1. CONVERSIONE ANALOGICO DIGITALE: SCHEMA, FUNZIONALITÀ E CARATTERISTICA DELL ADC I dati numerici sono codificati, nei sistemi di elaborazione, in forma binaria. Per fissare le idee facciamo riferimento alla codifica a tre cifre binarie e rappresentiamo il numero binario come la seguente stringa di bit: b b 1 b 0. L ADC (Analog to Digital Converter) può convertire il segnale d ingresso y MANT (t) esclusivamente nel campo di valori analogici (di tensione) compreso fra 0 e un valore estremo V FS, detto valore di fondo scala, imposto mediante un opportuno terminale esterno, con un numero di cifre binarie generate pari ad R (=3, 8, 16, ecc.). Funzionalmente un ADC a R uscite binarie può essere rappresentato come in figura: Fig. 1 Schema minimo funzionale di un convertitore analogico-digitale La corrispondenza fra i valori analogici y MANT e le cifre binarie in uscita è descritta dalla cosiddetta caratteristica del convertitore, solitamente data da un grafico come uello in figura, dove si è posto R=3: Fig. Caratteristica di un convertitore analogico-digitale VFS Nella caratteristica si pone = e è detto uanto (o, a volte, passo). R Della seuenza binaria ottenuta, la cifra meno pesante, b 0, è detta LSB (Least Significant Bit, cifra meno significativa), mentre la più pesante, b R-1,è detta MSB (Most Significant Bit, cifra più significativa). Spesso con LSB si indica anche la uantità analogica corrispondente a. Il peso dell LSB e dell MSB si calcola moltiplicando il uanto rispettivamente per 0 e R-1. Il numero di cifre R è detto risoluzione. 11
ESEMPIO: VALORE DEL QUANTO Per un convertitore avente V FS =5,1 V e R=8 bit, calcolare il uanto. V FS = R = 5,1/56 = 0,0 = 0 mv Per calcolare un valore digitale (in codifica binaria o decimale), a partire dal valore analogico, si può procedere creando una tabella delle corrispondenze tra dati analogici e digitali, a partire dalla conoscenza del uanto. Noto il valore di si ricava e dalla figura si ricava che a una tensione d ingresso minore di 3, corrisponde il valore digitale 0 (decimale) o 000 (binario); alla tensione ymant (t) corrisponde il valore digitale 1 (decimale) o 001 (binario). Procedendo con uesto criterio si può ricavare la seguente tabella: ingresso uscite binarie VAL bin corrispondenti VAL dec 0 y MANT (t) < 000 0 3 ymant (t) < 3 ymant (t) < 5 5 ymant (t) < 7 7 ymant (t) < 9 9 ymant (t) < 11 11 ymant (t) < 13 13 ymant (t) < 15 001 1 010 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 Questo approccio tuttavia non è efficace nel caso in cui si debba calcolare il corrispondente digitale di valori più elevati, in uanto implica l elaborazione di una tabella molto ampia. Ad esempio, nel caso di R=8, il numero di righe della tabella è 56. Si può allora ricorrere direttamente alla seguente formula, valida per calcolare il valore decimale VAL dec corrispondente all ingresso y MANT ; poi sarà necessaria una conversione su R bit per avere l uscita binaria reale VAL bin : dove le parentesi uadre indicano parte intera di.... VAL dec = [ R (y MANT + /)/V FS ] = [(y MANT + /)/] 1
ESEMPIO: CALCOLO DI UN VALORE DIGITALE Calcolare il valore digitale, codificato in binario, del dato analogico y MANT = 3,675 V, per un convertitore avente R= 8 bit e V FS = 5,1 V. = 5,1/56 = 0 mv = 0,0 V VAL dec = [ R (y MANT + /)/V FS ] = 56 (3,675 + 0,01)/5,1 = 184,5 = 184 184 = 18+3+16+8 = 1 7 +0 6 + 1 5 + 1 4 + 1 3 + 0 + 0 1 + 0 0 VAL bin = 10111000 Quando dal valore binario VAL bin si vuole ritornare al valore analogico y MANT, al livello binario si associa solitamente il valore analogico del centro. Quindi, uando dal livello binario più alto, ovvero uello in cui i bit sono tutti uguali a 1, si vuole tornare al valore analogico, ad esso corrisponde il valore di tensione V max =V FS -. ESEMPIO: CALCOLO DEL VALORE ANALOGICO Calcolare il valore analogico corrispondente al valore binario 101 per un convertitore avente R= 3 bit e V FS = 5,1 V. = 5,1/8 = 640 mv = 0,64 V VAL bin = 101 VAL dec = 1 + 0 1 + 1 0 =5 Dalla caratteristica dell ADC di fig. si può facilmente verificare che: y MANT = VAL dec = 3, V. ERRORE DI CONVERSIONE ε Come si è potuto evincere, un ADC associa a una singola uscita binaria una infinità di valori (uelli appartenenti allo stesso uanto); uesto indica che una volta associata la seuenza di cifre binarie al valore d ingresso non è più possibile ritornare esattamente al valore reale iniziale. È stata dunue irrimediabilmente persa una certa uantità di informazione associata al segnale. Dall esempio precedente si può intuire che il massimo di errore che si commette nel ritornare dal valore V digitale al valore analogico è pari a = FS e uindi R 1. Tale valore diminuisce all aumentare di R. Quindi uanto maggiore è R, tanto meglio il numero VAL bin descrive il valore analogico y MANT : ecco perché R è chiamato risoluzione del convertitore. 13
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7 Calcolare il valore dell uscita in base decimale, VAL DEC, di un ADC a 8 bit con V FS = 10,4 V, in corrispondenza dell ingresso V = 5 V. 8 Per un ADC con V FS = 0 V e R=8 bit, calcolare il uanto, il peso dell LSB, il peso dell MSB, il valore massimo dell errore di conversione. 15
1. CONVERSIONE DIGITALE ANALOGICO: SCHEMA, FUNZIONALITÀ E CARATTERISTICA DEL DAC Un DAC (Digital to Analog Converter) converte i dati numerici in segnali fisici (tensioni). Il DAC accetta in ingresso un numero e fornisce all uscita una tensione a esso proporzionale. Il grafico della figura 1 rappresenta la caratteristica ideale, che descrive la proporzionalità tra il numero e la corrispondente tensione. Fig. 1 Schema e caratteristica di un convertitore digitale-analogico Nella figura è descritto lo schema funzionale del DAC a 8 bit, costituito da otto ingressi e una uscita. Su ciascuno degli otto ingressi viene impostata una cifra binaria (0 o 1) e, nel complesso, le otto cifre formeranno un numero che, in valore decimale, sarà compreso fra 0 e 55. Fig. Schema minimo funzionale di un convertitore digitale-analogico Il grafico della figura 3 invece rappresenta la caratteristica reale di un DAC a tre soli ingressi (a 3 bit), che è soltanto un insieme di punti, visto che a un codice numerico corrisponde una sola tensione d uscita. Lo scarto tra un livello e l altro, detto uanto, indica il grado di risoluzione. 16
Fig. 3 Caratteristica reale di un convertitore digitale-analogico Se si suppone di avere un dispositivo, per esempio un microprocessore (unità di processo dei dati, come la CPU di un computer), in grado di inviare al DAC ogni intervallo di tempo t, una dopo l altra, una data serie di combinazioni di bit, allora, nel tempo, l uscita V out sarà data da una seuenza di livelli mantenuti costanti. Quindi l uscita sarà una gradinata nella uale ogni gradino è alto. Tanto minore è, tanto più fedele è il segnale digitale rispetto al segnale analogico desiderato, che in uesto caso è la retta che partendo dal valore V out =0 sale fino a raggiungere il suo valore massimo V max. Se il uanto è piccolo, il profilo del segnale risulta più continuo. Per uanto si renda piccolo, il segnale numerico, essendo per natura discreto, non può dare luogo ad un segnale continuo (cioè senza gradini). In genere si inserisce a valle del DAC un filtro passa-basso, che ha lo scopo di arrotondare i vertici dei gradini conferendo al segnale un andamento più continuo. Infatti gli spigoli dei gradini non sono altro che un disturbo ad alta freuenza, che può essere tagliato dal filtro passa-basso. ESEMPIO: GENERAZIONE DI UN SEGNALE MEDIANTE UN DAC Si supponga di disporre di un DAC a 3 bit. Sui tre ingressi vengono iniettate le seuenze numeriche binarie da 0 (000) a 7 (111). Disegnare il segnale d uscita. Poiché all uscita del DAC vengono forniti valori di tensione proporzionali al numero di ingresso, si determina un segnale a gradini progressivamente crescente (fig. a). Ipotizzando di trascurare la distanza fra un gradino e l altro, il segnale è assimilabile a uella che viene chiamata forma d onda a dente di sega (fig. b). 17
ESEMPIO: GENERAZIONE DI UN SEGNALE TRAMITE UN PC Un PC viene collegato, tramite una porta di output, a un DAC a 3 bit. Variando il programma in modo da modificare la seuenza dei numeri prodotti sulla porta del PC, è possibile generare diverse forme d onda. Si veda ad esempio la seguente tabella, che descrive la corrispondenza fra forme d onda e seuenze binarie a 3 bit.. SCHEMA REALIZZATIVO DEL DAC Vediamo uno schema realizzativo del DAC, per poter determinare l espressione matematica che lega ingresso e uscita. Il punto di partenza è la tensione di fondo scala o di riferimento V FS, che viene applicata esternamente. Questa tensione viene divisa ripetutamente per, mediante blocchi divisori (partitori di tensione formati da resistenze). All uscita di uesti si rilevano, per un convertitore a 8 bit, le tensioni V FS /, V FS /4, V FS /8,. V FS /56. Questi segnali vengono tutti convogliati ad un blocco sommatore, ma il contributo che danno alla somma totale, ovvero al segnale d uscita, dipende dagli ingressi digitali. Un bit alto (1) provoca infatti la chiusura del relativo interruttore e il passaggio del segnale, mentre se il bit è basso (0) il segnale viene bloccato. Fig. 43 Schema realizzativo di un convertitore analogico-digitale 18
Il risultato di uesto meccanismo è un valore di tensione proporzionale al numero binario di ingresso. Cerchiamo di arrivare a uesta conclusione in modo matematico. Scriviamo l espressione della V out : V out = V FS b 7+ V FS 4 b 6+ V FS 8 b 5+ V FS 16 b 4+ V FS 3 b 3+ V FS 64 b + V FS 18 b 1+ V FS 56 b 0 Raccogliendo 56 al denominatore risulta che: V out = V FS 56 (18 b 7+64 b 6 +3 b 5 +16 b 4 +8 b 3 +4 b + b 1 +b 0 )= = V FS 56 (7 b 7 + 6 b 6 + 5 b 5 + 4 b 4 + 3 b 3 + b + 1 b 1 + 0 b 0 ) L espressione fra parentesi rappresenta il numero digitale binario N () di ingresso, convertito nel suo euivalente decimale N (10). Possiamo allora scrivere: V out VFS N 56 (10) Quindi la tensione d uscita è pari al prodotto di un termine costante, di valore V FS /56, per il numero digitale immesso all ingresso. C è uindi una proporzionalità tra numero di ingresso e tensione d uscita. La costante di proporzionalità è detta uanto di tensione, viene indicata con e vale = V FS più generali, = V FS 56 8 o, in termini essendo R il numero di bit di ingresso. = V FS R 3. SIGNIFICATO E IMPORTANZA DEL QUANTO Il uanto è il valore minimo di tensione che si può avere all uscita del DAC. Il uanto rappresenta il passo (o salto) di tensione fra due livelli successivi digitali. Il uanto indica l accuratezza della conversione, detta risoluzione; minore è, maggiore è la risoluzione. Se ad esempio si vuole convertire un range di tensione da 0 a 10,4 V con 8 bt, si hanno dei gradini di tensione pari a 10,4/56 = 40 mv, ovvero una risoluzione = 40 mv. Per migliorare la risoluzione, si deve aumentare il numero di bit. La tensione massima prodotta dal convertitore è V max =V FS -. 19
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