Misure SI Stefano Brocchi stefano.brocchi@unifi.it Stefano Brocchi Misure SI 1 / 48
Programma del corso Teoria delle misure Informatica: uso di database Visita ai laboratori Stefano Brocchi Misure SI 2 / 48
Programma del corso Programma su http://www.dsi.unifi.it/users/brocchi/corso misure.php Contatto docente: stefano.brocchi@unifi.it Verifica scritta parziale durante il corso Esame: un appello da definire, oppure insieme agli esami di informatica Stefano Brocchi Misure SI 3 / 48
Definizione di misura Misurare una grandezza vuol dire trovare il suo rapporto con un altra misura omogenea, in genere l unità di misura Stefano Brocchi Misure SI 4 / 48
Definizione di misura Necessario definire un criterio per l esecuzione pratica della misura stessa Spesso è necessario definire accuratamente le condizioni ambientali Esempio: misurando la lunghezza di una sbarra metallica, questa varierà a seconda della temperatura dell ambiente Le misure inoltre devono riferirsi ad una ben definita unità di misura Necessaria la definizione di unità di misura universali, precise e la cui grandezza sia replicabile Stefano Brocchi Misure SI 5 / 48
Errori di misura Ogni misurazione conterrà un errore, in quanto la precisione di qualsiasi strumento di misurazione è finita E importante capire quanto possa essere grande questo errore Dovendo eseguire calcoli su misure con errori, questi si propagano di risultato in risultato Errori inizialmente piccoli possono portare ad errori grandi sul risultato finale Stefano Brocchi Misure SI 6 / 48
Tipi di misura Occorre distinguere due diversi tipi di misura: quella diretta ed indiretta Si parla di misura diretta quando la quantità da misurare viene quantificata direttamente tramite uno strumento Es. misurare la lunghezza di una sbarra metallica con un metro Si parla di misura indiretta quando questa è calcolata tramite altre misure Es. per misurare l altezza di un palo, si potrebbe misurare la lunghezza della sua ombra ad una determinata ora del giorno e tramite trigonometria calcolare la sua altezza Stefano Brocchi Misure SI 7 / 48
Unità di misura Pensando a varie misure, possiamo pensare a tantissime diverse unità di misura Chilo, metro, ora, caloria, cavallo, watt, grado, litro E importante che tutte queste unità di misura non siano indipendenti, ma una in funzione dell altra Stefano Brocchi Misure SI 8 / 48
Unità fondamentali Di fatto, a partire da un numero limitato di unità di misura fondamentali, è possibile definire tutte le altre Per quanto riguarda le unità di misure meccaniche, sono sufficienti 3 unità di misura fondamentali: il kilo, il metro ed il secondo Relative a tre diverse dimensioni: la massa, la lunghezza ed il tempo Sistema detto MKS (metro kilo secondo), in contraposizione al sistema [CGS] (centrimetro, grammo, secondo) Stefano Brocchi Misure SI 9 / 48
Unità fondamentali Qualsiasi grandezza meccanica può essere espressa come combinazione di queste misure Le dimensioni di una lunghezza di possono esprimere tramite la notazione con parentesi quadre: [l a m b t c ] dove a, b, c quantificano gli esponenti delle tre dimensioni Esempio: la velocità si può misurare in metri al secondo (m/s), quindi [V] = [l 1 t 1 ] Ancora: per una superficie S, misurabile in metri quadrati, varrà [S] = [l 2 ] Stefano Brocchi Misure SI 10 / 48
Unità fondamentali Le unità fondamentali, comprensive di quelle non meccaniche, in tutto sono 7: Il metro per la lunghezza Il kilogrammo per la massa Il secondo per il tempo L ampere per la corrente elettrica Il kelvin per la temperatura La candela per l intensità luminosa La mole per la quantità di sostanza Queste misure sono definite dal Sistema internazionale di unità di misura (abbreviato in: SI) Stefano Brocchi Misure SI 11 / 48
Unità fondamentali Le definizioni delle unità di misura sono cambiate con il tempo Moderne tecnologie e conoscenza vengono impiegate per ottenere unità di misura sempre più precise Alcune unità definite in funzione di altre Stefano Brocchi Misure SI 12 / 48
Unità fondamentali Esistono inoltre unità di misura non standard, convertibili nelle unità fondamentali Tali misure andrebbero evitate soprattutto in ambito scientifico Stefano Brocchi Misure SI 13 / 48
Multipli e sottomultipli Per ogni unità di misura, è possibile definire multipli aggiungendo gli appositi prefissi: Prefisso Simbolo Fattore Esempio (m) etto h 100 ettometro (hm) kilo (chilo) k 1000 kilometro (km) Mega M 10 6 (milioni) Megametro (Mm) Giga G 10 9 (miliardi) Gigametro (Gm) Tera T 10 12 (1000 miliardi) Terametro (Tm) Stefano Brocchi Misure SI 14 / 48
Multipli e sottomultipli Analogamente è possibile definire sottomultipli con i prefissi: Prefisso Simbolo Fattore Esempio (m) deci d 0, 1 decimetro (dm) centi c 0, 01 centimetro (cm) milli m 0, 001 millimetro (mm) micro µ 10 6 (milionesimi) micrometro (o micron) (µm) nano n 10 9 (miliardesimi) nanometro (nm) pico p 10 12 picometro (pm) Stefano Brocchi Misure SI 15 / 48
Il metro L unità di misura base della lunghezza è il metro Originariamente, la lunghezza del metro era definita come decimilionesima parte della distanza dall equatore al polo nord Definizione proposta per la prima volta nel 600 Formulazione alternativa: un quarantamilionesimo del meridiano terrestre Raffinamenti successivi: un quarantamilionesimo del meridiano passante per Parigi, definizione più precisa dal momento che la terra non è esattamente sferica Stefano Brocchi Misure SI 16 / 48
Il metro I calcoli effettuati a quei tempi si sono rivelati non precisissimi, dal momento che il meridiano è lungo 40 007 863 metri L errore relativo sulla misura è molto piccolo, ma trattandosi di una misura fondamentale la precisione richiesta è molto maggiore Requisito importante anche perché altre misure sono definite in funzione del metro Con questa definizione, la lunghezza del metro era anche molto difficile da replicare in laboratorio Stefano Brocchi Misure SI 17 / 48
Metro: definizione attuale La definizione attuale sfrutta la proprietà della luce di avere una velocità costante di 299 792 458 m/s nel vuoto: Definition Il metro è la lunghezza percorsa dalla luce nel vuoto in 1/299 792 458 di secondo Grazie alla moderna tecnologia laser, questa lunghezza può essere misurata con alta precisione in molti laboratori scientifici La lunghezza di un metro può essere riprodotta con un errore relativo uguale a 2.1 10 11 Le altre unità di misura hanno precisione paragonabile se non maggiore: il secondo per esempio si può misurare con una precisione relativa di 5 10 16 Stefano Brocchi Misure SI 18 / 48
Metro: grandezze derivate Usando il metro, si possono misurare le superfici tramite il metro quadrato Una superficie è grande un metro quadrato se ha la stessa superficie di un quadrato di lato un metro Considerare che nei confronti tra superfici, anche i multipli del m 2 variano in modo quadratico Es. 1km 2 = 1(1000m) 2 = 1000000m 2 Un altra unità di misura compatibile con il sistema SI è l ettaro, uguale a 1hm 2 = 10000m 2 Stefano Brocchi Misure SI 19 / 48
Metro: volumi Analogamente, usando il cubo del metro si misurano i volumi Un unità di misura del volume fuori dal SI ma solitamente accettata, è il litro Un litro è esattamente un dm 3 (= 1/1000m 3 ) Stefano Brocchi Misure SI 20 / 48
Altre misure per la lunghezza In alcuni paesi anglosassoni, sono ancora utilizzate misure di lunghezza fuori dal sistema metrico Alcune delle principali, con le rispettive conversioni, sono: 1 pollice (inch) = 2,54 cm 1 piede (foot) = 30,48 cm 1 miglio = 1,608 km 1 miglio nautico = 1,853 km Altre unità di lunghezza: 1 anno luce = 9 460 730 472 580 km (distanza percorsa dalla luce nel vuoto in 1 anno, circa 9 460 miliardi di km) Stefano Brocchi Misure SI 21 / 48
Chilo Il kilogrammo è l unità di misura della massa Contrariamente alle altre unità di misura, la quantità con il prefisso kilo (kilogrammo) è considerata l unità fondamentale, mentre il grammo è considerato un sottomultiplo Stefano Brocchi Misure SI 22 / 48
Massa e peso Il kilo comunemente considerato un unità di misura del peso è in realtà un altra unità di misura non-si: il kilogrammo peso Un oggetto di massa 1 kg pesa 1 kg-peso I concetti differiscono: la massa misura la quantità di materia di un oggetto, il peso la forza esercitata dalla gravità su tale oggetto La massa è una quantità intrinseca di un oggetto, il peso varia a seconda di molti fattori (altezza sul mare, distanza dalla terra) Il peso è una forza, quindi nel SI va misurata in newton Stefano Brocchi Misure SI 23 / 48
Definizione di kilo Inizialmente, la definizione del kilo nasce dal peso di un dm 3 di acqua Un litro di acqua ha volume 1 dm 3 e massa 1 kg Definizione difficile da rendere precisa: la massa esatta dipende per esempio dalla temperatura e dalla purezza dell acqua Altre definizioni proposte definiscono il kilo in funzione della massa atomica di alcune sostanze La massa di un atomo di un determinato tipo è universale, nota e misurabile ovunque Stefano Brocchi Misure SI 24 / 48
Definizione di kilo Attualmente la definizione dipende da un campione: Definition Un kilo corrisponde alla massa del prototipo internazionale del kilo Il prototipo è un cilindro di una lega di platino e iridio, conservato dall organizzazione internazionale degli standard Stefano Brocchi Misure SI 25 / 48
Problemi con definizioni da campione Molte misure per un certo periodo sono state definite in base a un campione Questo dà luogo a delle problematiche: dovendo replicare la misura, occorre fare riferimento a copie di questo campione Ad ogni passo accumuliamo un errore di misurazione Inoltre, la massa del campione può subire piccole variazioni dovute per esempio a corrosione Stefano Brocchi Misure SI 26 / 48
Il futuro del kilo E stato quindi deciso che il kilo dovrà essere definito in funzione di qualche grandezza fondamentale della natura Si cerca un meccanismo analogo a quello per cui il metro è definito in funzione della velocità della luce Probabilmente si utilizzerà la costante di Planck Decisione programmata per il futuro Stefano Brocchi Misure SI 27 / 48
Misure alternative Una misura alternativa non-si della massa è la libbra (pound), uguale circa a 453,59 grammi In uso in alcuni paesi anglosassoni Come miglia e piedi, fa parte del Sistema Imperiale Britannico (SIB), un sistema di misure non-si Quasi ovunque è stato adottato il sistema metrico SI, ma nel comune utilizzo vengono ancora le misure SIB Stefano Brocchi Misure SI 28 / 48
Tempo e secondi L unità di misura del tempo è il secondo La prima definizione fu in funzione del giorno solare medio Un anno solare è il periodo richiesto perché la terra faccia un intera orbita intorno al sole Un giorno è 1/365 di un anno, un ora 1/24 di un giorno, un minuto 1/60 di un ora e un secondo 1/60 di un minuto Misura non precisa, poiché il periodo di rotazione della terra è variabile Stefano Brocchi Misure SI 29 / 48
Definizione di secondo La definizione corrente sfrutta una proprietà atomica per cui la radiazione emanata da un atomo di un determinato materiale è costante e universale Definition Un secondo corrisponde alla durata di 9 192 631 770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini dello stato fondamentale dell atomo di cesio-133 Da questa definizione, gli orologi più precisi sono quelli che contano i secondi effettuando questa misura, e questi sono detti orologi atomici Stefano Brocchi Misure SI 30 / 48
Notazione e multipli Il simbolo del secondo è s Altri simboli non-si: sec e I multipli comunemente utilizzati non usano la base 10 (es. kilosecondi) ma sono quelli derivati dal secondo come frazione di un anno solare (quindi ore, giorni, anni) Non usare in ambiti scientifici i mesi, variabili in lunghezza Stefano Brocchi Misure SI 31 / 48
Unità derivate Tutte le unità di misura meccaniche possono essere derivate da metri, chili e secondi Vediamo alcune delle unità più importanti La velocità è la quantità di spazio percorsa nell unità di tempo, quindi si misura in m/s: [v] = [lt 1 ] L accelerazione è uguale alla variazione di velocità nell unità di tempo, quindi [a] = [v] [t 1 ] = [lt 2 ] Stefano Brocchi Misure SI 32 / 48
Unità derivate La forza è misurata in newton (N) Il newton è definito come la forza che imprime ad una massa di 1 kg l accelerazione di 1 m/s 2 Quindi [N] = [a] [m] = [lt 2 m] Stefano Brocchi Misure SI 33 / 48
Unità derivate Dalle unità di misura della forza si possono derivare altre grandezze derivate La pressione è misurata in pascal (Pa), e definisce la quantità di forza applicata uniformemente su di una superficie Un pascal è la pressione esercitata da 1 N su un m 2, quindi l unità di misura sarà (m kg/s 2 )/m 2 = kg/(m s 2 ) Equazione dimensionale: [l 1 t 2 m] Stefano Brocchi Misure SI 34 / 48
Unità derivate L energia è definita come il prodotto di una forza per un spostamento, ed è misurata in joule (J) Un joule è l energia usata nell applicare la forza di 1 newton per 1 metro di distanza Quindi [J] = [lt 2 m] [l] = [l 2 t 2 m] Altre unità di misura non-si dell energia: il kilowatt-ora e la caloria 1 kwh = 3,6 MJ 1 cal = 4,2 J Stefano Brocchi Misure SI 35 / 48
Unità derivate La potenza, definita come la quantità di energia rilasciabile in un secondo, è misurata in watt Un watt di potenza corrisponde all uso di un joule per secondo Le sue unità di misura sono quindi kg m 2 s 3 Il watt nel linguaggio comune è utilizzato principalmente per la potenza elettrica, ma in realtà è un unità di potenza generica Stefano Brocchi Misure SI 36 / 48
Coerenza di unità di misura Considerare sempre che le equazioni devono essere dimensionalmente coerenti Per esempio, somme e sottrazioni possono essere fatte solo tra grandezze con le stesse unità di misura Vediamo un esempio nell equazione del moto uniformemente accellerato, sostituendo le varie unità di misura s = (1/2)at 2 +v 0 t +s 0 m = (1/2)m/s 2 s 2 +m/s s +m m = m+m+m Se le unità di misura non tornano, abbiamo una riprova di aver sbagliato qualcosa Vediamo un esempio con una formula più complessa: E = mc 2 m 2 kg/s 2 = kg (m/s) 2 = m 2 kg/s 2 Stefano Brocchi Misure SI 37 / 48
Kelvin e temperatura Un altra unità di misura adottata nel SI è il kelvin (K), per misurare la temperatura Comunemente e storicamente, la temperatura viene misurata in gradi Celsius Scala fatta in modo da fissare a 0 gradi il punto di congelamento dell acqua e a 100 la temperatura di ebollizione I kelvin hanno uguale grandezza dei gradi Celsius, ma la scala è spostata in modo da fissare lo 0 sullo zero assoluto Lo zero assoluto è la temperatura minima teoricamente raggiungibile, in quanto l energia termica risulta uguale a zero Uguale a -273,15 gradi celsius Quindi per es. 30 C = (30 + 273,15) K = 303,15 K I gradi Celsius si indicano anche con il simbolo (es. 30 ) Stefano Brocchi Misure SI 38 / 48
Definizione di Kelvin Per definire universalmente il kelvin, viene sfruttato il punto triplo dell acqua, una configurazione di pressione e temperatura dove coesistono stato liquido, solido e gassoso Definition Un kelvin è definito come 1/273.16 della temperatura del punto triplo dell acqua Stefano Brocchi Misure SI 39 / 48
Misure non SI Una misura di temperatura alternativa è il Fahrenheit In uso principalmente in stati uniti e canada Diversa sia la scala che la grandezza del grado Possibile effettuare la conversione tramite la formula [F] = [C] 9/5+32 Stefano Brocchi Misure SI 40 / 48
Intensità di corrente L intensità di corrente (I) viene misurata tramite l ampere (A) Questa grandezza è legata alla quantità di carica elettrica (elettroni) che passa da un determinato punto di un circuito Se 6,24 10 18 elettroni (o 1 Coulomb) al secondo percorrono un circuito, l intesità è di 1 ampere Stefano Brocchi Misure SI 41 / 48
Definizione di ampere La definizione di ampere sfrutta l omonima legge che dice che due fili paralleli percorsi da corrente nella stessa direzione esercitano tra loro una forza attrattiva Definition Un ampere è definito come l intensità di corrente che genera una forza attrattiva di 2 10 7 N per metro in due fili paralleli infiniti con sezione trascurabile posti a distanza di un metro nel vuoto Future definizioni proposte riguardano la quantità di carica passante per un punto Stefano Brocchi Misure SI 42 / 48
Elettricità e misure derivate Molte misure derivate dall ampere vengono usate per misurare l elettricità Il volt è definito come la differenza di potenziale in un circuito quando 1 ampere di corrente disperde 1 watt di energia L equazione dimensionale del volt quindi risulta [V] = [W]/[A] = [ml 2 t 3 i 1 ] Stefano Brocchi Misure SI 43 / 48
Intensità luminosa Vediamo la definizione di candela (cd), misura dell intensità luminosa, senza approfondire i dettagli: Definition Una candela è definita come l intensità luminosa, in una data direzione, di una sorgente che emette una radiazione monocromatica alla frequenza di 540 10 12 hertz con intensità radiante pari a 1/683 di watt per steradiante. Lo steradiante e un unità di misura per un angolo solido (in tre dimensioni) In funzione di altre unità SI: il secondo (= hertz 1 ), il metro ed il kilo (interni alla definizione di watt) Stefano Brocchi Misure SI 44 / 48
Quantità di sostanza Infine, la mole definisce la quantità di sostanza Definition Una mole è definita come il numero di atomi di carbonio-12 che ha massa 12 grammi Questa quantità di sostanza corrisponde al numero di Avogadro: circa 6,022 10 23 atomi Il numero è stato scelto in modo che una mole di una qualsiasi sostanza con peso atomico x ha massa x grammi Stefano Brocchi Misure SI 45 / 48
Mole La mole è diversa dalle altre unità di misura, in quanto non definisce un diverso tipo di grandezza, ma rappresenta semplicemente un numero Alcuni sostengono che quindi potrebbe essere rimossa dalle unità fondamentali La mole è molto utilizzata in ambito chimico Stefano Brocchi Misure SI 46 / 48
Dipendenze tra misure Riepilogando, sotto sono rappresentate graficamente le dipendenze tra le varie misure SI: A K s mol m cd kg Stefano Brocchi Misure SI 47 / 48
Domande di riepilogo Quali sono le unità di misura fondamentali del SI? Come si relazionano con le altre unità di misura? Come sono definiti il metro, il kilo ed il secondo? Come mai sono state scelte queste definizioni? Quali altre unità di misura non standard sono comunemente utilizzate per lunghezze, tempi e masse? Come si possono esprimere unità derivate come accelerazione, forza, energia e potenza? Qual è l unità di misura fondamentale della corrente elettrica? Le altre misure tipiche di circuiti elettrici sono collegate a questa? Come si definisce una mole e come si differenzia dalle altre unità di misura? Stefano Brocchi Misure SI 48 / 48