Introduzione alle geometrie non euclidee Prof. Daniele Ippolito Liceo Scientifico Amedeo di Savoia di Pistoia
Il metodo assiomatico della geometria euclidea Gli Elementi di Euclide (III sec. a.c.) si aprono con una serie di definizioni, tra cui: Un punto è ciò che non ha parti.. P Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai suoi punti. r Un piano è una superficie che giace ugualmente rispetto alle sue rette.
Nel 1800, la matematica ha rivisto le definizioni di Euclide, interpretandole invece come descrizioni di enti geometrici. Punto, retta e piano sono termini primitivi della geometria euclidea piana: concetti che non si possono definire e dai quali derivano le definizioni di altri enti (segmento, semiretta, ecc.). Alle descrizioni degli enti fondamentali, seguono cinque postulati, ossia affermazioni non dimostrabili: 1) Per ogni coppia di punti distinti passa una ed una sola retta. A. r. B 2) Ogni retta si può estendere infinitamente.
3) Si può descrivere una circonferenza con qualsiasi centro e qualsiasi raggio. 4) Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro. 5) Se una retta che interseca due rette forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette, prolungate infinitamente, si incontrano dalla parte in cui i due angoli sono minori di due angoli retti. r s t
Nel primo libro degli Elementi, che contiene 48 proposizioni, Euclide ricorre al quinto postulato soltanto alla proposizione 29. Dal quinto postulato dipendono tuttavia teoremi importanti della geometria piana, come quello sulla somma degli angoli interni di un triangolo e il teorema di Pitagora.
Il dibattito sul quinto postulato di Euclide Numerosi sono stati i tentativi di dedurre il quinto postulato di Euclide dai primi quattro o di sostituirlo con una versione più semplice. Tra questi: Posidonio (I sec. a.c.) si illuse di aver trovato un postulato alternativo, deducendolo dai primi quattro, mentre in realtà fece ricorso (inconsapevolmente) anche al quinto postulato: Rette parallele sono equidistanti. r r'
Il dibattito sul quinto postulato di Euclide Numerosi sono stati i tentativi di dedurre il quinto postulato di Euclide dai primi quattro o di sostituirlo con una versione più semplice. Tra questi: Posidonio (I sec. a.c.) si illuse di aver trovato un postulato alternativo, deducendolo dai primi quattro, mentre in realtà fece ricorso (inconsapevolmente) anche al quinto postulato: Rette parallele sono equidistanti. r r'
Proclo (V sec. d.c.) elaborò un enunciato equivalente al postulato di Euclide ma molto più semplice: Data una retta r ed un punto ad essa esterno, esiste una ed una sola retta r' parallela ad r. r. P r' Omar Khayyam (1077) mutuò da Aristotele un'altra versione del postulato: Se due rette cominciano ad avvicinarsi, esse si intersecano. r s
Girolamo Saccheri (1733) propose un'altra versione equivalente al quinto postulato: Dato un quadrilatero ABCD, se AD = BC e e sono retti, allora anche e sono retti. Saccheri suggerì che, negando invece la validità del quinto postulato, nel suo quadrilatero potevano verificarsi due tesi alternative: 1 e sono acuti 2) e sono ottusi
Johann Heinrich Lambert (1766), perseguendo la stessa strada di Saccheri, giunse a verificare che, negando la validità del postulato delle parallele: In un triangolo la somma degli angoli interni è variabile ed è minore di due angoli retti. Saccheri e Lambert vengono considerati due precursori delle geometrie non euclidee.
La geometria iperbolica Intorno agli anni '20 del 1800, Gauss, Lobačevskij e Bolyai giunsero, indipendentemente l'uno dall'altro, alla formulazione della prima geometria non euclidea. Tale modello è detto geometria iperbolica, perché Lobačevskij fece riferimento alla trigonometria iperbolica. Nella geometria iperbolica valgono i primi quattro postulati di Euclide ma viene riformulato il quinto.
Fondamentale per rappresentare le geometrie non euclidee è il concetto di geodetica, elaborato da Joseph Liouville nel 1850. Data una superficie, le geodetiche su di essa sono le curve che minimizzano la distanza tra punti.. C. A Sul piano euclideo, le geodetiche sono le rette.. D. B Su una sfera, le geodetiche sono le circonferenze di diametro massimo.
Diversi modelli per la geometria iperbolica sono stati proposti a partire dal 1868. 1) La pseudosfera (Eugenio Beltrami): una superficie infinita che si ottiene ruotando una curva detta trattrice attorno al suo asintoto. Proprietà della pseudosfera è di avere curvatura negativa costante.
I termini primitivi della geometria euclidea sono così sostituiti: Piano Retta Punto Pseudosfera Geodetica sulla pseudosfera Punto
2) Il disco di Klein: Piano Retta Punto Cerchio (aperto) Corda (aperta) Punto 3) Il disco di Poincaré Piano Retta Punto Cerchio (aperto) Diametro (aperto) o arco perpendicolare al bordo Punto
Un altro modello, che giustifica pienamente la definizione di geometria iperbolica è l'iperboloide a due falde, proposto da Helmholtz (1870) e da Weierstrass (1880). Piano Retta Punto Iperboloide Intersezione tra l'iperboloide e un piano passante per il suo centro di simmetria Punto
Questo modello ha forti analogie con lo spazio-tempo di Minkowski (1907), adottato per la rappresentazione degli eventi nella teoria della relatività ristretta di Einstein. La geometria iperbolica si impone quindi anche come uno strumento per la descrizione della realtà fisica.
Postulati della geometria euclidea e della geometria iperbolica Geometria assoluta 1) Per ogni coppia di punti distinti passa una ed una sola geodetica. 2) Ogni geodetica si può estendere infinitamente. 3) Si può descrivere una circonferenza con qualsiasi centro e qualsiasi raggio. 4) Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro. Geometria euclidea 5) Data una geodetica r ed un punto P ad essa esterno, esiste una ed una sola geodetica r' parallela ad r e passante per P. Geometria iperbolica 5) Data una geodetica r ed un punto P ad essa esterno, esistono infinite geodetiche parallele ad r e passanti per P.. P r r'
La geometria ellittica Nel 1854, Bernhard Riemann formulò il modello della geometria sferica, già noto ai greci, ma che era stato abbandonato perché violava diversi postulati di Euclide. Piano Retta Punto Superficie sferica Circonferenza massima Punto Nella geometria sferica, oltre al quinto postulato, vanno rivisti anche i primi due.
Una variante al modello di Riemann è stata avanzata nel 1871 da Felix Klein, che ha identificato le coppie di punti agli antipodi della sfera come un unico ente geometrico. Piano Retta Punto Superficie sferica Circonferenza massima Coppia di punti antipodali Il modello di Klein è equivalente al piano proiettivo, già noto ai matematici, e pertanto viene rappresenta una geometria proiettiva. Il corpo comune alla geometria sferica e a quella proiettiva è detto geometria ellittica.
Postulati della geometria sferica e della geometria proiettiva Geometria sferica 1) Per ogni coppia di punti distinti passa una ed una sola geodetica, ad eccezione dei punti antipodali. Geometria ellittica Geometria proiettiva 1) Date due coppie distinte di punti antipodali, per esse passa una ed una sola geodetica. 2) Ogni geodetica si può estendere illimitatamente (non infinitamente). 3) Si può descrivere una circonferenza con qualsiasi centro e qualsiasi raggio. 4) Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro. 5) Data una geodetica r ed un punto P ad essa esterno, non esistono geodetiche parallele ad r e passanti per P. C.. D
Curvatura di una superficie Per comprendere il tipo di geometria descritto da una superficie, introduciamo il concetto di curvatura, a cominciare dalla curvatura di una curva. Definiamo cerchio osculatore di una curva in un punto il cerchio che, con un procedimento di passaggio al limite, approssima la curva in tale punto. A.. B La curvatura di una curva in un punto, già definita da Newton e da Huygens, è uguale al reciproco del raggio del cerchio osculatore nel punto: k = 1/r
Nel piano, le uniche curve a k costante sono: 1) la retta (k = 0); 2) la circonferenza (k = 1/R) Per definire la curvatura di una superficie S in un punto P, si adotta il procedimento descritto da Eulero.
k max. P n k min S 1) Si determina il piano tangente alla superficie S in P e il vers. normale n. 2) Si considerano tutti i piani perpendicolari a passanti per P. Le loro intersezioni con S sono delle curve. 3) Tra le curve, ne esiste una con k max e una con k min. La curvatura di S in P ha per valore assoluto: k = k max k min.
Il segno della curvatura della superficie è: a) positivo se le curve principali si trovano dalla stessa parte rispetto al versore normale; b) negativo se si trovano da parti opposte. n n k > 0 k < 0 Se una delle due curve principali ha k = 0, la curvatura della superficie è nulla.
Alcune superfici a curvatura costante nulla Superficie a curvatura costante positiva k = 1/R 2
Alcune superfici a curvatura costante negativa
La curvatura di una superficie in un punto ne determina quindi la geometria. k > 0 Geometria ellittica k = 0 Geometria euclidea k < 0 Geometria iperbolica
Differenze tra le tre geometrie Modificando i postulati di una geometria, cambiano anche alcuni teoremi. Vediamo alcuni esempi. Somma degli angoli interni di un triangolo > 180 < 180 = 180
Angoli superiori del quadrilatero di Saccheri angoli acuti angoli retti angoli ottusi Inoltre, nelle geometrie non euclidee: - non vale il teorema di Pitagora; - il rapporto tra una circonferenza e il suo raggio non è 2 ; - un angolo alla semicirconferenza non è 90.
Tassellazione del piano Il problema della tassellazione del piano con poligoni regolari assume differenti soluzioni a seconda della geometria considerata. Nella geometria euclidea, poiché la somma degli angoli concorrenti in un vertice deve essere 360, sono possibili solo tre tipi di tassellazione.
Nella geometria sferica è possibile solo la tassellazione con triangoli equilateri e con quadrati. Nella geometria iperbolica sono possibili infinite tassellazioni.