14 => C = d x 3.14 e siccome il diametro è il doppio del raggio, la formula diventa C = 2 r
SUPERFICI Nel S.I. le superfici si misurano in m² (metro quadrato). Multipli del metro quadrato 1m x 1m = 1m² METRO QUADRATO o ARA [m²] o [a] 10m x 10m = 100 m² DECAMETRO QUADRATO o CENTIARA [dam²] o [ca] 100m x 100m = 10.000m² ETTOMETRO QUADRATO o ETTARO [hm²] o [ha] 1000m x 1000m = 1.000.000m² CHILOMETRO QUADRATO [km²] Sottomultipli del metro quadrato 0.1m x 0.1m = 0.01m² DECIMETRO QUADRATO [dm²] 0.01m x 0.01m = 0.0001m² CENTIMETRO QUADRATO [cm²] 0.001m x 0.001m = 0.00001m² MILLIMETRO QUADRATO [mm²] Per passare dall espressione di un numero all espressione dello stesso con multipli e/o sottomultipli si usano le EQUIVALENZE Prendiamo ad esempio la misura espressa dal numero 1578,642 m². Migliaia Centinaia Decine Unità Decimi Centesimi Millesimi 1 5 7 8 6 4 2 Come già detto, questa tabella reca in ogni cella i diversi ordini di grandezza. Ad esempio, dalla cifra 8 alla cifra 5 ci sono 2 ordini di grandezza, così come dalla cifra 8 alla cifra 4. L ordine di grandezza è il numero di posizioni tra due cifre appartenenti ad uno stesso numero. Come prima, l unità di misura si riferisce SEMPRE all unità, cioè all ultima cifra intera prima della virgola. Per passare da un multiplo ad un sottomultiplo, però, la regola è leggermente diversa da quella delle lunghezze. Qui si parla infatti di aree, ovvero la dimensione di una lunghezza al quadrato.
1m² è uguale a: * 1m x 1m * 10dm x 10dm = 100 dm² * 100cm x 100cm = 10.000cm² * 1000mm x 1000mm = = 1.000.000 mm² * 0,1dam x 0,1dam = = 0,01 dam² * 0,01hm x 0,01hm = = 0,0001 hm 0² * 0,001km x 0,001km= = 0,000001 km² Siccome 1 m² è un quadrato che ha i lati lunghi 1m, ne consegue che ogni lato è formato da 10 dm. Quindi Area = 1m x 1m = 1m², ma anche 10dm x 10dm = 100dm². Quindi 1m² = 100dm² (e NON 10dm²). Per passare da m² a dm² si moltiplica quindi per 100, e non per 10! La virgola si sposta quindi di due cifre!!! Per passare da dm² a m², viceversa, si divide per 100 1dm²=0,01m² Esempi di equivalenze di superficie. 10.000,001 m² = 0,010000001 km² = 1,0000001 hm² = 100,00001 dam² = 10.000,001 m² = 1.000.000,1 dm² = 100.000.010 cm² = 10.000.001.000 mm² 300 hm² 3,00 km² 300 hm² 30000 dam² 3000000 m² 300000000 dm² 30000000000 cm² 30000000000 mm² Come si è arrivati a capire la formula dell'area del cerchio? Ci si è arrivati con l osservazione, arrivando a capire che, PER OGNI CERCHIO, il rapporto (cioè la divisione) tra la l'area ed il quadrato del raggio è una costante, cioè un numero che è sempre lo stesso per OGNI cerchio. Questo numero si chiama Pi greco [ ] e vale circa 3.14. Siccome quindi Area del cerchio/raggio² = 3.14 cioè A / r² = 3.14 => A = r² x 3.14, cioè A = r²
geometria piana Aree delle principali figure piane triangolo quadrato rettangolo b b parallelogramma rombo trapezio b d D b B cerchio settore circolare segmento circolare ad una base A A O O O B B circonferenza poligoni regolari triangolo equilatero quadrato pentagono esagono ottagono decagono sia: il perimetro, il lato, l apotema (cioè il segmento che dal centro cade perpendicolarmente ad un lato) l ' apotema di un poligono regolare coincide con il raggio della circonferenza inscritta al poligono: l ' apotema si può calcolare moltiplicando la lunghezza di un lato per un numero fisso tabella dei numeri fissi f di alcuni poligoni regolari poligono numero fisso poligono numero fisso poligono numero fisso triangolo equilatero 0,289 esagono 0,866 ennagono 1,374 quadrato 0,500 ettagono 1,038 decagono 1,539 pentagono 0,688 ottagono 1,207 dodecagono 1,866
VOLUME Nel S.I. i volumi si misurano in m³ (metro cubo) Multipli del metro cubo 1m x 1m x 1m= 1m³ METRO CUBO [m³] 10m x 10m x 10m = 1.000 m³ DECAMETRO CUBO [dam³] 100m x 100m x 100m= 1.000.000m³ ETTOMETRO CUBO [hm³] 1000m x 1000m x 1000m = 1.000.000.000m³ CHILOMETRO CUBO [km³] Sottomultipli del metro cubo 0.1m x 0.1m x 0.1m = 0.001m³ DECIMETRO CUBO [dm³] 0.01m x 0.01m x 0.01m = 0.000001m³ CENTIMETRO CUBO [cm³] 0.001m x 0.001m x 0.001m= 0.000000001m³ MILLIMETRO CUBO [mm³] Per passare dall espressione di un numero all espressione dello stesso con multipli e/o sottomultipli si usano le EQUIVALENZE Prendiamo ad esempio la misura espressa dal numero 1578,642 m². Migliaia Centinaia Decine Unità Decimi Centesimi Millesimi 1 5 7 8 6 4 2 Come già detto, questa tabella reca in ogni cella i diversi ordini di grandezza. Ad esempio, dalla cifra 8 alla cifra 5 ci sono 2 ordini di grandezza, così come dalla cifra 8 alla cifra 4. L ordine di grandezza è il numero di posizioni tra due cifre appartenenti ad uno stesso numero. Come prima, l unità di misura si riferisce SEMPRE all unità, cioè all ultima cifra intera prima della virgola. Per passare da un multiplo ad un sottomultiplo, però, la regola è leggermente diversa da quella delle lunghezze. Qui si parla infatti di volumi, ovvero la dimensione di una lunghezza al cubo. Siccome 1 m³ è un cubo che ha gli spigoli lunghi 1m, ne consegue che ogni spigolo è formato da 10 dm. Quindi Volume = 1m x 1m x 1m = 1m³, ma anche 10dm x 10dm x 10dm= 1000dm³. Quindi 1m³ = 1000dm³. Per passare da m³ a dm³ si moltiplica quindi per 1000. La virgola si sposta quindi di tre cifre!!! Per passare da dm³ a m³, viceversa, si divide per 1000
Come si è arrivati a capire la formula del volume della sfera? Ci si è arrivati con l osservazione, arrivando a capire che, PER OGNI SFERA, il rapporto (cioè la divisione) tra la il volume ed il cubo del raggio è una costante, cioè un numero che è sempre lo stesso per OGNI sfera. In particolare, questo numero vale 4/3 Pi greco [4/3 ]. Siccome quindi Volume/raggio³ = 4/3, cioè V / r³ = 4/3 => V = 4/3 r³ La superficie della sfera, invece, è come quella di 4 cerchi aventi lo stesso raggio: S = 4 r².
geometria solida Volumi e superfici delle principali figure solide cubo parallelepipedo rettangolo prisma retto piramide retta a base regolare piramide retta tronco di piramide cilindro cilindro equilatero ( ) cono cono equilatero ( ) tronco di cono sfera
Eratostene e la misura della circonferenza terrestre Ragionando sul movimento dell'ombra di uno gnomone si é arrivati molto presto a scoprire delle caratteristiche fondamentali non solo del tempo, ma anche dello spazio. L'ombra svolge in questi casi la funzione di un amplificatore delle possibilità di indagine dell'uomo. La prima di queste possibilità fu applicata da Eratostene di Cirene (276-194 a.c.) matematico, astronomo e poeta, viveva ad Alessandria d' Egitto dove dirigeva la famosa biblioteca. Eratostene sapeva che a mezzogiorno del solstizio d'estate il sole è perfettamente alla zenit della città di Siene (l'odierna Assuan). Egli ricava questa convinzione dal fatto che in quel momento i raggi del sole cadono perpendicolarmente sul pozzo di quella città illuminandolo senza gettare ombre. Eratostene misurò invece l'ombra proiettata da uno gnomone, forse un obelisco, che alla stessa ora dello stesso giorno proiettava ad Alessandria situata a circa 840 km a Nord di Siene. Verificò quindi che i raggi del sole discostavano dalla verticalità per un cinquantesimo dell'angolo giro, pari a 7,2. Eratostene partiva dal presupposto che la distanza del sole fosse tanto grande da far si che i suoi raggi arrivassero praticamente paralleli. Presupponeva inoltre che la terra fosse sferica condividendo appieno le teorie di Parmenide di Elea (inizio V sec.a.c.) che fu il primo ad affermarlo per iscritto. Per questo motivo la differenza di inclinazione doveva dipendere dalla curvatura della superficie terrestre e quindi il dato ottenuto corrispondeva alla distanza angolare delle due città. Poiché 7,2 corrispondono a 1/50 dell'angolo di 360, ciò significa anche che la distanza effettiva tra le due città, ritenuta di 5000 stadi, è un cinquantesimo della circonferenza terrestre. Dunque tale circonferenza misura: 50 x 5.000 stadi = 250.000 stadi La lunghezza media di uno stadio ai tempi di Eratostene corrispondeva a 157,7 metri attuali per cui ne risulta una circonferenza terrestre pari a 39.425 km. Sapendo con certezza - oggi - che la circonferenza terrestre (calcolata con il raggio medio di 6.371 km) è di 40.031 km, comprendiamo quanto geniale sia stato Eratostene e quanto andò vicino al valore esatto (errore di circa 1,5 %)!