1 MISURA DEI SEGMENTI

1 MISUR DEI SEGMENTI 1 MISUR DEI SEGMENTI 1.1 La classe dei segmenti Nell insieme S formato da tutti i segmenti contenuti in un piano introduciamo le seguenti operazioni: Confronto di segmenti: dati due segmenti B e CD diremo che B > CD se riportando CD su B in modo che C il punto D risulti interno ad B Figura 1: Confronto di due segmenti B e CD Somma di segmenti Vedi la sottostante figura 2 Figura 2: Somma di due segmenti Le due operazioni precedenti ci consentono di definire che cosa è un multiplo e un sottomultiplo di un segmento Definizione 1 (multiplo e sottomultiplo di un segmento) Dato un segmento B e un numero naturale n diremo che un segmento CD è un multiplo di B secondo il numero n se: n volte {}}{ CD = B + B + B + + B (1) e scriveremo CD = n B nalogamente diremo che PQ è un sottomultiplo di RS secondo il numero n, e scriveremo P Q = 1 RS se: n RS = n volte {}}{ P Q + P Q + P Q + + P Q (2) 1

1.2 Commensurabili e incommensurabili 1 MISUR DEI SEGMENTI Se m n è una frazione e B è un segmento, per definizione poniamo: ( ) m 1 n B = m n B (3) I seguenti due assiomi servono a garantire l esistenza di segmenti comunque grandi e segmenti comunque piccoli ssioma 1 (di Eudosso-rchimede) Dati due segmenti non nulli, esiste sempre un multiplo dell uno che supera l altro Questo assioma ci assicura che esistono segmenti comunque grandi. ssioma 2 (della divisibilità) Ogni segmento B è divisibile, in modo unico, in n parti tra loro tutte uguali, qualunque sia il numero n. Quiesto assioma ci assicura che esistono segmenti comunque piccoli 1.2 Commensurabili e incommensurabili Definizione 2 (di segmenti commensurabili) Due segmenti si dicono commensurabili se ammettono un sottomultiplo comune La definizione precedente ci dice che se due segmenti B e CD sono commensurabili esistono due numeri interi m e n ed un segmento EF tali che: B = m EF CD = n EF (4) Non tutte le coppie di segmenti sono commensurabili, infatti esiste il seguente teorema: 2

1.2 Commensurabili e incommensurabili 1 MISUR DEI SEGMENTI Teorema 1 In un quadrato il lato e la diagonale non ammettono un sottomultiplo comune Dimostrazione Figura 3: In un quadrato il lato e la diagonale non sono commensurabili Supponiamo per assurdo che il lato l e la diagonale d siano due segmenti commensurabili. Questo significa che esistono un segmento x e due numeri interi positivi n e m tali che : l = n x d = m x Indicando con x 2 l 2 d 2 rispettivamente i quadrati di lato x, l, d, per il teorema di Pitagora possiamo scrivere che: sostituendo si ottiene: l 2 + l 2 = d 2 = 2 l 2 = d 2 2 (n x) 2 = (m x) 2 2n 2 x 2 = m 2 x 2 (5) 2n 2 = m 2 I numeri interi n e m si possono scomporre in fattori primi n = 2 p 3 q 5 r 7 s Dalle relazioni 5 3 6 si può dedurre che: m = 2 t 3 v 5 w 7 z (6) 2 (2 p 3 q 5 r 7 s ) 2 = ( 2 t 3 v 5 w 7 z )2 2 ( 2 2p 3 2q 5 2r 7 2s ) = 2 2t 3 2v 5 2w 7 2z 2 2p+1 3 2q 5 2r 7 2s = 2 2t 3 2v 5 2w 7 2z (7) 3

1.3 Misura di un segmento 2 PROPORZIONLITÁ Pertanto: 2p + 1 = 2t questo è assurdo perchè 2p + 1 è un numero dispari, mentre 2t è un numero pari ed un numero pari non può essere uguale a un numero dispari. Definizione 3 Due segmenti con non sono commensurabili si diranno incommensurabili 1.3 Misura di un segmento Tra tutti i segmenti scegliamone uno che chiameremo unità di misura 1 che indicheremo con u, sia B un segmento commensurabile con u, allora esiste un sottomultiplo x comune ai due segmenti B e u. Possiamo pertanto scrivere: B = n x u = m x x = 1 m u ( ) 1 B = n m u B = n m u (8) Definizione 4 Si chiama misura del segmento B rispetto all unità di misura u il n mumero razionale (frazione) m Se B e l unità di misura u non sono commensurabili la definizione precedente non è più valida, si può comunque dimostrare che esistono segmenti commensurabili con u che si avvicinano ad B di quanto vogliamo, la loro misura ci da una misura di B approssimata per difetto o per eccesso. Se ammettiamo l esistenza dei numeri irrazionali 2, se B e u sono incommensurabili, la misura di B è un numero irrazionale.i numeri irrazionali vengono definiti come elemento di separazioni tra l insieme delle loro approssimazioni razionali 3 per difetto e l insieme delle loro approssimazioni razionali per eccesso. Definizione 5 (rapporto tra segmenti) Dati due segmenti B e CD si chiama rapporto tra B e CD, e si scrive B, la misura di B prendendo come unità CD di misura CD É facile dimostrare questo teorema (che per questioni di tempo non dimostreremo): Teorema 2 Se rispetto ad una unità di misura u la misura di un segmento B è a, mentre la misura di un segmento CD è b, allora B CD = a b 2 PROPORZIONLITÁ Consideriamo due insiemi aventi per oggetti dei segmenti 1 Il metro, l unità di misura più usata, è un particolare segmento 2 d esempio 2 3 π sono numeri irrazionali 3 Le approssimazioni sono dei numeri razionali, cioè delle frazioni che possono anche essere espresse come numeri decimali finiti o periodici 4

2 PROPORZIONLITÁ Figura 4: Classi di segmenti direttamente proporzionali Stabiliamo una corrispondenza fra gli elementi dei due insiemi che al segmento B di I faccia corrispondere il segmento B di I e così via come indicato in figura. Questa corrispondenza ad ogni elemento di I associa uno ed un solo elemento di I e, viceversa, ogni elemento di I è associato ad uno ed uno solo elemento di I. Corrispondenze di questo tipo vengono chiamate corrispondenze biunivoche. questo punto possiamo scrivere la seguente definizione. Definizione 6 (classi di segmenti direttamente proporzionali) Due classi 4 di segmenti I e I, in corrispondenza biunivoca, si dicono direttamente proporzionali se il rapporto tra due segmenti corrispondenti è costante: B B = CD C D = EF E F = (9) In modo simile possiamo definire le classi di segmenti inversamente proporzionali Definizione 7 (classi di segmenti inversamente proporzionali) Due classi di segmenti I e I, in corrispondenza biunivoca, si dicono inversamente proporzionali se il prodotto tra le misure (rispetto a una stessa unità di misura) di due segmenti corrispondenti è costante: misura(b) misura( B ) = misura(cd) misura(c D ) = misura(ef) misura(e F ) = (10) Vale il seguente teorema: Teorema 3 (detto di Talete) Un fascio di rette parallele forma con due trasversali due classi di segmenti direttamente proporzionali Di questo teorema non diamo la dimostrazione, è però opportuno analizzarlo meglio. La figura 5 di pagina 6 è la rappresentazione grafica del teorema. Il fascio di rette parallele individua sulla trasversale t l insieme di punti {, B, C, D, E, F, G} e sulla trasversale t l insieme {, B, C, D, E, F, G }, tra i due insiemi vi è una ovvia corrispondenza biunivoca: B B C C (11) 4 Classe è sinonimo di insieme 5

3 POLIGONI SIMILI D C B B C D E E F F G G.t.t Figura 5: Fascio di parallele tagliate da due trasversali La corrispondenza biunivoca 11 di pagina 5 induce una analoga corrispondenza biunivoca tra l insieme dei segmenti individuati dal fascio di rette parallele sulla trasversale t e l insieme dei segmenti individuati dal fascio di rette parallele sulla trasversale t, che possiamo così schematizzare B B C C G G BC B C BE B E CF C F (12) Il teorema di Talete afferma che le due classi di segmenti così individuate sono direttamente proporzionali, cioè: 3 POLIGONI SIMILI B B = C C = BC B C = BF B F = (13) Definizione 8 (poligoni simili) Dati due poligoni, aventi lo stesso numero di vertici, si diranno simili se esiste una corrispondenza biunivoca tra i vertici dei due poligoni tale che gli angoli interni dei due poligoni che hanno vertici corrispondenti sono isometrici,e il rapporto tra due lati omologhi è costante, dove due lati, uno del primo e l altro del secondo poligono, si dicono omologhi se i loro estremi si 6

3 POLIGONI SIMILI corrispondono nella corrispondenza biunivoca stabilita tra i vertici dei due poligoni. E E D D B C B C Figura 6: Poligoni simili I due poligoni BCDE ed B C D E sono simili se  =  ˆB = ˆB Ĉ = Ĉ ˆD = ˆD Ê = Ê (14) B B = BC B C = CD C D = DE D E = E E = rapporto di similitudine (15) Per i triangoli la definizione precedente è abbondante, infatti si possono dimostrare i seguenti tre teoremi 5 Teorema 4 (primo criterio di similitudine dei triangoli) Due triangoli aventi gli angoli ordinatamente isometrici sono simili. B C B C Figura 7: 1 criterio di similitudine dei triangoli Ipotesi :  =  ; ˆB = ˆB ; Ĉ = Ĉ B Tesi : B =, BC B C = C C 5 Di questi teoremi non è richiesta la dimostrazione 7

3 POLIGONI SIMILI Teorema 5 (secondo criterio di similitudine dei triangoli) Se due triangoli hanno isometrico un angolo e proporzionali i lati che lo comprendono, sono simili Teorema 6 (terzo criterio di similitudine dei triangoli) Due triangoli aventi ordinatamente proporzionali i lati sono simili Grazie al primo criterio di similitudine è possibile dimostrare il seguente teorema Teorema 7 (primo teorema di Euclide) In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l ipotenusa e la proiezione del cateto sull ipotenusa Ipotesi: CB è un triangolo rettangolo e H è l altezza relativa all ipotenusa. Tesi: BC : B = B : BH Dimostrazione C H ngolo retto.α B Figura 8: Primo teorema di Euclide Consideriamo il triangolo CB e il triangolo HB (grigio), essi hanno: l angolo ˆB in comune CB ˆ = HB ˆ perchè retti α 6 = Ĉ perchè complementari dello stesso angolo Ĉ I due triangoli considerati sono pertanto simili per il primo criterio di similitudine (teorema 4 di pagina 7) con la seguente corrispondenza biunivoca tra i vertici 6 Infatti: triangolo CB triangolo BH vertice C vertice vertice vertice H vertice B vertice B Ĉ + ˆB + retto = angolo piatto analogamente α + ˆB + retto = angolo piatto Ĉ + ˆB = angolo retto analogamente α + ˆB = angolo retto Ĉ + ˆB = α + ˆB quindi α = Ĉ 8

3 POLIGONI SIMILI Possiamo pertanto scrivere: CB B = B BH (16) Usando le proporzioni si avrà 7 CB:B=B:BH Teorema 8 (secondo teorema di Euclide) In un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull ipotenusa C H ngolo retto B Figura 9: 2 teorema di Euclide Ipotesi: CH è un triangolo rettangolo e H è l altezza relativa all ipotenusa. Tesi: BH : H = H : CH Dimostrazione Consideriamo i due triangoli rettangoli CH e HB, essi hanno: CH ˆ = BH ˆ perchè retti Ĉ = ˆ HB perchè entrambi sono complemetari dell angolo ˆB = ˆ CH perchè entrambi sono complemetari dell angolo ˆ CH ˆ BH I due triangoli sono simili per il 1 criterio di similitudine, con la seguente corrispondenza tra i vertici: triangolo HB triangolo CH vertice vertice C vertice H vertice H vertice B vertice Possiamo mpertanto scrivere BH H = H CH usando le proporzioni BH : H = H : CH (17) 7 CB = CB : B B 9

Indice analitico ssioma della divisibilità, 2 ssioma di Eudosso-rchimede, 2 Classi inversamente proporzionali, 5 Classi direttamente proporzionali, 5 Confronto di segmenti, 1 Euclide, 2 teorema, 9 Euclide, primo teorema, 8 Frazione di un segmento, 2 Misura di un segmento, 4 Multiplo di un segmento, 1 Poligoni simili, 7 poligoni simili, 6 Primo criterio di similitudine, 7 Rapporto di similitudine, 7 Rapporto tra segmenti, 4 Secondo criterio di similitudine, 8 Segmenti commensurabili, 2 Segmenti incommensurabili, 4 Somma di segmenti, 1 Sottomultiplo di un segmento, 1 Teorema di Talete, 5 Terzo criterio di similitudine, 8 10