RICHIAMI SULLA RAPPRESENTAZIONE IN COMPLEMENTO A La rappresentazone n Complemento a Due d un numero ntero relatvo (.-3,-,-1,0,+1,+,.) una volta stablta la precsone che s vuole ottenere (coè l numero d bt necessar per codfcare ogn numero), assoca ad ogn numero una strnga bnara n manera unvoca. La rappresentazone n complemento, codfca l nformazone relatva al segno n modo dverso rspetto alla rappresentazone n modulo e segno. Tuttava l valore del bt pù sgnfcatvo è ancora ndcatvo del segno: 0 = postvo, 1 = negatvo. Daremo ora una dmostrazone costruttva della codfca n complemento. Supponamo d avere un numero non negatvo D espresso n notazone bnara naturale su (n-1) cfre e d voler costrure la sua rappresentazone bnara n complemento a due. Indcando sntetcamente con D la codfca n bnaro naturale d un numero non negatvo s ha: D = (d n- d n-3..d 1 d 0 ) La rappresentazone n complemento prevede un bt agguntvo, rspetto alla codfca n bnaro naturale su n-1 bt, consentendo d codfcare D su n bt per ncludere anche l nformazone sul segno. Volendo codfcare D come un ntero postvo, s antepone un bt = 0 alla sua rappresentazone n bnaro naturale: D (c) 0; D (c) = (0 d n- d n-3..d 1 d 0 ) (c) = = 0 n-1 + d n- n- +. + d 1 1 + d 0 0 = n = 1 0 Es: D = 6 dec = 110 ; codfcato con 3 bt. D (c) = +6 dec = 0110 (c) codfcato con 4 bt. d Volendo codfcare D come un numero ntero negatvo d uguale valore assoluto, s antepone un bt = 1 alla sua rappresentazone bnara naturale e s cambano le restant cfre secondo la seguente defnzone: 3/09/009 Gerardo Pelos 1
D (c) < 0; D (c) = (1 δ n- δ n-1..δ 1 δ 0 ) (c) = = 1 n-1 + δ n- n- +. + δ 1 1 + δ 0 0 = (defnzone) = da cu = 1 n-1 + ( n-1 n 0 d ) = n D ; D (c) = n D = ( n 1 D ) + 1; Oss1: D è un numero codfcato n bnaro naturale con n-1 bt, affancato da un bt 0 n poszone pù sgnfcatva, al fne d dsporre n totale d n bt. Oss: La quanttà ( n 1) s codfca n bnaro naturale come una sequenza d n bt = 1. Oss3: Se s effettua l operazone d sottrazone bnara tra la strnga d bt che rappresenta la quanttà ( n 1) e un qualsas numero β espresso n bnaro naturale con valore < n, l effetto del calcolo è quello d complementare ogn bt del numero β. Oss4: La quanttà ( n 1 D ) s chama COMPLEMENTO A 1 del numero D. Anche la codfca (c1) d un numero ntero β ha per defnzone un bt n pù rspetto alla codfca n bnaro naturale Es: D = 6 dec = 110 ; codfcato con n-1 = 3 bt. D (c1) = ( n 1 - D ) = 1111-110 1001 (c1) Lo stesso rsultato può essere ottenuto anteponendo alla codfca bnara naturale d D = 6 dec un bt = 0 ed sosttuendo successvamente ogn bt con l suo complementare. 3/09/009 Gerardo Pelos
() ALGORITMO DI CALCOLO DEL COMPLEMENTO A Qund per creare l complemento a due d un numero espresso n bnaro naturale codfcato con n-1 bt, s effettua prma l complemento a 1 del numero stesso codfcato su n bt, qund s somma +1. (In questo modo s rappresenta un numero negatvo avente lo stesso valore assoluto del numero ntero d partenza.) Es: D = 6 dec = 110 ; codfcato su 3 bt. D (c) = +6 dec = 110 () = 0110 codfcato su 4 bt; 1001 complemento a 1; 1001 + 1 1010 (c) Il metodo precedente vene spesso rportato anche nella forma seguente: () ALGORITMO DI CALCOLO DEL COMPLEMENTO A Dato un numero espresso n bnaro naturale su n-1 bt, per costrure la sua rappresentazone n complemento a, s antepone un bt = 0 davant alla sua codfca, partendo dal bt meno sgnfcatvo s lascano nvarat tutt bt fno al prmo 1 (ncluso), successvamente s sosttusce ogn bt con l suo complementare. (In questo modo s rappresenta un numero negatvo avente lo stesso valore assoluto del numero ntero d partenza.) Es: D = 6 dec = 110 ; codfcato su 3 bt. 0110 1010 c 3/09/009 Gerardo Pelos 3
CALCOLO DELL OPPOSTO Dato un numero espresso n complemento a, SENZA ANTEPORRE ALCUN BIT, s esegue l complemento a 1, e successvamente s aggunge +1. Es: D = -6 dec = 1010 c ; 1010 c codfcato su 4 bt; 0101 complemento a 1; 0101 + 1 0110 (c) = +6 dec CONVERSIONE DA COMPLEMENTO A A DECIMALE Dato l numero n complemento a due codfcato su n bt S applca la formula seguente: D (c) = (δ n-1 δ n- δ n-3..δ 1 δ 0 ) (c) D dec = - δ n-1 n-1 + 0 Che resttusce drettamente l numero decmale con segno. Infatt n Se δ n-1 = 0 qund per un numero postvo: D c = (0 δ n-.. δ 1 δ 0) n D dec = 0 = δ n- n- +. + δ 1 1 + δ 0 0 rtrovamo la solta conversone tpca della notazone poszonale. Se δ n-1 = 1 (qund un numero negatvo) D c = (1 δ n-.. δ 1 δ 0) = n D - D = - n + D c = - n + 1 n-1 + n 0 = - 1 n-1 + 0 = D dec n 3/09/009 Gerardo Pelos 4
La regola mnemonca per effettuare la conversone d un numero espresso n complemento a n decmale può qund essere formulata dcendo che occorre esegure la somma pesata d tutt bt tranne l pù sgnfcatvo che deve avere peso negatvo. Es: D = 1010 c n base dec dventa D = - 3 + 1 = -8 dec + dec = -6 dec INTERVALLO DI RAPPRESENTAZIONE L ntervallo d numer rappresentabl n complemento a due con n bt, alla luce delle precedent consderazon vale dunque: I = [- n-1, + n-1-1] NUMERO MINIMO DI BIT NECESSARI PER LA RAPPRESENTAZIONE IN COMPLEMENTO Rflettendo sulla defnzone data precedentemente, se s chede d ndcare l mnmo numero d bt necessar per rappresentare n complemento a due un nseme d m numer basta applcare la seguente formula: D 1 D D m n = 1 + log ( max{ D 1, D,.., D m } ) Es: D 1 = 6 dec D = -9 dec D 3 = -5 dec n = 1 + log (max{ 6, 9, 5 } ) = 1 + log 9 = 5 bt nfatt I = [- 4, + 4-1] = [-16, +15], se s prova a rdurre l numero d bt a 4 s ottene I = [- 3, + 3-1] = [-8, +7] e non sarebbe pù possble rappresentare D = -9 dec. 3/09/009 Gerardo Pelos 5
La formula ndcata NON funzona nel caso n cu dat D 1 D D D m sa presente un numero postvo D uguale a una potenza d due e tutt gl altr numer D abbano valore assoluto mnore d D. Con un esempo: D 1 = -55, D =+56, D 3 = +18 n = 1 + log (max{ -55, +56, +18 } ) = 1 + log 56 = 9 bt ma l ntervallo d rappresentazone su 9 bt rsulta: I = [- 8, + 8-1] = [-56, +55] qund evdentemente 9 bt non è la rsposta corretta e occorre aumentare la rsoluzone ottenendo n = 10 bt. Come accorgmento generale basta verfcare che con l numero d bt ottenuto dalla formula sopra ndcata, tutt valor sano compres nell ntervallo d rappresentazone con n bt: I = [- n-1, + n-1-1]. 3/09/009 Gerardo Pelos 6
Osservazon conclusve Nell esegure una somma algebrca, le rappresentazon n complemento evtano la necesstà d esamnare segn de due operand. Per esegure una sottrazone algebrca basta complementare l sottraendo e fare la somma. S ha overflow quando l rsultato corretto dell addzone eccede l potere d rappresentazone de bt a dsposzone Nelle rappresentazon n complemento l'overflow (trabocco) s ha quando gl ultm due rport, ovvero quell pù a snstra, sono dvers. Assumamo n = 3 bt Bnaro Naturale I = [0, + n-1-1] 000 0 001 1 010 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 Complemento a 1 I = [- n-1 +1, + n-1-1] 011 +3 010 + 001 +1 000 +0 111-0 110-1 101-100 -3 Complemento a I = [- n-1, + n-1-1] 011 +3 010 + 001 +1 000 +0 111-1 110-101 -3 100-4 1. La rappresentazone C1 è un alternatva a quella n C, non vene ma utlzzata per va della rdondanza nella rappresentazone dello zero; per l metodo meno effcente d calcolo della somma; N.B.: per la somma d due numer n complemento a uno basta sommare sngol bt, e se c'è un rporto a snstra del bt d segno basta sommarlo al rsultato. Per ottenere l valore n decmale d un numero espresso n c1: l prmo bt (l pù sgnfcatvo) assume l valore b n-1 (- n-1 + 1), qund negatvo, tutt gl altr saranno postv.. Cosa succede se s sottrae una untà dal pù pccolo numero rappresentable n c su n bt (senza complementare l sottraendo) e s legge l rsultato come un numero ancora rappresentato con sol n bt? 3. Cosa succede se s somma una untà al pù grande numero rappresentable n c su n bt e s legge l rsultato come un numero ancora rappresentato con sol n bt? 3/09/009 Gerardo Pelos 7
PRIMO ESERCIZIO Indcare quant bt sono necessar per rappresentare n complemento a due numer A=+19 dec e B = -71 dec, utlzzando lo stesso numero mnmo d bt e codfcarl n complemento a due. Soluzone n = 1 + log (max{19, 71} ) = 1 + log (71) = 10 bt nfatt l ntervallo d rappresentazone è: I = [-51, +511]. A = +19 dec 19 : = 64 (1) 64 : = 3 (0) 3 : = 16 (0) 16 : = 8 (0) 8 : = 4 (0) 4 : = (0) : = 1 (0) 1 : = 0 (1) A = 10000001 A c = 0010000001 rappresentato su 10 bt B = -71 dec, consderamo la rappresentazone n bnaro naturale del suo valore assoluto B = 71 dec 71 : = 135 (1) 135 : = 67 (1) 67 : = 33 (1) 33 : = 16 (1) 16 : = 8 (0) 8 : = 4 (0) 4 : = (0) : = 1 (0) 1 : = 0 (1) B c = B c1 +1 B = 100001111 B c1 = not (0100001111 ) = 1011110000 c1 1011110000 + 0000000001 B = 1011110001 c rappresentato su 10 bt. 3/09/009 Gerardo Pelos 8
SECONDO ESERCIZIO S calcol la somma (A+B) de seguent numer n complemento a due, cascuno d 6 bt, verfcando se s verfca overflow. A = 100001 c B = 100010 c Soluzone A = 100001 + B = 100010 1(0)00011 rappresentato su 6 bt, s è verfcato overflow. Infatt: A = -31 dec ; B = -30 dec ; A+B = -61 dec I = [-3, +31]. S calcol la dfferenza (A-B) de seguent numer n complemento a due, cascuno d 6 bt, verfcando se s verfca overflow. A = 010111 c B = 111010 c Soluzone A-B = A + (-B) ; (-B) = not(111010 c )+1 000101 + 000001 (-B) = 000110 c A = 010111 + (-B) = 000110 (A-B) = (0)11101 c non s è verfcato overflow. Infatt: A = 3 dec ; B = -6 dec ; A-B = 9 dec I = [-3, +31]. 3/09/009 Gerardo Pelos 9
TERZO ESERCIZIO Esprmere seguent numer A = +9 dec, B = -91 dec n notazone bnara con modulo e segno e successvamente utlzzando la rappresentazone n complemento a due. S ndch, n entramb cas, l mnmo numero d bt necessar a rappresentarl e l relatvo ntervallo d valor rappresentabl. Soluzone Rcavamo nnanztutto le codfche n bnaro naturale de loro valor assolut. A = 9 dec 9 : = 46 (0) 46 : = 3 (0) 3 : = 11 (1) 11 : = 5 (1) 5 : = (1) : = 1 (0) 1 : = 0 (1) B = 91 dec 99 : = 45 (1) 45 : = (1) : = 11 (0) 11 : = 5 (1) 5 : = (1) : = 1 (0) 1 : = 0 (1) A = 1011100 7 bt B = 1011011 7 bt Modulo e segno: A = (0)1011100 rappresentato con 1+ log (9) = 8 bt. B = (1)1011011 rappresentato con 1+ log (91) = 8 bt; n = 8 bt I = [- 7 +1, + 7-1]; con una doppa rappresentazone per lo zero. Complemento a due: n = 1 + log (max{ +9, -91 } ) = 1 + log (9) = 8 bt; I = [- 7, + 7-1]; A = 01011100 c B = not (01011011 )+1 = 10100100 +00000001 = 10100101 c n = 8 bt 3/09/009 Gerardo Pelos 10
QUARTO ESERCIZIO Dato l numero decmale X = 17,15 determnare la sua rappresentazone n vrgola fssa, ndcando l numero mnmo d bt necessar per rappresentarlo con modulo e segno. Soluzone X = 17,15; [X] = 17 dec ; p.f.(x) = 0.15 dec ; [X] = 17 dec ; 17 : = 8 (1) 8 : = 4 (0) 4 : = (0) : = 1 (0) 1 : = 0 (1) p.f.(x) = 0.15 dec ; 0.15 * = 0.5 (0) 0.5 * = 0.5 (0) 0.5 * = 1 (1) 0.0 [X] =10001 ; 5 bt n bnaro naturale p.f.(x) =0.001 ; 3 bt n bnaro naturale [X] =(0)10001 ; 6 bt con codfca modulo e segno. X = 010001.001 ; n = 9 bt. 3/09/009 Gerardo Pelos 11
QUINTO ESERCIZIO Esegure le seguent converson d base tra numer postv: (a) (b) (c) (d) (e) 7376 8 n bnaro 110111 n esadecmale 5ABF 16 n ottale 174 10 n esadecmale FEA 16 n bnaro Soluzone (a) 7376 8 = 010 111 011 111 110 (b) 110111 = 0011 0111 = 37 16 (c) 5ABF 16 = 0101 1010 1011 1111 = = 101 101 010 111 111 = 5577 8 (e) 174 : 16 = 79 (A) 79 : 16 = 4 (F) 4 : 16 = 0 (4) 174 10 = 4FA 16 (f) FEA 16 = 1111 1110 0010 1010 SESTO ESERCIZIO Sano dat numer bnar n complemento a due A = 11010101001 c e B = 011011010 c. Quanto valgono n decmale? E qual sono numer mnm d bt necessar per rappresentarl? A = 11010101001 c = = 1010101001 c =-51+18+3+8+1 = -343. B = 011011010 c = 18+64+16+8+ = 18. Il mnmo numero d bt necessar per rappresentarl entramb è n =10. 3/09/009 Gerardo Pelos 1