Definizione della funzione di secondo grado 1 Funzioni di secondo grado 1 Definizione della funzione di secondo grado f: R R, = a +b +c dove a, b, c ǫ R e a definisce una funzione di secondo grado. A seconda dei valori di a, b e c si distinguono alcuni casi che passiamo ora in rassegna. 1.1 La funzione = a (b=, c = ) Rappresentiamo nel piano cartesiano le seguenti funzioni: f()= g()=3 h() = 1 3 i() = 3, 1, 1,, 1 1,, 3 f()= 9 6, 4, 1,, 1, 4 6, 9 g()= 7 18, 7 1 6, 7 3, 7, 7 3 6, 7 1 18, 7 7 h()= 3, 8 1, 33, 7, 33, 8, 8, 33, 7 1, 33, 8 3 i()= 18 1, 8 4,,, 4, 8 1, 18 Funzione =a² 1 Funzioni =² =3² =1/3² = ² 3 1 1 3 1 Il grafico di una funzione di secondo grado si chiama parabola; nel nostro caso particolare è anche simmetrico rispetto all asse delle. Osservando il grafico delle funzioni considerate nell esempio, quali relazioni vedi tra il valore di a e i grafici delle funzioni?
Sezione 1 1. La funzione = a + c (b = ) Rappresentiamo nel piano cartesiano le seguenti funzioni: f()= 1 4 g()= 1 4 + h()= 1 4 + i()= 1 4 3 Funzione =a²+c 1 8 6 Funzioni =1/4² =1/4²+ =1/4² 3 =1/4²+ 4 4 4 4 I grafici di g, h e i sembrano essere ottenuti mediante traslazione del grafico di f lungo una direzione parallela all asse O. Il valore di c sta ad indicare se la traslazione è verso l alto o verso il basso e di quante unità. 1.3 La funzione = a + b + c dove a, b, c Rappresentiamo nel piano cartesiano le funzioni f()= + 3 + g()= + 4 8 h()= 1 +3 i()=3 +1 Funzione =a²+b+c 1 1 Funzioni = ²+3+ = ²+4 8 =1/² +3 =3² +1 4 4 6 1 1
Definizione della funzione di secondo grado 3 1.3.1 Elementi importanti: Se a >, la parabola è rivolta verso l alto Se a <, la parabola è rivolta verso il basso. Consideriamo una parabola che interseca l asse in due punti distinti e partiamo con un esempio: la funzione f()= 1 1 1 Calcoliamo i punti di intersezione con l asse O Funzione =1/² 1/ 1 6 4 3 1 4 3 1 1 1 3 4 L asse di simmetria passa a metà tra i due punti, dunque possiamo calcolare il punto medio. Il valore di del vertice della parabola corrisponde al valore di del punto medio. Si può trovare l ordinata del vertice per sostituzione. 1.3. Osservazioni sulle caratteristiche delle funzioni di secondo grado: Si tratta di determinare P 1 ( 1 ; ) e P ( ; ) i due punti d intersezione della parabola con l asse dove =b 4ac. Ricordando la formula risolutiva di secondo grado si avrà: P 1 =( b ; ) e P = ( b+ ; ) L asse di simmetria (e quindi anche l ascissa del vertice) passa a metà tra i due punti, dunque possiamo calcolare il punto medio: M = 1 + = b + + b = b L ordinata del vertice invece si trova per sostituzione: = a( b ) + b( b b )+c=a b + c = b +4ac 4a 4a 4a Il vertice della parabola è V ( b ; 4a ) dove =b 4ac L asse di simmetria della parabola è la retta di equazione = b [ ] oppure V b ; f( b )
4 Sezione 1 Esercizio 1. Determina il vertice e l asse di simmetria della parabola di equazione = + 4 [V ( 1;), = 1] Esercizio. Considera la parabola di equazione = + 3. Qual è il suo vertice? E l asse di simmetria? V [(1;), =1] 1.4 Come rappresentare graficamente una parabola Esempio: rappresenta graficamente la parabola di equazione = +4 Per disegnare una parabola di equazione = a +b+c è importante: analizzare il segno del coefficiente a: se a >, la parabola è rivolta verso l alto; se a <, la parabola è rivolta verso il basso. calcolare il discriminante della parabola: =b 4ac calcolare le coordinate del vertice V e l equazione dell asse di simmetria. Il vertice V (; ) è il punto d incontro della parabola f con il suo asse di simmetria s; è l unico punto della parabola che non ha corrispettivi punti simmetrici. Se la parabola è rivolta verso l alto V è un minimo, se la parabola è rivolta verso il basso V è un massimo. calcolare le intersezioni con gli assi cartesiani O e O. Per O si pone = e si risolve trovando. Per O si pone = e si risolve l equazione di secondo grado, facendo attenzione al fatto che ci possono essere, 1 o soluzioni a seconda del valore del discriminante. Disposizione della parabola in base al segno di di a: Segno di a > < = a > a < Esercizio 3. Esercizio: rappresenta graficamente e separatamente le parabole di equazione: f()= + g() = + 9 h()=3 + 6 i()= + 4 4 [ = 16 V (1; 4), = 36 V (;9), = 36 V ( 1; 3), = V (; )]
Intersezioni di una retta e di una parabola. Intersezioni di una retta e di una parabola. Siano r: =m + q una retta e p: = a + b + c una parabola. Chiediamoci quali posizioni possono avere reciprocamente tali curve..1 Primo caso: La retta e la parabola non hanno alcun punto comune e la retta è esterna alla parabola. Algebricamente si traduce nel fatto che il seguente sistema di secondo grado non ha alcuna soluzione reale. Esempio 1: risolvi il sistema r()= 3 1 e p() = +1 1 1 3 1 1 3 4 1 1 ² +1 3 1. Secondo caso: La retta e la parabola hanno un solo punto in comune e la retta è tangente alla parabola. In questo caso il sistema ha una e una sola soluzione. Esempio : risolvi il sistema r()= 3 1 e p() =9 9 1 1 1.. 1 1. 1 9² 9 3 1.3 Terzo caso: La retta e la parabola hanno due punti in comune e la retta è secante alla parabola. In questo caso il sistema di secondo grado (*) ha due soluzioni. Esempio 3: risolvi il sistema r()=+1 e p()= 4 + 1 4 3 1 1 4 6 8 1 1 14 4 ² 4+1 *+1
6 Sezione 3 Esercizio 4. Data la parabola di equazione = + e date le rette: l: = r: = s: = 4 Disegna un grafico appripriato riportando tutte le funzioni in questione. Determina se ogni retta sia esterna, tangente o secante alla parabola. Determina gli eventuali punti di intersezione. [(; ),( 4; 8)/(; )/?] 3 Problemi di massimo e di minimo Esempio 1. Un rettangolo possiede le seguenti dimensioni: AB = BC =. Determina la sua area. Per quali valori di l area diventa massima? Esempio. La somma di due numeri reali, uno dei quali è ( ), è 1. Trova la funzione p() che esprime il prodotto dei due numeri. Determina poi il valore massimo di p(). 3.1 Esercizi sui problemi di massimo e minimo Esercizio. Trova due numeri positivi che hanno somma 1, in modo che il loro prodotto sia massimo. [, ] Esercizio 6. Trova due numeri reali che differiscono l uno dall altro di 16, in modo che il loro prodotto sia 16. [ 8,+8] Esercizio 7. Se un oggetto viene lanciato da terra verso l alto in linea retta, con una velocità iniziale di 9.4 metri al secondo, la sua altezza in metri, dopo t secondi, sarà data, trascurando la resistenza dell aria, dalla formula h(t) = 9.4t 4.9t. Determina l altezza massima dell oggetto e l istante t in cui cadrà di nuovo al suolo.[44.1m, 3s] Esercizio 8. Supponi che la distanza d, in chilometri, che un automobile può coprire con un pieno di benzina, viaggiando alla velocità di v chilometri orari, sia data dalla formula d = 1v ( v 4 ). Quale velocità rende massima la distanza d e di conseguenza minimo il consumo di carburante? [96 km h ] Esercizio 9. Un agenzia per il noleggio di auto noleggia 3 auto al giorno alla tariffa giornaliera di 4 CHF. Ad ogni aumento della tariffa di 1 CHF corrisponde un calo di auto nel noleggio. A quale tariffa giornaliera dovrebbero essere noleggiate le auto per avere il massimo guadagno? [ CHF] Esercizio 1. Un agenzia immobiliare dà in affitto tutti gli 8 appartamenti di uno stabile a 1 CHF al mese (per ciascun appartamento). Ad ogni aumento dell affitto di 4 CHF, corrisponde una partenza da un appartamento. Ogni appartamento libero comporta una spesa per l agenzia di 6 CHF al mese per tasse e manutenzione, mentre il costo mensile per tasse, servizi, manutenzione e acqua di uno di quelli occupati ammonta a 6 CHF al mese. Che affitto dovrebbe pretendere l agenzia per avere il massimo profitto? [ CHF]