UNIVERSITA DEGLI STUDI PAVIA FACOLTA DI ECONOMIA. Precorso di matematica

UNIVERSITA DEGLI STUDI PAVIA FACOLTA DI ECONOMIA Precorso di matematica Materiale didattico gratuito (in bozze di stampa) relativo ai principali argomenti previsti in programma

1) ELEMENTI DI BASE (bozza) 1.1) Cenni di insiemistica e di logica (formale, o matematica, o simbolica). A) Richiami sulla logica formale (si prescinde dai contenuti delle ipotesi di partenza). Il linguaggio comune è spesso ambiguo, la logica matematica (formale) è sempre precisa. Si parte da alcuni principi, la cui validità è assunta senza dimostrazione, per poi dedurre nuove affermazioni. I principi si dicono assiomi, le nuove deduzioni si dicono teoremi. Si presuppone chiaramente che esistano delle regole di riferimento che stabiliscano come debbano essere formulati gli assiomi ed i teoremi e quali siano le tecniche di deduzione ammissibili. In logica si definisce proposizione o enunciato qualunque frase per la quale si possa stabilire con certezza se è vera o falsa, cioè alla quale abbia senso associare uno ed uno solo dei due valori di verità: vero o falso. Valgono quindi due principi fondamentali: - il principio di non contraddizione, secondo il quale una proposizione non può essere sia vera che falsa; - il principio del terzo escluso, secondo il quale una proposizione può essere o vera o falsa e non esiste una terza possibilità. Da una data proposizione, applicando degli operatori logici, si possono ottenere altre proposizioni. I principali operatori logici sono i seguenti: a/1) Negazione (se la proposizione p è vera, allora la proposizione contraria p è falsa): Si definisce negazione di un enunciato p, e si indica con p, l enunciato che è vero se p è falso ed è falso se p è vero. La sua tavola di verità è la seguente: p V F a/) Doppia negazione (se la proposizione p è vera, allora la proposizione contraria riferita alla proposizione contraria p è falsa negare una negazione, significa affermare). a/3) Uguaglianza (o equivalenza). Date le proposizioni p e q, se tra loro equivalenti, si ottiene la nuova proposizione (p q) la quale risulterà essere vera se e solo se p e q sono entrambe vere, oppure entrambe false. a/4) Unione logica (disgiunzione) Date le proposizioni p e q si ottiene la nuova proposizione (p q) [indicata anche con (p q)] la quale risulterà essere vera se e solo almeno una delle due proposizioni (p o q) è vera. 1 p F V

a/5) Intersezione logica (congiunzione) Date le proposizioni p e q si ottiene la nuova proposizione (p q) [indicata anche con (p q)] la quale risulterà essere vera se e solo se tutte e due le proposizioni (p e q) sono vere. a/6) Implicazione. Date le proposizioni p e q si ottiene la nuova proposizione (p q) la quale risulterà essere sempre vera tranne quando p è vera e q è falsa. [proprietà transitiva: se p q e q z allora p z] [proprietà riflessiva; p p, che è una tautologia] [proprietà simmetrica; p q, allora q p] Con riferimento all implicazione si può avere: - la verità di p è condizione sufficiente affinché anche q sia vero p q se è vero p allora sarà vero anche q - la verità di p è condizione solo necessaria (non sufficiente) affinché anche q lo sia q p se è vero q allora deve essere vero anche p - la verità di p è condizione sufficiente e necessaria affinché anche q lo sia p q q sarà vero se e solo se è vero anche p (e viceversa) In ambito matematico si parla spesso di ipotesi (una certa proposizione di partenza si accetta per vera) e di tesi (un altra proposizione che, per conseguenza, si vuole dimostrare essere anche essa vera). La dimostrazione della tesi può essere data per: - inferenza diretta (dalla verità della prima proposizione discende direttamente la verità della seconda); - inferenza indiretta (dalla verità della prima proposizione discende la verità di altre proposizioni le quali conducono alla verifica della verità della tesi); - oppure si può a volte procedere mediante una dimostrazione per assurdo ipotizzando ad esempio che una certa conclusione sia vera, per dimostrare che in realtà è vero il contrario. B) Richiami sugli insiemi. - definizione: un insieme è formato da tutti quegli elementi che sono caratterizzati dal possedere una particolare caratteristica (o più caratteristiche). Si tratta, in realtà, di un concetto primitivo. In tema di proposizioni e di elementi di un insieme si utilizzano sovente i simboli (quantificatori): per indicare che la proposizione è vera per qualsiasi elemento dell insieme

per indicare che la proposizione è vera per almeno un elemento dell insieme (le rispettive negazioni significano quindi, rispettivamente: la proposizione è falsa per almeno un elemento dell insieme, e la proposizione è falsa per ognuno degli elementi dell insieme ). - insieme: vuoto, finito, infinito (numerabile, o non numerabile) - insiemi: coincidenti, disgiunti - sottoinsieme: definizione, sottoinsieme proprio, insieme delle parti (tutti i sottoinsiemi) [Insieme delle parti di {,5,8} ={ {} {5} {8} {,5} {,8} {5,8} {,5,8} }] - operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano [A={,4}, B={4,7}. (A B)={,4,7}; (A B)={4}; (A\B)={}; (B\A)={7}] [Il prodotto cartesiano tra due insiemi A e B si definisce come l'insieme di tutte le possibili coppie che hanno per primo elemento un elemento di A e per secondo elemento un elemento di B. Il prodotto si indica con A x B. Ad esempio: se A = {1, 3, 5, 7} e B = {, 4}, allora A x B = {(1, ), (3, ), (5, ), (7, ), (1, 4), (3, 4), (5, 4), (7, 4)}] - proprietà dell inclusione degli insiemi: vuoto, riflessiva, antisimmetrica, transitiva - proprietà delle operazioni; commutativa, associativa, distributiva Commutativa: quando una certa operazione conduce allo stesso risultato anche commutando tra loro gli elementi presi in considerazione. Ad esempio: 5+3=3+5=8, oppure 4=4=8. Non è invece commutativa, ad esempio, l operazione di sottrazione (5-3 3-5), di divisione (6/4 4/6), di elevamento a potenza (5 3 3 5 ) Associativa: quando l ordine con cui si esegue in successione lo stesso tipo di operazione tra più elementi non modifica il risultato finale. Ad esempio: 5+3+ =(5+3)+=8+=10 uguale a: 5+3+=5+(3+)=5+5=10 ; oppure: 53=(53)= =(15)=30 uguale a: 53=5(3)=56=30 Distributiva: quando la diversa modalità con cui si eseguono tra più elementi operazioni di tipo diverso non modifica il risultato finale. Ad esempio: 5(3+4)= =57=35 uguale a: 5(3+4)= (53)+(54)=15+0=35. - partizione (completa) di un insieme (in un numero di sottoinsiemi disgiunti) [A={,4,7} può essere ripartito, ad esempio, in A 1 ={} e A ={4,7}] - intervalli aperti e chiusi (con frontiera ammessa, o esclusa) - intorno di un punto (aperto o chiuso, solo destro o solo sinistro). 1.) Insiemi numerici (N,Z,Q,R). Insieme S, delle cifre (arabe): S = {0. 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} [è un insieme finito] Insieme N, dei numeri naturali (interi): N = {0, 1,,, n,.,.} [è un insieme infinito, numerabile] Sommando due numeri naturali, si ottiene un numero naturale. Moltiplicando due numeri naturali, si ottiene un numero naturale. 3

Insieme Z, dei numeri relativi (interi): Z = {.,., -n,., -, -1, 0, 1,,, n,.,.} Sommando due numeri relativi (interi), si ottiene un numero relativo (intero). Sottraendo due numeri relativi (interi), si ottiene un numero relativo (intero). Moltiplicando due numeri relativi (interi), si ottiene un numero relativo (intero). Nota: un numero Z, scritto in valore assoluto: Z (ma lo stesso concetto vale in generale) va sempre inteso con il suo valore positivo (o nullo), quindi Z varrà +Z, quando Z è positivo (o nullo), e varrà Z, quando Z è negativo (o nullo). Insieme Q, dei numeri razionali (o frazionari): Q = p/q con p e q interi relativi e q 0 Due coppie di numeri razionali (h/k e m/n) sono tra loro equivalenti quando h/k = m/n. Dato il numero p/q, il suo opposto sarà (-p/q), e il suo reciproco sarà q/p (se p 0). Un numero razionale è ridotto ai minimi termini quando numeratore e denominatore sono tra loro numeri primi (non si può quindi più semplificare). I numeri razionali possono essere espressi in forma decimale (finita, o periodica). Sommando due numeri razionali, si ottiene un numero razionale. Sottraendo due numeri razionali, si ottiene un numero razionale. Moltiplicando due numeri razionali, si ottiene un numero razionale. Dividendo due numeri razionali, si ottiene un numero razionale Insieme R, dei numeri reali: [è un insieme infinito, non numerabile] Non tutti i valori che può assumere una certa grandezza possono essere quantificati utilizzando un numero razionale, ad esempio il valore di non può essere scritto utilizzando un numero razionale (anche se il valore di, ovviamente, esiste, essendo però un numero con infinite cifre decimali non periodiche). I numeri utilizzabili per rappresentare quantità non descrivibili mediante dei numeri razionali, vengono chiamati numeri irrazionali. L insieme dei numeri reali è dato dalla unione dei numeri razionali con i numeri irrazionali. R = { numeri razionali numeri irrazionali}. Sommando due numeri reali, si ottiene un numero reale. Sottraendo due numeri reali, si ottiene un numero reale. Moltiplicando due numeri reali, si ottiene un numero reale. Dividendo due numeri reali (con il divisore diverso da zero), si ottiene un numero reale. Nota: i numeri reali assumono valori che variano nel continuo. Dati due insiemi separati si può individuare un elemento separatore. Ad esempio (senza entrare troppo nel dettaglio), dati gli insiemi A={a : a > 0, a } e B={b : b > 0, b } allora esisterà un elemento separatore S dato da S=. Insieme C, dei numeri complessi: Non tutte le operazioni su numeri reali sono possibili, ad esempio -4 non conduce a nessun risultato reale. 4

C = {numeri formati da una componente reale, più una componente immaginaria (che fa riferimento alla grandezza i, con i = -1)}. Nota sul teorema fondamentale dell algebra. Dato un polinomio P(x) di grado n a coefficienti interi; P(x) = c 0 x n + c 1 x n-1 + c x n- +.+ c n-1 x 1 + c n, l equazione P(x)=0 (con c 0 0) ha n soluzioni (reali o immaginarie, singole o multiple). Vengono detti numeri algebrici i numeri complessi (reali) che sono soluzione di una equazione del tipo P(x)=0, vengono detti numeri trascendenti i numeri complessi (reali) che non sono soluzione di nessuna equazione del tipo P(x)=0. Vale la relazione:. 1.3) La definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Si dirà che esiste una relazione (binaria) tra gli elementi degli insiemi A e B quando una certa proposizione fa corrispondere un elemento di A con un elemento di B (la proposizione inversa farà invece corrispondere un elemento di B con un elemento di A). Viene detta funzione una applicazione f che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B, e si può scrivere: f : AB. L insieme A viene detto dominio (insieme di definizione), l insieme dei corrispondenti elementi di B, cioè: f(a) B, viene detto codominio (insieme delle immagini). L elemento di B, ottenuto da un dato elemento di A, viene detto immagine di a A. L elemento a A, in relazione con un dato elemento di B, viene spesso chiamato contro immagine di b B. Molto spesso si usa la simbologia: y=f(x) che mette in evidenza la variabili indipendente x, dalla variabile dipendente y. L insieme delle coppie (x,y) forma l insieme dei punti che formano il grafico della funzione. - Funzione iniettiva: ad ogni diverso elemento di A corrisponde un distinto (e unico) elemento di B (ogni elemento b f(a) proviene da un solo elemento di A, si ha quindi una sola contro immagine). Si possono però avere elementi di B che non sono immagine di alcun elemento di A. Si ottiene quindi: f(a) B. Funzione con corrispondenza uno a uno - Funzione suriettiva: ogni elemento di B è immagine di qualche elemento di A, quindi f(a)=b e non f(a) B (può quindi capitare che più elementi di A conducano allo stesso elemento di B (una funzione suriettiva può non essere iniettiva) - Funzione biiettiva (biunivoca): è una funzione sia iniettiva, sia suriettiva. Ogni elemento di B è immagine di uno e un solo elemento di A (relazione biunivoca). Si ha: f(a)=b. 5

T T S, y = e x La retta T (parallela all asse delle ascisse) interseca il grafico della funzione in due punti (due diversi valori di x possono condurre allo stesso valore di y) la funzione non è quindi iniettiva La retta S (parallela all asse delle ascisse) non interseca mai il grafico la funzione non è quindi suriettiva 3, y = x Qualsiasi retta T (parallela all asse delle ascisse) interseca il grafico la funzione è quindi suriettiva Qualsiasi retta T (parallela all asse delle ascisse) interseca il grafico in solo punto funzione iniettiva (per ogni diverso valore di x si ottiene un diverso valore di y) la funzione è quindi biiettiva è iniettiva, ma non suriettiva. La sua immagine è l'intervallo (-3, 3); f : (-3, +3) è biiettiva. è suriettiva, non iniettiva (il valore y=1, ad esempio, viene ottenuto per tre distinti valori di x) 6

è biiettiva (iniettiva e suriettiva) Per qualsiasi valore reale di x si ottiene uno e un solo valore reale di y. Si ha quindi una relazione di tipo biunivoco tra ogni elemento x e il corrispondente elemento y (e viceversa, nel senso che ogni elemento y è contro immagine di uno e un solo elemento x) I concetti di funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva possono essere rappresentati anche utilizzando dei diagrammi sagittali (di Eulero-Venn), nel modo seguente: Funzione iniettiva [la cardinalità di A è minore di quella di B] Insieme A Insieme B f(a) B Funzione suriettiva [la cardinalità di A è maggiore di quella di B] Insieme A Insieme B f(a)=b Funzione biiettiva [la cardinalità di A è uguale a quella di B] Insieme A Insieme B f(a)=b La funzione è allora invertibile 7

1.4) Funzione composta e funzione inversa Si ha una funzione composta quando si hanno più funzioni tra loro concatenate. Più rigorosamente: date le funzioni f : AB e g : BC si ottiene la funzione (composta): fog: AC. Ad esempio: dato f(x)=4x+5 e g(y)=y si ottiene: g(x)= (4x+5). Occorre quindi prima utilizzare la funzione f(x) e poi la funzione g(y). Quando si ha biunivocità tra ogni elemento di A e di B (funzione biiettiva) oltre alla funzione f : AB, si ha anche la funzione inversa f -1 che considera la applicazione inversa da B ad A: f -1 : BA. E quindi equivalente parlare di funzioni biiettive, o di funzioni invertibili. Se poi, in particolare, si considera quale insieme B l insieme f(a), allora la funzione f è inevitabilmente suriettiva su f(a) e quindi affinché si abbia la funzione inversa deve solo essere verificato che f sia iniettiva. Data, ad esempio, la funzione y(x)=4x+5, per ottenere la funzione inversa basta riscrivere la funzione invertendo la variabile indipendente con quella dipendente: y(x)=4x+5 x(y)=(y-5)/4. L ultima espressione evidenzia come assegnato un certo valore di y, si ottiene il corrispondete valore di x. Ad esempio, posto y=7 si ottiene x(7)=(7-5)/4=0,5. La funzione inversa di una funzione inversa sarà la funzione di partenza. 1.5) Funzioni reali di variabile reale. Si ha una funzione reale di variabile reale quando sia l insieme A, sia l insieme B, sono formati da numeri reali, quindi: f : AB con A B. Ad ogni elemento di A corrisponde uno e un solo elemento di B. Una funzione reale di variabile reale può essere rappresentata mediante delle espressioni di tipo matematico (ad esempio: y(x)=4x+5), oppure mediante il corrispondente grafico. Il dominio della funzione f(x) (cioè il suo campo di esistenza, o insieme di definizione) può essere dato dall insieme di tutti i numeri reali, o solamente da una sua parte (ad esempio, solo i numeri reali non negativi). Consideriamo, su un piano cartesiano (x, y), il grafico di una funzione y=f(x): - ad ogni valore della ascissa x deve corrispondere un solo punto del grafico - se per ogni valore y ammissibile (compreso tra il minimo e il massimo del grafico) si ha un solo un solo punto del grafico, allora la funzione è iniettiva - se per almeno un valore y si hanno più punti del grafico, allora la funzione non è iniettiva - se per ogni valore di y si ha almeno un punto del grafico, allora la funzione è suriettiva 1.6) Monotonia. Consideriamo una funzione f : AB, con A B funzione reale di variabile reale). Consideriamo quindi due generici elementi appartenenti all insieme T A, che chiameremo x 1 e x, Qualora risulti, per qualsiasi coppia (x 1 e x ), con x 1 < x : 8

a) f(x 1 ) < f(x ) diremo che la funzione è strettamente crescente in T b) f(x 1 ) f(x ) diremo che la funzione è crescente (non decrescente) in T c) f(x 1 ) = f(x ) diremo che la funzione è costante in T d) f(x 1 ) f(x ) diremo che la funzione è decrescente (non crescente) in T e) f(x 1 ) > f(x ) diremo che la funzione è strettamente decrescente in T Una funzione si dice monotona quando non varia il tipo del suo andamento (monotona strettamente crescente, monotona crescente, eccetera). Una funzione si dice, ad esempio, strettamente crescente nel punto x* quando con riferimento ad un intorno di x* T A, e presi in considerazione i punti x*+h e x*-h (entrambi appartenenti all intorno di x*) si ottiene, per qualsiasi valore di h>0: f(x*-h) < f(x*) < f(x*+h) Nota: una funzione (ad esempio) strettamente crescente in un intervallo, sarà crescente anche in ogni suo punto. Ma non è necessariamente vero il contrario: un funzione strettamente crescente in ogni punto di un certo intervallo non è detto che sia sempre strettamente crescente in tutto quell intervallo (ci potrebbero infatti essere dei punti di discontinuità). Nota: la monotonia di una funzione può essere verificata attraverso lo studio del segno della sua derivata prima. 9

) ALGEBRA ELEMENTARE (bozza) - Aritmetica: operazioni matematiche elementari (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) su numeri. - Algebra elementare: operazioni matematiche elementari (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) su numeri e simboli (grandezze letterarie) ai quali si potrà assegnare successivamente un valore numerico..1) Potenze e loro proprietà. Il numero 5, moltiplicato per se stesso 3 volte (555=15), può essere scritto 5 3 =15. L espressione a n rappresenta una potenza, con a = base della potenza e n = esponente. potenze con esponente intero, cioè a dire con n Z Con a R (reale) diverso da zero, si ottiene: a 0 = 1 (per definizione, se a 0) ; a n = a a a a (a moltiplicato n volte, se n ) a 1 = a ; a (-n) = 1/ a n [potenze con esponente negativo] Nota: alla scrittura 0 0 non si da nessun significato (è una forma indeterminata). Valgono (tra le tante) le seguenti proprietà: (a b) k = k b k ; (a/b) k = a k /b k ; a k a h = a k+h ; a k /a h = a k-h ; (a k ) h = a k h potenze con esponente razionale, cioè a dire con r Q (con r = p/q, p e q interi, q 0) a r = a p/q = q p a (radice q-esima di a p ). In particolare vale: a 1/n = n a e a -1/n = 1/ n a. Occorre però escludere dai valori di a quelli che condurrebbero a situazioni non accettabili. Ad esempio: a 4/ = a a a /4 = a 1/ = a a 0 a -4/ = a - = 1/ a a, a 0 a -/4 = a -1/ = 1/ a a 0, a 0 a > 0 a /3 = 3 a a a 3/ = 3 a a 0 (essendo una radice di ordine pari) a -/3 = 1/ 3 a a, a 0 a -3/ = 1/ 3 a a 0, a 0 a > 0 1

potenze con esponente irrazionale, cioè a dire con r irrazionale. Si opera individuando i valori razionali che più si avvicinano al valore irrazionale (uno per difetto, l altro per eccesso). Le successioni dei valori della potenza che si ottengono si avvicinano sempre più al valore della potenza con esponente irrazionale..) Elementi di calcolo letterale. Si parla di calcolo letterale quando una operazione algebrica è espressa sia utilizzando dei numeri, sia utilizzando delle lettere. Invece che scrivere, ad esempio, (35), scrivo (hk), dove h e k sono delle grandezze alle quali potrò poi assegnare dei valori numerici. Una espressione algebrica può perdere di significato, quando vendono assegnati particolari valori alle grandezze letterali utilizzate. Ad esempio: a/b è un scrittura lecita, purché sia b 0 (non ha senso dividere per zero un numero), oppure a (radice quadrata di a) ha senso, in ambito reale, solo se a0. Si possono anche avere delle espressioni indeterminate, ad esempio a/b con a = b = 0. Dovendo procedere al calcolo di una espressione si eseguono (se non sono presenti delle parentesi) prima le potenze, poi i logaritmi, poi i radicali. Si eseguono poi le moltiplicazioni e le divisioni, ed infine le addizioni e le sottrazioni. In presenza di parentesi si eseguono prima i calcoli contenuti nelle parentesi più interne..3) Polinomi e loro scomposizione. Prodotti notevoli. Un monomio è una espressione algebrica formata da un coefficiente e una parte letterale dove non compaiono né addizioni, né sottrazioni. Ad esempio: 5a b 5. Il grado di un monomio è dato dalla somma degli esponenti della parte letteraria (con riferimento al monomio citato, il grado associato alla lettera a è, quello associato alla lettera b è 5, mentre il grado del polinomio è: +5=7). Un polinomio è dato dalla somma algebrica di due o più monomi. Ad esempio: 5a b 5 +a c 5. In particolare: un binomio sarà la somma di due monomi, un trinomio sarà dato dalla somma di tre monomi. Il grado di un polinomio è dato dal più elevato grado dei suoi monomi. Un polinomio (reale) P(x) di grado n, in una sola variabile, sarà del tipo: a 0 x n +a 1 x n-1 +a x n- + +a n, con a 0 0 (i numeri reali a 0, a 1, a n-1 sono i coefficienti del polinomio, il termine a n viene detto termine noto. Se tali coefficienti sono dei valori interi si parlerà più propriamente di polinomio a coefficienti interi). La scomposizione di un polinomio (cioè la sua fattorizzazione) si ha quando si riesce a riscrivere il polinomio come prodotto di monomi, o polinomi entro parentesi, di grado inferiore. Quando un polinomio non può più essere scomposto ulteriormente si dice che è irriducibile.

Tra i metodi di scomposizione di un polinomio si possono citare: - raccoglimento a fattore comune: 4ab+1ac= 4a(b+3c) - prodotti notevoli: (a+b) = a +b +ab ; a - b = (a+b) (a-b) (a+b) 3 = a 3 +3a b+3ab +b 3 ; (a+b) N = regola di Tartaglia ; eccetera - divisione tra polinomi: per ogni coppia di polinomi A(x), di grado n, e B(x), di grado m, entrambi a coefficienti reali, esistono altri due polinomi Q(x), di grado (n-m), e R(x), di grado inferiore a m, tali per cui vale la relazione: A(x) = B(x) Q(x) + R(x) essendo quindi: A(x) il dividendo ; B(x) il divisore ; Q(x) il quoziente R(x) il resto (se R(x)=0 allora A(x) è perfettamente divisibile per B(x)) - regola di Ruffini: dato il polinomio P(x), nota una soluzione 1 (e quindi P( 1 )=0), si otterrà: P(x)=Q(x)(x- 1 ) con Q(x) di grado inferiore (di una unità) a P(x). Si potrà poi cercare di scomporre ulteriormente il polinomio Q(x) utilizzando le altre soluzioni (, 3.... n ) arrivando infine ad ottenere: P(x)= a 0 (x- 1 ) (x- ) (x- n ). [Nota: la regola di Ruffini è un caso particolare della divisione tra polinomi ove il divisore B(x) è del tipo (x-) e il resto R(x) vale zero]. Esiste una procedura di calcolo per potere effettuare anche manualmente l operazione di divisione tra due polinomi (lo stesso vale per la applicazione della regola di Ruffini)..4) Identità ed equazioni: nozione di soluzione. Si ha una identità quando l uguaglianza tra due espressioni è sempre vera: 4=4 ; aa=a. Si ha una equazione quando l uguaglianza tra due espressioni è vera solo per alcuni valori numerici attribuiti alle grandezze letterali: 3a=1 è vero solo per a=4. Una equazione algebrica (razionale intera) assumerà quindi la forma: P(x)=0. Il valore che verifica l equazione viene detta radice, o soluzione, dell equazione. Teorema fondamentale dell algebra Ogni equazione polinomiale di grado n ammette n soluzioni (reali o complesse, non necessariamente tra loro distinte soluzioni multiple) che indicheremo con: ( 1,,, n ) e il polinomio P(x) può essere scritto nella forma: P(x) = a 0 (x- 1 )(x- ). (x- n ). Eventuali radici tra loro uguali (ad esempio: 1 = = 5 ) vengono dette multiple, con grado di molteplicità pari al numero delle radici uguali (nell esempio proposto, quindi, 1 avrebbe grado di molteplicità pari a tre). Le eventuali radici razionali di una equazione algebrica (a coefficienti interi) vanno ricercate unicamente nei valori ottenibili dal rapporto c j /d j dove: c j sono tutti i possibili divisori (positivo e negativi) del termine noto a n, mentre d j sono tutti i possibili divisori (positivi e negativi) del coefficiente a 0. Ad esempio, data l equazione 3x 3-17x +13x-=0 si ottiene: divisori del termine noto: +1, -1, +, - divisori del termine a 0 : +1, -1, +3, -3 possibili soluzioni razionali: +1, -1, +1/3, -1/3, +, -, +/3, -/3. 3

Regola dei segni (di Cartesio): con riferimento a una equazione (in una sola variabile) con coefficienti reali e soluzioni reali si avrà che il numero delle soluzioni positive (contate con il loro ordine di molteplicità) sarà dato dal numero delle variazioni di segno (tralasciando i coefficienti nulli) riscontrabili considerando la successione ordinata dei coefficienti a 0, a 1, a n-1, a n. In presenza di soluzioni complesse il numero delle soluzioni positive sarà dato dal numero delle variazioni di segno eventualmente diminuito di un numero pari (Nota: se esiste una soluzione complessa, allora sarà soluzione anche la complessa coniugata, con lo stesso ordine di molteplicità; quindi se 3+i, numero complesso, fosse soluzione dell equazione, allora sarà soluzione anche 3-i ) (Nota: se vi fosse un numero dispari di inversioni di segno, ad esempio 5, allora il numero delle soluzioni positive potrebbe essere: 5, oppure 3, oppure 1. Esisterebbe quindi almeno una soluzione positiva. Se il numero delle inversioni di segno fosse invece pari, si potrebbe avere un numero di soluzioni positive pari a zero). Ad esempio, l equazione: x + x = 0, sarà caratterizzata da: a) avere due soluzioni (reali o immaginarie), essendo di secondo grado b) le possibili radici razionali potrebbero essere: 1 oppure : verifico, con x=+1 1 +1 - = 0 x=+1 è soluzione dell equazione verifico, con x=-1 (-1) + -1 - = - x= -1 non è soluzione delle equazione verifico, con x=+ + - = +4 x=+ non è soluzione delle equazione verifico, con x=- (-) - - = 0 x= - è soluzione dell equazione c) l equazione ha, nella successione dei suoi coefficienti, una sola inversione di segno, quindi le sue radici reali positive saranno al massimo una, ed infatti delle due radici razionali individuate (che sono poi le uniche due soluzioni esistenti) una è positiva mentre l altra è negativa d) l equazione in questione potrebbe essere riscritta, utilizzando le due soluzioni individuate, nel modo seguente: ( x 1) ( x + ) = 0 x x + x = 0 x + x = 0 Principi di equivalenza. L equazione A(x)=B(x) è equivalente (ed avrà quindi le stesse soluzioni) a quella ottenibile applicando una identica operazione algebrica ad entrambi i membri dell equazione: somma: A(x)=B(x) A(x) +a=b(x) +a sottrazione: A(x)=B(x) A(x) - a= B(x) - a prodotto: A(x)=B(x) A(x) a= B(x) a (con a 0, altrimenti si annulla tutto) divisione: A(x)=B(x) A(x)(1/a)=B(x) (1/a) (con a 0) Un esempio numerico riassuntivo. Si analizzi l equazione: x 4 +4x 3-6x -8x+8 = 0. a) l equazione è di quarto grado, avrà quindi quattro soluzioni (reali o immaginarie) b) il segno dei coefficienti si inverte due volte, vi saranno quindi non più di due soluzioni reali positive c) le soluzioni razionali vanno ricercate unicamente nei valori ottenibili dal rapporto tra i divisori del termine noto e i divisori del primo coefficiente (positivi o negativi). Nel 4

caso in questione le possibili soluzioni razionali sono: 8 ; 4 ; ; 1 ; ½. Per sapere quali valori sono effettivamente soluzione dell equazione basta provare a verificare numericamente l equazione sostituendo alla variabile x ciascuno dei valori in questione di tali valori. Poiché solo i valori +1 e - verificano l equazione, solo questi saranno soluzioni razionali. [Nota: si sarebbe potuto semplificare un poco i calcoli studiando non l equazione proposta, ma l analoga equazione divisa per due, cioè a dire: x 4 +x 3-3x -4x+4 = 0. Le possibili soluzioni sarebbe state: 4 ; ; 1]. d) applico la regola di Ruffini (sulla equazione già divisa per due, per sveltire i calcoli): 1x 4 x 3-3x -4x +4 (1x 3 +3x -0x -4)(x-1) = 1 1 +3 +0-4 = 1x 4 +3x 3-0x -4x-1x 3-3x +0x +4 = 1 3-0 -4 0 = 1x 4 +x 3-3x -4x+4 1x 3 +3x -0x -4 (1x +4x+4)(x-1) = 1 1 4 4 = 1x 3 +4x +4x-1x -4x-4 = 1 4 4 0 = 1x 3 +3x -0x -4 1x +4x +4 (1x +)(x+) = (x+) = - - -4 = 1x +x +x+4 = 1 + 0 = 1x +4x+4 e quindi, in definitiva: x 4 +4x 3-6x -8x+8=( x 4 +x 3-3x -4x+4)=(x-1)(x-1)(x+)(x+) = (x-1) (x+). Le quattro soluzioni dell equazione sono date da due soluzioni distinte, ciascuna con grado di molteplicità pari a due ( 1 =1 e =-). Le soluzioni positive (reali) sono due (date da 1 =1, con grado di molteplicità pari a due)..5) Equazioni di primo e di secondo grado Una equazione di primo grado (equazione lineare ) è una equazione algebrica di grado pari ad uno. Le equazioni di primo grado in una sola incognita possono sempre essere ridotte alla forma normale, del tipo: ax + b = 0, dove a e b sono dei numeri (reali, ma potrebbero anche essere complessi) e x è la variabile incognita. Con a 0 l equazione in questione ha soluzione: x*=-b/a. 5

Le equazioni di primo grado in incognite (x e y) possono sempre essere ridotte alla forma (impicita): ax + by + c = 0 (o nella equivalente forma esplicita: y = mx+q, con b 0, m=-a/b, q=-c/b). Ad esempio: x-6y+10 = 0, equivale a: y = (6/)x + (-10/) = = 3x-5. Le equazioni di primo grado in n incognite (x 1, x,., x n ) possono sempre essere ridotte alla forma (impicita): a 1 x 1 + a x +. + a n x n + k = 0 Una equazione di secondo grado (equazione quadratica ) è una equazione algebrica di grado pari a due. Le equazioni di secondo grado in una sola incognita possono sempre essere ridotte alla forma normale, del tipo: ax + bx + c = 0, con a 0, dove a, b e c sono dei numeri (reali, ma potrebbero anche essere complessi) e x è la variabile incognita. Per il teorema fondamentale dell algebra, una equazione di secondo grado avrà due soluzioni (reali o immaginarie). Le soluzioni di una equazione di secondo grado (in una sola variabile) possono essere individuate utilizzando la formula: x* = b ± b 4 a c a, con soluzioni reali solo nel caso risulti: b - (4ac) 0. Le soluzione dell equazione: x +6x+5 = 0, ad esempio, sono date da: x 1 * = 6 + 6 4 1 5 1 = 6 + 36 0 = 6 + 4 = -1 x * = 6 6 4 1 5 1 = 6 36 0 = 6 4 = -5. Per le soluzioni x 1 * e x * di una equazione quadratica volgono inoltre le seguenti relazioni: (x 1 *+ x *) = -b/a (ed infatti: (-1) + (-5) = - 6 = - b/a) (x 1 * x *) = c/a. (ed infatti: (-1) (-5) = +0 = c/a)..6) Disequazioni di primo e di secondo grado Una disequazione di primo grado è una disequazione algebrica di grado pari ad uno. Operando con una sola incognita, invece che una espressione del tipo: ax + b = 0 (equazione), si otterrà, sostituendo al segno di = il segno >,, <, una delle seguenti espressioni (con a>0): ax + b > 0 ax + b 0 ax + b < 0 ax + b 0. Nel caso si abbia invece a<0 occorrerà invertire il segno delle disuguaglianze (in generale, quando si moltiplicano, o si dividono, entrambi i membri di una disequazione 6

per un numero negativo, occorre invertire il segno della disequazione). Risolvere una disequazione significa trovare tutti i valori di x che verificano la disuguaglianza. Ad esempio: 3x + 0 x (-)/3 ; mentre -3x + 0 x /3. Si può dare una rappresentazione geometrica delle soluzioni di una disequazione. Nel caso si operi con valori reali di x, si può quindi fare riferimento ad una retta, individuare il valore che verifica la equazione associata alla disequazione (punto di separazione tra i valori di x che verificano la disuguaglianza con il segno <, e quelli che la verificano con il segno > ), e individuare infine quale delle due semi-rette rappresenta tutti i punti che verificano la disequazione desiderata: 3x + < 0 3x + = 0 3x + > 0 -/3 x Operando con due incognite, invece che una espressione del tipo: ax + by + c = 0 (equazione), si otterrà, sostituendo al segno di = il segno >,, <, una delle seguenti espressioni (con a>0): ax + by + c > 0 ; ax + by + c 0 ; ax + by + c < 0 ; ax + by + c 0. Si può dare una rappresentazione geometrica delle soluzioni di una disequazione lineare in due incognite. Nel caso si operi con valori reali di x, si può quindi fare riferimento al piano cartesiano, individuare la retta che verifica la equazione associata alla disequazione (retta di separazione tra i valori di x che verificano la disuguaglianza con il segno <, e quelli che la verificano con il segno > ), e individuare quale dei due semi-piani rappresenta tutti i punti che verificano la disequazione: y 1 Retta di separazione 10x + 5y - 5 = 0 10x + 5y - 5 < 0 10x + 5y - 5 > 0-1 1/ x Operando con tre variabili occorrerebbe dare una rappresentazione grafica nello spazio a tre dimensioni. Operando con più di tre variabili si dovrebbe operare negli spazi con più di tre dimensioni (iper-spazi). Una disequazione di secondo grado (disequazione quadratica ) è una disequazione algebrica di grado pari a due. Operando con una sola incognita, invece che l espressione: ax + bx + c = 0, con a 0, (equazione), si otterrà, sostituendo al segno di = il segno >,, <, una 7

delle seguenti espressioni (con a>0): ax + bx + c > 0 ; ax + bx + c 0 ; ax + bx + c < 0 ; ax + bx + c 0 Qualora fosse a < 0 si deve invertire il segno delle disuguaglianze. Ad esempio: 5x +3x + 0-5x - 3x - 0 I valori di x che verificano una disequazione di secondo grado possono essere trovati risolvendo prima, se possibile, l equazione associata e verificando poi se l Insieme Ammissibile delle soluzioni è quello individuato all interno, oppure all esterno, dell insieme compreso tra le due soluzioni reali trovate. Ad esempio: la disequazione: x +6x+5 0, la cui relativa equazione ha come soluzioni i valori x 1 *=-1 e x 1 *=-5, risulta verificata x (-1, -5), cioè a dire per tutti valori di x compresi tra (- ) e (-1), e anche per tutti valori di x compresi tra (-5) e (+ ), estremi compresi. Ad esempio: la disequazione: x +6x+5 < 0, la cui relativa equazione ha come soluzioni i valori x 1 *=-1 e x 1 *=-5, risulta verificata x (-1, -5), cioè a dire per tutti valori di x compresi tra (-1) e (-5), estremi esclusi. Ad esempio: la disequazione: 5x +4x+6 > 0, la cui relativa equazione non ammette soluzioni reali (essendo negativo il valore del discriminante =b -(4ac)=-104) risulta verificata x, cioè a dire per qualsiasi valore reale. Ad esempio: la disequazione: 5x +4x+6 < 0, la cui relativa equazione non ammette soluzioni reali (essendo negativo il valore del discriminante =b -(4ac)=-104) non risulta mai verificata, cioè a dire che non esiste nessun valore reale che possa verificare la disequazione. In generale, ad esempio, data la disequazione: ax + bx + c > 0, con a 0: - con a>0 se > 0 le soluzioni saranno esterne all intervallo [x 1 *, x *] con x 1 * x * se = 0 le soluzioni saranno tutte quelle diverse da x 1 *= x * se < 0 le soluzioni saranno date da qualsiasi valore reale - con a<0 se > 0 le soluzioni saranno interne all intervallo (x 1 *, x *) con x 1 * x * se = 0 non vi saranno soluzioni reali (le radici x 1 * e x * coincidono) se < 0 non vi saranno soluzioni reali..7) Sistemi di equazioni e di disequazioni Si ha un sistema di equazioni quando, invece che operare su una singola equazione, si opera su più equazioni che devono essere tutte risolte contemporaneamente (ammesso che tale soluzione esista). Occorre quindi ricercare quel valore (o quei valori) da attribuire alla variabile incognita (o alle variabili incognite) che risolvono tutte le equazioni prese in considerazione. 8

Ad esempio il sistema di equazioni sotto indicato: 3 x + 3 y = 6 1 x + 1 y = 0 ha soluzione x=1, y=1, valendo: 3 1+ 3 1 = 6 1 1+ 1 1 = 0 Si ha un sistema di disequazioni quando, invece che operare su una singola disequazione, si opera su più disequazioni che devono essere tutte risolte contemporaneamente (ammesso che tale soluzione esista). Occorre quindi ricercare quel valore (o quei valori) da attribuire alla variabile incognita (o alle variabili incognite) che risolvono tutte le equazioni prese in considerazione. Ad esempio dal sistema di disequazioni: y 3 x + 3 y > 6 1 x + 1 y < 0 x > 0 si ottiene (graficamente) Retta: 3x + 3y = 6 1 Retta: -1x + y = 0 Insieme Ammissibile. Parte del piano i cui punti verificano il sistema delle disequazioni considerate. -1 1 x Ad esempio il punto di coordinate x=, y=1, che giace nella porzione di piano individuata come soluzione del sistema di disequazioni (Insieme Ammissibile), verifica contemporaneamente le tre disequazioni perse in considerazione: 3x + 3y = 3 + 31 = 9 > 6-1x + 1y = -1 + 11 = -1 < 0 1x = > 0 Si segnala che poiché le disequazioni sono state scritte come disequazioni forti (il segno di uguale non è previsto come accettabile), l Insieme Ammissibile sarà dato dalla regione di piano indicata, ma escludendo la sua frontiera..8) Equazioni e disequazioni razionali, intere e fratte Equazioni razionali intere. Si veda quanto esposto nel precedente punto.5) 9

Equazioni razionali fratte. Si opera cercando di semplificare il più possibile l espressione utilizzando i principi di equivalenza (della addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione), ricordando di operare sui valori ammissibili delle variabili (il denominatore di una frazione, ad esempio, non potrà essere nullo; l espressione sotto radice quadrata non potrà assumere valori negativi, eccetera). Ad esempio: x 1+ x = x + x 4 x x 4 x 1+ x x = x + ( x ) ( x ) ( x + ) con: ( x + )( x ) 0, cioè a dire con x - e x + con: ( x ) (1 + x)( x + ) x = 0 ( x + )( x ) ( x ) (1 + x)( x + ) x = x 8x + 8 x x 4x x = 15 x + 6 = 0, per x*=/5 Disequazioni razionali intere, Si veda quanto esposto nel precedente punto.6) per le disequazioni di primo e di secondo grado. Per le disequazioni di grado superiore si può operare dopo avere scomposto il più possibile l espressione oggetto di studio. Ad esempio, la disequazione: x 4-4x 3 - x + 4x > 0, può essere riscritta nella forma: x(x 4)(x -1) > 0. Per ognuno dei tre fattori si valuta il segno e si vede di conseguenza il segno della disequazione originaria: x negativo negativo positivo positivo positivo (x 4) negativo negativo negativo negativo positivo (x -1) positivo negativo negativo positivo positivo -1 0 1 4 x(x 4)(x -1) positivo negativo positivo negativo positivo Disequazioni razionali fratte. Si opera cercando di semplificare il più possibile l espressione utilizzando i principi di equivalenza (della addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione), ricordando di operare sui valori ammissibili delle variabili (il denominatore di una frazione, ad esempio, non potrà essere nullo; l espressione sotto radice quadrata non potrà assumere valori negativi, eccetera). Si ricordi che moltiplicando (o dividendo) per un valore negativo si inverte il segno della disuguaglianza. Ad esempio: 3x 1 x 3 3x 1 0 x 3 3x x + 3 0 x 3 10 x + 1 0 x 3 con: x + 1, negativo per x<-1/, nullo per x=-1/, positivo per x>-1/ con: x 3, negativo per x < 3, nullo per x = 3, positivo per x> 3

+1 3 x negativo positivo positivo x negativo negativo positivo -1/ 3 x + 1 x 3 positivo negativo positivo In definitiva, lo schema procedurale per individuare l insieme ammissibile delle soluzioni di una disuguaglianza fratta, è quindi (in generale) il seguente: a) si portano tutti i termini al primo membro della disequazione b) si trasforma l espressione al primo membro fino ad ottenere una unica frazione c) si individuano i punti (o gli intervalli) non ammissibili d) si individuano gli intervalli in cui il numeratore è positivo, o negativo e) si individuano gli intervalli in cui il denominatore è positivo, o negativo f) si individuano gli intervalli in cui la frazione è positiva, o negativa.9) Equazioni e disequazioni irrazionali Si ha una equazione irrazionale quando l incognita compare all interno di uno o più radicali. Ad esempio: x =9 (attenzione, l equazione: ( )x=9, pur contenendo un valore irrazionale ( ) non è una equazione irrazionale in quanto l incognita x non è all interno del segno di radice). Per risolvere l equazione proposta si elevano a potenza entrambi i membri allo scopo di eliminare il radicale: x =9 ( x ) =9 x*=9 =81 In generale occorre però ricordare che elevando a potenza n-esima (con n intero, maggiore di uno) entrambi i termini di una equazione si ottiene una nuova equazione le cui soluzioni comprendono sicuramente quelle dell equazione irrazionale originaria, ma potrebbero anche esservi (con n pari) delle soluzioni spurie che invece non soddisfano l equazione originaria. Ad esempio (facendo riferimento alla radice quadrata principale, cioè quella non negativa): 9 = x 3 x ( ) ( ) 9 x = x 3 9 x = x + 9 6x 5x = 0 11 x per dove: la prima soluzione (x 1 *=0) non verifica l equazione irrazionale di partenza: 9 x = x 3 9 0 0 + 3 = 0 9 + 3 + 3 + 3 = 6 0 mentre la seconda soluzione (x *=5) verifica l equazione irrazionale di partenza: 9 x = x 3 9 5 5 + 3 = 0 4 + = 0. x1* = 0 x* = 5

Per individuare quali soluzioni dell equazione elevata a potenza sono anche soluzioni dell equazione di partenza (verifica da farsi solo nel caso sia n pari) si può: a) sostituire nelle equazione originaria le soluzioni dell equazione elevata a potenza, e verificare numericamente se l equazione originaria risulta verificata (come mostrato appena sopra) b) imporre che sia il radicando, sia il membro di destra, siano non negativi, Nell esempio preso in considerazione deve quindi risultare: (9-x) 0 x 9 ; (x-3) 0 x 3 di conseguenza l unica soluzione ammissibile (con; 3 x 9) è data da x*=5. Nel caso fossero presenti più radicali si procederà isolando un primo radicale, che verrà elevato a potenza, poi si tenterà di isolare un secondo radicale, che verrà a sua volta elevato a potenza, eccetera. Ad esempio: 3 3 9 3 9 x x = x x x = ( x ) 3 x x = 3 x ecc ( x x) = x 3 Si ha una disequazione irrazionale quando l incognita compare all interno di uno o più radicali. Occorre inoltre distinguere a seconda che il radicale abbia indice pari, oppure indice dispari. a) radicale con indice dispari. Se l indice di radice è dispari si procede all elevamento a potenza con esponente uguale all indice di radice, senza preoccuparsi del segno del radicando (che potrà quindi assumere valori sia positivi, sia negativi, sia nulli). 3 3 Ad esempio: x x x 8 + per x 10 b) radicale con indice pari (l espressione sotto il segno di radice può assumere solamente valori non negativi). Occorre distinguere i diversi casi, ad esempio qualora la disequazione fosse del tipo: A ( x) < B( x), allora per individuare le sue soluzioni occorre considerare che: a) deve essere A(x) 0 (altrimenti non avrebbe senso il radicale); b) deve essere B(x) > 0 (dato che il valore del radicale sarà inevitabilmente non negativo); c) deve essere A(x) < [B(x)] (per soddisfare la disequazione richiesta). 1

Ad esempio: x + 3 < x + x +3 0 verificato per qualsiasi valore di x x+ > 0 verificato per - < x x + 3 < ( x + ) x + 3 < x + 4 + 4x 1 < 4x, vero per -1/4 < x di conseguenza la disequazione in oggetto risulterà verificata quando tutte e tre le condizioni sopra citate risultano verificate, cioè a dire per tutti i valori di x maggiori di -0,5. Qualora la disequazione fosse del tipo: A ( x) > B( x) x 1 > x 3 nel caso sia x-3 0, cioè nel caso sia x 3 x-1 > 0 verificato per x > 1 x 1 > ( x 3) x 1 > x + 9 6x + 7x 10 > 0 x, per < x < 5 di conseguenza la disequazione in oggetto risulterà verificata quando tutte e tre le condizioni sopra citate risultano verificate, cioè a dire per 3 x < 5. nel caso sia x-3 < 0, cioè nel caso sia x < 3 x-1 0 verificato per x 1 x 1 > x 3 risulta di conseguenza necessariamente verificata, di conseguenza la disequazione in oggetto risulterà verificata quando tutte le condizioni sopra citate risultano verificate, cioè a dire per 1 x < 3. La soluzione completa della disequazione considerata è allora data dalla unione delle soluzioni ottenute nelle due diverse ipotesi, cioè a dire: [1<x<3) [3<x<5)= [1<x<5).10) Equazioni e disequazioni con il valore assoluto Si ha una equazione con il valore assoluto quando l incognita compare all interno di una espressione che deve essere valutata in valore assoluto, essendo il valore assoluto (o modulo) del numero k lo stesso valore k, se è k0. oppure il suo valore opposto (-k), se è k<0 (analogamente per le espressioni in valore assoluto, ad esempio l espressione k-1, in valore assoluto, varrà +(k-1) quando (k-1)0, mentre varrà -(k-1) quando (k-1)0). Il valore assoluto di un numero (o di una espressione) sarà quindi sempre positivo o nullo. Per le equazioni in valore assoluto non vale il Teorema fondamentale dell algebra (una equazione di grado n possiede complessivamente n soluzioni), ad esempio l equazione x = 1 (di primo grado) avrà due soluzioni; x 1 *=1 e x *=-1. Per risolvere una equazione in valore assoluto occorre analizzarla separatamente nei diversi intervalli in cui essa risulta positiva, o negativa (o nulla). Ad esempio, l equazione x-1 = +x condurrà a risolvere due distinti problemi: - per (x-1)0, cioè per x1, si avrà: (x-1)=+x x*= -3 (soluzione non ammissibile) [la soluzione x*= -3 non è accettabile in quanto non verifica la condizione x1] 13

- per (x-1)0, cioè per x1, si avrà: -(x-1)=+x 3x=1 x*=1/3 (ammissibile) [la soluzione x*= 1/3 è accettabile in quanto verifica la condizione x1] La soluzione generale dell equazione con il valore assoluto sarà dato da tutte le soluzioni (ammissibili) ottenute nei due distinti problemi, che nel caso in questione coincide con l unica soluzione x*=1/3. Ad esempio, l equazione x +3 x+ =0 problemi: condurrà a risolvere quattro distinti - per x0 e (x+)0, cioè per x0, si avrà: x+3(x+)=0 6+4x=0 x*= -3/ [la soluzione x*= -3/ non è accettabile in quanto non verifica la condizione x0] - per x0 e (x+)0, cioè per nessun valore di x (che non può essere sia x0, sia x-) [non esiste nessun valore che può verificare entrambe le condizioni x0 e x-] - per x0 e (x+)0, cioè per -x0, si avrà: -x+3(x+)=0 6+x=0 x*= -3 [la soluzione x*= -3 non è accettabile in quanto non verifica la condizione -x0] - per x0 e (x+)0, cioè per x-, si avrà: -x-3(x+)=0-6-4x=0 x*= -3/ [la soluzione x*= -3/ non è accettabile in quanto non verifica la condizione x-] La soluzione generale dell equazione con il valore assoluto sarà dato da tutte le soluzioni (ammissibili) ottenute nei quattro distinti problemi, che nel caso in questione, però, non esistono (nessuno dei quattro distinti problemi ammette soluzione). Si poteva, del resto, subito arrivare a tale conclusione osservando che l equazione x +3 x+ =0 è data dalla somma di due addendi entrambi non negativi (causa la presenza del valore assoluto) e quindi, affinché valga zero la loro somma, occorre che siano entrambi nulli dovendo quindi risultare contemporaneamente sia: x =0 x=0, sia: 3 x+ =0 x=-, il che non è possibile. Se l equazione fosse invece stata (ad esempio): x +3 x+ =8, allora, replicando la procedura sopra descritta, si sarebbero ottenute le soluzioni (ammissibili): x=-7/ ; x=1/. Si ha una disequazione con il valore assoluto quando l incognita compare all interno di una espressione che deve essere valutata in valore assoluto. Occorre operare nei diversi intervalli nei quali le grandezze sotto condizione di valore assoluto risultano essere positive, o negative (o nulle). Ad esempio, l equazione x - x+3 0 potrà essere analizzata nel modo seguente: -3 0 valori di x x x < 0 x < 0 x > 0 (x+3) (x+3)<0 (x+3)>0 (x+3)>0 14

di conseguenza: - per x -3, si dovrà studiare l espressione [ x+(x+3)] che risulta positiva per: x+(x+3) 0 x+6 0 x -6. La disequazione originaria sarà quindi verificata per: -6 x -3 - per -3 x 0, si dovrà studiare l espressione [ x (x+3)] che risulta positiva per: x (x+3) 0 3x 6 0 x. La disequazione originaria sarà quindi verificata per: 3 x - - per 0 x, si dovrà studiare l espressione [+x (x+3)] che risulta positiva per: +x (x+3) 0 x 6 0 x +6 x 6 impossibile (essendo 0 x) La disequazione originaria non sarà quindi mai verificata per 0 x. La disequazione originaria (con il valore assoluto) sarà quindi verificata per tutti i valori di x compresi tra (-6) e (-3), e per tutti i valori di x compresi tra (-3) e (-). In totale risulterà quindi verificata x [-6, -] (estremi compresi). A scopo di verifica si può controllare che: - per x=-7 si ottiene: x - x+3-7 - -7+3 7-4 = -1, non verificata - per x=-6 si ottiene: x - x+3-6 - -6+3 6-3 = 0, verificata - per x=-5 si ottiene: x - x+3-5 - -5+3 5- = 1, verificata - per x=-4 si ottiene: x - x+3-4 - -4+3 4-1 = 1, verificata - per x=-3 si ottiene: x - x+3-3 - -3+3 3-0 = 3, verificata - per x=- si ottiene: x - x+3 - - -+3-1 = 0, verificata - per x=-1 si ottiene: x - x+3-1 - -1+3 1- = -3, non verificata - per x=-0 si ottiene: x - x+3-0 - -0+3 0-3 = -6, non verificata. 15

3) GEOMETRIA ANALITICA (Geometria Cartesiana) [bozza] 3.1) Il piano cartesiano. E un sistema di riferimento formato da due rette orientate, tra loro perpendicolari (ortogonali), che si intersecano in un punto chiamato origine. La retta orientata orizzontalmente (solitamente caratterizzata dalla lettera x) è l asse delle ascisse, quella perpendicolare (verticale) (solitamente caratterizzata dalla lettera y) è l asse delle ordinate. Il sistema dei due assi permette di individuare qualsiasi punto collocato su un piano utilizzando una coppia di valori reali (valore di ascisse, e valore di ordinata). L origine degli assi, ad esempio, sarà caratterizzato dalla coppia di coordinate: (x=0, y=0). Esiste quindi una corrispondenza biunivoca tra i punti di un piano cartesiano e una coppia di numeri reali [le coppie di numeri reali fanno quindi riferimento al prodotto cartesiano RR=R ]. Un piano cartesiano viene diviso (dalle due rette orientate) in quattro quadranti il primo dei quali fa riferimento a tutti i punti le cui coordinate sono entrambe positive (o non negative, volendo considerare anche gli assi che lo delimitano). Gli altri quadranti vengono individuati procedendo in senso anti-orario (iniziando dal primo quadrante). Il sistema di riferimento cartesiano (a due dimensioni) può essere esteso ad un numero maggiore di dimensioni. Con tre dimensioni, ad esempio, ogni punto verrà individuato da tre coordinate e si opererà nello spazio naturale. Con più di tre dimensioni si farà riferimento al concetto di iper-spazio. Con riferimento al piano cartesiano vale la pena di ricordare almeno i seguenti concetti: a) calcolo della distanza tra due punti appartenenti al piano cartesiano. Dati i punti P(x 1 ; y 1 ) e Q(x ; y ) la loro distanza D (misurata dalla lunghezza del segmento che li unisce) può essere facilmente calcolata utilizzando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti). Ad esempio, considerando i punti P(; 3) e Q(5; 7), si ottiene y(x) y =7 Q D (tra P e Q) = ( 5 ) + (7 3) = = 9 + 16 = 5 = 5 y 1 =3 P 1 0 x 1 = x =5 x 1