LIMITI E DERIVATE DI UNA FUNZIONE INTRODUZIONE In generale, abbiamo un idea chiara del significato di pendenza quando viene utilizzata in contesti concernenti l esperienza quotidiana, ad esempio quando parliamo della pendenza di una strada. Tale concetto indica semplicemente la variazione nella distanza verticale associata ad una data variazione nella distanza orizzontale lungo la strada. Se, ad esempio, diciamo che una determinata strada ha una pendenza di a 5, vogliamo indicare che ogni 5 metri percorsi in direzione orizzontale, l altezza della strada sul livello del mare aumenta di metro. Tale definizione di pendenza è valido anche quando parliamo della pendenza di una funzione. Precisamente la pendenza del grafico di una funzione è la variazione misurata verticalmente associata ad una data variazione della distanza orizzontale lungo il grafico della funzione e, in generale, può essere espressa come: variazione nella distanza verticale pendenza = variazionenella distanza orizzontale Dunque, per una funzione della forma f ( ), la pendenza tra i valori di da a è: f ( ) f ( ) variazionenella distanza verticale o anche: = variazione nella distanza orizzontale y y variazione nella distanza verticale = variazione nella distanza orizzontale dove f ( ) indica il valore della funzione f ( ) quando è = ed ( ) funzione f ( ) quando è della funzione f ( ), invece del termine pendenza della funzione f ( ), ovvero: Esempio Consideriamo la funzione f indica il valore della =. Di solito, però, si utilizza l espressione rapporto incrementale pendenza = rapporto incrementale y f = = e supponiamo di voler calcolare il suo rapporto incrementale tra = ed =. In primo luogo, calcoliamo i valori della y corrispondenti alle date: - per = otteniamo y = = - per = otteniamo y = = 6 Applicando adesso la formula del rapporto incrementale, otteniamo: y y 6 = = = 6
Dunque, per compreso tra e, per ogni unità di variazione della, la y varia, in media, di 6 unità, come illustrato da seguente grafico: 6 La misura ottenuta, quindi, rappresenta la pendenza della retta che passa per i punti (,6 ) e (, ) e non la variazione effettiva di f ( ) in risposta alle variazione di, per la curva considerata. Per sviluppare, pertanto, in maniera più precisa, la variazione di y rispetto ad, occorre introdurre il concetto di derivata di una funzione, basato, a sua volta, sul concetto di tangente e di limite. TANGENTE Consideriamo una curva del piano ed un suo punto b. Allora, tra tutte le possibili rette passanti per b ne esiste una privilegiata che meglio di tutte le altre approssima l andamento della curva in corrispondenza dei punti di essa prossimi a b. b
Tale retta è appunto la retta tangente alla curva nel punto b. In generale tale retta ha in comune con la curva un solo punto, proprio il punto b. Chiameremo inclinazione o direzione della curva nel punto b l inclinazione della retta tangente condotta per b. LIMITI Tratteremo solo gli aspetti fondamentali di tale concetto. f converge verso il limite l se, al variare di, in qualche modo Si dice che una funzione definito, la funzione si avvicina costantemente ad un fissato valore l; più precisamente, f ( ) può rendersi arbitrariamente prossima ad l a patto di scegliere convenientemente. Esempio La funzione: y = 0 si avvicina al valore 0 quando assume valori sempre più grandi, come si evince dalla seguente tabella: y 0 0 9,9 00 9,99 e dal seguente diagramma: y = 0 asintoto orizzontale Tuttavia, non tutte le funzioni convergono verso un limite finito quando assume valori sempre maggiori, come illustrato nella funzione precedente. Ad esempio, la funzione: che rappresenta proprio la parabola passante per l origine con concavità rivolta verso l alto, cresce indefinitamente all aumentare di ; in tal caso, quindi, diremo che y tende all infinito, cioè cresce indefinitamente, quando tende all infinito. 3
È importante sottolineare che, in entrambi i casi, non specifichiamo quale valore y assume quando è uguale all infinito, ma qual è il comportamento di y quando si avvicina all infinito. La notazione che utilizziamo per indicare che y tende verso qualche limite, che può essere anche infinito, è una freccia; lo stesso dicasi anche per la. Quindi, l esempio precedente può essere scritto nel modo seguente: 0 0 quando o, più brevemente: lim 0 = 0 DERIVATA Utilizzando il concetto di tangente e di limite possiamo ora definire la derivata di una funzione. In primo luogo cerchiamo di chiarire tale concetto attraverso un diagramma per poi definirlo algebricamente senza, però, fornire alcuna dimostrazione matematica. Consideriamo la funzione: f ( ) e la retta r tangente alla curva nel punto P, f ( ) P (, f ) =. Consideriamo ora una seconda retta s che interseca la curva nei punti P =, f ( ) e =, precisamente una corda della curva data. La pendenza della retta s fornisce proprio il rapporto incrementale della funzione tra ed. Se poi consideriamo una serie di corde tra r ed s, per incrementi sempre più piccoli della (ovvero se facciamo avvicinare, o tendere, ad ), otteniamo una serie di rette che intersecano il grafico P, f P =, f. della funzione nei punti = e f ( ) s P r P
Come si evince dal grafico precedente, al diminuire dell incremento in, la corda risultante si avvicina sempre più alla posizione della retta tangente r; in altre parole, la corda s si avvicina alla tangente r quando diminuisce l incremento in. Dunque, quando l incremento in tende a zero, la corda tende a coincidere con la tangente, ovvero l inclinazione della corda tenderà verso l inclinazione della tangente. Poiché il rapporto incrementale precedentemente definito non è altro che l inclinazione della corda passante per i punti P = (, f ( ) ) e P = (, f ( ) ), allora, quando si avvicina sempre più ad, cioè quando ( ) precisamente: tende a zero, l espressione del rapporto incrementale si avvicina al limite, lim ( ) 0 f f = l P =, f. che rappresenta proprio l inclinazione della tangente nel punto Definiremo tale limite come la derivata prima della funzione f ( ) e la indicheremo con una della seguenti notazioni: dy D( y ) oppure y ' oppure oppure f '( ) d La derivata viene interpretata, quindi, come il limite cui si avvicina il rapporto incrementale quando l incremento in tende a zero e, nel diagramma, tale limite è rappresentato dall inclinazione della tangente nel punto P. 5