Teoria dei Sistemi e Controlli Automatici M 3 marzo 23 Figura : Prototipo di quadrirotore. Modello del Velivolo Si fissi un sistema di riferimento inerziale F i = {O i, i i, j i, k i } ed un sistema di riferimento solidale al corpo del velivolo F b = {O b, i b, j b, k b }. La dinamica del velivolo rispetto al sistema di riferimento inerziale può quindi essere descritta mediante le equazioni di Newton-Eulero (corpo rigido) M p = T Re 3 + Mge 3 + w wind e 2 Ṙ = RSkew(ω) () J ω = Skew(ω)Jω + τ b
dove T è la spinta verticale, τ b il vettore delle coppie applicate al corpo, M è la massa del veicolo, J la matrice di inerzia, g l accelerazione di gravità, w wind un disturbo che simula il vento, p = col(x, y, z) la posizione del centro di massa, ω la velocità angolare espressa nel sistema di riferimento solidale al corpo rigido ed R la matrice di rotazione fra i due sistemi di riferimento. Mediante la notazione Skew(col(x, x 2, x 3 )) si vuole indicare la matrice antisimmetrica data dalle righe (in ordine) [, x 3, x 2 ], [x 3,, x ] e [ x 2, x, ] mentre e, e 2, e 3 rappresentano i tre versori: e =, e 2 =, e 3 = La matrice di rotazione R, che mappa vettori nel frame F b in vettori nel frame F i, verrà parametrizzata mediante gli angolo di Eulero Θ ψ := col(φ, θ, ψ). In particolare R viene definita come R = R z R y R x dove R x = ottenendo C φ S φ S φ C φ R =, R y = C θ S θ S θ C θ, R z = C ψ C θ S ψ C φ + C ψ S θ S φ S φ S ψ + C φ S θ C ψ S ψ C θ C φ C ψ + S φ S θ S ψ C ψ S φ + S ψ S θ C φ S θ C θ S φ C θ C φ C ψ S ψ S ψ C ψ dove si è indicato per compattezza con S α = sin α e C α = cos α. La cinematica è quindi data da Θ ψ = Q(φ, θ)ω (2) dove Q(φ, θ) = S φ T θ C φ T θ C φ S φ S φ /C θ C φ /C θ. Generazione delle Forze e delle Coppie Per il tipo di velivolo considerato sono presenti quattro ingressi di controllo, cioè le quattro spinte dei motori T i che si rimappano negli ingressi generalizzati T, τ b dove τ x τ b = τ y τ z In particolare per un quadrirotore come in figura 2 le forze e le coppie possono essere espresse come [ ] T T = d d d d T 2 τ b d d d d T 3 K tm K tm K tm K tm T 4 2
Figura 2: Configurazione del quadrirotore. con d = d cos(π/4), d la distanza dei motori dal centro di gravità (uguale per tutti) e K tm una costante che relaziona la spinta del motore con la coppia che induce sulla struttura (coppia di reazione) τ r i = K tmt i..2 Parametri del sistema Il valore dei parametri del sistema è dato nella tabella. J = diag(8.2 8.2 6.4) 3 kg m 2 M = kg d =.3 m K tm =.26 g = 9.8 m/s 2 Tabella : Parametri fisici del sistema. 3
.3 Sintesi della legge di controllo.3. Equilibrio Si vuole sintetizzare una legge di controllo per stabilizzare il velivolo in hovering (volo stazionario). Ciò significa stabilizzare il sistema nell intorno del punto p = p ṗ = φ = θ = ψ = ψ := (3) dove p e ψ sono la posizione e l orientamento della prua del velivolo (heading) desiderati. Per semplicità è stato scelto ψ = ovvero si richiede che l asse x del velivolo sia allineato con quello del sistema inerziale F i. Si verifichi quindi che il punto (3) è un equilibrio del sistema () per la scelta degli ingressi data da T = T := Mg τ x = τx := τ y = τy (4) := τ z = τz :=.4 Controllo dell assetto del velivolo La cinematica dell assetto è data da: φ S φ T θ C φ T θ θ = C φ S φ ψ S φ /C θ C φ /C θ Nell intorno della condizione di hovering (3) è possibile considerare le seguenti approssimazioni w x w y w z S φ φ, C φ, S θ θ, C θ,. e quindi ottenere φ θ ψ = w x w y w z Per semplicità si denota quindi con [φ, θ, ψ ] T e [φ 2, θ 2, ψ 2 ] T rispettivamente il vettore delle posizioni e velocità angolari, riscrivendo la dinamica dell assetto 4
come φ = φ 2 θ = θ 2 J φ 2 θ 2 ψ 2 ψ = ψ 2 = + τ x τ y τ z ψ 2 θ 2 ψ 2 φ 2 θ 2 φ 2 J φ 2 θ 2 ψ 2 + (5).4. Controllo della posizione del velivolo Possiamo scrivere la dinamica della posizione p e ṗ come ẋ = x 2 Mẋ 2 = (S φ S ψ + C φ S θ C ψ )T ẏ = y 2 Mẏ 2 = ( C ψ S φ + S ψ S θ C φ )T + w wind ż = z 2 Mż 2 = (C φ C θ )T + Mg (6) dove la posizione p e la velocità ṗ sono state denotate rispettivamente con [x, y, z ] T e [x 2, y 2, z 2 ] T. Nell intorno della condizione di hovering (3) è possibile considerare le seguenti approssimazioni S φ φ, C φ, S θ θ, C θ, S ψ ψ, C ψ e quindi riscrivere la (6) come ẋ = x 2 Mẋ 2 = (φψ + θ)t ẏ = y 2 Mẏ 2 = ( φ + ψθ)t + w wind ż = z 2 Mż 2 = T + Mg (7) 5
2 Progetto da sviluppare 2. Specifiche Si supponga che le misure disponibili per il controllo, corrotte da disturbi, siano la pozione p e l assetto Θ ψ (angoli di Eulero) del velivolo, ovvero dove y(t) = x(t) + v x (t) y(t) + v y (t) z(t) + v x (t) φ(t) + v φ (t) θ(t) + v θ (t) ψ(t) + v ψ (t) v x, v y, v z processi stocastici stazionari bianchi con varianze σ 2 p =.3 m 2 v φ, v θ, v ψ processi stocastici stazionari bianchi con varianze σ 2 p =.2 rad w wind processo stocastico stazionario a valor medio nullo correlato esponenzialmente con costante di tempo di correlazione τ w = 5s e varianza σ 2 w = N Si progetti un controllo automatico che agisca sull ingresso del quadrirotore al fine di posizionare il velivolo ad una certa posizione x, y, z costanti, mantenendo un certo angolo ψ = ψ star := con sovralengoazioni/sottoelongazioni massime del velivolo rispetto alla posizione iniziale / finale di. m sulla posizione e. rad sull angolo ψ. Si vogliono mantenere inoltre limitati ( 35 ) i massimi valori raggiunti dagli angoli φ e θ. Si esegua il progetto al fine di rendere il più piccolo possibile il tempo di esecuzione della manovra considerando concluso il transitorio quando l errore di posizionamento del velivolo è.7 m. Si consideri un progetto di controllo in cascata mediante la sintesi di due loop distinti: l inner loop (loop interno) è dato dalla dinamica di assetto (5) mentre l outer loop (loop esterno) è dato dalla dinamica di posizione (7). Ciò significa che per il progetto dell outer loop si possono considerare φ, θ e ψ come ingressi di controllo (virtuali), ovvero (6) viene considerato come un sistema avente stato x = [x, x 2, y, y 2, z, z 2 ] T e ingressi u = [T, φ, θ, ψ] T 6