La parabola e le equazioni di secondo grado

P La parabola e le equazioni di secondo grado Prof. Carlo Alberini 15 maggio 2011 1 Preliminari Tanto in geometria piana, quanto in geometria analitica, definiamo parabola: Definizione 1 Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano (cartesiano) equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta (fissa) detta direttrice non passante per esso. La Figura 1 è senz altro immediata: a P F P d H V K H H Figura 1: Esempio di costruzione geometrica della parabola. In Figura 1 la retta d è la direttrice e il punto F è il fuoco della parabola; la retta a d è detta asse di simmetria, mentre il punto P è un generico punto della parabola. Il punto V si definisce vertice della parabola ed è il punto - a questo livello puramente geometrico - equidistante dal fuoco e dalla direttrice. 1

Il punto V soddisfa allora la relazione FV = V K. Nel seguito, così come per tutto il corso degli studi, tratteremo delle parabole con asse parallelo all asse delle ordinate y (il che significa che le direttrici saranno parallele all asse delle ascisse x). Questa definizione, che trova traccia sin dai trattati sulle coniche 1 di Apollonio 2 di epoca greca, si può ricontestualizzare nel piano cartesiano sfruttando l invarianza della misura del segmento F P rispetto a quella del segmento P H mediante la formula della distanza. Nella Figura 2 abbiamo messo in evidenza anche un sistema di assi cartesiani ortogonali, ed associato ai punti F,P, H le seguenti coordinate: F (p; q), P(x; y), H(x;h); mentre si è associata alla retta d la seguente equazione cartesiana: d : y = h. 6 y 4 2 P(x; y) 6 3 2 F (p; q) 3 6 9 12 x d : y = h 4 H(x;h) 6 Figura 2: Esempio di costruzione geometrica della parabola. in termini analitici si può allora ricavare l equazione cartesiana di una parabola. 2 Equazione cartesiana di una parabola Patendo dalla Figura 2 ricaviamo l equazione corrispondente analitica ponendo: F P = PH 1 cfr. Appendice B 2 Apollonio di Perge, sec. III a.c., fu matematico greco. Lavorò probabilmente ad Alesandria in un epoca posteriore a quella di Archimende. Di lui ci resta solo, incompleta, l opera Conicorum Libri nella quale sono riportati i risultati delle sue ricerche sulle coniche. 2

ovvero: (x p) 2 + (y q) 2 = (x x) 2 + (y h) 2 (1) Imponendo nella (1) l uguaglianza dei radicandi, e sviluppando i calcoli si ottiene: x 2 + p 2 2xp + y 2 + q 2 2yq = y 2 + h 2 2yh Fattorizzando e riordinando le variabili si ottiene y(2q 2h) = x 2 2px + p 2 + q 2 h 2 (2) e dividendo ambo i membri per (2q 2h), quantità sicuramente diversa da zero, in quanto il fuoco della parabola non può giacere sulla corrispondente direttrice per definizione, si ottiene: e infine ponendo: y = 1 (2q 2h) x2 2px (2q 2h) + p2 + q 2 h 2 (2q 2h) 1 a = 2q 2h b = 2p 2q 2h (3) c = p2 + q 2 h 2 2q 2h si ottiene l equazione cartesiana di una parabola, ovvero: y = ax 2 + bx + c (4) Come si può notare, una parabola è espressa nel piano cartesiano mediante un generico polinomio di secondo grado (completo). Per una più approfondita discussione sulle funzionalità dei parametri a, b, c si rimanda alla dispensa Principali funzioni nel piano cartesiano e loro trasformazioni analitiche. 3 Equazioni di secondo grado Seguendo il parallelismo delle equazioni di primo grado, ovvero che equazioni di quest ultimo tipo sono state ricontestualizzate nel piano cartesiano come intersezioni (eventuali) tra rette e asse delle ascisse x, così possiamo pensare che le equazioni di secondo grado esprimano le (eventuali) intersezioni di parabole con l asse delle ascisse x. Valendo cioè: 3

y = ax 2 + bx + c y = 0 ax 2 + bx + c = 0 È allora chiaro che - a seconda delle posizioni di una parabola nel piano cartesiano rispetto all asse delle ascisse x - possono esserci 0, 1 o 2 intersezioni reciproche 3 che si tradurranno in 0, 1 o 2 soluzioni per la corrispondente equazione di secondo grado. La Figura 3 è senz altro immediata: 6 y 5 4 a 3 c 2 1 b 4 3 2 1 B A C 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1 2 3 4 Figura 3: Esempio delle possibili intersezioni tra una parabola generica e l asse delle ascisse x. È chiaro che la parabola a non ha alcuna intersezione con l asse delle ascisse, la parabola b interseca l asse delle ascisse nel punto (doppio) A; mentre la parabola c interseca 3 Nel caso di 1 intersezione tra parabola e asse delle ascisse, si parla di soluzioni reali coincidenti o soluzione doppia per la corrispondente equazione di secondo grado; mentre nel caso di 2 intersezioni tra parabola e asse delle ascisse, si parla di soluzioni reali distinte 4

l asse delle ascisse nei punti B e C. Inoltre, al variare della parabola nel piano cartesiano, varia anche la tipologia del polinomio di secondo grado che la esprime. Vediamo le diverse situazioni in ogni caso e diamo, di seguito, la dimostrazione della formula generale risolutiva per equazioni di secondo grado. 3.1 Equazioni di secondo grado. Definizione 2 Definiamo equazione di secondo grado (completa) una scrittura algebrica del tipo: ax 2 + bx + c = 0 (5) con a,b,c R. Supporremo inoltre sempre nel seguito che a 0. Inoltre, la nomenclatura tradizionale scientifica distingue le equazioni di secondo grado in pure, spurie e complete. Precisamente si definiscono pure le equazioni di secondo grado prive del termine in x, spurie le equazioni di secondo grado prive del termine noto e complete le equazioni in cui compaiono sia i termni in x che il termine noto. Esempio 1 Diamo di seguito gli esempi delle possibili tipologie di equazioni di secondo grado: equazione di secondo grado pura: ax 2 + c = 0, con a,c R. equazione di secondo grado spuria: ax 2 + bx = 0, con a,b R. equazione di secondo grado completa: ax 2 + bx + c = 0, con a,b,c R. Per le equazioni di secondo grado pure e spurie non si incontrano difficoltà di risoluzione, potendo o estrarre direttamente le soluzioni, mediante radice quadrata, o fattorizzare l equazione; infatti: 3.1.1 Metodologia di risoluzione per eqauzioni di secondo grado pure Risolvere un equazione del tipo significa domandarsi se ax 2 + c = 0 (6) ax 2 = c. A questo punto bisogna prestare attenzione al termine noto. Se c > 0, ovvero c < 0, possiamo fattorizzare l equazione stessa trattandola come una differenza di quadrati, ovvero: 5

ax 2 c = 0 x 2 c )( ) c c (x a = 0 x +. a a Mentre se c < 0, ovvero c > 0, l equazione di secondo grado di partenza non ha radici reali; infatti ax 2 + c = 0 x 2 + c a = 0 x2 = c a. Quando un quadrato, ovvero un numero maggiore od uguale a zero, può essere uguale ad un numero negativo? L equazione quindi non ammette radici reali. Applicando, infine, la legge di annullamento del prodotto si ottengono le soluzioni c x = ± a, (7) Osservazione 1 Un equazione di secondo grado pura, o ammette due soluzioni reali, o non ammette alcuna soluzione reale; inoltre, se ammette soluzioni reali, queste sono tra c loro opposte, ovvero della forma x = ± a, prestando sempre attenzione al fatto che c a sia un numero positivo, in quanto argomento di una radice quadrata. Esempio 2 Si risolva l equazione x 2 3 = 0. Svolgimento. Utilizzando la scomposizione polinomiale tipica del somma per differenza in R, otteniamo x 2 3 = (x 3)(x + 3) = 0 che restituisce - secondo la legge di annullamento del prodotto - le soluzioni x = ± 3. 3.1.2 Metodologia di risoluzione per equazioni di secondo grado spurie Risolvere un equzione del tipo significa domandarsi se ax 2 + bx = 0 (8) x(ax + b) = 0. ha soluzioni. Dopo questa fattorizzazione, peraltro sempre fattibile in questo caso, è necessario applicare la legge di annullamento del prodotto per ricavare le soluzioni cercate, ovvero richiedere che x = 0, oppure x = b a. 6

Osservazione 2 Un equazione di secondo grado spuria, quindi, ammette sempre due soluzioni, di cui una sempre obbligatoriamente nulla. 3.1.3 Metodologia di risoluzione per equazioni di secondo grado complete Trattiamo ora la tipoligia più generale di equazione di secondo grado, ovvero le equazioni nella forma ax 2 + bx + c = 0 (9) Per ricavare una formula risolutiva plausibile, valida in generale in ogni caso, procediamo con espedienti noti fino alla soluzione del problema: Dimostrazione. Sia ax 2 + bx + c = 0, fattorizzando in modo opportuno, si ottiene quanto segue: a (x 2 + ba ) x + c = 0. Applicando i due principi di equivalenza per le quazioni, si ha: (x 2 + ba x ) = c a. La quantità a primo membro ricorda nella forma un quadrato di binomio, di cui riconosciamo il primo quadrato e il doppio prodotto; manca, però il secondo quadrato. Per ovviare a ciò, aggiungiamo e sottraiamo una stessa quantità in modo da non alterare l equivalenza dei passaggi algebrici, e ricostruire così il prodotto notevole mancante. (x 2 + ) ba b2 x + 4a 2 b2 4a 2 = c a. A questo punto possiamo scrivere l equazione precedente nella forma Ovvero: ( x + b ) 2 b2 2a 4a 2 = c a. ( x + b ) 2 = b2 2a 4a 2 c a. 7

Osservazione 3 Questa equazione, seppur di difficile forma, non è altro che un equazione di secondo grado pura! Tutti questi calcoli hanno permesso di approdare ad un equazione di secondo grado pura partendo da un equazione di secondo grado completa, operando fattorizzazioni e applicando i principi di equivalenza per le equazioni. Facendo denominatore comune a secondo membro, si ottiene: ( x + b ) 2 = b2 4ac 2a 4a 2. Estraiamo a questo punto le radici, come si conviene per equazioni di secondo grado pure: ( x + b ) b 2 4ac = ± 2a 4a 2. Osservazione 4 A questo punto riveste particolare importanza il termine b 2 4ac, in quanto discriminante tra equazioni di secondo grado con o senza soluzioni reali, essendo l unico responsabile della positività o meno dell intero argomento della radice. Questo discriminante è indicato dalla lettera greca maiuscola. Si pone pertanto = b 2 4ac. è chiaro quindi che, se > 0, l equazione di secondo grado di partenza ha due soluzioni reali distinte, se = 0, l equazione di secondo grado di partenza ha due soluzioni reali coincidenti del tipo x = b, se < 0, l equazione di secondo grado di partenza non ha soluzioni reali, 2a essendo, in questo caso, negativo l intero argomento della radice in questione. Diamo, pertanto, la formula risolutiva di un equazione di secondo grado completa, nel caso in cui 0 e risolvendo per quanto possibile la radice a secondo membro ed applicando il primo principio di equivalenza per equazioni al termine b 2a : x 1,2 = b ± 2a (10) Esempio 3 Si risolva l equazione 3x 2 4x 2 = 0. Svolgimento. Come prima cosa, si calcola il discriminante = b 2 4ac, in quanto, se già preventivamente negativo, rende possibile la dichiarazione: l equazione di secondo grado data non ammette alcuna soluzione reale. Quindi: = b 2 4ac ( 4) 2 4 3 ( 2) = 40 > 0. Allora l equazione data ammette due soluzioni reali distinte, date dalla formula: 8

x 1,2 = b ± x 1,2 = +4 ± 40 2a 6 Con semplici calcoli algebrici, si giunge alle soluzioni x 1,2 = 2 ± 10. 3 In modo analogo si risolvono tutte le altre tipologie di equazioni di secondo grado complete, ricordando che la presente formula, con le dovute modifiche del caso, è applicabile benissimo anche per equazioni di secondo grado pure e spurie, ma per le quali si predilige la risoluzione mediante i procedimenti sopra esposti. 9

A La parabola - formule cartesiane utili Diamo di seguito - senza dimostrazione - le principali formule relative della parabola nel piano cartesiano con asse di simmetria parallelo all asse delle ordinate y. Data una generica parabola nel piano cartesiano y = ax 2 + bx + c, con a,b,c R si ha che: Tabella 1: Formule cartesiane per parabole con asse di simmetria parallelo all asse y. vertice: ( b 2a ; ) 4a fuoco: ( b 2a ; 1 ) 4a direttrice: y = 1 4a asse di simmetria: x = b 2a 10

B Le coniche Le coniche occupano un ruolo fondamentale in geometria (analitica). Dallo studio di queste particolari curve è possibile approdare a risultati notevoli che spaziano dalla fisica (pensando, ad esempio, allo studio di particolari traiettorie di punti materiali) alla geometria delle costruzioni, all astronomia, ecc. Nel presente approfondimento discuteremo delle coniche solo da un punto di vista puramente geometrico e non analitico. La definizione rigorosa di queste curve (che tra breve elencheremo) si basa sulla nozione di cono matematico, ovvero di un luogo di rette uscenti da un punto V detto vertice e che si appoggiano - in generale - su una curva C. Non è detto - a questo livello che la curva C sia chiusa. Deve essere, inoltre, per definizione che V C. Per poter parlare di coniche in senso tradizionale, è necessario, però, che C sia una circonferenza 4 e l asse del cono a (che passa anch esso per V ) sia perpendicolare al diametro della circonferenza di base. La Figura 4 è senz altro immediata. asse a V A C α = 90 B Figura 4: Esempio di cono matematico. 4 In geometria si definisce circonferenza il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro. 11

Sempre a partire dalla Figura 4, si definiscono generatrici del cono le rette uscenti da V e appoggiate a C ; mentre si definiscono falde le due regioni di spazio (sopra e sotto V ) che lo compongono. Da questa premessa per ottenere le cosiddette coniche bisogna sezionare - in diversi modi - il cono matematico con un piano π. Questo piano ha due possibilità: passare per V oppure no. Se V π le coniche che si generano si definiscono coniche non degeneri ; mentre se V π le coniche che si generano si definiscono coniche degeneri. Iniziamo con le coniche non degeneri. Sezioniamo, quindi, la superficie conica con il piano π per cui V π in modo che esso non risulti perpendicolare all asse a del cono e ne intersechi per intero una sola delle due falde. La sezione che così si ottiene si chiama ellisse. La Figura 5 è senz altro immediata. asse a V π A B C Figura 5: Esempio di ellisse. Nelle stesse condizioni geometriche di sopra, ma con la sola eccezione che a π, si ottiene una circonferenza. 12

Nel caso, invece, che il piano di sezione π sia parallelo ad una delle generatrici del cono, ma rimanga sempre relegato ad intersecare una sola delle due falde del cono matematico, si ottiene una parabola. La Figura 6 è senz altro immediata. asse a V π A B C Figura 6: Esempio di parabola. Infine, se il piano di sezione π è parallelo all asse a del cono, e quindi questa volta il piano di sezione π interseca compiutamente entrambe le falde del cono matematico, si ottiene un iperbole, di cui due generatrici del medesimo ne sono i cosiddetti asintoti, (ovvero due rette che tendono ad avvicinarsi alla conica senza mai intersecarla). Questo comportamento sarà meglio chiarito nella ricontestualizzazione dell iperbole nel piano cartesiano. Se poi, infine, gli asintoti risultano perpendicolari tra di loro, l iperbole è detta iperbole equilatera. La Figura 7 è senz altro immediata. Nel caso, infine, che il piano di sezione π passi per il vertice del cono, ovvero che V π, si ottengono quelle che di definiscono coniche degeneri : in particolare se il solo elemento in comune tra cono matematico e piano di sezione è il punto V, è chiaro che la conica degenera in un solo punto (V ); mentre se - oltre al vertice V - vi è in comune anche un intera generatrice, la conica degenera in una sola retta (quella che appartiene contemporaneamente a π e al cono matematico) passante per V ; infine, se il piano di 13

sezione interseca compiutamente le due falde del cono matematico e passa per V, la conica degenera in una coppia di rette reali incidenti (il cui punto di intersezione comune è V ). asse a V π A B C Figura 7: Esempio di iperbole. Rimandiamo la trattazione analitica completa di coniche degeneri e non degeneri ad altra sede. 14

Indice 1 Preliminari 1 2 Equazione cartesiana di una parabola 2 3 Equazioni di secondo grado 3 3.1 Equazioni di secondo grado........................... 5 3.1.1 Metodologia di risoluzione per eqauzioni di secondo grado pure... 5 3.1.2 Metodologia di risoluzione per equazioni di secondo grado spurie.. 6 3.1.3 Metodologia di risoluzione per equazioni di secondo grado complete 7 A La parabola - formule cartesiane utili 10 B Le coniche 11 Indice 15 Elenco delle figure 15 Elenco delle tabelle 15 Riferimenti bibliografici 16 Indice analitico 17 Elenco delle figure 1 Esempio di costruzione geometrica della parabola..................... 1 2 Esempio di costruzione geometrica della parabola..................... 2 3 Esempio delle possibili intersezioni tra una parabola generica e l asse delle ascisse x... 4 4 Esempio di cono matematico............................... 11 5 Esempio di ellisse..................................... 12 6 Esempio di parabola.................................... 13 7 Esempio di iperbole.................................... 14 Elenco delle tabelle 1 Formule cartesiane per parabole con asse di simmetria parallelo all asse y........ 10 15

Riferimenti bibliografici [1] Per la voce Apollonio di Perge vedi: Enciclopedia Garzanti, L Universale - volume Le scienze - Edizioni Garzanti Libri - s.p.a. Milano, 2005. 16

Indice analitico Apollonio di Perge, 2 circonferenza, 11, 12 centro, 11 coniche, 2, 11, 12 degeneri, 12, 13 non degeneri, 12 cono matematico, 11 asse, 11 falde, 12 generatrici, 12 vertice, 11 ellisse, 12 equazione di II grado, 5 complete, 5, 7 discriminante, 8 formula risolutiva, 5, 8 pure, 5 spurie, 5, 6 iperbole, 13, 14 asintoti, 13 equilatera, 13 legge di annullamento del prodotto, 6 parabola, 1, 10, 13 asse di simmetria, 1, 10 direttrice, 1, 10 equazione cartesiana, 3 fuoco, 1, 10 vertice, 1, 10 soluzioni di un equazione di II grado, 3 coincidenti, 4 distinte, 4 17