Esercizi sui sistemi trifase Esercizio : Tre carichi, collegati ad una linea trifase che rende disponibile una terna di tensioni concatenate simmetrica e diretta (regime C, frequenza 50 Hz, valore efficace 80V), sono costituiti come in figura. Calcolare le potenze attiva e reattiva assorbite dai carichi e, il fattore di potenza del carico = e la capacità necessaria a rifasare a cos Φ = 0.9 l utilizzatore con una terna di condensatori a triangolo. Nota: sullo schema del circuito sono riportati direttamente i valori delle reattanze (ωl) alla 5 Ω 5 Ω 5 Ω P = 8 kw cos φ = 0.9 Q > 0 Soluzione I carichi ed sono, rispettivamente, un carico a triangolo equilibrato di impedenze Z = 4 7 j ed un carico a stella equilibrato di impedenze Z Y = 5 j. Le potenze complesse assorbite sono pari a: N =(80) /(4 7j) = 665 485j P = 6.6 kw, Q = 4.85 kvr N =(0) /(5 j) = 496 00j P = 4. kw, Q = 0. kvr La potenza apparente del carico è N = P /cos φ = 8888 V, quindi la potenza reattiva è pari a Q = (N P ) = 87 VR e, e la potenza complessa è pari a N = 8000 87 j. Per l additività delle potenze, la potenza complessa assorbita dal carico = è pari a N = N N N = 890 905 j. Quindi complessivamente i tre carichi assorbono P = 8.9 kw e Q = 9 kvr con un fattore di potenza pari a: cos Φ = P/ N = P/ (P Q ) = 0.85. parità di potenza attiva assorbita, se il carico avesse un fattore di potenza 0.9 la potenza reattiva assorbita sarebbe Q' = ((P/0.9) P ) = 4 kvr, quindi il banco di condensatori deve assorbire una potenza Q C = Q' Q = 5 kvr. Dato che i condensatori sono a triangolo Q C = ωc V e quindi risulta C =.69 0 5 F 7 µf. Esercizio : Due carichi, collegati ad una linea trifase che rende disponibile una terna di tensioni concatenate simmetrica e diretta (regime C, frequenza 50 Hz, valore efficace 400 V), sono costituiti come in figura (sono indicate le reattanze a 50 Hz). Calcolare: il valore efficace della corrente I, il valore efficace della corrente I R, il fattore di potenza del carico =, e la capacità C Y necessaria a rifasare a cos Φ = 0.9 l utilizzatore = con una terna di condensatori a stella. Suggerimento: visto che la stella è equilibrata ogni fase è soggetta alla corrispondente tensione principale di fase. Si può quindi fare riferimento al circuito equivalente per una fase.
P = kw cos φ = 0.85 Q > 0 Ω I Ω Ω I R I = 9. I R = 7. cos Φ = 0.787 C Y = 4 µf Il carico è un carico a stella equilibrato, pertanto la tensioni sulle tre fasi sono le tensioni principali di fase, con valore efficace E = V/ = 400/ = 0 V e fasi 0, 0 e 0. Si può quindi fare riferimento al circuito equivalente di una fase (E,0 = 0 exp(j0)). I j 40j 0 L impedenza del parallelo è: Z p = 0 (40j)/(040j) = 9.4.4j. Quindi la corrente I è data da: I = 0/(j Z p ) e si ha I = 0/ j Z p = 0/ (9. 6.4 ) = 9.. La corrente I R è data da: I R = V /0 = Z p I/0. Quindi I R = Z p I /0 = 7.87 La potenza complessa assorbita da è pari a: N =(0) /(9. 6.4j) = 4779 408j. La potenza apparente del carico è pari a: N = 000/0.85 = 5 V. Quindi Q = (5 000 ) = 40 VR e N = 000 40j. La potenza complessa assorbita da è pari a: N = N N = 6779 5j. Pertanto cos Φ = P / N = 6779/ (6779 5 ) = 0.787. La potenza apparente del carico rifasato è pari a: N' = 6779/0.9 = 75 V. Quindi Q' = (75 6779 ) = 8 VR e la potenza reattiva che devono assorbire i condensatori è quindi Q C = Q' Q = 8 5 = 09 VR. Infine Q C = ωc Y E, quindi: C Y = Q C /(ωe ) = 09/( 4.6 0 ) = 4.09 0 5 F = 40.9 µf I R 0 Esercizio : Calcolare il fattore di potenza del carico. I carichi sono alimentati da una rete trifase (in C) simmetrica diretta con un valore efficace della tensione concatenata pari a 400 V alla frequenza di 50 Hz. Suggerimento: si noti che i due resistori sono soggetti alla tensione concatenata. 50 Ω 50 Ω P = 0. kw cos φ = 0.5 Q < 0 cos Φ = 0.9
Il carico non è un carico a stella né un carico a triangolo. Si può risolvere, nel dominio simbolico, rappresentando la rete tramite generatori a stella o a triangolo, per dedurre le correnti e le potenze assorbite. Oppure si possono utilizzare le trasformazioni stella-triangolo per determinare un carico equivalente a triangolo la cui soluzione è semplice (ogni impedenza è soggetta ad una tensione concatenata, quindi le correnti e le potenze complesse assorbite sono immediatamente calcolabili). Tuttavia è più semplice notare che, per come è costituito, può essere rappresentato come segue: Il carico quindi è costituito da due resistori soggetti a tensioni concatenate (400 V) ed una stella equilibrata ( reattanze uguali, ωl =., soggette alle tensioni principali di fase 400/ = 0 V) Grazie 50 50 all additività delle potenze in C, la potenza complessa assorbita da è pari a: ( 400) ( 0) N = j = 6400 5054j 50.4 Il carico è ohmico-capacitivo. P = 00 W, N = 00/0.5 = 000 V. La potenza reattiva assorbita è quindi Q = (000 00 ) = 977 VR ed N = 00 977 j. La potenza complessa assorbita è pari a: N = N N = 6700 077j. Quindi cos Φ = P/ N = 6700/ (6700 077 ) = 0.9. Esercizio 4: Calcolare i fattori di potenza del carico, del carico e del carico =. I carichi sono alimentati da una rete trifase (in regime C) simmetrica diretta. Nota: sullo schema del circuito sono riportati direttamente i valori delle reattanze associate agli induttori (ωl) ed ai condensatori (/ωc in modulo) alla 0 Ω 0 Ω 0 Ω Soluzione cos Φ = 0.45 cos Φ = 0.7 cos Φ = 0.84 Il carico è un carico a stella equilibrato, pertanto la tensioni sulle tre fasi sono le tensioni principali di fase, con valore efficace E = V/. L impedenza di ogni fase è Z = 0 0j. Quindi la potenza complessa assorbita da è pari a: N = E /Z* = V /Z* = V /(0 0j) = V (j)/50, da cui P = V /50 ed N = V / 500. E dunque cos Φ = P /N = / 5 = 0.447 (si noti che il valore di V non influisce sul fattore di potenza: come nel caso monofase il cos Φ dipende solo dal carico). Il carico è un carico a triangolo equilibrato, pertanto la tensioni sulle tre impedenze Z = 0 0j sono le tensioni concatenate, con valore efficace V. Quindi la potenza complessa assorbita da è pari a: N = V /Z * = V /(0 0j) = V ( j)/0, da cui P = V /0 ed N = V / 00. E dunque cos Φ = P /N = / = 0.707. Infine la potenza complessa assorbita dai due carichi è pari a: N = N N = V (0.00.04j) V (0.5 0.5j) = V (0.7 0.j). Quindi cos Φ = P/ N = 0.7/ (0.7 0. ) = 0.84. (si noti che ovviamente N = 0.05V = N N N N = 0.0447V 0.V = 0.568V )
Esercizio 5: Calcolare il fattore di potenza del carico illustrato. La rete trifase (in regime C) è simmetrica diretta. Suggerimento: semplificare il circuito notando che i rami delle due stelle sono a due a due collegati in parallelo. cos Φ = 0.8 In figura si rappresenta il carico trifase (nel dominio simbolico) evidenziando i collegamenti in parallelo fra le impedenze. destra è mostrato lo stesso carico in cui si sono sostituiti ai paralleli le impedenze equivalenti. Il carico trifase è quindi costituito da una terna di impedenze a stella dello stesso valore. Il carico è quindi equilibrato e la potenza complessa assorbita è: E E N = = ( j) j 9E E P P =, N = cos Φ = = = 0. 8 N j j j Esercizio 6: Calcolare i valori efficaci delle correnti su ogni fase del carico di figura, le potenze attiva e reattiva assorbite ed il fattore di potenza. La rete trifase con neutro (in C) è simmetrica diretta con un valore efficace della tensione concatenata pari a 80 V alla frequenza di 50 Hz. n 5 Ω Ω I = 8.8 I = 6.9 I = 44 P =. kw Q = 9.7 kvr cos Φ = 0.75 Ogni impedenza del carico è collegata tra una fase ed il neutro. Pertanto sono soggette alle tensioni principali di fase, con valore efficace E = V/ = 80/ = 0 V. Quindi i valori efficaci delle correnti sono: I = 0/ 47j = 0/ (4 7 ) = 8.8, I = 0/ 5j = 0/ ( 5 ) = 6.9, I = 0/ 4j = 0/ ( 4 ) = 44. Grazie all additività delle potenze in C, la potenza complessa assorbita da è pari a N = N N N = 0 /(4 7j) 0 /( 5j) 0 /( 4j) = 00 970j. Quindi P =. kw, Q = 9.7 kvr. Infine cos Φ = P/ (P Q ) = 0.75.
Esercizio 7a: Il circuito in figura è in regime C alla frequenza di 50 Hz. Calcolare modulo e fase (in gradi) della tensione v O e la potenza attiva P assorbita dal carico. 0 0 V O 0 0 V 0 40 V C V O = 4 V v O =.8 P = 4.5 kw 0 I 0 j90.5 I 0 j90.5 I 8 6j 8 6j 8 6j 0 Considerando il circuito equivalente (nel dominio simbolico) si nota che le tensioni impresse dai generatori formano una terna con lo stesso valore efficace e sfasate di 0. Pertanto si possono considerare come tensioni principali di fase, con valore efficace E = 0 V. Dato che le impedenze su ogni fase sono uguali, la tensione tra i centri stella dei generatori e delle impedenze è nulla (è sufficiente applicare il Teorema di Millman). Pertanto i valori efficaci delle correnti sono uguali fra loro: I = I = I = 0/ 86j = 9.5. Il carico è equilibrato e la potenza complessa assorbita è N = (85j) I = 450 760j e dunque P = 4.5 kw. Per determinare V O è sufficiente utilizzare la caratteristica del ramo O: V O = 0 ji La corrente e data da: I = 0/(86j) = 6.8 6.07j. Quindi V O =.9 j 6.8 e modulo e fase sono rispettivamente V O = 4 V, V O =.8. Esercizio 7b: Il circuito di cui sopra rappresenta il circuito equivalente di un generatore sincrono trifase (trascurando le perdite) che alimenta un carico trifase equilibrato. Supponendo che la macchina sia a 4 poli, calcolare l angolo di carico δ e la coppia resistente C e. ω m, C m C e MS C δ =.8 C e = 8.7 Nm L angolo di carico è definito da δ = E 0 V., dove E 0 è la tensione a vuoto e V la tensione sulla fase (stesso verso). In questo caso E 0 = 0 0 V e V = V O = 4.8 V. Pertanto δ = 0 (.8 ) =.8. Dato che l angolo di carico è positivo(δ > 0) la macchina sincrona funziona in effetti da generatore e la coppia elettromagnetica è resistente. La potenza meccanica assorbita all albero dalla macchina quindi viene trasformata in potenza elettrica attiva erogata al carico (a meno delle perdite, che però sono state trascurate). I poli sono 4 quindi p = (numero di coppie). La velocità di rotazione dell albero è: ω m = ω/p = π 50/ = 57 rad/s (ovvero n = (60/π) ω m = 500 rpm). La coppia resistente si può determinare tramite il bilancio di potenza (C e ω m = P da cui C e = P /ω m = 8.7 Nm) oppure utilizzando la relazione C e = (p/ω)(ve 0 /X s ) senδ = (/57)(4 0/) sen(.8 ) = 8.7 Nm.