LA MATEMATICA DEI POLIEDRI REGOLARI Essi simbolizzano il desiderio di Armonia e di ordine dell uomo, ma nello stesso tempo la loro perfezione desta in noi il senso della nostra impotenza. I poliedri regolari non sono invenzioni della mente umana, perché esistevano molto tempo prima che l uomo comparisse sulla scena. M.C.Escher Calcoliamo la superficie e il volume dei cinque poliedri regolari in funzione della lunghezza del loro spigolo l. Ognuno di questi poliedri è inscrivibile e circoscrivibile a delle sfere, aventi lo stesso centro, che è anche il centro (di simmetria) del poliedro stesso. Calcoliamo, sempre in funzione dello spigolo l del poliedro, i raggi r e R di tali sfere. Le fotografie presenti visualizzano lo sviluppo e la costruzione dei poliedri regolari, realizzate con del cartoncino colorato.
IL CUBO O ESAEDRO Il cubo è formato da sei quadrati congruenti, quindi, dato lo spigolo l, possiamo ricavare la superficie S e il volume V. La sfera inscritta è tangente a tutte le facce del cubo, per cui il suo diametro deve essere pari allo spigolo. Per cui: La sfera circoscritta deve passare per tutti i vertici del cubo, per cui il suo diametro sarà dato da una delle diagonali del cubo, ad esempio A C. ( ) per cui
IL TETRAEDRO Il tetraedro è formato da 4 triangoli equilateri congruenti, quindi, dato lo spigolo l possiamo calcolare la superficie S e il volume V. Sapendo che l area di un triangolo equilatero di lato l è dato da: Per trovare il volume, devo conoscere l altezza DH della piramide. Essendo il tetraedro una piramide regolare, il piede dell altezza cade nel centro della circonferenza inscritta nel triangolo equilatero di base; quindi il punto H, piede dell altezza VH è il baricentro del triangolo ABC. Così H, piede dell altezza AH del tetraedro rispetto la base BCD, è il baricentro di tale faccia. Il segmento AK, oltre che apotema ( altezza ) della faccia ABC è anche mediana e quindi è divisa da H in due parti di cui una doppia dell altra: e quindi: e. Ricavo l altezza: ( ) ( ) Ora, sostituendo alla formula generale per trovare il volume di una piramide i valori ottenuti, ricaviamo la formula del volume del tetraedro. Osserviamo che, per ragioni di simmetria,il centro della sfera inscritta e circoscritta al tetraedro è il punto O, d intersezione tra le altezze AK e AH della piramide stessa. La sfera inscritta, dovendo essere tangente alle varie facce, avrà raggio dato da OH=OH =r mentre quella circoscritta, dovendo passare per i vertici del tetraedro, avrà raggio dato da AO=OD=R
Il triangolo DHK è simile al triangolo DOH, per il I Criterio di Similitudine, avendo gli angoli congruenti (infatti perché DH e AH sono altezze de tetraedro, l angolo in comune, per cui anche il terzo angolo è congruente). Per cui posso scrivere una proporzione: DK : HK = DO : OH Essendo: DK =, HK =, DO = ottiene:, OH =, sostituendo si da cui si ottiene: e L OTTAEDRO L ottaedro è formato da 8 triangoli equilateri congruenti, quindi, dato lo spigolo l, posso ricavare la superficie S e il volume V. Per trovare il volume, considero il tetraedro come due piramidi a base quadrata avente la base in comune. Devo prima dunque trovare l altezza h 1 di una di tali piramidi (sempre usando il teorema delle tre perpendicolari) ( ) ( )
Da cui si può ricavare il volume Determiniamo ora il raggio della circonferenza inscritta e circoscritta all ottaedro; il loro centro comune è il punto O, piede dell altezza VO. La sfera circoscritta deve avere come diametro la distanza tra due qualunque vertici del tetraedro. Per cui il suo raggio R sarà dato da CO: Sia OG il raggio della sfera inscritta, essendo G il punto di tangenza con la faccia ABC. OG è la distanza di O dalla faccia ABC e quindi dalla sua apotema CH; posso calcolare OG come l altezza, relativa all ipotenusa CH del triangolo rettangolo COH. Chiamiamo ; nel triangolo rettangolo COH, per il Primo teorema sui triangoli rettangoli, si ha da cui si ottiene:
L ICOSAEDRO L icosaedro è formato da 20 triangoli equilateri, quindi dato lo spigolo l possiamo calcolare la superficie S e il volume V. Per determinare il suo volume, oltre che i raggi delle sfere inscritte e circoscritte, andiamo ad analizzare il legame di questo poliedro con la sezione aurea, prendendo spunto dalla tecnica che il matematico Luca Pacioli ideò per costruirlo. Vogliamo verificare che se si considerano tre rettangoli aurei con i lati congruenti, disposti su 3 piani che si intersecano ortogonalmente, e uniamo i vertici di tali rettangoli, si ottiene un icosaedro. F S O E T Bisogna dimostrare che il triangolo ABC è equilatero, sapendo che i suoi vertici sono quelli di due triangoli aurei. Se BC=AF e CE=AT sono lati dei rettangoli aurei e poniamo, sarà ; sia inoltre M il punto medio di BC, per cui Essendo i due rettangoli aurei tra loro perpendicolari in D, il triangolo AMD è rettangolo in D. Quindi per il Teorema di Pitagora: AM 2 = MD 2 +AD 2 ( ) ( ) ( ) (ricordando che ) ( ) ( ) ( ) ( ) Per il Teorema delle tre perpendicolari AM è perpendicolare a BC, per cui:
quindi ABC ha i tre spigoli congruenti: : è un triangolo equilatero. Quello che abbiamo dimostrato per ABC vale per ognuno dei venti triangoli che si possono costruire con i vertici dei rettangoli aurei, per cui il solido costruito in tal modo è un icosaedro. Vogliamo determinare il raggio r della sfera inscritta nell icosaedro e il raggio R di quella circoscritta. Sia O è il punto di intersezione dei tre rettangoli aurei; per ragioni di simmetria esso sarà il centro del poliedro e delle due sfere suddette. Sia OS la distanza di O dalla faccia ABC. Il triangolo AMD è simile al triangolo OSM poiché: { E quindi: sostituendo ( ) A S M O D Invece il raggio R della sfera circoscritta all icosaedro S è la metà della diagonale di uno dei rettangoli aurei: ( ) ( ) ( ) Per calcolare il volume, pensiamo l icosaedro come somma di venti piramide a base triangolare (le facce dell icosaedro), la cui altezza è il raggio della sfera inscritta. ossia α ( ) ( ) che evidenzia un ulteriore legame dell icosaedro con la sezione aurea
IL DODECAEDRO Anche il dodecaedro è un poliedro le cui caratteristiche sono strettamente legate alla sezione aurea. Innanzitutto le sue facce sono pentagoni, il cui lato è sezione aurea del raggio della circonferenza in cui può essere inscritto il poligono. Essendo il dodecaedro un solido formato da dodici pentagoni regolari, si avrà che la sua superficie sarà data da: Per calcolare l area di un pentagono di lato l, osserviamo che esso è formato da cinque triangoli isosceli ciascuno con l angolo al centro, dal momento che, per cui la sua area si può calcolare con riferimento alla figura qui riportata: Utilizzando il secondo teorema sui triangoli rettangoli esprimiamo l altezza OH in funzione del lato CD=l. Quindi, poiché, risulta: Ma e, quindi: La superficie del dodecaedro sarà data da: Vogliamo determinare l ampiezza, che indicheremo con, di un angolo driedro del dodecaedro. Ricordiamo che si chiama angolo diedro, o semplicemente diedro, ciascuna delle due parti di spazio delimitate da due semipiani aventi la stessa origine, compresi i semipiani. Ad ogni spigolo di un poliedro resta perciò associato un driedro, detto driedro del poliedro, individuato dalle due facce che contengono quello spigolo. Tagliando un driedro con un piano perpendicolare al suo bordo (in questo caso allo spigolo del dodecaedro), si
determina su tale piano un angolo, che è detto sezione normale del driedro. Piochè le sezioni normali di uno stesso driedro sono congruenti, l ampiezza dell angolo driedro sarà data dalla sua sezione normale. Congiungendo tre vertici di un dodecaedro DST, si ottiene una piramide che ha il vertice V in uno dei vertici del dodecaedro e che ha per base il triangolo DST equilatero di lato (infatti i lati di DST sono le diagonali dei tre pentagoni che concorrono nello stesso vertice V e sappiamo che il lato l del pentagono è sezione aurea della sua diagonale); gli spigoli delle facce laterali di tale piramide, essendo tre spigoli del dodecaedro, misurano. Consideriamo lo spigolo VD di tale piramide e l angolo driedro ad esso associato, individuato dalle due facce che lo contengono, VDS e VDT. Tagliamo l angolo driedro con un piano perpendicolare a VD che incontra in B e A rispettivamente gli spigoli di base SD e TD. La sezione normale del driedro, di cui cerchiamo l ampiezza, è data dall angolo V S T H La piramide DSTV è retta e quindi il piede dell altezza VH cade nel baricentro del triangolo equilatero di base. Possiamo calcolare l altezza VH, applicando il Teorema di Pitagora al triangolo VHT, dove e ( ) (proprietà delle mediane di un triangolo equilatero): Consideriamo il triangolo TVD, isoscele di base e lati ; se indichiamo con e applichiamo il teorema dei seni a tale triangolo si ha: ( ) Consideriamo il triangolo ACD; essendo ACB la sezione normale del driedro, CA è perpendicolare allo spigolo CD; per cui si ha:
Indichiamo con E il piede della perpendicolare al piano TDS condotta da C; E appartiene alla bisettrice DH del triangolo equilatero di base e quindi ; per cui nel triangolo rettangolo AED si ha: Facendo il rapporto tra le due relazioni trovate si ha: Consideriamo ora il triangolo rettangolo CEA; risulta Possiamo ora determinare il Il volume del dodecaedro può essere calcolato come la somma del volume di 12 piramidi, che hanno per base una delle facce pentagonali del solido e per altezza il raggio della sfera inscritta nel solido stesso. In figura è rappresentata una di queste piramidi. O O In figura è rappresentata una di queste piramidi. Sia O il centro sfera inscritta e circoscritta, OO il raggio sfera inscritta e OB il raggio sfera circoscritta. Consideriamo il triangolo rettangolo O AB, avente come cateto l apotema O A del pentagono; dato che l ampiezza di un angolo interno del pentagono regolare è di 108, l angolo e l angolo, risulta: Ricordiamo che l angolo, per cui nel triangolo OAO :
Per trovare il raggio BO della circonferenza circoscritta, applichiamo Pitagora al triangolo O OB : essendo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Possiamo ora calcolare il volume del dodecaedro somma del volume di 12 piramidi a base pentagonale aventi altezza pari il raggio della sfera inscritta. ( ) ( ) Il legame del dodecaedro con la sezione aurea si evidenzia anche con il fatto che: