ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 0 Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Una funzione f () è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in [0; [ e nella figura sono disegnati i grafici e di f () e della sua derivata seconda f (). La tangente a nel suo punto di flesso, di coordinate (; ) passa per (0; 0), mentre le rette e 0 sono asintoti orizzontali per e, rispettivamente. Γ Λ O Figura. 7. Si dimostri che la funzione f (), ovvero la derivata prima di f (), ha un massimo e se ne determinino le coordinate. Sapendo che per ogni del dominio è f () f () f (), qual è il possibile andamento di f ()?. Si supponga che f () costituisca, ovviamente in opportune unità di misura, il modello di crescita di un certo tipo di popolazione. Quali informazioni sulla sua evoluzione si possono dedurre dai grafici in figura e in particolare dal fatto che presenta un asintoto orizzontale e un punto di flesso? a. Se è il grafico della funzione f (), si provi che a e b. e b. Nell ipotesi del punto., si calcoli l area della regione di piano delimitata da e dall asse sull intervallo [0; ]. PROBLEMA Sia f la funzione definita, per tutti gli positivi, da f () ln.. Si studi f e se ne disegni il grafico su un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali e monometrici O; accertato che presenta sia un punto di flesso che un punto di minimo se ne calcolino, con l aiuto di una calcolatrice, le ascisse arrotondate alla terza cifra decimale.. Sia P il punto in cui interseca l asse. Si trovi l equazione della parabola, con asse parallelo all asse, passante per l origine e tangente a in P.. Sia R la regione delimitata da e dall asse sull intervallo aperto a sinistra ]0; ]. Si calcoli l area di R, illustrando il ragionamento seguito e la si esprima in mm avendo supposto l unità di misura lineare pari a decimetro. Zanichelli Editore, 0
. Si disegni la curva simmetrica di rispetto all asse delle e se ne scriva altresì l equazione. Similmente si faccia per la curva simmetrica di rispetto alla retta di equazione. QUESTIONARIO 7 9 0 Un triangolo ha area e due lati che misurano e. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta. Se la funzione f () f () ha derivata in e derivata 7 in, qual è la derivata di f () f () in? Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A(; ) e B( ; ). Si determini l equazione della retta passante per B e avente distanza massima da A. Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito. In un libro si legge: se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (per es. 0,%), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell,%), mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè del 0,7%). È così? Si motivi esaurientemente la risposta. Con le cifre da a 7 è possibile formare 7! 00 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio i numeri 7 e 7 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 00 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la settima posizione e quale quello che occupa la 0-esima posizione e quale quello che occupa la -esima posizione? In un gruppo di 0 persone il 0% ha gli occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due persone. Qual è la probabilità che nessuna di esse abbia occhi azzurri? Si mostri, senza usare il teorema di L Hôpital, che: e sen sen e lim. Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta. Si stabilisca per quali valori k R l equazione ( ) k ammette due soluzioni distinte appartenenti all intervallo [0; ]. Posto k, si approssimi con due cifre decimali la maggiore di tali soluzioni, applicando uno dei metodi iterativi studiati. Durata massima della prova: ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 0
SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 0 PROBLEMA. Consideriamo la funzione f () e osserviamo nella figura il segno della sua derivata prima f () ovvero il grafico : f () 0 per 0 f () crescente; f () 0 per punto stazionario per f (); f () 0 per f () decrescente. La funzione f () ha quindi un solo punto stazionario, in particolare ha un massimo per. Γ = F O Figura. 7 Λ Per calcolare la sua ordinata, f (), consideriamo la retta tangente al grafico di f () nel suo punto di flesso F(; ). Sapendo che tale retta passa per l origine O, essa ha equazione f (). Imponiamo il passaggio per F(; ): f () f (). Il punto di massimo assoluto del grafico di f () ha quindi coordinate M(; ). Per ipotizzare un possibile andamento di f () si osserva dalla figura che la funzione f () è sempre crescente e che ha asintoto orizzontale per : ciò comporta che la sua derivata prima f () è sempre positiva e che lim f () 0 ovvero che 0 è asintoto orizzontale per il grafico della funzione f (). Rappresentiamo in figura un possibile grafico della derivata prima, tenendo conto che: f () f () f (). f() F O M f () f () 7 Figura. Zanichelli Editore, 0
. Se f () rappresenta il modello di crescita di un certo tipo di popolazione, possiamo considerare il suo tasso di crescita in funzione della variabile come la sua derivata prima, ovvero f (). Osserviamo che il tasso di crescita: aumenta per 0 la popolazione aumenta sempre più rapidamente; ha un massimo per in tale punto si registra un flesso nell andamento del modello; diminuisce per, tendendo a 0 per la popolazione cresce ma sempre meno rapidamente fino a stabilizzarsi sul valore. a. Posto f (), è noto che per il punto la funzione passa per il punto F(; ) e che lim e b f (). Imponiamo tali condizioni: a e b lim a e b e b a Pertanto risulta: f (). e.. L area della regione di piano delimitata da e dall asse sull intervallo [0; ] è: 0 f ()d. b a Per il teorema del calcolo integrale risulta: f ()d f () f (0). 0 Al punto si era trovato f (). a a e b a e b Calcoliamo, nota f (), la sua derivata prima nel punto 0: e f () e ( ) ( e ) Quindi ricaviamo: e. ( e ) e f (0). ( e ) Zanichelli Editore, 0
PROBLEMA. Studiamo la funzione f () ln : il dominio è ]0; [; vista la natura del dominio, la funzione non è né pari né dispari; poiché 0, il grafico non interseca l asse ; per le intersezioni con l asse valutiamo le soluzioni del sistema: 0 0 0 0 P(; 0); ln studiamo il segno della funzione tenendo conto del suo dominio: 0 0 0 0, f () 0 pertanto la funzione è positiva per ed è negativa per 0 ; studiamo l esistenza di eventuali asintoti valutando i limiti agli estremi del dominio: a) lim ln 0 si tratta di una forma indeterminata del tipo 0, eliminabile applicando De L Hôpital: lim 0 lim 0 lim 0, 0 il punto (0; 0) è un punto di discontinuità della funzione; b) lim ln, lim ln, pertanto non esistono asintoti orizzontali e obliqui; determiniamo la derivata prima della funzione e studiamone il segno, tenendo conto del suo dominio: f () ln ( ln ), pertanto: 0 0 0 f () 0 ln 0 0, e e quindi: f () 0 per f () è crescente; e f () 0 per e non accettabile ln 0 ( ln ) 0 ln 0 f () ha un punto stazionario; f () 0 per 0 f () è decrescente; e ln 0 ln 0 0 ln Zanichelli Editore, 0
la funzione ha quindi un minimo relativo per 0,77 e il corrispondente punto M sul grafico ha coordinate: e M e M 0,77 e ; M 0, e valutiamo il comportamento della derivata prima nell intorno destro di 0: lim f () lim ( ln ) 0 0 si tratta di una forma indeterminata del tipo 0, eliminabile applicando De L Hôpital: lim 0 lim 0 lim 0, 0 la derivata destra del punto 0 è quindi nulla; studiamo la concavità del grafico della funzione studiando il segno della derivata seconda, tenendo conto del dominio della funzione: f () ( ln ) ln ( ln ), pertanto: M M ln M ln 0 0 ln0 ln e f () 0 ( ln ) 0 quindi: f () 0 per e f () ha concavità rivolta verso l alto; f () 0 per e f () ha un punto di flesso; f () 0 per 0 e f () ha concavità rivolta verso il basso; la funzione ha un flesso per 0, e il corrispondente punto F sul grafico ha coordinate: e F e F F ln F F 0, e F 0,0 e Zanichelli Editore, 0
In figura è rappresentato il grafico della funzione f () ln. f() = ln γ O e e e F e M P Figura.. Una parabola con asse parallelo all asse e passante per l origine ha equazione a b. Imponiamo il passaggio per P(; 0): 0 a b b a. L equazione della parabola diventa: a a Se la conica è tangente a in P le derivate delle funzioni corrispondenti devono essere uguali per : a a () a a a f () ( ln ) f (). Pertanto a e la parabola cercata ha equazione.. Poiché la funzione f () è non positiva nell intervallo ]0; ] (figura ), l area della regione R delimitata da e dall asse sull intervallo aperto si calcola tramite il seguente integrale definito improprio: (R) lim 0 f (t)dt lim 0 t ln tdt. f() = ln O R P Figura. Per semplicità risolviamo l integrale indefinito t ln tdt mediante l integrazione per parti: t ln tdt t ln t t t dt t ln t t dt t t ln t c. 7 Zanichelli Editore, 0
Pertanto (R) risulta: (R) lim 0 t ln tdtlim 0 t t ln t lim 0 ln. Poiché la forma indeterminata del limite lim ln è eliminabile con il teorema di De L Hôpital e vale 0 lim ln 0, allora: 0 (R). Supposta l unità di misura lineare pari a decimetro, risulta: (R) dm 0,0 dm mm.. Nella figura sono rappresentati i grafici e, rispettivamente simmetrico di rispetto all asse delle e simmetrico di rispetto alla retta di equazione. γ γ 0 = γ Figura. Determiniamo l equazione della curva applicando alla funzione ln le equazioni della simmetria rispetto all asse : ln( ) : ln( ), 0. Ricaviamo l equazione della curva applicando alla funzione ln le equazioni della simmetria rispetto alla retta : ln : ln, 0. Zanichelli Editore, 0
QUESTIONARIO Vedi lo svolgimento del quesito della prova del corso di ordinamento 0. Considerata f () derivabile, la funzione f () f () è anch essa derivabile e, secondo le regole di derivazione, la sua derivata risulta uguale a: f () f (), e in particolare per vale: f () f (). Analogamente la funzione f () f () è anch essa derivabile e la sua derivata risulta: f () f (). Per ipotesi tale derivata vale in e 7 in, pertanto valgono le seguenti uguaglianze: f () f (). f () f () 7 Moltiplichiamo per entrambi i membri della seconda uguaglianza: f () f (). f () f () Sommiamo membro a membro le due equazioni: f () f () f () f () f () f () 9. Se ne conclude allora che la derivata della funzione f () f () nel punto vale. Vedi lo svolgimento del quesito della prova del corso di ordinamento 0. Vedi lo svolgimento del quesito della prova del corso di ordinamento 0. Consideriamo per semplicità un corpo con la forma di un parallelepipedo di spigoli a, b, c. Il suo volume vale V abc. Indicata con p la percentuale con cui aumentano le dimensioni tramite una dilatazione termica, queste diventano: a a a p a( p), b b b p b( p), c c c p c( p). Il nuovo volume V ha quindi valore: V a( p) b( p) c( p) abc( p) V V ( p). Ricaviamo l aumento relativo del volume: V V V( p) V ( p) p p p. V V Pertanto se p 0,% 0,00: V V (0,00) (0,00) (0,00) V,7 0, 0, 0, 0,% p. Concludiamo che, se la percentuale di dilatazione lineare p è piccola, come nel caso di p 0,%, i termini di secondo e terzo grado, p e p, possono trascurarsi e il corpo si accresce in volume in proporzione tripla, come sostenuto nell affermazione del libro. 9 Zanichelli Editore, 0
Analogamente determiniamo la dilatazione termica superficiale del corpo considerando un rettangolo di dimensioni a e b. La superficie vale S ab, mentre quella dilatata risulta: S a( p) b( p) ab( p) S S( p). Ricaviamo l aumento relativo superficiale: S S S( p) S ( p) p p. S S Pertanto se p 0,% 0,00: S S (0,00) 0,00, 0 7, 0 7, 0 0,7% p. S Anche in questo caso se la percentuale di dilatazione lineare p è piccola, il termine di secondo grado, p, si può trascurare e la superficie del corpo si accresce in proporzione doppia, come affermato dal testo del libro. Il numero più piccolo che si può formare con le cifre da a 7 è 7. Disponiamo le cifre secondo la seguente stringa: 7 Osserviamo che i primi sei numeri che si possono scrivere in ordine crescente sono quelli ottenibili dalla permutazione delle ultime tre cifre (! permutazioni): 7, 7, 7, 7, 7, 7. Pertanto il settimo valore nella successione si ottiene dalla stringa di partenza tenendo fisse le prime tre cifre (l, il e il ) e scambiando il con il : 7. Per determinare il valore che occupa la 0-esima posizione e, sapendo che il numero totale degli elementi della successione è 00, possiamo partire dal valore più grande: 7 che occupa la 00-esima posizione, e andare così a ritroso fino alla vicina 0-esima posizione: 00-esima posizione: 7 09-esima posizione: 7 0-esima posizione: 7 07-esima posizione: 7 0-esima posizione: 7 Pertanto il valore che occupa la 0-esima posizione è 7. Infine, osservando che! 70, i primi 70 valori della successione si possono ottenere permutando le ultime cifre della seguente stringa, tenendo fissa la prima cifra dell : 7 Ne consegue che i successivi 70 valori, fino alla 0-esima posizione, si ottengono permutando le ultime cifre della nuova seguente stringa, tenendo fissa la prima cifra del : 7 Se ne deduce che il valore della successione che occupa la -esima posizione è il valore più piccolo che ha come prima cifra il ovvero: 7. 0 Zanichelli Editore, 0
7 In un gruppo di 0 persone il 0% ha gli occhi azzurri, ovvero persone hanno questa caratteristica mentre persone no. Calcoliamo la probabilità p che selezionando a caso due persone nessuna abbia gli occhi azzurri tramite la concezione classica di probabilità e il calcolo combinatorio: numero dei casi possibili: C 0, 0 0! 0 9,!! numero dei casi favorevoli: C,! La probabilità p vale quindi: numero dei casi favorevoli p numero dei casi possibili.!.! Il limite sen lime sen e si presenta nella forma indeterminata 0 0. Poniamo h e sostituiamo: lim h 0. Esso rappresenta il limite del rapporto incrementale della funzione f () e sen calcolato nel punto. Per definizione è la derivata calcolata in tale punto ovvero lim h 0 f (). Per i teoremi di derivazione risulta f () e sen cos f () e sen cos, pertanto il limite di partenza è uguale a. Tuttavia, dopo avere eseguito la sostituzione, si può procedere nel seguente modo alternativo: lim h 0 e sen(h) sen e h e sen(h) sen e h e sen(h) sen e h lim h 0 esenh h moltiplichiamo numeratore e denominatore per sen h: sen h lim e h 0 se n h se n h h per i limiti notevoli lim se n h e lim e g(hh ), risulta allora: h 0 h h 0 sen h lim e h 0 se n h se n h h ( ). Zanichelli Editore, 0
9 0 Per risolvere il problema è necessario ricordare che la cardinalità di un insieme è il numero degli elementi che lo costituiscono; due insiemi hanno la stessa cardinalità (o potenza) se esiste una corrispondenza biunivoca tra gli elementi dei due insiemi; un insieme ha cardinalità minore di un altro se esiste una funzione iniettiva tra il primo insieme e il secondo, ma non viceversa. È noto che l insieme dei numeri naturali N e i numeri razionali Q hanno la stessa cardinalità (si veda, per questo, lo svolgimento del quesito del corso sperimentale P.N.I. 0). Si può dimostrare che l insieme dei numeri naturali N ha cardinalità minore dell insieme dei numeri reali R, in particolare si dimostra che N ha cardinalità minore dei numeri reali compresi tra 0 e e a maggior ragione l avrà rispetto a tutto R. Tale dimostrazione si basa sul cosiddetto argomento diagonale, proprio di G. Cantor (-9), con quale il matematico dimostrò la non numerabilità di R. Ipotizziamo per assurdo l esistenza di una corrispondenza biunivoca tra N e i numeri reali appartenenti all intervallo [0; ]; ciò genera una successione formata da tutti questi numeri che esprimeremo in forma decimale: 0, a a a 0, a a a 0, a a a., dove a ij è la cifra j-esima del numero i-esimo. Osserviamo il numero formato dagli elementi della diagonale principale della matrice {a ij }: 0, a a a e costruiamo un nuovo numero 0, b b b, dove la cifra b i è così generata: a ii se 0 a ii 9 b i. 0 se a ii 9 Si può dedurre che il numero, reale e appartenente all intervallo [0; ] non appare nella successione { i }. Pertanto non esiste una corrispondenza biunivoca tra N e i numeri reali dell intervallo [0; ] e, a maggior ragione, tra N e R. Ora, l insieme degli irrazionali I è l insieme differenza R Q: tale insieme ha la stessa cardinalità di R. Pertanto ha ragione Luisa affermando che esistono più numeri irrazionali che razionali. Consideriamo l equazione ( ) k e poniamo entrambi i membri uguali a ; otteniamo il seguente sistema parametrico:. k Si tratta di studiare nel piano cartesiano le intersezioni del grafico della funzione razionale intera f () col fascio improprio di rette k. Tale funzione: ha dominio reale; poiché f ( ) f (), essa non è né pari né dispari; si annulla per 0 e ; è positiva per e negativa per ; non ha asintoti; ha derivata prima f (), positiva per 0, negativa per 0, nulla per 0 ; il grafico di f è così dotato di minimo nel punto O (0; 0) e di massimo nel punto C(; ). Zanichelli Editore, 0
Rappresentiamo in figura 7 il grafico della funzione f () e studiamo le sue intersezioni nell intervallo 0 con le rette del fascio improprio k. f() = + C = (k = ) A B = k (0 < k < ) = 0 (k = 0) O A B Figura 7. Dalla figura si osserva che l equazione ( ) k ha: per k 0, tre soluzioni di cui due coincidenti e una distinta; per 0 k, due soluzioni distinte, A B ; per k, due soluzioni coincidenti. Quindi l equazione ( ) k ammette due soluzioni distinte appartenenti all intervallo [0; ] per 0 k. Posto k, si deduce dal grafico che la soluzione maggiore B appartiene all intervallo [; ] ed è l unica soluzione in tale intervallo dell equazione. Posto g(), B è anche l unico zero di g() per. Determiniamo un valore approssimato di tale zero col metodo di bisezione compilando la seguente tabella. n a n b n g(a n ) g(b n ) m n a n b n g(mn ) n b n a n, 0, 0,, 0,,7,097 0,,,7 0,,097, 0,0 0,,, 0, 0,0, 0,797 0,0,, 0, 0,797, 0,007 0,0,, 0,007 0,797,7 0,0077 0,0 7,,7 0,007 0,0077,90 0,00 0,007 Osservando la colonna dei valori medi, il valore approssimato con due cifre decimali della soluzione B è,. Per esercitarti ancora sugli argomenti affrontati nei problemi e nei quesiti vai sul sito www.online.zanichelli.it/provamatematica Zanichelli Editore, 0