Funzioni Pari e Dispari

Una funzione f : R R si dice Funzioni Pari e Dispari PARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse DISPARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all origine ESEMPI: f() = 2, f() = 2n, f() = funzioni pari f() =, f() = 2n+1, f() = 1 funzioni dispari = f() f() = f() f() - - f() -

Potenze con Esponente Intero Positivo = f() = 2 = g() = 3 f : R R + funzione pari g : R R funzione dispari Il grafico di n è qualitativamente simile a quello di 2 se n è pari o a quello di 3 se n è dispari.

Radici Consideriamo il problema dell invertibilità della funzione potenza f() = n con n N {0}. Se n = 1, la funzione f() = è l identità, con inversa uguale a se stessa. Se n = 2, f : R R, f() = 2 non è invertibile, ma lo è da [0,+ ) in [0,+ ). Chiamiamo radice quadrata la sua inversa: f 1 : [0,+ ) [0,+ ), f 1 () =. = In generale, se n è pari, la funzione f() = n è invertibile da [0,+ ) in [0,+ ). Chiamiamo l inversa radice n-sima n definita da [0,+ ) in [0,+ ).

Radici Se n = 3, f : R R, f() = 3 è invertibile. Chiamiamo radice cubica la sua inversa: f 1 : R R, f 1 () = 3. = 3 In generale, se n è dispari, la funzione f() = n è invertibile da R in R. Chiamiamo radice n-sima n definita da R in R.

Funzioni Potenza Potenze ad esponente intero: se n N, f() = n è definita per ogni R; se l esponente è un intero negativo, f() = n = 1 n definita per ogni 0. Potenze ad esponente razionale: per m Z e n N {0} f() = m n = n m definita per ogni > 0. Potenze ad esponente reale: per estensione si può definire la potenza ad esponente reale: b R f() = b definita per ogni > 0 (resta indefinito 0 0!!!)

Grafico di f() = b con b R b>1 1 0< b < 1 1 = f() = b per b > 0 f : (0,+ ) (0,+ ) = f() = b per b < 0 f : (0,+ ) (0,+ )

Ancora sulle Potenze Polinomi: con operazioni di somma e prodotto si costruiscono i polinomi, cioè le funzioni del tipo: P n () = a 0 +a 1 +a 2 2 + +a n 1 n 1 +a n n. P n è detto polinomio di grado n. Funzioni Razionali: facendo il quoziente di due polinomi P e Q si ottengono le funzioni razionali, del tipo: R() = P() Q() definita su { R : Q() 0}. Come caso particolare ritroviamo le funzioni potenza con esponente intero: f() = n = 1 n definita su R {0}.

Campo di Esistenza Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f. Esercizio 1. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = 9+2. Soluzione: R Esercizio 2. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = 2+. Soluzione: affinché le due radici abbiano significato, i radicandi devono essere entrambi non negativi: 2 0 e 0, cioè 2 e 0. Segue che la funzione non è definita per alcun valore di.

Campo di Esistenza Esercizio 3. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = 9 2 2 4. Soluzione: il denominatore deve essere diverso da zero, cioè 2 e 2. L argomento della radice quadrata deve essere non negativo, cioè 9 2 0 e quindi 3 3. Dunque il campo di esistenza è [ 3, 2) ( 2,2) (2,3]. Esercizio 4. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = 2 1 3 +3. Soluzione: l unica condizione da imporre è che il denominatore sia diverso da 0. Quindi il campo di esistenza è R { 3}.

Funzione Esponenziale 1 1 f : R (0,+ ), f() = a con a > 1 a 0 = 1, a 1 = a a > 0 R strettamente crescente: 1 < 2 a 1 < a 2 se tende a +, a tende a + se tende a, a tende a 0 f : R (0,+ ), f() = a con 0 < a < 1 a 0 = 1, a 1 = a a > 0 R strettamente decrescente: 1 < 2 a 1 > a 2 se tende a +, a tende a 0 se tende a, a tende a + PRPRIETÀ DELL ESPNENZIALE: a a = a + (prodotto), (a ) = a (composizione), a = 1 a (reciproco).

Funzione Logaritmo La funzione esponenziale f : R (0,+ ), f() = a è strettamente monotona e suriettiva, quindi invertibile. f 1 : (0,+ ) R, f 1 () = log a log a = a = logaritmo in base a di 1 1 = log a con a > 1 = log a con 0 < a < 1

Proprietà del Logaritmo Il logaritmo log a è l esponente a cui bisogna elevare la base a per ottenere. a log a = per ogni > 0 log a 1 = 0, log a a = 1 log a ( 1 2 ) = log a 1 +log a 2 per ogni 1, 2 > 0 log a ( 1 2 ) log a ( b ) = b log a = log a 1 log a 2 per ogni 1, 2 > 0 cambio di base: log b = log a log a b per ogni > 0 e b R per ogni > 0 e a,b > 0

Il ph Acidi e sali in soluzioni acquose formano ioni di idrogeno. La concentrazione di questi ioni permette di quantificare il grado di acidità o alcalinità della soluzione. Il punto di riferimento è l acqua pura a 25 gradic, in cui si hanno 10 7 moli/l di ioni. Si parla di: soluzioni acide, se la concentrazione di ioni è maggiore di 10 7 soluzioni basiche o alcaline, se la concentrazione di ioni è minore di 10 7 soluzioni neutre, se la concentrazione di ioni è pari a 10 7 Si definisce ph ph = log 10 H + dove H + è la concentrazione di ioni idrogeno.

Il ph Esercizio sostanza ph acqua pura 7 sangue 7.4 pioggia 6.5 Il ph della pioggia e quello del sangue differiscono di poco; tuttavia, da cui H + pioggia = 10 6.5, H + sangue = 10 7.4, H + pioggia H + sangue = 10 0.9 8, cioè la concentrazione di ioni nella pioggia è circa 8 volte quella del sangue. Esercizio. Verificare che la concentrazione di ioni idrogeno nel sangue è circa il 40% di quella nell acqua.

Esercizi 1. Sapendo che log 10 2 0,30103 e che log 10 e 0,43429, calcolare i valori di log 10 4, log 10 1 5, ln2. Soluzione: basta notare che log 10 4 = log 10 2 2 = 2log 10 2, log 10 1 5 = log 10 2 10 = log 10 2 log 10 10 = log 10 2 1, ln2 = log 102 log 10 e. 2. Determinare le costanti α e β in modo che il grafico della funzione f() = αe β passi per i punti (0,5) e (4,15). Soluzione: poiché f(0) = α, si ha immediatamente che α = 5. Si ottiene quindi che f(4) = 5e 4β = 15, da cui e 4β = 3, cioè β = 1 4 ln3.

Esercizi 3. Determinare l insieme dei valori di per cui risulta log 10 (2+3) < 1. Soluzione: l argomento del logaritmo deve essere positivo, cioè 2+3 > 0. Inoltre, per la stretta monotonia dell esponenziale la condizione log 10 (2+3) < 1 è equivalente a 2+3 < 10. Pertanto, l insieme cercato è ( 3 2, 7 2 ). 4. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = log 10 ( 2 5+6). Soluzione: l argomento del logaritmo deve essere positivo, cioè 2 5+6 > 0, quindi il campo di esistenza è (,2) (3,+ ).

Esercizi 5. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = log 10 ( 2 5+7). Soluzione: l argomento del logaritmo deve essere positivo, cioè 2 5 + 7 > 0. L argomento della radice quadrata deve essere non negativo, cioè log 10 ( 2 5+7) 0, quindi 2 5+7 1. La seconda condizione contiene anche la prima. Quindi, il campo di esistenza è (,2] [3,+ ). 6. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = e 1. Soluzione: l argomento della radice quadrata deve essere non negativo, cioè e 1 0 e quindi 0. Il campo di esistenza è [0,+ ).

Esercizi 1. Date le funzioni f() = e e g() = ln( 2), (a) dire quanto vale f g e qual è il suo insieme di definizione; (b) dire quanto vale g f e qual è il suo insieme di definizione. Soluzione: (f g)() = e ln( 2) = 2 definita per > 2. (g f)() = ln(e 2) definita per > ln2. 2. Date le funzioni f() = 3 e g() = ln, (a) dire quanto vale f g e qual è il suo insieme di definizione; (b) dire quanto vale g f e qual è il suo insieme di definizione. Soluzione: (f g)() = (ln ) 3 definita per > 0. (g f)() = ln( 3 ) definita per < 0.

Esercizi 3. Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni 4. Date le funzioni f() = 2 5 3 5 ; f() = 4e1. f() = ln( 1), g() = 1+, scrivere le espressioni di f g e g f, precisandone il dominio di definizione. 5. Date le funzioni f() = ln( 1), g() = 2, scrivere le espressioni di f g e g f, precisandone il dominio di definizione.

Traslazioni c > 0 f () + c f () f (+k) f () f (+k) f () + c c < 0 k > 0 k < 0 Traslazioni verticali: = f()+c traslazione verticale verso l alto se c > 0, verso il basso se c < 0 Traslazioni orizzontali: = f(+k) traslazione orizzontale verso sinistra se k > 0, verso destra se k < 0 Esercizio: disegnare il grafico delle funzioni = 1+ln, = 3, = e +1, = 2 1, = ln( 1), = +2, = e +3

= f ( ) Riflessioni = f ( ) = f ( ) = f ( ) Riflessione rispetto all asse : = f() i punti di intersezione con l asse restano invariati Esercizio: disegnare il grafico di =, = 1, = ln 1 = ln Riflessione rispetto all asse : = f( ) i punti di intersezione con l asse restano invariati Esercizio: disegnare il grafico di = e, =

Dilatazioni c > 1 f (k ) f () f (k ) c f () k > 1 f () 0 < k < 1 0 < c < 1 c f () Cambio di scala sull asse : = c f() compressione per 0 < c < 1, dilatazione per c > 1 Esercizio. Disegnare i seguenti grafici: = 1 2 2, = log 3 = 3log, = 5e Cambio di scala sull asse : = f(k ) dilatazione per 0 < k < 1, compressione per k > 1 Esercizio. Disegnare i seguenti grafici: = 1 3, = 2, = e 2

= f ( ) Valore Assoluto = f ( ) = f() = f() se f() 0, f() se f() < 0 (riflessione) Nota: gli zeri della funzione restano invariati Esercizio: disegnare il grafico di = 2+1, = 3, = log

Esercizi 1. Tracciare il grafico qualitativo della funzione f() = 1 2 per 0, 1 per > 0. Determinare gli eventuali punti e valori di massimo e minimo assoluti e relativi per (,4]. 2. Tracciare il grafico qualitativo della funzione f() = 2 1 per 1, ln per > 1. Determinare gli eventuali punti e valori di massimo e minimo assoluti e relativi per R.

Esercizi 3. Tracciare il grafico qualitativo della funzione f() = 2 per 2, ln( 1 2) per > 2. Determinare gli eventuali punti e valori di massimo e minimo assoluti e relativi per [ 3,+ ). 4. Tracciare il grafico qualitativo della funzione f() = 1 4 2 per 1 2, ln(2) per > 1 2. Determinare gli eventuali punti e valori di massimo e minimo assoluti e relativi per [ 1,+ ).

Esercizi 5. Tracciare il grafico qualitativo della funzione f() = 2 per 1, ln per > 1. Determinare gli eventuali punti e valori di massimo e minimo assoluti e relativi per [ 2,+ ).