4^ e 4^F - ompiti vacanze estive - MTEMTI Per segnalare errori o difficoltà, mandare una e-mail a natalinopacca@katamailcom 1 Sia D un quadrato di lato unitario, P un punto del lato e g la circonferenza di centro P e raggio P Prendi sul lato un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza l passante per e tangente esternamente a g a Ponendo P=x, dimostra che il raggio di l in funzione di x è dato da f x = 1 x 1 x b Traccia il grafico di f x, indipendentemente dalle limitazioni geometriche La funzione f x è invertibile? Se sì, qual è il grafico della sua inversa? c Traccia il grafico della funzione g x = 1 x e determina l'equazione della retta tangente a 1 x tale grafico nel punto R 0,1 Il triangolo rettangolo ha l'ipotenusa =a e l'angolo = /3 a Descrivi,internamente al triangolo, con centro in e raggio x, l'arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente su e su Sia poi R l'intersezione con il cateto dell'arco di circonferenza di centro e raggio P Specifica le limitazioni da imporre ad x affinché la costruzione sia realizzabile b Esprimi in funzione di x l'area S del quadrilatero mistilineo PQR e calcola il valore minimo e il valore massimo di S x (con le limitazioni precedenti) c Tra i rettangoli con un lato su e i vertici del lato opposto su ciascuno dei due cateti, determina quello di area massima d Il triangolo è la base di un solido W, le cui sezioni con piani perpendicolari ad sono tutte quadrati alcola il volume di W 3 Un filo metallico di lunghezza l viene utilizzato per delimitare il perimetro di un'aiuola rettangolare a Qual è l'aiuola di area massima che è possibile delimitare? b Lo stesso filo viene tagliato in due parti e utilizzato per delimitare un'aiuola quadrata ed una circolare ome va tagliato il filo perché la somma delle due aree sia minima? e perché la somma delle aree sia massima? c E' stata realizzata una aiuola piena di terreno a forma di parallelepipedo rettangolo Decidiamo di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione Di quanto terreno in più, in termini R P Q
percentuali, abbiamo bisogno? 4 Data la funzione y=sen x a cos x b, determina i valori di a e di b in modo che la curva ammetta un massimo relativo di coordinate /6,0 e tracciane il grafico 5 Determina l'equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dal punto P 3cos t, sen t con 0 t e disegna la curva corrispondente 6 Per la festa della mamma, la signora Luisa organizza una cena a casa sua con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina La signora nna è una delle invitate ed ha esattamente due figli Qual è la probabilità che anche l'altro figlio della signora nna sia femmina? Perché? 7 Determina il valore di n sapendo che n 3 e che i numeri n 1 n n, n n 3, n sono in progressione aritmetica 8 Dimostra che non esiste un triangolo con =3, =, =45 Dimostra poi che esistono due triangoli (non congruenti) che verificano le condizioni =3, =, =30 9 Determina il punto della curva di equazione y= x più vicino al punto di coordinate 4,0 10lla festa di compleanno di nna, l'età media dei partecipanti è di anni Se l'età media degli uomini è 6 anni e quella delle donne 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne? 11Dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta, si sceglie a caso un punto all'interno del cono alcola la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera 1I lati di un parallelepipedo rettangolo misurano 8, 9 e 1 cm alcola, in gradi e primi sessagesimali, le ampiezze degli angoli che la diagonale condotta da un vertice descrive con ciascuno dei tre spigoli concorrenti nel vertice 13onsidera il cubo di spigoli ', ', ', DD', in cui due facce opposte sono i quadrati D e '''D' Sia E il punto medio dello spigolo I piani ' e D'DE dividono il cubo in quattro parti Dimostra che la parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa 14Determina il numero delle soluzioni dell'equazione sen x cos x= nell'intervallo [0, ] 15alcola l'ampiezza dell'angolo formato da due facce consecutive di un ottaedro regolare, espressa in gradi sessagesimali e approssimata al primo (ricorda che un primo è un sessantesimo di grado) 16Su un piano orizzontale a vengono posti un cono circolare retto, il cui raggio di base è r e l'altezza r, ed una sfera di raggio r quale distanza x dal piano a bisogna tagliare i due solidi con un piano orizzontale b perché la somma delle aree delle sezioni così ottenute sia massima?
4^ e 4^F - Soluzioni compiti vacanze - MTEMTI 1 D a Indicando con T il punto di tangenza delle due circonferenze, abbiamo: l P=PT =x e P=1 x Ponendo Q=QT = y, si ha: Q=1 y pplichiamo Pitagora al triangolo rettangolo PQ: P Q =PQ 1 x 1 y = x y g P x T y Q da cui: y= 1 x 1 x cvd b Funzione omografica di asintoti x= 1 e y= 1 La funzione è invertibile perché tra dominio e codominio esiste una corrispondenza biunivoca g(x) R(0,1) Il grafico della funzione inversa si ottiene applicando la simmetria rispetto alla bisettrice del 1 e del 3 quadrante e coincide con quello di f x f(x) y=x-1 Infatti, ricavando la variabile x, otteniamo: x= 1 y 1 y da cui, scambiando x con y, ritorniamo all'equazione trovata c g x = { f x per 1 x 1 f x per x 1 x 1 Per trovare l'equazione della retta tangente nel punto R al grafico di g x, possiamo imporre che il sistema: { f x y=mx 1 abbia due soluzioni coincidenti, il che avviene per m= Quindi, l'equazione della tangente cercata è: y= x 1 (In realtà, in quinta utilizzeremo un metodo differente e più rapido) a Per i teoremi sui triangoli rettangoli: =a/, =a 3/ Per costruzione: Q= P= x, R= P=a x Le limitazioni geometriche sono: Q x a 3/ e R a x a/ x a/ Quindi: a/ x a 3/
b rea triangolo : = 1 a 3 3 a =a 8 rea settore circolare QP: QP = 6 x rea settore circolare PR: PR = 3 a x Per differenza, l'area del quadrilatero mistilineo PQR è: S x =a 3 4 6 a 3 ax 4 x Si tratta di una funzione di secondo grado, il cui grafico è un arco di parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate, concavità rivolta verso il basso e con a/ x a 3/ Il valore massimo viene assunto in corrispondenza del vertice: x V = = 3 a ed è S =S 3 max a = 3 8 18 a Per determinare il valore minimo, confrontiamo quelli assunti agli estremi del campo di esistenza: S a 3 = 8 16 a 0,0 a e S a 3 [ = 3 8 6 17 8 ] 3 a 0,01 a Quindi: S min =S a 3 c Dai teoremi sui triangoli rettangoli, calcoliamo l'altezza relativa all'ipotenusa: H =a 3/4 Poniamo FE=t G K F pplichiamo la similitudine dei triangoli e GF: FG = K H FG a = a 3/4 t a 3/4 FG=a 4 3 3t D H E L'area del rettangolo DEFG è quindi: x =FG FE=at 4 3 3t con le limitazioni: 0 t 3/4 a Si tratta ancora un arco di parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e concavità rivolta verso il basso, il cui valore massimo viene assunto in corrispondenza del vertice: t V = = 3 8 a, da cui: 3 3 max = a = 8 16 a d Il solido W si compone di due piramidi aventi la base quadrata HH'' in comune ' Il volume è quindi: V = 1 3 H H H = a3 16 H ' H
3 a Indicando con x la misura della base dell'aiuola, l'altezza misurerà l / x, e l'area: x =x l / x =lx/ x con 0 x l / La funzione ottenuta ha come grafico un arco di parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e concavità rivolta verso il basso, quindi assume il valore massimo in corrispondenza del vertice: x V =l /4 bbiamo allora: max = l 4 = l 16 b Indichiamo con x la parte del filo che si usa per l'aiuola quadrata Il lato del quadrato misura x 4 e l'area del quadrato q = x 16 La lunghezza della circonferenza è l x, il raggio La somma delle due aree misura: S x = 4 16 x l x l 4 l x e l'area del cerchio c = l x 4 con 0 x l La funzione ha come grafico un arco di parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e concavità rivolta verso l'alto, quindi assume il valore minimo nel vertice: x V = 4 l 4, da cui: S min = l 4 = l 16 4 Il valore massimo verrà assunto in corrispondenza di uno degli estremi del campo di esistenza Poiché S 0 = l ottenuta per 4 e S l = l 16, otteniamo che, come era prevedibile, l'area massima viene x=l, ovvero quando il filo viene utilizzato tutto per delimitare l'aiuola circolare c Se a, b, c erano le dimensioni iniziali del parallelepipedo e V 0 =abc il suo volume iniziale, le dimensioni finali saranno: 11 10 a, 11 10 b e 11 3 10 c, ed il volume finale V 11 f = 10 V 0 L'aumento percentuale è quindi: V f V 0 V 0 = 11 10 3 1= 331 1000 =33,1% 4 Utilizziamo il metodo dell'angolo aggiunto: y=sen x a cos x b=k sen x b con k= 1 a e =arctg a Imponiamo che si abbia un punto di massimo per x= /6 : 6 = = 3 a=tg = 3 k= 1 3=
Imponiamo il passaggio per il punto /6,0 : sen b=0 b= Quindi la funzione può essere scritta: y= sen x 3 Si tratta di una sinusoide di ampiezza =, traslata di un vettore v /3, 5 Il luogo ha equazioni parametriche: { x=3cos t y= sent { x/3=cos t y/=sent Eleviamo al quadrato e sommiamo membro a membro: x 9 y 4 =1 L'equazione rappresenta un'ellisse avente centro nell'origine degli assi, assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani, semiassi di lunghezze a=3 e b= 6 nna ha due figli, che indichiamo con x e y Poiché nna è stata invitata alla festa, ha almeno una figlia femmina, quindi i casi possibili (ed equiprobabili) sono: x e y sono entrambe femmine; x è femmina ed y è maschio; x è maschio ed y è femmina Poiché solo il primo caso è favorevole, la probabilità cercata è p=1/3 7 Una successione di numeri forma una progressione aritmetica quando la differenza tra un generico numero ed il suo successivo è costante Dovremo quindi avere: n 3 n n n n = n n 1 n ovvero: n n 1 n 6 n n 1 = n n 1 n con n N n 3 Svolgendo i calcoli, otteniamo: n 3 9 n 14 n=0 n n n 7 =0 L'unica soluzione accettabile è n=7 8 pplichiamo il teorema dei seni: Nel primo caso: Nel secondo caso: sen 3 = / sen 3 = 1/ sen = sen sen = 3 1 che non ha soluzioni 4 sen = 3 4 Tale equazione ammette le due soluzioni non congruenti 1 49 e 131, che danno luogo a due triangoli Per calcolare il lato, è possibile utilizzare sia il teorema dei seni che quello del coseno Per una soluzione di geometria sintetica, vedi il sito della Zanichelli: http://scuolazanichelliit/online/provamatematica
e cerca il quesito n 9 del compito PNI del 010 9 onsideriamo le circonferenze di centro 4,0 : x 4 y =r Determiniamo le intersezioni con la curva data: { y= x x 4 y =r Eleviamo la prima equazione al quadrato e sostituiamo nella seconda: x 7 x 16 r =0 Imponendo la condizione di tangenza =0, determiniamo x=7/ Il punto cercato ha quindi coordinate: 7, 7 10Indichiamo con u e d il numero degli uomini e quello delle donne: 11In un cono equilatero, l'apotema è uguale al diametro di base 6 u 19 d u d = u d = 3 4 Quindi: h=r 3 e V cono = 1 3 r h= 3 3 r 3 Per la condizione di tangenza, i triangoli H e OH sono simili: OH H = H H OH = r 3 O Il volume della sfera è quindi: V sfera = 4 3 OH 3 = 4 3 7 r3 H La probabilità richiesta è: p=1 V sfera V cono = 5 9 1Indicando ' =8 cm, D=9 cm, =1cm, conduciamo la diagonale D': D'= 8 9 1 =17cm bbiamo quindi: D' ' ' D '=arccos 8 61 56' ; 17 ' ' D '=arccos 1 45 06' ; 17 D D '=arccos 9 58 0' 17 Prestiamo attenzione alla richiesta del testo di esprimere i risultati in in gradi e primi sessagesimali, e non in gradi, decimi e centesimi di grado 13Le quattro parti in cui viene diviso il cubo sono prismi retti aventi tutti la stessa D altezza, uguale allo spigolo l del cubo Dimostriamo quindi che la relazione cercata vale tra le rispettive aree di base I triangoli EF e DF sono simili per il 1 criterio Il loro rapporto di similitudine vale: k= E D = 1 H K F E
Le loro altezze misurano: FK = 1 3 l, HF = 3 l Quindi: rea EF = 1 1 l 1 3 l= 1 1 l, rea D = 1 l, da cui: rea FE =l 1 l 1 1 l = 5 1 l Pertanto rea FE =5 rea EF, e la stessa relazione vale tra i rispettivi volumi 14Sia sen x che cos x sono quantità comprese tra 1 e 1 Di conseguenza, anche il loro prodotto è compreso tra 1 e 1, e l'equazione data non ha soluzioni 15Indicando con l il lato dell'ottaedro, sappiamo che la faccia E è un triangolo equilatero e, quindi, la sua altezza misura: EH =l 3/ La sezione D è un quadrato, quindi: OH =l / Per i teoremi sui triangoli rettangoli: cos = OH EH = 1 3 Poiché l'angolo tra le facce consecutive E e F è, calcoliamo: cos = cos 1= 1 3 Quindi: =arccos 1 109,47 109 8' 3 16 La sezione del cono è una circonferenza di raggio r 1 Imponendo la similitudine dei triangoli: r 1 r = r x r r 1 =r x La sezione della sfera è una circonferenza di raggio r r r Per il secondo teorema di Euclide: x r =x r x r = rx x r pplicando il teorema di Pitagora, pur ottenendo lo stesso risultato finale, dovremmo distinguere i casi x r e x r r 1 x r La somma delle aree delle sezioni è data da: S x = r 1 r = 3 4 x rx r per 0 x Si tratta di una funzione di secondo grado, il cui grafico è un arco di parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e concavità rivolta verso il basso Essa assume valore massimo nel vertice, ovvero quando: x V = = r 3/ = 3 r