Funzioni reali di variabile reale

Funzioni reali di variabile reale Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 1 / 50

Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R. Si chiama funzione reale definita suul insieme A,una legge che ad ogni elemento x di A associa uno e un solo numero reale. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 2 / 50

Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R. Si chiama funzione reale definita suul insieme A,una legge che ad ogni elemento x di A associa uno e un solo numero reale. In questo modo viene definita una funzione f da A in R che è indicata : f : A R. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 2 / 50

Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R. Si chiama funzione reale definita suul insieme A,una legge che ad ogni elemento x di A associa uno e un solo numero reale. In questo modo viene definita una funzione f da A in R che è indicata : L insieme A è detto dominio di f. f : A R. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 2 / 50

Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R. Si chiama funzione reale definita suul insieme A,una legge che ad ogni elemento x di A associa uno e un solo numero reale. In questo modo viene definita una funzione f da A in R che è indicata : f : A R. L insieme A è detto dominio di f. Per ogni x di A il numero associato ad x si indica con f (x) ed è detto immagine di x attraverso f. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 2 / 50

Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R. Si chiama funzione reale definita suul insieme A,una legge che ad ogni elemento x di A associa uno e un solo numero reale. In questo modo viene definita una funzione f da A in R che è indicata : f : A R. L insieme A è detto dominio di f. Per ogni x di A il numero associato ad x si indica con f (x) ed è detto immagine di x attraverso f. L insieme f (A) = {y R :esista almeno un x A tale chef (x) = y}, è detto immagine di f. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 2 / 50

Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R. Si chiama funzione reale definita suul insieme A,una legge che ad ogni elemento x di A associa uno e un solo numero reale. In questo modo viene definita una funzione f da A in R che è indicata : f : A R. L insieme A è detto dominio di f. Per ogni x di A il numero associato ad x si indica con f (x) ed è detto immagine di x attraverso f. L insieme f (A) = {y R :esista almeno un x A tale chef (x) = y}, è detto immagine di f. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 2 / 50

Variabili dipendenti e indipendenti (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 3 / 50

Variabili dipendenti e indipendenti Con queste notazioni x è detta variabile indipendente, mentre y è detta variabile dipendente. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 3 / 50

Variabili dipendenti e indipendenti Con queste notazioni x è detta variabile indipendente, mentre y è detta variabile dipendente. Si osservi che le variabili sono variabile mute cioè la funzine è individuata dal dominio e dalla legge che associa ad un elemento del dominio la sua immagine. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 3 / 50

Variabili dipendenti e indipendenti Con queste notazioni x è detta variabile indipendente, mentre y è detta variabile dipendente. Si osservi che le variabili sono variabile mute cioè la funzine è individuata dal dominio e dalla legge che associa ad un elemento del dominio la sua immagine. A seconda delle necessità, si daranno alla variabile indipendente e a quella dipendente nomi diversi da x e y. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 3 / 50

Variabili dipendenti e indipendenti Con queste notazioni x è detta variabile indipendente, mentre y è detta variabile dipendente. Si osservi che le variabili sono variabile mute cioè la funzine è individuata dal dominio e dalla legge che associa ad un elemento del dominio la sua immagine. A seconda delle necessità, si daranno alla variabile indipendente e a quella dipendente nomi diversi da x e y. Ad esempio se si vuole descrivere uno spostamento in fisica, si usa in genere, t = f (s) che rappresenta una funzione con variabile indipendente s (lo spazio) e variabile dipendente t (il tempo). (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 3 / 50

Grafico Definizione L insieme G(f ) = {(x,y) R 2 : x A e y = f (x)} è detto grafico della funzione f : A R. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 4 / 50

Grafico Definizione L insieme G(f ) = {(x,y) R 2 : x A e y = f (x)} è detto grafico della funzione f : A R. Il grafico di una funzione fornisce una descrizione geometrica della funzione e ne visualizza le proprietà: in particolare nel caso di funzione reale di variabile reale qui considerato, (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 4 / 50

Grafico Definizione L insieme G(f ) = {(x,y) R 2 : x A e y = f (x)} è detto grafico della funzione f : A R. Il grafico di una funzione fornisce una descrizione geometrica della funzione e ne visualizza le proprietà: in particolare nel caso di funzione reale di variabile reale qui considerato, il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano, (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 4 / 50

Grafico Definizione L insieme G(f ) = {(x,y) R 2 : x A e y = f (x)} è detto grafico della funzione f : A R. Il grafico di una funzione fornisce una descrizione geometrica della funzione e ne visualizza le proprietà: in particolare nel caso di funzione reale di variabile reale qui considerato, il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano, il dominio è un sottoinsieme dell asse delle ascisse, (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 4 / 50

Grafico Definizione L insieme G(f ) = {(x,y) R 2 : x A e y = f (x)} è detto grafico della funzione f : A R. Il grafico di una funzione fornisce una descrizione geometrica della funzione e ne visualizza le proprietà: in particolare nel caso di funzione reale di variabile reale qui considerato, il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano, il dominio è un sottoinsieme dell asse delle ascisse, l immagine f (A) è un sottoinsieme dell asse delle ordinate. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 4 / 50

Grafico Definizione L insieme G(f ) = {(x,y) R 2 : x A e y = f (x)} è detto grafico della funzione f : A R. Il grafico di una funzione fornisce una descrizione geometrica della funzione e ne visualizza le proprietà: in particolare nel caso di funzione reale di variabile reale qui considerato, il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano, il dominio è un sottoinsieme dell asse delle ascisse, l immagine f (A) è un sottoinsieme dell asse delle ordinate. In particolare il grafico è un sottoinsieme di punti del piano cartesiano tale che, (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 4 / 50

Grafico Definizione L insieme G(f ) = {(x,y) R 2 : x A e y = f (x)} è detto grafico della funzione f : A R. Il grafico di una funzione fornisce una descrizione geometrica della funzione e ne visualizza le proprietà: in particolare nel caso di funzione reale di variabile reale qui considerato, il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano, il dominio è un sottoinsieme dell asse delle ascisse, l immagine f (A) è un sottoinsieme dell asse delle ordinate. In particolare il grafico è un sottoinsieme di punti del piano cartesiano tale che, su ogni retta parallela all asse y passante per un punto (a,0) del dominio, c è uno e un sol punto del grafico. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 4 / 50

Il seguente grafico rappresenta una funzione: Il seguente grafico non rappresenta una funzione: (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 5 / 50

Esempi La funzione f : R R. f (x) = 1 è una funzione costante che associa ad ogni numero reale il numero 1 Il suo dominio è l insieme dei numeri reali, la sua immagine è l insieme { 1} (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 6 / 50

La funzione f : [ 4,5) R f (x) = 1 x è una funzione con dominio [ 4,5) e immagine f ([ 4,5)) = ( 4,5]. Si noti che il punto ( 4,5) appartiene al grafico di f, mentre il punto (5, 4) non appartiene al grafico di f. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 7 / 50

Funzione identità La funzione f : R R così definita f (x) = x è chiamata funzione identità, ha dominio e immagine l insieme dei numeri reali R. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 8 / 50

Funzione quadrato La funzione f : R R con f (x) = x 2 è una funzione con dominio R e immagine f (R) = [0,+ ) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 9 / 50

Funzione definita a pezzi La funzione f : R R così definita f (x) = x 2 se x < 1 2 se 1 x 1 x se 1 < x ha dominio R e immagine f (R) = { 2} [1,+ ). (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 10 / 50

Funzione cubo La funzione f : R R con f (x) = x 3 è una funzione con dominio R e immagine f (R) = R. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 11 / 50

Funzioni iniettive Una funzione f : A R è tale se ad ogni punto del dominio, corrisponde uno e un solo elemento nell immagine, (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 12 / 50

Funzioni iniettive Una funzione f : A R è tale se ad ogni punto del dominio, corrisponde uno e un solo elemento nell immagine, ma dato un elemento dell immagine può provenire tramite f da di più di un punto del dominio. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 12 / 50

Funzioni iniettive Una funzione f : A R è tale se ad ogni punto del dominio, corrisponde uno e un solo elemento nell immagine, ma dato un elemento dell immagine può provenire tramite f da di più di un punto del dominio. Quando ogni elemento dell immagine di f proviene da un solo elemento di A, la funzione f si dice iniettiva. Quindi (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 12 / 50

Funzioni iniettive Una funzione f : A R è tale se ad ogni punto del dominio, corrisponde uno e un solo elemento nell immagine, ma dato un elemento dell immagine può provenire tramite f da di più di un punto del dominio. Quando ogni elemento dell immagine di f proviene da un solo elemento di A, la funzione f si dice iniettiva. Quindi Definizione f : A R è iniettiva se ogni volta che f (x 1 ) = f (x 2 )allora x 1 = x 2 (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 12 / 50

Grafico di funzioni iniettive Una funzione è iniettiva se il suo grafico gode della seguente proprietà : (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 13 / 50

Grafico di funzioni iniettive Una funzione è iniettiva se il suo grafico gode della seguente proprietà : ogni retta orizzontale passante per un punto dell immagine, interseca il grafico in un solo punto. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 13 / 50

Grafico di funzioni iniettive Una funzione è iniettiva se il suo grafico gode della seguente proprietà : ogni retta orizzontale passante per un punto dell immagine, interseca il grafico in un solo punto. Ad esempio la funzione f : R R : f (x) = x 2 non è iniettiva, infatti f (x) = 9 ha due soluzioni: x = 3 e x = 3 (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 13 / 50

La funzione f : R R : f (x) = 2x 1 è iniettiva, infatti sia f (x 1 ) = f (x 2 ) cioè 2x 1 1 = 2x 2 1 implica x 1 = x 2 (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 14 / 50

Anche la funzione f : R R : f (x) = x 3 è iniettiva, infatti sia f (x 1 ) = f (x 2 ) cioè (x 1 ) 3 = (x 2 ) 3 implica x 1 = x 2. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 15 / 50

Somma, prodotto, quoziente di funzioni reali Sia f : A R e e g : B R due funzioni reali di variabili reale. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 16 / 50

Somma, prodotto, quoziente di funzioni reali Sia f : A R e e g : B R due funzioni reali di variabili reale. Definiamo somma il prodotto di f e g come segue: (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 16 / 50

Somma, prodotto, quoziente di funzioni reali Sia f : A R e e g : B R due funzioni reali di variabili reale. Definiamo somma il prodotto di f e g come segue: f + g : A B R, (f + g)(x) = f (x) + g(x), (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 16 / 50

Somma, prodotto, quoziente di funzioni reali Sia f : A R e e g : B R due funzioni reali di variabili reale. Definiamo somma il prodotto di f e g come segue: f + g : A B R, (f + g)(x) = f (x) + g(x), f. g : A B R, (f. g)(x) = f (x). g(x), (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 16 / 50

Somma, prodotto, quoziente di funzioni reali Sia f : A R e e g : B R due funzioni reali di variabili reale. Definiamo somma il prodotto di f e g come segue: f + g : A B R, (f + g)(x) = f (x) + g(x), f. g : A B R, (f. g)(x) = f (x). g(x), f g : A B \ {x : g(x) = 0} R, f f (x) g (x) = g(x) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 16 / 50

Esempi Siano f (x) = 3x + 1 e g(x) = x 2. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 17 / 50

Esempi Siano f (x) = 3x + 1 e g(x) = x 2. f, g : R R (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 17 / 50

Esempi Siano f (x) = 3x + 1 e g(x) = x 2. f, g : R R Allora f + g, f. g : R R e (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 17 / 50

Esempi Siano f (x) = 3x + 1 e g(x) = x 2. f, g : R R Allora f + g, f. g : R R e f g : R \ {0} R (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 17 / 50

Esempi Siano f (x) = 3x + 1 e g(x) = x 2. f, g : R R Allora f + g, f. g : R R e f g : R \ {0} R (f + g)(x) = x 2 + 3x + 1, (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 17 / 50

Esempi Siano f (x) = 3x + 1 e g(x) = x 2. f, g : R R Allora f + g, f. g : R R e f g : R \ {0} R (f + g)(x) = x 2 + 3x + 1, (f. g)(x) = (3x + 1)x 2 = 3x 3 + x 2 (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 17 / 50

Esempi Siano f (x) = 3x + 1 e g(x) = x 2. f, g : R R Allora f + g, f. g : R R e f g : R \ {0} R (f + g)(x) = x 2 + 3x + 1, (f. g)(x) = (3x + 1)x 2 = 3x 3 + x 2 f 3x+1 g (x) = x 2 (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 17 / 50

Composizione di funzioni Consideriamo due funzioni f : X Y e g : Y Z. Risulta naturale considerare la funzione h : X Z definita come: f seguita da g. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 18 / 50

Consideriamo ora funzioni reali di variabile reale. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 19 / 50

Consideriamo ora funzioni reali di variabile reale. Date due funzioni f : A R e g : B R. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 19 / 50

Consideriamo ora funzioni reali di variabile reale. Date due funzioni f : A R e g : B R. Se f (A) B, all elemento x in A si associal l elemento t = f (x) di B e a questo a un elemento si associa y = g(f (x)) di g(b). Ciò porta alla seguente (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 19 / 50

Consideriamo ora funzioni reali di variabile reale. Date due funzioni f : A R e g : B R. Se f (A) B, all elemento x in A si associal l elemento t = f (x) di B e a questo a un elemento si associa y = g(f (x)) di g(b). Ciò porta alla seguente Definizione Date due funzioni f : A R e g : B R, con f (A) B, definiamo funzione composta : g f la funzione g f : A R che associa ad x in A il valore g(f (x)). Quindi: (g f )(x) = g(f (x)). (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 19 / 50

Calcolo della funzione composta Prima di esaminare qualche esempio, ribadiamo che per calcolare il valore della funzione g f in un punto x di A (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 20 / 50

Calcolo della funzione composta Prima di esaminare qualche esempio, ribadiamo che per calcolare il valore della funzione g f in un punto x di A prima si calcola il valore t = f (x) di f in x e successivamente (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 20 / 50

Calcolo della funzione composta Prima di esaminare qualche esempio, ribadiamo che per calcolare il valore della funzione g f in un punto x di A prima si calcola il valore t = f (x) di f in x e successivamente si calcola il valore g(t) di g in t. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 20 / 50

Calcolo della funzione composta Prima di esaminare qualche esempio, ribadiamo che per calcolare il valore della funzione g f in un punto x di A prima si calcola il valore t = f (x) di f in x e successivamente si calcola il valore g(t) di g in t. Operiamo cioè al seguente modo: per ottenere la legge x g(f (x)), operiamo: (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 20 / 50

Calcolo della funzione composta Prima di esaminare qualche esempio, ribadiamo che per calcolare il valore della funzione g f in un punto x di A prima si calcola il valore t = f (x) di f in x e successivamente si calcola il valore g(t) di g in t. Operiamo cioè al seguente modo: per ottenere la legge x g(f (x)), operiamo: x f (x) g(f (x)). (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 20 / 50

In un certo senso usiamo già la nozione di funzione composta quando applichiamo il teorema di Pitagora per dedurre la lunghezza dell ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti 1 e x. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 21 / 50

In un certo senso usiamo già la nozione di funzione composta quando applichiamo il teorema di Pitagora per dedurre la lunghezza dell ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti 1 e x. Dapprima consideriamo la funzione f (x) = 1 + x 2 cioè la funzione che prende un numero reale ne considera il quadrato e somma il quadrato di 1 (questa funzione f associa alla lunghezza del cateto x l area del quadrato sull ipotenusa) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 21 / 50

In un certo senso usiamo già la nozione di funzione composta quando applichiamo il teorema di Pitagora per dedurre la lunghezza dell ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti 1 e x. Dapprima consideriamo la funzione f (x) = 1 + x 2 cioè la funzione che prende un numero reale ne considera il quadrato e somma il quadrato di 1 (questa funzione f associa alla lunghezza del cateto x l area del quadrato sull ipotenusa) mentre g(x) = x (cioè la funzione che prende un numero reale positivo o nullo e ne fa la radice quadrata,ovvero all area di un quadrato associa il lato), La funzione composta, ossia la funzione che associa alla lunghezza del cateto la lunghezza dell ipotenusa è data da (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 21 / 50

In un certo senso usiamo già la nozione di funzione composta quando applichiamo il teorema di Pitagora per dedurre la lunghezza dell ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti 1 e x. Dapprima consideriamo la funzione f (x) = 1 + x 2 cioè la funzione che prende un numero reale ne considera il quadrato e somma il quadrato di 1 (questa funzione f associa alla lunghezza del cateto x l area del quadrato sull ipotenusa) mentre g(x) = x (cioè la funzione che prende un numero reale positivo o nullo e ne fa la radice quadrata,ovvero all area di un quadrato associa il lato), La funzione composta, ossia la funzione che associa alla lunghezza del cateto la lunghezza dell ipotenusa è data da (g f )(x) = g(1 + x 2 ) = 1 + x 2 (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 21 / 50

Esempio Consideriamo le funzioni: f (x) = 3x 2 + 6 e g(x) = x + 3 Calcoliamo (g f )( 1), (f g)( 1),(g f )(x),(f g)(x),(g g)(x) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 22 / 50

Esempio Consideriamo le funzioni: f (x) = 3x 2 + 6 e g(x) = x + 3 Calcoliamo (g f )( 1), (f g)( 1),(g f )(x),(f g)(x),(g g)(x) Si ha f,g : R R, f (R) = [6,+ ) B = R, (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 22 / 50

Esempio Consideriamo le funzioni: f (x) = 3x 2 + 6 e g(x) = x + 3 Calcoliamo (g f )( 1), (f g)( 1),(g f )(x),(f g)(x),(g g)(x) Si ha f,g : R R, f (R) = [6,+ ) B = R, quindi g f, f g e g g sono definite su tutto R (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 22 / 50

Esempio Consideriamo le funzioni: f (x) = 3x 2 + 6 e g(x) = x + 3 Calcoliamo (g f )( 1), (f g)( 1),(g f )(x),(f g)(x),(g g)(x) Si ha f,g : R R, f (R) = [6,+ ) B = R, quindi g f, f g e g g sono definite su tutto R f ( 1) = 3( 1) 2. + 6 = 9 e g(9) = 9 + 3 = 6,pertanto (g f )( 1) = 6 (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 22 / 50

Esempio Consideriamo le funzioni: f (x) = 3x 2 + 6 e g(x) = x + 3 Calcoliamo (g f )( 1), (f g)( 1),(g f )(x),(f g)(x),(g g)(x) Si ha f,g : R R, f (R) = [6,+ ) B = R, quindi g f, f g e g g sono definite su tutto R f ( 1) = 3( 1) 2. + 6 = 9 e g(9) = 9 + 3 = 6,pertanto (g f )( 1) = 6 g( 1) = ( 1) + 3 = 4 e f (4) = 3(4) 2 + 6 = 54 pertanto (f g)( 1) = 54. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 22 / 50

Esempio Consideriamo le funzioni: f (x) = 3x 2 + 6 e g(x) = x + 3 Calcoliamo (g f )( 1), (f g)( 1),(g f )(x),(f g)(x),(g g)(x) Si ha f,g : R R, f (R) = [6,+ ) B = R, quindi g f, f g e g g sono definite su tutto R f ( 1) = 3( 1) 2. + 6 = 9 e g(9) = 9 + 3 = 6,pertanto (g f )( 1) = 6 g( 1) = ( 1) + 3 = 4 e f (4) = 3(4) 2 + 6 = 54 pertanto (f g)( 1) = 54. la funzione composta g f è definita da (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 22 / 50

Esempio Consideriamo le funzioni: f (x) = 3x 2 + 6 e g(x) = x + 3 Calcoliamo (g f )( 1), (f g)( 1),(g f )(x),(f g)(x),(g g)(x) Si ha f,g : R R, f (R) = [6,+ ) B = R, quindi g f, f g e g g sono definite su tutto R f ( 1) = 3( 1) 2. + 6 = 9 e g(9) = 9 + 3 = 6,pertanto (g f )( 1) = 6 g( 1) = ( 1) + 3 = 4 e f (4) = 3(4) 2 + 6 = 54 pertanto (f g)( 1) = 54. la funzione composta g f è definita da (g f ) (x) = g(3x 2 + 6) = (3x 2 + 6) + 3 = 3x 2 3 (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 22 / 50

Esempio Consideriamo le funzioni: f (x) = 3x 2 + 6 e g(x) = x + 3 Calcoliamo (g f )( 1), (f g)( 1),(g f )(x),(f g)(x),(g g)(x) Si ha f,g : R R, f (R) = [6,+ ) B = R, quindi g f, f g e g g sono definite su tutto R f ( 1) = 3( 1) 2. + 6 = 9 e g(9) = 9 + 3 = 6,pertanto (g f )( 1) = 6 g( 1) = ( 1) + 3 = 4 e f (4) = 3(4) 2 + 6 = 54 pertanto (f g)( 1) = 54. la funzione composta g f è definita da (g f ) (x) = g(3x 2 + 6) = (3x 2 + 6) + 3 = 3x 2 3 (f g)(x) = f ( x + 3) = 3( x + 3) 2 + 6 = 3x 2 18x + 33 (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 22 / 50

Esempio Consideriamo le funzioni: f (x) = 3x 2 + 6 e g(x) = x + 3 Calcoliamo (g f )( 1), (f g)( 1),(g f )(x),(f g)(x),(g g)(x) Si ha f,g : R R, f (R) = [6,+ ) B = R, quindi g f, f g e g g sono definite su tutto R f ( 1) = 3( 1) 2. + 6 = 9 e g(9) = 9 + 3 = 6,pertanto (g f )( 1) = 6 g( 1) = ( 1) + 3 = 4 e f (4) = 3(4) 2 + 6 = 54 pertanto (f g)( 1) = 54. la funzione composta g f è definita da (g f ) (x) = g(3x 2 + 6) = (3x 2 + 6) + 3 = 3x 2 3 (f g)(x) = f ( x + 3) = 3( x + 3) 2 + 6 = 3x 2 18x + 33 (g g)(x) = g( x + 3) = ( x + 3) + 3 = x (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 22 / 50

Si noti che g f è diverso da f g; questo significa che la composizioni di funzioni non è commutativa, (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 23 / 50

Si noti che g f è diverso da f g; questo significa che la composizioni di funzioni non è commutativa, vale invece la proprietà associativa, ossia h (g f ) = (h g) f. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 23 / 50

Dominio per la composizione di funzioni Consideriamo le due funzioni f (x) = 2 x 2 e g(x) = x. Possiamo sempre fare (g f )(x)? (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 24 / 50

Dominio per la composizione di funzioni Consideriamo le due funzioni f (x) = 2 x 2 e g(x) = x. Possiamo sempre fare (g f )(x)? E se lo possiamo fare, qual è il dominio di questa funzione composta? (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 24 / 50

Dominio per la composizione di funzioni Consideriamo le due funzioni f (x) = 2 x 2 e g(x) = x. Possiamo sempre fare (g f )(x)? E se lo possiamo fare, qual è il dominio di questa funzione composta? La funzione f è ha R come dominio. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 24 / 50

Dominio per la composizione di funzioni Consideriamo le due funzioni f (x) = 2 x 2 e g(x) = x. Possiamo sempre fare (g f )(x)? E se lo possiamo fare, qual è il dominio di questa funzione composta? La funzione f è ha R come dominio. La funzione composta è data da (g f ) (x) = g(f (x)) = g(2 x 2 ) = 2 x 2 e quindi per poterla calcolare devo assicurarmi che l argomento della radice sia maggiore o uguale a zero. Quindi dobbiamo prendere in considerazione solamente l insieme: {x R : 2 x 2 0} = [ 2, 2]. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 24 / 50

Dominio per la composizione di funzioni Consideriamo le due funzioni f (x) = 2 x 2 e g(x) = x. Possiamo sempre fare (g f )(x)? E se lo possiamo fare, qual è il dominio di questa funzione composta? La funzione f è ha R come dominio. La funzione composta è data da (g f ) (x) = g(f (x)) = g(2 x 2 ) = 2 x 2 e quindi per poterla calcolare devo assicurarmi che l argomento della radice sia maggiore o uguale a zero. Quindi dobbiamo prendere in considerazione solamente l insieme: {x R : 2 x 2 0} = [ 2, 2]. In sostanza, nonostante f abbia R come dominio, il fatto che poi si debba applicare la funzione g (il cui dominio è più piccolo dell immagine di f ) obbliga a restringere il dominio di f per potere applicare la funzione g. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 24 / 50

Dominio per la composizione di funzioni Consideriamo le due funzioni f (x) = 2 x 2 e g(x) = x. Possiamo sempre fare (g f )(x)? E se lo possiamo fare, qual è il dominio di questa funzione composta? La funzione f è ha R come dominio. La funzione composta è data da (g f ) (x) = g(f (x)) = g(2 x 2 ) = 2 x 2 e quindi per poterla calcolare devo assicurarmi che l argomento della radice sia maggiore o uguale a zero. Quindi dobbiamo prendere in considerazione solamente l insieme: {x R : 2 x 2 0} = [ 2, 2]. In sostanza, nonostante f abbia R come dominio, il fatto che poi si debba applicare la funzione g (il cui dominio è più piccolo dell immagine di f ) obbliga a restringere il dominio di f per potere applicare la funzione g. In conclusione,il dominio della funzione composta g f è dom( g f ) = {x dom f : f (x) dom g} (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 24 / 50

Esempio Consideriamo le funzioni: f (x) = x, definita in A = [0,+ ) e g(x) = x 1,definita in tutto R. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 25 / 50

Esempio Consideriamo le funzioni: f (x) = x, definita in A = [0,+ ) e g(x) = x 1,definita in tutto R. f (A) = [0,+ ) R e la funzione composta g f è definita da (g f )(x) = g( x) = x 1 = x 1. D altra parte la funzione f g non esiste per nessun valore reale di x, poiché l immagine di g è (, 1] e non ha nessun punto in comune con il dominio [0,+ )di f. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 25 / 50

Gli esempi che seguono mostrano come individuare le funzioni componenti di una funzione composta. In qualche caso c è un solo modo di scomporre una funzione, in altri no. Se si scompone una funzione per poter fare su di essa dei conti (ad esempio, ricerca dell insieme di definizione o, come vedremo negli argomenti successivi, calcolo di limiti o derivate) si favoriscono le scomposizioni più semplici. In qualche caso invece una scomposizione apparentemente più complicata può aiutare a vedere meglio particolari proprietà o evidenziare una particolare costruzione. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 26 / 50

Esempi La funzione F(x) = x 1 si può descrivere solo come segue: (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 27 / 50

Esempi La funzione F(x) = x 1 si può descrivere solo come segue: prendi un qualunque numero reale x 1: ad esso sottrai 1; poi calcola la radice quadrata del risultato. In simboli: x ( ) 1 x 1 x 1 e quindi si può vedere come la funzione composta (g f )(x) = g(f (x)) con f (x) = x 1, g(t) = t. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 27 / 50

La funzione F(x) = 3(x 2) + 1,che si può leggere come: al triplo della differenza tra x e 2 aggiungi 1, è ottenuta attraverso i seguenti 3 passaggi: x ( ) 2 x 2 3( ) 3(x 2) ( )+1 3(x 2) + 1 e quindi è la funzione composta (h g f )(x) = h(g(f (x))) con f (x) = x 2, g(t) = 3t, h(z) = z + 1. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 28 / 50

La funzione F(x) = 3(x 2) + 1,che si può leggere come: al triplo della differenza tra x e 2 aggiungi 1, è ottenuta attraverso i seguenti 3 passaggi: x ( ) 2 x 2 3( ) 3(x 2) ( )+1 3(x 2) + 1 e quindi è la funzione composta (h g f )(x) = h(g(f (x))) con f (x) = x 2, g(t) = 3t, h(z) = z + 1. Ma la stessa funzione si riscrive F(x) = 3x 5 e si può dunque ottenere facendo solo i seguenti due passaggi: x 3( ) 3x ( ) 5 3x 5 e quindi si può vedere come la funzione composta (g f )(x) = g(f (x)) con f (x) = 3x,g(t) = t 5. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 28 / 50

FUNZIONI SIMMETRICHE Sia A R simmetrico rispetto all origine: questo significa che se x A, allora x A (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 29 / 50

FUNZIONI SIMMETRICHE Sia A R simmetrico rispetto all origine: questo significa che se x A, allora x A Definizione Una funzione f : A R si dice pari se: f ( x) = f (x), per ogni x A. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 29 / 50

FUNZIONI SIMMETRICHE Sia A R simmetrico rispetto all origine: questo significa che se x A, allora x A Definizione Una funzione f : A R si dice pari se: f ( x) = f (x), per ogni x A. Una funzione f : A R si dice dispari se f ( x) = f (x), per ogni x A. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 29 / 50

Grafici di funzioni simmetriche (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 30 / 50

Grafici di funzioni simmetriche Una funzione pari ha il grafico è simmetrico rispetto all asse delle ordinate. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 30 / 50

Grafici di funzioni simmetriche Una funzione pari ha il grafico è simmetrico rispetto all asse delle ordinate. Ad esempio le funzioni f (x) = x 2,x 4,...,x 2k definite su R, sono pari. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 30 / 50

Grafici di funzioni simmetriche Una funzione pari ha il grafico è simmetrico rispetto all asse delle ordinate. Ad esempio le funzioni f (x) = x 2,x 4,...,x 2k definite su R, sono pari. Una funzione dispari ha il grafico è simmetrico rispetto all origine degli assi. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 30 / 50

Grafici di funzioni simmetriche Una funzione pari ha il grafico è simmetrico rispetto all asse delle ordinate. Ad esempio le funzioni f (x) = x 2,x 4,...,x 2k definite su R, sono pari. Una funzione dispari ha il grafico è simmetrico rispetto all origine degli assi. Ad esempio le funzioni f (x) = x 3 x 5,...,x 2k+1 definite su R, sono dispari. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 30 / 50

grafici di funzioni per simmetria Considerata la funzione g(x) = x,e data una funzione f : A R, si possono considerare le composizioni: g f : A R f g : A R. dove A = { x : x A} (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 31 / 50

grafici di funzioni per simmetria Considerata la funzione g(x) = x,e data una funzione f : A R, si possono considerare le composizioni: g f : A R f g : A R. dove A = { x : x A} Si avrà (g f )(x) = g(f (x)) = f (x) (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 31 / 50

grafici di funzioni per simmetria Considerata la funzione g(x) = x,e data una funzione f : A R, si possono considerare le composizioni: g f : A R f g : A R. dove A = { x : x A} Si avrà (g f )(x) = g(f (x)) = f (x) (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x) Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di f. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 31 / 50

grafici di funzioni per simmetria Considerata la funzione g(x) = x,e data una funzione f : A R, si possono considerare le composizioni: g f : A R f g : A R. dove A = { x : x A} Si avrà (g f )(x) = g(f (x)) = f (x) (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x) Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di f. Il grafico di f (x) è il simmetrico al grafico di f rispetto all asse delle ascisse. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 31 / 50

grafici di funzioni per simmetria Considerata la funzione g(x) = x,e data una funzione f : A R, si possono considerare le composizioni: g f : A R f g : A R. dove A = { x : x A} Si avrà (g f )(x) = g(f (x)) = f (x) (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x) Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di f. Il grafico di f (x) è il simmetrico al grafico di f rispetto all asse delle ascisse. Il grafico di f ( x) è il simmetrico del grafico di f rispetto all asse delle ordinate. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 31 / 50

Esempo f 1 (x) = 2 + x e f 2 (x) = x (rosso) allora f 1 (x) = 2 x e f 2 (x) = x (verde) mentre f 1 ( x) = 2 x e f 2 ( x) = x (bleu) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 32 / 50

grafici di funzioni per translazioni Considerata la funzione g(x) = x + c, data una funzione f : A R, si possono considerare le composizioni: g f : A R f g : A R dove A = {y : y + c A} = {x c : x A} (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 33 / 50

grafici di funzioni per translazioni Considerata la funzione g(x) = x + c, data una funzione f : A R, si possono considerare le composizioni: g f : A R f g : A R dove A = {y : y + c A} = {x c : x A} Si avrà che (g f )(x) = g(f (x)) = f (x) + c, mentre (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 33 / 50

grafici di funzioni per translazioni Considerata la funzione g(x) = x + c, data una funzione f : A R, si possono considerare le composizioni: g f : A R f g : A R dove A = {y : y + c A} = {x c : x A} Si avrà che (g f )(x) = g(f (x)) = f (x) + c, mentre (f g)(x) = f (g(x)) = f (x + c) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 33 / 50

grafici di funzioni per translazioni Considerata la funzione g(x) = x + c, data una funzione f : A R, si possono considerare le composizioni: g f : A R f g : A R dove A = {y : y + c A} = {x c : x A} Si avrà che (g f )(x) = g(f (x)) = f (x) + c, mentre (f g)(x) = f (g(x)) = f (x + c) Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di f (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 33 / 50

grafici di funzioni per translazioni Considerata la funzione g(x) = x + c, data una funzione f : A R, si possono considerare le composizioni: g f : A R f g : A R dove A = {y : y + c A} = {x c : x A} Si avrà che (g f )(x) = g(f (x)) = f (x) + c, mentre (f g)(x) = f (g(x)) = f (x + c) Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di f Il grafico di f (x) + c è il il grafico di f translato nella direzione dell asse delle ordinate di c. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 33 / 50

grafici di funzioni per translazioni Considerata la funzione g(x) = x + c, data una funzione f : A R, si possono considerare le composizioni: g f : A R f g : A R dove A = {y : y + c A} = {x c : x A} Si avrà che (g f )(x) = g(f (x)) = f (x) + c, mentre (f g)(x) = f (g(x)) = f (x + c) Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di f Il grafico di f (x) + c è il il grafico di f translato nella direzione dell asse delle ordinate di c. Il grafico di f (x + c) è il il grafico di f translato nella direzione dell asse delle ascisse di c. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 33 / 50

Per esempio,sia e f (x) = x (rosso) e c 1 = 2, c 1 = 3 allora f(x) + 2 = x + 2 e f(x) 3 = x 3 (bleu) mentre f(x + 2) = x + 2 e f ( x 3) = x 3 (verde) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 34 / 50

Grafici di funzioni con valore assoluto Considerata la funzione g(x) = x, e una funzione f : A R, si possono considerare le composizioni: g f : A R f g : A A R. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 35 / 50

Grafici di funzioni con valore assoluto Considerata la funzione g(x) = x, e una funzione f : A R, si possono considerare le composizioni: g f : A R f g : A A R. Si avrà che (g f )(x) = g(f (x)) = f (x), mentre (f g)(x) = f (g(x)) = f ( x ) Costruiamo { i due grafici supponendo di conoscere il grafico di f f (x) se f (x) 0 f (x) = f (x) se f (x) < 0 Il grafico di f (x) si ottiene dunque lasciando invariato il grafico di f che si trova nel primo e secondo quadrante, perchè in questo caso, essendo f (x) 0 f (x) = f (x). Quindi, per i punti in cui il grafico di f si trova nel terzo e quarto quadrante, si ha f (x) 0 e f (x) = f (x) pertanto si sostituisce il grafico di f in questi quadranti con il suo simmetrico rispetto all asse delle ascisse. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 35 / 50

Il grafico di f ( x ) è il simmetrico all asse delle ordinate essendo f ( x ) una funzione pari. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 36 / 50

Il grafico di f ( x ) è il simmetrico all asse delle ordinate essendo f ( x ) una funzione pari. { f (x) se x 0 f ( x ) = f ( x) se x < 0 Quindi per ottenere il grafico di f ( x ) si lascia invariato il grafico di f per x 0 e si simmetrizza questo grafico rispetto all asse delle ordinate per x < 0. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 36 / 50

Per esempio { siano f (x) = x 2 + x + 2 = (1 + x)(2 x) (rosso ) allora x f (x) = 2 + x + 2 se 1 x 2 x 2 x 2 se x < 1,x > 2 (bleu) { x mentre f ( x ) = 2 + x + 2 se x 0 x 2 x + 2 se x < 0 (verde) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 37 / 50

FUNZIONI PERIODICHE Una funzione f : A R si dice periodica se esiste T R tale che f (x) = f (x + T),per ogni x A (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 38 / 50

FUNZIONI PERIODICHE Una funzione f : A R si dice periodica se esiste T R tale che f (x) = f (x + T),per ogni x A Il più piccolo numero reale positivo per cui è valida la relazione precedente è detto periodo di f. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 38 / 50

FUNZIONI PERIODICHE Una funzione f : A R si dice periodica se esiste T R tale che f (x) = f (x + T),per ogni x A Il più piccolo numero reale positivo per cui è valida la relazione precedente è detto periodo di f. Ad esempio le funzioni f (x) = sinx; f (x) = cosx e f (x) = tanx = sinx cosx sono periodiche. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 38 / 50

FUNZIONI PERIODICHE Una funzione f : A R si dice periodica se esiste T R tale che f (x) = f (x + T),per ogni x A Il più piccolo numero reale positivo per cui è valida la relazione precedente è detto periodo di f. Ad esempio le funzioni f (x) = sinx; f (x) = cosx e f (x) = tanx = sinx cosx sono periodiche. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 38 / 50

Il periodo di f (x) = sinx (blu) e f (x) = cosx (rosso) è 2π (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 39 / 50

Il periodo di f (x) = sinx (blu) e f (x) = cosx (rosso) è 2π (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 39 / 50

Il periodo di f (x) = sinx (blu) e f (x) = cosx (rosso) è 2π Il periodo di f (x) = tanx è π (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 39 / 50

FUNZIONE INVERSA Sia f : A R una funzione iniettiva, allora per ogni elemento y di f (A) c è un solo x in A tale che risulti y = f (x) Si può definire allora una funzione g : f (A) A R ponendo, per ogni y di f (A), g(y) = x f (x) = y. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 40 / 50

FUNZIONE INVERSA Sia f : A R una funzione iniettiva, allora per ogni elemento y di f (A) c è un solo x in A tale che risulti y = f (x) Si può definire allora una funzione g : f (A) A R ponendo, per ogni y di f (A), g(y) = x f (x) = y. La funzione così definita è tale che per ogni x A si ha g(f (x)) = x e per ogni y f (A) si ha f (g(y)) = y: per questo di solito si indica con f 1. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 40 / 50

FUNZIONE INVERSA Sia f : A R una funzione iniettiva, allora per ogni elemento y di f (A) c è un solo x in A tale che risulti y = f (x) Si può definire allora una funzione g : f (A) A R ponendo, per ogni y di f (A), g(y) = x f (x) = y. La funzione così definita è tale che per ogni x A si ha g(f (x)) = x e per ogni y f (A) si ha f (g(y)) = y: per questo di solito si indica con f 1. Definizione Sia f : A R una funzione iniettiva. La funzione f 1 : f (A) R definita ponendo per ogni y f (A) si chiama funzione inversa di f. f 1 (y) = x f (x) = y (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 40 / 50

Si ha quindi che, per ogni x A: x f f (x) f 1 f 1 (f (x)) = x (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 41 / 50

Si ha quindi che, per ogni x A: x f f (x) f 1 f 1 (f (x)) = x e per ogni y f (A) si ha y f 1 f 1 (y) f f (f 1 (y)) = y (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 41 / 50

Si ha quindi che, per ogni x A: x f f (x) f 1 f 1 (f (x)) = x e per ogni y f (A) si ha y f 1 f 1 (y) f f (f 1 (y)) = y Non sempre, anche se esiste, si può ricavare esplicitamente la funzione inversa. Nel caso dell esempio che segue è possibile: basta scrivere f (x) = y risolvere questa come un equazione in x cioè ricavare la x in funzione di y. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 41 / 50

Esempio Si consideri la funzione f : R R f (x) = 2x + 3. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 42 / 50

Esempio Si consideri la funzione f : R R f (x) = 2x + 3. f è iniettiva. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 42 / 50

Esempio Si consideri la funzione f : R R f (x) = 2x + 3. f è iniettiva. Quindi poniamo y = 2x + 3, ; otteniamo x = 1 2 y 3 2. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 42 / 50

Esempio Si consideri la funzione f : R R f (x) = 2x + 3. f è iniettiva. Quindi poniamo y = 2x + 3, ; otteniamo x = 1 2 y 3 2. Pertanto f 1 (y) = 1 2 y 3 2. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 42 / 50

Esempio Si consideri la funzione f : R R f (x) = 2x + 3. f è iniettiva. Quindi poniamo y = 2x + 3, ; otteniamo x = 1 2 y 3 2. Pertanto f 1 (y) = 1 2 y 3 2. verifichiamo che la funzione trovata è effettivamente l inversa di f (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 42 / 50

Esempio Si consideri la funzione f : R R f (x) = 2x + 3. f è iniettiva. Quindi poniamo y = 2x + 3, ; otteniamo x = 1 2 y 3 2. Pertanto f 1 (y) = 1 2 y 3 2. verifichiamo che la funzione trovata è effettivamente l inversa di f f 1 (f (x)) = f 1 (2x + 3) = 1 2 (2x + 3) 3 2 = x + 3 2 3 2 = x (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 42 / 50

Esempio Si consideri la funzione f : R R f (x) = 2x + 3. f è iniettiva. Quindi poniamo y = 2x + 3, ; otteniamo x = 1 2 y 3 2. Pertanto f 1 (y) = 1 2 y 3 2. verifichiamo che la funzione trovata è effettivamente l inversa di f f 1 (f (x)) = f 1 (2x + 3) = 1 2 (2x + 3) 3 2 = x + 3 2 3 2 = x f (f 1 (y)) = f ( 1 2 y 3 2 ) = 2( 1 2 y 3 2 ) + 3 = y 3 + 3 = y (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 42 / 50

(Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 43 / 50

Anche la funzione f (x) = x 3 è iniettiva e la sua immagine è R (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 44 / 50

Anche la funzione f (x) = x 3 è iniettiva e la sua immagine è R La sua funzione inversa si chiama radice cubica e si indica f 1 (y) = 3 y (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 44 / 50

Anche la funzione f (x) = x 3 è iniettiva e la sua immagine è R La sua funzione inversa si chiama radice cubica e si indica f 1 (y) = 3 y 3 Si ha quindi x 3 = x, mentre ( 3 y) 3 = y o ricordando che le variabili di una funzione sono mute ( 3 x) 3 = x. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 44 / 50

Anche la funzione f (x) = x 3 è iniettiva e la sua immagine è R La sua funzione inversa si chiama radice cubica e si indica f 1 (y) = 3 y 3 Si ha quindi x 3 = x, mentre ( 3 y) 3 = y o ricordando che le variabili di una funzione sono mute ( 3 x) 3 = x. A questo proposito si osservi che la variabile della funzione inversa e anche di quella diretta può essere espressa da qualunque lettera, dunque la funzione inversa dell esempio precedente può essere scritta come f 1 (x) = 1 2 x 3 2, mentre la funzione inversa di f (x) = x3 può essere scritta f 1 (x) = 3 x (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 44 / 50

Abbiamo già visto che f (x) = x 2 non è iniettiva se si prende come dominio tutto R. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 45 / 50

Abbiamo già visto che f (x) = x 2 non è iniettiva se si prende come dominio tutto R. Lo diventa però se si restringe il dominio a [0,+ ): (verificarlo sul grafico) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 45 / 50

Abbiamo già visto che f (x) = x 2 non è iniettiva se si prende come dominio tutto R. Lo diventa però se si restringe il dominio a [0,+ ): (verificarlo sul grafico) Quindi : f (x) = x 2 considerando f : [0,+ ) R è iniettiva e la sua immagine è di nuovo [0,+ ),( f : [0,+ ) [0,+ )) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 45 / 50

Abbiamo già visto che f (x) = x 2 non è iniettiva se si prende come dominio tutto R. Lo diventa però se si restringe il dominio a [0,+ ): (verificarlo sul grafico) Quindi : f (x) = x 2 considerando f : [0,+ ) R è iniettiva e la sua immagine è di nuovo [0,+ ),( f : [0,+ ) [0,+ )) In questo caso f 1 (y) = y. f : [0,+ ) [0,+ ) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 45 / 50

Abbiamo già visto che f (x) = x 2 non è iniettiva se si prende come dominio tutto R. Lo diventa però se si restringe il dominio a [0,+ ): (verificarlo sul grafico) Quindi : f (x) = x 2 considerando f : [0,+ ) R è iniettiva e la sua immagine è di nuovo [0,+ ),( f : [0,+ ) [0,+ )) In questo caso f 1 (y) = y. f : [0,+ ) [0,+ ) Si può fare lo stesso ragionamento anche se x 0: ma in questo caso la soluzione è f 1 (y) = y, quindi l inversa della funzione f (x) = x 2 f : (,0] R è f 1 (y) = y. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 45 / 50

Grafico delle funzioni inverse Per quanto riguarda il grafico della funzione f 1, osserviamo che un punto P = (t,s) appartiene al grafico di f 1 se e solo se s = f 1 (t); (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 46 / 50

Grafico delle funzioni inverse Per quanto riguarda il grafico della funzione f 1, osserviamo che un punto P = (t,s) appartiene al grafico di f 1 se e solo se s = f 1 (t); questo è equivalente ad affermare che f (s) = t cioè P 0 = (s,t) appartiene al grafico di f. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 46 / 50

Grafico delle funzioni inverse Per quanto riguarda il grafico della funzione f 1, osserviamo che un punto P = (t,s) appartiene al grafico di f 1 se e solo se s = f 1 (t); questo è equivalente ad affermare che f (s) = t cioè P 0 = (s,t) appartiene al grafico di f. P = (t,s) G(f 1 ) P 0 = (s,t) G(f ), (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 46 / 50

Grafico delle funzioni inverse Per quanto riguarda il grafico della funzione f 1, osserviamo che un punto P = (t,s) appartiene al grafico di f 1 se e solo se s = f 1 (t); questo è equivalente ad affermare che f (s) = t cioè P 0 = (s,t) appartiene al grafico di f. P = (t,s) G(f 1 ) P 0 = (s,t) G(f ), ciò significa che ogni punto P del grafico di f 1 si ottiene da un punto P 0 del grafico di f scambiando le coordinate. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 46 / 50

Grafico delle funzioni inverse Per quanto riguarda il grafico della funzione f 1, osserviamo che un punto P = (t,s) appartiene al grafico di f 1 se e solo se s = f 1 (t); questo è equivalente ad affermare che f (s) = t cioè P 0 = (s,t) appartiene al grafico di f. P = (t,s) G(f 1 ) P 0 = (s,t) G(f ), ciò significa che ogni punto P del grafico di f 1 si ottiene da un punto P 0 del grafico di f scambiando le coordinate. Scambiare le coordinate di un punto nel piano equivale ad operare una simmetria rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 46 / 50

Grafico delle funzioni inverse Per quanto riguarda il grafico della funzione f 1, osserviamo che un punto P = (t,s) appartiene al grafico di f 1 se e solo se s = f 1 (t); questo è equivalente ad affermare che f (s) = t cioè P 0 = (s,t) appartiene al grafico di f. P = (t,s) G(f 1 ) P 0 = (s,t) G(f ), ciò significa che ogni punto P del grafico di f 1 si ottiene da un punto P 0 del grafico di f scambiando le coordinate. Scambiare le coordinate di un punto nel piano equivale ad operare una simmetria rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante. Di conseguenza il grafico di f 1 è simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 46 / 50

L idea è illustrata in ciascuna delle due figure sottostanti accostando i grafici di f (rossa) e di f 1 (verde). In particolare nella prima figura sono rappresentati i grafici di f (x) = 2x + 3 e di f 1 (x) = 1 2 x 3 2. (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 47 / 50

Disegniamo anche i grafici di delle potenze e delle radici sopra illustrate f : [0,+ ) [0,+ ) f (x) = x 2 (rossa) e f 1 (x) = x (verde) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 48 / 50

f : (,0] [0,+ ) f (x) = x 2 (rossa) e f 1 (x) = x (verde) (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 49 / 50

f (x) = x 3 (rossa) e f 1 (x) = 3 x(verde) f : R R e f 1 : R R (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 50 / 50