2. Definizione di funzione

2. Definizione di funzione Prima di definire cosa si intenda per «funzione», è necessario ricliiamare il concetto di variabiie, che ne è alla base. Si dice dunque variabile, nel senso matematico del termine, tutto ciò che sia valutabile numericamente e possa assumere più di un valore, come, ad esempio, la temperatura in un dato luogo, l'ora indicata da un certo orologio, la posizione di un satellite che si muove nello spazio, ecc. Non è invece considerato una variabile, nel senso ora specificato, ciò che non sia suscettibile di una valutazione numerica precisa, come, ad esempio, la fama di un personaggio, la forma di un atleta, l'amore di una persona nei confronti di un'altra, ecc. Le variabili si indicano preferibilmente con le ultime lettere dell'alfabeto: x, y, z Alcune variabili possono, in un certo contesto, non essere sottoposte a vincoli, ovvero è possibile attribuire ad esse qualsiasi valore preso in un dato insieme. In questo caso si dicono variabili indipendenti. Se invece, nell'ambito di più variabili, la conoscenza dei valori di alcune di esse vincola i valori delle rimanenti, queste ultime sono dette variabili dipendenti. L'areay di un quadrato è una variabile che dipende dalla variabile^ che rappresenta la misura del lato del quadrato stesso. Gran parte della Matematica (e di tutte le Scienze) si può intendere come lo studio dei legami che {intercorrono fra le variabili. Limitandosi al caso più semplice di due sole variabili, si è giunti, dopo una lunga elaborazione, alla seguente definizione di funzione (cioè di dipendenza di una variabile da un'altra) dovuta a DiRiCHLET, che è di fondamentale importanza per tutto il resto della trattazione. Dalla storia... Il concetto di funzione nasce contemporaneamente al metodo delle coordinate per rendere familiare l'idea di un numero y che dipende da un numero x variabile in un insieme A. Il termine «funzione» è stato usato, per la prima volta, da LEIBNIZ (1692) e poi ripreso, anni più tardi, da G. BERNOULLI. La forma abbreviata y = f(x), ormai di uso corrente, è dovuta a CLAIRAUT (1713-1765) e a EULERO (1707-1783). Nel corso dei secoli successivi, il concetto è stato arricchito ed ampliato finché DiRiCHLET (1837) ne ha dato una definizione generale. J.P.G. DIRICHLET DiRiGHLET J.P.G. LEJEUNE (1805-1859) fu uomo di poche parole, riservato e quasi timido. Mantenne buoni rapporti con i colleghi matematici, soprattutto con K.G. JACOBI, insieme al quale diede inizio a un nuovo periodo di fioritura per le matematiche a Berlino. Ottimo insegnante, lasciava ai propri studenti la libertà più completa nel seguire i propri interessi matematici. È significativo quanto disse in proposito: «Un matematico può essere soltanto democratico». DIRICHLET è entrato nella storia della matematica come fondatore della teoria analitica dei numeri. I suoi contributi alla teoria del potenziale, alla meccanica teorica, all'algebra, alla teoria degli integrali definiti, alla teoria delle serie infinite e alla fisica teorica finirono per legare al suo nome ben venticinque concetti matematici. Ancora oggi il metodo di DIRICHLET, che consiste, come disse H. MiNKOWSKi, nel «riunire in un minimo di cieche formule un massimo di veggente pensiero», suscita grande ammirazione. da E.S.T. Mondadori

Funzioni. Disequazioni 5 Definizione Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama funzione (o applicazione univoca) dì A in B una qualsiasi legge ohe associa, ad ogni elemento x di A, uno e un solo elemento y di 6. Si ina dunque una funzione (o applicazione) d\a\nb quando, fissati i due insiemi AeB, esiste un procedimento che permette di associare, ad ogni elemento di A, uno e un solo elemento di 6. Se si indica con y = f{x) l'elemento y e S che la funzione f associa all'elemento x e /A, si vengono a considerare due «variabili»: la variabile xsua, che sì dice «variabile indipendente», e la variabile y su S, che si dice «variab/ve d/penc/ente». Unafunzione è dunque il «meccanismo» che associa, ad ogni valore della variabile indipendente (appartenente ad A), un ben determinato ed unico valore della variabile dipendente (appartenente a S). L'elemento y = f (x) si dice immagine dell'elemento x tramite la funzione f o, il che è lo stesso, «valore assunto» dalla funzione in corrispondenza all'elemento x di A. L'elemento x si chiama anche controimmagine di y. Per indicare che f è una funzione di /A in S si utilizzano le scritture: o anche: f:a-yb, oppure: / \ 6, f : {x ^ f{x) :A ^ B}, oppure: f : X A t-^ f{x) e B, o, più semplicemente, quando non vi siano equivoci: X H-» f (x), oppure: y = f(x). L'insieme/A si chiama insieme di definizione, o di esistenza, o dominio della funzione f, mentre f{a), cioè l'insieme delle immagini degli elementi di A, si dice codominio della f stessa. A tale proposito, abbiamo visto che ogni elemento x e /A ha la propria immagine in B tramite la funzione f. Si osservi però che ogni elemento di B non é necessariamente l'immagine di un elemento di A, cioè vi possono essere elementi di S che non sono immagini di alcun elemento di A. Ne segue che il codominio f{a) non coincide, almeno in generale, con B, cioè è un sottoinsieme proprio di S (fig. 1.1), che si dice anche «immagine di A in B tramite f». Osserviamo infine che un elemento di B appartenente ad f(a) può provenire da più elementi di A, ossia vi possono essere elementi di 6 che sono immagini di due o più elementi di A. Osservazioni -1 Occorre precisare il significato dei simboli X, y, f(x), f: X è un elemento qualsiasi di A, cioè è la variabile in A; '^""^^ y, ovvero f (x), è l'elemento di 6 che viene associato ad x tramite la f, cioè è l'immagine di x, ed x a sua volta si chiama, per tale ragione, confro/mmag/ne di y; f rappresenta la legge che associa, all'elemento x di A, l'elemento y = f(x) di B.

6 Unità 1 Nel seguito, quando diremo sinteticamente: «sìa data la funzione f{x)», si dovrà intendere: «sia data la funzione f che, all'elemento x di A, associa l'elemento y di B». Quando adx si attribuisce un valore numerico, ad esempio a, il corrispondente valore assunto dalla funzione f{x) si indica con f{a). Se f(x) = T-, si ha: ^ ^ X - 1 ^ perx = 0 f(0)=- -^ = 0,. perx = -1 f(-i)=_i_l-=i, -y perx = 2 =^ f(2)=^-^ = 4. Si osservi invece che, per x = 1, il valore f (1 ) della funzione non può essere calcolato in quanto il denominatore della frazione si annulla. '3 I termini «funzione» e «applicazione» sono sinonimi; tuttavia il termine funzione è più tradizionale e lo si impiega di preferenza quando dominio e codominio sono insiemi numerici. Invece di dire che «f associa ad ogni elemento x di A uno e un solo elemento y di 6» si possono usare frasi equivalenti, quali: «f trasforma l'elemento X nell'elemento y»; «f porta x in y»; «f applica x in y»; «f fa corrispondere all'elemento x l'elemento y»; «f manda x in y», e simili. : i-:j'ì.ì,i Le funzioni da noi definite si chiamano univoche, oppure ad un solo valore, perché ad ogni valore della X, dell'insieme di esistenza della funzione, corrisponde uno ed un sol valore dellay. Si possono però considerare anche funzioni a più valori che si hanno quando ad ogni valore della x, dell'insieme di esistenza della funzione, corrispondono due o più valori della y. Nel seguito considereremo però soltanto funzioni ad un sol valore. Esempi ' 1 Lo studente ha già studiato nel Biennio le seguenti funzioni. Le funzioni razionali intere (dette anche funzioni polinomiali o polinomi) in una variabile. f (x) = 2x'' - y x^ + 5x2 -- X + 1. In particolare ha studiato: - le funzioni lineari, ad esempio: y = 4x + 3; - le funzioni quadratiche, ad esempio: y = 3x2-5x + 1. Queste funzioni hanno come dominio/a = IR e come codominio/'(/a) l'insieme IR oun suo sottoinsieme. C) Si ricordi che: 1^ è l'insieme dei numeri naturali: 0, 1, 2, 3, Z è l'insieme dei numeri interi:... - 3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, Q è l'insieme dei numeri razionali; U è l'insieme dei numeri reali.

<lsolo 2 n TJUQX»' Funzioni. Disequazioni 7 Più propriamente le funzioni polinomiali si chiamano funzioni razionali intere. Le funzioni razionali fratte (dette anche frazioni algebrictié) in una variabile. f{x) = 3x2-2x + 5 x2-4 In questo caso il dominio è A = IR - {-2, +2}. Le funzioni radici ennesime aritmetiche: f (x) = In questo caso A = [RQ, dove JRQ rappresenta l'insieme dei numeri reali positivi o nulii. Nella classe di una scuola, la legge che associa, ad ogni studente, il corrispondente numero d'ordine nel registro di classe è una funzione che ha per dominio l'insieme degli allievi della classe considerata e per codominio l'insieme dei numeri naturali da 1 an, dove n è il numero degli studenti della classe. Fissato l'insieme 1^ dei numeri naturali, la legge che associa, ad ogni numero di N, il doppio è una funzione che ha per dominio e per codominio l'insieme P dei numeri pari. In questo caso è P c 1^ e la legge cheta passare, da un numero x del dominio, alla sua immagine / si può esprimere tramite operazioni che, eseguite sux, danno y, e cioè: y = 2x. Nell'insieme Z dei numeri interi associamo, ad ogni intero x, il suo quadrato aumentato di 1, cioè: Il dominio d\f èz. f : X 1-^ x2 + 1. Ogni coppia di numeri opposti ha, tramite la f, la stessa immagine in Z e quindi il codominio f{z) è un particolare insieme di numeri interi non minori di1. Pertanto si ha che: f{z) c Z. Sia f ia funzione di U in IR definita dalle seguenti operazioni. Per ogni x e IR elevare al quadrato il numero x; moltiplicare il risultato per 6; sottrarre dal risultato il doppio del numero di partenza; aggiungere 1. Si ottiene: x i > éx^ - 2x + 1, per ogni x e IR. La scrittura X e U contiene due informazioni: il dominio è IR; la lettera x è una variabile che può assumere qualunque valore del dominio. In particolare: - perx = 2, siha: f(2) = 6 2^ - 2 2 + 1 = 21; - perx = a, si ha: f{a) = Ga^ - 2a +1.

8 Unità 1 3- Funzioni suriettive, iniettive e biiettive Sia data una funzione f :/A -> S, cony = f(x). Definizione Una funzione si dice suriettiva, o funzione di A su B, se risulta f{a) = 6. In questo caso, ogni elemento di S è l'immagine di aimeno un elemento di A (fig. 1.2). A B Sia A l'insieme dei numeri naturali pari e B quello dei naturali dispari. La funzione: è suriettiva (fig. 1.3). La funzione: f : X 1-^ x + 1; A - fi, 0 2 4 6 1 3 5 7 Figura 1.3 Figura 1.2 non è suriettiva, perché un numero naturale qualsiasi non è, in generale, il quadrato di un altro., 5 non è l'immagine di alcun elemento di N per la funzione considerata. Definizione Una funzione f : A ^ 6 si dice iniettiva se fa corrispondere, a elementi distinti di A, elementi distinti di B. Una funzione «iniettiva» gode pertanto della seguente proprietà caratteristica: per ogni coppia di elementi xi e X2 di A (fig. 1.4): da xi 7^X2 segue: f(xi) 7^ f(x2). Siano:A = {1, 2, 3}, e = {0, 1, -1,4}edf:A^B sia tale che: f(1) = 0, f(2) = 1, f(3) = -1. La f è iniettiva, ma non suriettiva, perché in S vi è un numero, il 4, che non è immagine di alcun numero di A. La funzione: è iniettiva (e suriettiva). f : {x i-^x + 2 : Z ^ Z}, Figura 1.4

Funzioni. Disequazioni 9 l Nell'ultimo esempio si evidenzia una funzione che è nello stesso tempo «suriettiva» e «iniettiva». Funzioni di questo tipo sono particolarmente importanti e si chiamano «funzioni biiettive», o «biiezioni», o «corrispondenze biunivochie» fra AeB. Si dà, cioè, la seguente: Definizione Si dice che due insiemi AeB, non vuoti, sono in corrispondenza biunivoca quando esiste una legge che associa, ad ogni elemento di A, uno e un solo elemento di B e, viceversa, ogni elemento di 6 è associato ad uno e un solo elemento di A. La funzione illustrata nella fig. 1.5 è una corrispondenza biunivoca. La funzione x 3" tra l'insieme dei naturali e l'insieme T delle potenze del 3 è una corrispondenza biunivoca tra NeT. La funzione: Osservazioni f -.Q^Q, tale che f{x) = 3x +1, cioè x i-^ 3x + 1, è una corrispondenza biunivoca tra Q e se stesso. Figura 1.5 ^"l Tra le funzioni, si considera anche la funzione identica, o identità, che si definisce come la funzione che fa corrispondere, ad ogni elemento di un qualunque insieme A, l'elemento stesso. L'identità in A si indica con ÌA O, semplicemente, con /. Si noti infine che l'identità ÌA è una corrispondenza biunivoca tra /A e se stesso. Una funzione f -.A^ Bsi dice costante se l'insieme f{a) contiene un solo numero. La funzione, definita in R* = [R-{0}:.:-^*^';v-S' v- f(x)=- \x\ è costante, perché Vx2 = x e quindi, per ogni valore di x, risulta sempre f(x) = J- = 1. Due funzioni: "'^.. f:a-^b e g:c-^d sono uguali se verificano le tre condizioni seguenti: A = C; B = D- Wx ea:f{x) =g{x). Le funzioni di U in U: f{x) = x e g(x) = ^ sono uguali. (dove la radice va intesa in senso algebrico)

10 Unità 1 4. Composizione di funzioni Supponianno di avere le funzioni f e g: XI f : raddoppiare -^2x, x\ g : elevare al quadrato -> x e di dover costruire la funzione: XH f : raddoppiare -> 2x I- g : elevare al quadrato 4x2, usando prima f e poi g. -,, = Se indichiamo con li la funzione x^4x^, ti s\a funzione composta di f e g [neli'ordine). In generale, siano dati tre insiemi non vuoti /A, S, C e le due funzioni (fig. 1.6): La funzione f associa, ad ogni x di A, uno e un solo elemento y di S, al quale la funzione g associa, a sua volta, un solo elemento di C: z=g(y)=g[f{x)]. In questo caso, ha senso associare, ad ogni x di A, quell'unico z di C dato da g[f{x)]. f -.A^B e g-.b^c. La funzione, di dominio A e valori in C, che associa, ad ogni x di A, l'immagine g[f{x)] si dice «funzione (o applicazione) composta» di g mediante la f, e si indica con: Figura 1.6 in cui si scrive a sinistra il secondo termine della composizione. Il simbolo o è il simbolo delia legge di composizione tra funzioni.., Quindi, per definizione, è: gof.a^c, con {g of){x) = g[f{x)], da cui, generalizzando quanto detto, si nota che è possibile comporre fra loro più di due funzioni. La legge di composizione tra funzioni così definita gode inoltre della proprietà qualunque siano le funzioni f,g eh, risulta: associativa, cioè, ho{gof) = {iiog)of. Si osservi che: - sea,b,c sono diversi, il simbolo f og non ha senso, perché l'insieme di arrivo C di g è diverso dall'insieme di partenza A di f; \à«se poi A, B, C coincidono (ovvero sono lo stesso insieme), hanno senso tanto f og, quanto gof, ma le funzioni che si ottengono sono, in generale, diverse.

Funzioni. Disequazioni 11 I Siano date le funzioni di Z in Z: f : X t-^ X+ 1 e g : X i-> X. ' Se applichiamo la f alla variabilex, otteniamox + 1 ; se a quest'ultimo valore applichiamo g, otteniamo (x + 1)2. Possiamo indicare questo procedimento nel modo seguente: X-(x + 1) - (x+1)2; giof :x^ (x + 1)2. Se invece applichiamo alla x prima g e poi f, otteniamo: X x2 x2 + 1 ; f o g : X 1-» x2 + 1. L'esempio precedente mette in evidenza un caso in cui è: gof og. Pertanto, se f e g agiscono entrambe da A in A, allora le due funzioni f og e gof entrambe ma, salvo casi particolari, le due funzioni f e g non sono commutabili. hanno senso Infine dimostriamo il seguente: Teorema Se f è una funzione biunivoca di /A su 6 e g è una funzione biunivoca di B su C, allora la funzione composta gof è anch'essa una funzione biunivoca di A su C. Dimostrazione A tale scopo dimostriamo che: ' // composto di due suriezioni è una suriezione. À Infatti se/'(a) = 6 e g(e) = C, si ha: gof{a)=c, " _ e questo prova che il composto g o f di due suriezioni è anch'esso una suriezione. // composto di due iniezioni è una iniezione. Infatti, se f è iniettiva: xi ^X2 =^ f{x^)^f{x2). Così pure, se g è iniettiva: yi/y2 ^ goi) g(y2)- Ne segue: - -. " ' : ' xi 7^X2 ^ yi =f(xi) ^f(x2) =y2 ^ gof(xi)/gof(x2); " ' ' e questo prova che il composto g o f di due iniezioni è un'iniezione. Detto questo, poiché f e g, in quanto funzioni biunivoche sono sia suriettive, sia iniettive, ne segue che il composto di due funzioni biunivoche è una funzione biunivoca.

: 12 Unità 1.Rai''- 5. Funzioni inverse Se f è una funzione biunivoca di A su S, allora ogni elemento y di e è immagine di un solo elemento X d\a. Questa proprietà permette di definire una nuova funzione di B su A: la funzione che associa, ad ogni y di B, quell'unico elementox di\a tale che f{x) =y.,,, Questa nuova funzione {della variabile y) si chiama inversa della f e si indica con f~'^. Se esiste f"'', si dice che la funzione f è invertibile e ùsuwa che {f\g. ^.7): Vx e >4, se è y = f{x), allora f"'' (y) = x; Vy e B, se è x = f""' (y), allora f(x) = y. Pertanto, possiamo dedurre che: VxeA :f-^[f(x)] =x, cioè f-^of = ÌA, Vy e e : f [f-v)] = y, cioè fof-^=ìb, dove //\ la funzione identica su ya e /'e è la funzione identica su S. Figura 1.7 Possiamo, in definitiva, dare la seguente: ^ Definizione Data una funzione biiettive f di ya su B, si chiama inversa della f la funzione biiettiva f-' di e su A, tale che: f''^ of =^ÌA e f of-'' =/a. / La funzione f : A :Xi-^2x + 3, ha due componenti: «raddoppiare» e «aggiungere 3». Per invertire questa funzione, è necessario scomporre il calcolo: «sottrarre 3» e «dividere per 2». y-3 La funzione inversa è y h 2 Ripristinando x come variabile indipendente, si ha:,_i x-3 f ^ -.xi 2 È facile convincersi che è possibile parlare di funzione inversa solo per le funzioni biiettive. Vale infatti il seguente: Teorema Una funzione è invertibile se, e solo se, è biiettiva.

Funzioni. Disequazioni 13 I Dimostrazione Supponiamo clie la funzione f di /A in 6 non sia suriettiva (fig. 1.8). Allora ogni elemento di 6 - f{a), non è immagine di alcun elemento di A. Figura 1.8 Figura 1.9 Supponiamo allora che la funzione f di A in S non sia iniettiva (fig. 1.9). Esiste allora unay immagine di due elementi distinti di A; la relazione inversa fa corrispondere ay due elementi distinti di A; e quindi non è una funzione. Pertanto la legge che ad ogni immagine di B associa l'elemento corrispondente di A è, in generale, una relazione; è in particolare una funzione nel caso in cui la funzione tra A e S sia biunivoca. La funzione: f -.xen^txep, ove è l'insieme dei numeri naturali e P quello dei numeri pari, è biunivoca; la sua inversa è: Si noti che, essendo f (x) = 2x, si ha:.-1. f-' -.yep y r""[f(x)] = f-^[(2x)] =^ = x, ed, essendo f~^(y) = -, si ha: f[f-'{y)] = f = 2.^=y. Osservazione Siano f eg due funzioni di A in S. L'uguaglianza: (1) scritta per stabilire l'esistenza di eventuali valori a di A la cui immagine f{a) coincida con l'immagine g{a), si dice equazione nell'incognita x. Ogni a che soddisfa la (1) si dice soluzione dell'equazione. L'insieme S di tutte le soluzioni costituisce l'insieme soluzione (o insieme delle soluzioni). Risolvere un'equazione significa trovare l'insieme S. Nella (1 ), f{x) e g{x) si dicono, rispettivamente, 1 e 2 membro dell'equazione. /Le equazioni algebriche di 1 e di 2 grado, studiate nel Biennio, costituiscono un argomento di grande I importanza, che deve essere ripassato prima di affrontare lo studio dei prossimi paragrafi.