G Limiti G Introduzione Si è visto, cacoando i dominio dee funzioni, che per certi vaori dea non è possibie cacoare i vaore dea Cò che ci si propone in questo capitoo è capire come si comporta a assegnando aa vaori moto vicini a quei non facenti parte de dominio L esempio seguente mostra come è possibie rispondere a questa domanda utiizzando i puro cacoo agebrico, senza utiizzo di strumenti matematici nuovi Esempio G: -- Si prenda a funzione I dominio dea funzione è DR-{} - Non è possibie cacoare i vaore dea funzione per Ciò che ci si chiede è: se aa si danno dei vaori sempre più vicini a, cosa succede ai vaori dea? Per rispondere a questa domanda si prova a dare aa dei vaori sempre più vicini a, sia per difetto che per eccesso, e si vede come si comporta a,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,95,95,98,98,99,99 3 4,5 3,5,4 3,4,3 3,3, 3,, 3,,5 3,5, 3,, 3, Fig G Vaori dea approssimando a a per difetto e per eccesso Fig G -- Andamento dea funzione - pressi di nei Se a si avvicina a vaore si nota che a si avvicina sempre di più a vaore 3 Sembra intuitivo che se mettessimo a posto dea vaori ancora più vicini a otterremmo dei vaori dea sempre più vicini a 3 Ciò si può esprimere con a seguente notazione: -- 3 - -- Ciò si egge i ite per che tende a due di è uguae a tre - Ogni atro modo di eggere tae notazione è errato I grafico dea funzione si avvicina sempre di più a punto (;3), dove è i vaore a cui si avvicina sempre di più a, e 3 è i vaore a cui si avvicina sempre di più a Si è cacoato soamente ciò che accade se a si avvicina a Nua si può quindi dire dea funzione per, i ite mi dice soo cosa accade nei pressi de G Definizione di ite In matematica non è permesso definire e cose in maniera imprecisa Per questa ragione non si può definire i ite dicendo se a si avvicina ad un numero, aora a si avvicina ad un atro numero, in quanto si avvicina presuppone un movimento che non c è La funzione è ì dov è, e i punti non si muovono ne tempo e neo spazio I concetto intuitivo mostrato precedentemente ne esempio G va quindi formaizzato Le definizioni da dare sono in reatà mote, ossia: Definizione di ite finito di una funzione in un punto, ossia: Definizione di ite infinito di una funzione in un punto, ossia: f() f() Questi quattro casi verranno trattati soamente per capirne i significato grafico, e servirà a oro interpretazione grafica per tracciare correttamente una funzione data Teoria G- Definizione di ite finito di una funzione a infinito, ossia: f() Definizione di ite infinito di una funzione a infinito, ossia: f()
In particoare serviranno per tracciare asintoti e punti di discontinuità di una funzione In questo paragrafo si darà soo a definizione de primo dei quattro casi, gi atri si definiscono in maniera anaoga ε ε ε -ε -δ δ δ δ Fig G3 Definizione di ite finito di una funzione in un punto I ragionamento seguente serve per dare a definizione formae di f() Come detto ne paragrafo precedente i significato di tae notazione è che se a si avvicina a aora a funzione (ossia a ) si avvicina a Per dire questo si avvicina in termini matematici si prendono degi intervai di ampiezza δ e ε, e i si definisce di dimensione piccoa a piacere, così che possiamo immaginare tai intervai che si rimpiccioiscano fino a che a funzione si avvicini a punto (, ) In particoare si prenda un intervao di ampiezza ε e si fissi su asse dee i punti ε ed -ε Da questi punti si tracciano dee inee orizzontai fino ad incontrare a funzione, e poi dai punti di ntersezione si tracciano dee inee verticai Una di queste cadrà a destra ed una a sinistra di La più vicina dee due a si dirà che ha una distanza δ, per cui si riesce a trovare un intervao su asse ] -δ, δ[ Se adesso si prende un punto quaunque in ] -δ, δ[ i suo corrispondente su asse dee sarà senz atro tra -ε ed ε Se si immagina ε sempre più piccoo e si effettua nuovamente i procedimento appena visto si nota che a funzione si avvicina a punto (, ) In breve: si prende un ε e si trova un δ tae che quasiasi vaore dee appartenente a ] -δ, δ[ i corrispondente vaore dee, ossia f(), appartiene a ] -ε, ε[ DEFINIZIONE DI LIMITE: ε> δ> tc ] -δ, δ[ aora f() ] -ε, ε[ ε> Si prende un ε δ> tc ] -δ, δ[, aora f() ] -ε, ε[ Si trova un δ tae che quasiasi vaore dee appartenente a ] -δ, δ[ aora i corrispondente vaore dee, ossia f(), appartiene a ] -ε, ε[ G3 Significato grafico dei iti Ora si studierà come un ite può essere rappresentato graficamente, mettendo in reazione ogni ite con una rappresentazione grafica Tae reazione vae anche a contrario, ossia da grafico si è in grado di ricavare i ite Teoria G-
CASO : LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO f() In questo caso a si avvicina a, mentre a si avvicina a La funzione si avvicinerà sempre di più a punto (, ) Non si può dire se a funzione passa per i punto in questione o se c è un buco, ossia un punto di discontinuità, argomento che verrà approfondito ne prossimo capitoo Un caso particoare può essere Fig G4 f() f()3, ne quae a funzione si avvicina sempre di più a punto (;3) La notazione f() indica che ci si avvicina a da destra I non ha i significato di positivo ma di ci si avvicina da destra In ta caso i grafico è mostrato in figura G5 Anaogamente a notazione f() indica che ci si avvicina a da sinistra I - non ha i significato di negativo ma di ci si avvicina da sinistra In ta caso i grafico è mostrato in figura G6 Fig G5 f() Fig G6 f() I iti f() e f() sono detti rispettivamente LIMITE DESTRO E LIMITE SINISTRO E ovvio che se f() e f() aora anche f() Teoria G-3 e viceversa Ciò vuo dire che se si conoscono i due iti destro e sinistro e se essi sono uguai, aora si conosce anche i ite dea funzione Viceversa, se si conosce i ite dea funzione, aora si conoscono i due iti destro e sinistro che avranno o stesso vaore de ite di partenza Ne caso esaminato in questo paragrafo i due iti destro e sinistro sono sempre uguai a, ma potrebbero anche essere diversi, ed si vedrà questo caso ne prossimo capitoo
CASO : LIMITE INFINITO DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO Si dice ite infinito di una funzione in un punto i caso in cui a tende a un numero e a tende a infinito Si indica con f() Si hanno 4 casi a seconda che a tenda a da destra o da sinistra e a seconda che ci si avvicini a più infinito o a meno infinito f() In questo caso a si avvicina a da destra e a funzione (ossia a ) si avvicina a E rappresentato graficamente in figura G7 f() In questo caso a si avvicina a da sinistra e a funzione (ossia a ) si avvicina a E rappresentato graficamente in figura G8 f()- In questo caso a si avvicina a da destra e a funzione (ossia a ) si avvicina a - E rappresentato graficamente in figura G9 f()- In questo caso a si avvicina a da sinistra e a funzione (ossia a ) si avvicina a - E rappresentato graficamente in figura G Fig G7 f() Fig G8 f() Fig G9 f() Fig G f() Se si verificano comtemporaneamente i casi con e f() f() è possibie indicari sinteticamente f() In questo caso a si avvicina a da destra e da sinistra e a funzione (ossia a ) si avvicina a Tae caso è rappresentato in figura G Teoria G-4
Se si verificano comtemporaneamente i casi con - Tae caso è rappresentato in figura G f()- è possibie indicari sinteticamente f()- e f()- In questo caso a si avvicina a da destra e da sinistra e a funzione (ossia a ) si avvicina a Fig G f() Fig G f() Ne caso in cui f(), f() oppure f(), non si capisce se si deve tracciare i grafico dea funzione verso ato (se i risutato è ) o verso i basso (se i risutato è -) E necessario conoscere i segno de infinito per poter tracciare i grafico SI NOTI CHE i simboo NON SIGNIFICA né né -, ma entrambi Con i simboo si intende sia che - Si deve quindi conoscere i segno di per tracciare i grafico di questi iti CASO 3: LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE ALL INFINITO Si dice ite finito di una funzione a infinito i caso in cui a aumentare de vaore dea a si avvicina sempre di più ad un vaore Si indica con a notazione f() Si possono verificare i due casi seguenti: f() In questo caso a si avvicina a più infinito e a funzione (ossia a ) si avvicina a vaore Non è possibie per ora determinare se si avvicina a da ato o da basso Per sapero è necessario utiizzare e derivate, argomento trattato in uno dei prossimi capitoi Soo uno dei due segni grafici rappresentati graficamente in figura G3 è corretto Quae dei due o si capirà più avanti f() In questo caso a si avvicina a meno infinito e a funzione (ossia a ) si avvicina a vaore Non è possibie per ora determinare se si avvicina a da ato o da basso Per sapero è necessario utiizzare e derivate, argomento trattato in uno dei prossimi capitoi Soo uno dei due segni grafici rappresentati graficamente in figura G4 è corretto Quae dei due o si capirà più avanti Fig G3 f() Fig G4 f() Teoria G-5
Se si verificano i due casi precedenti contemporaneamente, ossia se f() essere scritto più sinteticamente come f() e f(), aora ciò può Ciò è rappresentato graficamente in figura G5 In quest utimo caso a si avvicina a (ossia sia a che a -), e a funzione (ossia a ) sia avvicina a Si noti che ne disegno precedente è possibie che si avvicini a da ato verso più infinito e da basso verso meno infinito, oppure da ato in entrambi i casi, oppure da basso in entrambi i casi, oppure da basso verso più infinito e da ato verso meno infinito Saranno e derivate a chiarire tai casi E inotre possibie che verso più infinito a funzione tenda ad un vaore e verso meno infinito tenda ad un differente vaore E ovvio che se f() aora vagono anche f() e f() e viceversa CASO 4: LIMITE INFINITO DI UNA FUNZIONE ALL INFINITO Si dice ite infinito di una funzione a infinito i caso in cui a tenda a infinito e anche a tenda a infinito Si indica con f() Ci sono quattro possibii casi: f() In questo caso a si avvicina a e a funzione (ossia a ) si avvicina a E rappresentato graficamente in figura G6 f() In questo caso a si avvicina a - e a funzione (ossia a ) si avvicina a E rappresentato graficamente in figura G7 f()- In questo caso a si avvicina a e a funzione (ossia a ) si avvicina a - E rappresentato graficamente in figura G8 f()- In questo caso a si avvicina a - e a funzione (ossia a ) si avvicina a - E rappresentato graficamente in figura G9 Se non si conosce i segno degi infiniti non è possibie rappresentare i ite graficamente Fig G5 f() Fig G6 f() Fig G7 f() Teoria G-6
Fig G8 f() Fig G9 f() G4 Cacoo di iti I probema che ci si pone in questo paragrafo è i cacoo de risutato di un ite da punto di vista agebrico Data una funzione si vuoe dunque determinare a cosa tenda a sapendo che a tende a quacosa di stabiito Ciò è già stato visto ne esempio G, ma si trattava di un procedimento scomodo e impreciso Si vuoe quindi trovare un procedimento più comodo e preciso rispetto a queo per approssimazioni successive PROCEDIMENTO: si sostituisce a posto dea i vaore a cui essa si avvicina Esempio G: Cacoare i -5 3 Si sostituisce a posto dea i vaore 3 a cui essa tende e si svogono normamente i cacoi per sempificare espressione -53-359-658 3 Quindi i può essere facimente cacoato ed i suo vaore è 8-5 3 Potrebbe sembrare tutto moto sempice, ma spesso nea sempificazione dee espressioni ci si trova tavota di fronte a forme non usuai Tai forme sono di due tipi: FORME DETERMINATE, che verranno affrontate in questo paragrafo e si risovono senza grossi probemi, e FORME INDETERMINATE, a cui einazione prevede utiizzo di procedimenti che saranno trattati ne paragrafo successivo Le forme determinate permettono di trovare i risutato de ite: basta ricordare tutti i casi eencati di seguito FORME DETERMINATE: ) (si egge su infinito TENDE a zero ) in particoare ) (si egge su zero TENDE a infinito ) in particoare e e - - - Se risovendo un ite appare espressione oppure si può sostituire tae espressione con oppure con Ciò non vuo dire che sia uguae a zero, né che sia uguae a, ma che tai espressioni si avvicinano sempre di più a vaore oppure a vaore Sia dunque ben chiaro che NON E VERO CHE La notazione vaore de denominatore a frazione assume un vaore sempre più vicino ao 3) (si egge infinito per infinito TENDE a infinito ) in particoare vae a regoa dei segni, per cui, - -, - - 4) (si egge due aa più infinito TENDE a più infinito ) 5) - (infatti ) indica soo che a aumentare de Teoria G-7
6) 7) 8) 9) - (infatti ( ) ) ( ) In tutti questi casi se a posto di (o de ) si mette un numero positivo e formue restano vaide In caso si metta un numero negativo si deve fare attenzione a segno, che potrebbe essere diverso Esempio G3: Cacoare i e rappresentare graficamente i risutato ottenuto Per cacoare tae ite si sostituisce a posto dea i vaore a cui tende, ossia, si incontra quindi espressione che tende a zero Ora si deve rappresentare tae ite graficamente Si è in uno dei casi de paragrafo precedente, queo de ite finito di una funzione a infinito, in cui vae zero Si ottiene i grafico in figura G Poiché i risutato è, aora ci si sta avvicinando a asse da sopra e non da sotto Esempio G4: Cacoare i Fig G e rappresentare graficamente i risutato ottenuto Per cacoare tae ite si sostituisce a posto dea i vaore a cui tende, ossia, si incontra quindi espressione che tende a Ora si deve rappresentare tae ite graficamente Si è in uno dei casi de paragrafo precedente, queo de ite infinito di una funzione in un punto, e in questo caso i punto è Poiché ci si avvicina a si deve tracciare i ite destro Si ottiene i grafico in figura G Fig G Teoria G-8
Ne caso in sui si incontri una forma determinata basta ricordarsi a regoa da usare per risovere i ite Ne caso in cui si incontri una forma indeterminata si dovranno usare i procedimenti de prossimo paragrafo per risovere i ite Quando si incontra una forma indeterminata esercizio non è finito, ma deve ancora iniziare TABELLA RIASSUNTIVA FORME DETERMINATE ED INDETERMINATE FORME DETERMINATE FORME INDETERMINATE - - -??????? Ne prossimo paragrafo si tratterà a risouzione soamente dei primi 3 tipi di forma indeterminata, ossia -, Gi atri casi sono di soito riconducibii ai primi 3 tipi G5 Risouzione dee forme indeterminate CASO :, Se nea risouzione de ite si incontra a forma (infinito su infinito) si deve usare i seguente procedimento: PROCEDIMENTO: Si raccogie a di grado più ato a numeratore e a denominatore Si sempifica a raccota 3 Si sostituisce a posto dea i vaore a cui essa tende Esempio G5: Risovere i ite - 3-- Sostituendo a posto dea si ottiene i procedimento appena visto - 3-- ( - - ) ( ) - 3 3 - - - - - 3 - - - - - 3--, che è una forma indeterminata de tipo Si raccogie a di grado massimo ( a numeratore e 3 a denominatore) Si sempificano e raccote Si sostituisce a posto dea Le forme determinate de tipo / tendono a zero Quindi i risutato è zero Si usa Teoria G-9
OSSERVAZIONI: Si continua a scrivere tende davanti aa funzione fino a che non si sostituisce a posto dea i vaore a cui I fatto che i risutato de esempio G5 sia non vuo dire che tutte e vote che si risove un ite de tipo verrà sempre questo risutato Potrebbe venire quaunque risutato:, -,, eccetera 3 3 La rappresentazione grafica de risutato ottenuto si svoge in maniera anaoga agi esempi già svoti ne paragrafo precedente 4 Non è detto che risovendo un ite si trovi sempre un risutato numerico Tavota i risutato potrebbe essere non esiste i ite ; ciò vuo dire che se a si avvicina sempre di più a vaore dato o a infinito, a non si avvicina ad acun vaore né ad infinito ORDINI DI INFINITO: Ci sono mote funzioni che tendono ad infinito se a tende a infinito Ecco acuni esempi: 3 3 og() og() e e Acune di queste funzioni si avvicinano a più veocemente di atre, ed atre meno veocemente L ordine di infinito esprime a veocità di avvicinamento a infinito Se ordine di infinito di una funzione f è più ato di queo di un atra funzione g, aora a funzione f si avvicina a infinito più veocemente dea funzione g Ecco ordine di infinito da minore a maggiore: <og 3<n<og < < 3 < < << < 3 < < <e <3 < < < Nea risouzione dei iti de tipo N() D() basta vedere ordine di infinito de num e de denominatore Ci sono 4 casi: N()>D() I risutato è N()D() I risutato è i rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo N()<D() I risutato è N()D() I risutato è, e c è asintoto obiquo; m è i rapporto tra i coefficienti di grado massimo I quarto caso verrà trattato ne prossimo capitoo Esempio G6: Risovere i ite e - 33-n() Sostituendo a posto dea si ottiene e-, che è forma indeterminata 33-n() Si può risovere con gi ordini di infinito: si è ne caso in cui ordine di N() è maggiore de ordine di D(), quindi e- 33-n() Esempio G7: Risovere i ite 3- - -5 3- Sostituendo a posto dea si ottiene che è forma indeterminata --5 Si può risovere con gi ordini di infinito: si è ne caso in cui N()D(), quindi i risutato è i rapporto tra i coefficienti 3-3 dee di grado massimo: - Esempio G8: - -5 Teoria G-
Risovere i ite Sostituendo a posto dea si ottiene che è forma indeterminata Si può risovere con gi ordini di infinito: si è ne caso in cui N()<D(), quindi CASO : Se nea risouzione de ite si incontra a forma (zero su zero) si deve usare i seguente procedimento: PROCEDIMENTO: Si scompongono in fattori i numeratore e i denominatore Si sempifica 3 Si sostituisce a posto dea i vaore a cui essa tende Esempio G9: Risovere i ite -4 -- -4 4-4 Sostituendo i a posto dea si ha : Si deve quindi utiizzare i procedimento appena visto -- 4-- -4 -- (-)() (-)() 4 3 Si scompongono in fattori i numeratore ed i denominatore Si sempifica (-) a numeratore con (-) a denominatore Si sostituisce a posto dea e si ottiene i risutato 4 3 OSSERVAZIONI: Si continua a scrivere tende davanti aa funzione fino a che non si sostituisce a posto dea i vaore a cui I fatto che i risutato di questo ite sia 4 3 non vuo dire che tutte e vote che risovo un ite de tipo verrà sempre questo risutato Potrebbe venire quaunque risutato:, -,, eccetera 3 3 La rappresentazione grafica de risutato ottenuto si svoge in maniera anaoga agi esempi già svoti ne paragrafo precedente NOTA BENE: Acuni dei casi che seguono non si risovono con i procedimento descritto Essi sono dunque degi esempi cassici per risovere casi particoari dea forma Esempio G: Risovere i ite - - - - Sostituendo a posto dea si ottiene che è forma indeterminata - - Per einare a forma indeterminata prima si razionaizza e poi si sempifica - - - - - (-)( ) 4 Esempio G: Risovere i ite sen Teoria G-
sen sen Sostituendo zero a posto dea si ha:, che è forma indeterminata Tae ite non può essere risoto per mezzo di procedimenti già visti Esiste un teorema che assicura che sen Si può utiizzare questo risutato per cacoare atri iti Esempio G: Risovere i ite -cos -cos -cos - Sostituendo o zero a posto dea si ottiene, che è forma indeterminata L idea dea risouzione è a seguente: si razionaizza, si sostituisce sen a posto di -cos e infine si considera che sen tende a -cos -cos cos cos -cos sen (cos ) (cos ) cos cos Esempio G3: Risovere i ite - - - - Si sostituisce i numero a posto dea e si ottiene forma indeterminata - - Si utiizza i procedimento standard visto precedentemente Si scompone in fattori e si sempifica: - (-)() 3 - (-) - - Quando si trova risutato non è chiaro se i risutato è o - Per scopriro si devono cacoare i ite destro e i ite sinistro Ogni vota che i risutato è si devono cacoare i iti destro e sinistro per capire i segno di Cacoo de LIMITE DESTRO: Con si intende un numero un po più grande di, ossia, Se da tae numero si togie si ottiene un numero un po più grande di zero, ossia, che si indica con - (-)() 3 - (-) - - Cacoo de LIMITE SINISTRO: Con - si intende un numero un po più piccoo di, ossia,9999999 Se da tae numero si togie si ottiene un numero un po più piccoo di zero, ossia -, che si indica con - - (-)() 3 - - - - (-) - - - - - Se non si cacoano i due iti destro e sinistro non si è in grado di tracciare i grafico come visto precedentemente CASO 3: E bene chiarire che - non fa zero Non è possibie sempificare gi infiniti Infinito non è un numero, pertanto mote operazioni che si effettuano con i numeri non sono permesse con gi infiniti - è forma indeterminata, e quindi bisogna einara Non sono invece forme indeterminate che dà risutato e -- che dà risutato - FORME DETERMINATE: -- - FORMA INDETERMINATA: -? Per einare questa forma indeterminata ci sono due metodi a seconda de tipo di funzione di cui andiamo a cacoare i ite Esempio G4: Cacoare i ite 3 - - Teoria G-
Sostituendo a posto dea si ottiene 3 ) 3 ( ) ) -- - -( - -( forma indeterminata de tipo - In questo caso si raccogie a di grado massimo e a forma indeterminata scompare ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 - - - - - ( ) - - - -- ( ) ( ), che è una Esempio G5: Risovere i ite -3 Sostituendo a posto dea si ha -3-3 de tipo - In questo caso si razionaizza e a forma indeterminata scompare -3-3- ( ) -3-3 -3-3 -3-3 -3-3 -3 Esempio G6: Risovere i ite 3 3 - Sostituendo a posto dea si ha 3 3 3-3( ) -( ) - Si risove raccogiendo a di grado massimo 3 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 - - - - -, che è una forma indeterminata, che è una forma indeterminata Purtroppo non si capisce se i risutato è o -, quindi non si è in grado di tracciare i grafico Ogni vota che i risutato è si devono cacoare i due iti per e per - ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 - - - - - 3 3 3 3 3 - - - - - Teoria G-3